Distribución binoial, bernoulli

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    07-Jul-2015

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<ul><li> 1. DISTRIBUCIN BERNOULLI Y DISTRIBUCIN BINOMIAL</li></ul> <p> 2. DISTRIBUCIN DE BERNOULLI La distribucin de Bernoulli de parmetro p es el modelo ms simple de probabilidad. Se aplica a situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad p (xito) y la ausencia de este mismo atributo con probabilidad q=1-p (fracaso), como en el lanzamiento de una moneda. Que puede dar como resultado cara o cruz. Recprocamente, todo experimento aleatorio que slo admite dos resultados posibles, (uno llamado por costumbre xito y el otro fracaso) se llama ensayo de Bernoulli y lleva obviamente a la distribucin de Bernoulli. Por ejemplo: Un tratamiento mdico puede ser efectivo o inefectivo.La meta de produccin o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de seleccin mltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta. Su formula es: 3. FUNCIN DE PROBABILIDADUn ejemplo tpico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la variable aleatoria X=(Nmero de caras obtenidas), en cuyo caso X=0 si q=1/2, y X=1 si p=1/2 4. FUNCIN DE DISTRIBUCIN 5. FUNCIN DE DENSIDAD En un experimento de Bernoulli se denomina xito al suceso en estudio, P, y fracaso a su contrario, q . A este suceso le asociamos la variable aleatoria, X, definida como el nmero de xitos al realizar el experimento. Es decir,0 X B(p) 1si P(X 0) q 1 p si P(X 1) p 6. EJEMPLO DE LA UTILIZACIN DE LA DISTRIBUCIN BERNOULLI Experimento Lanzar un dado y que salga 5 X = # de veces que sale un 5. Al lanzar un dado tenemos 6 posibilidades resultados el espacio muestral es deS=(1,2,3,4,5,6) Se considera xito sacar un 5 entonces la probabilidad es de P=1/6 Se considera fracaso a no sacar un 5 entonces q= 1-P = 1-(1/6) = 5/6La probabilidad de que salga un 5 viene definida en que x =1 (xito)P(x=1) = (1/6)1 * (5/6)1-1 = 1/6 = 0.16 Y x=0 (fracaso)P(x=0) = (1/6)0 * (5/6)1-0 = 5/6 = 0.83 7. DISTRIBUCIN BINOMINAL Cuando se dispone de una expresin matemtica, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado especfico para la variable aleatoria. La distribucin de probabilidad binomial es uno de los modelos matemticos (expresin matemtica para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es elnmero de xitos en una muestra compuesta por n observaciones.Propiedades -La muestra se compone de un nmero fijo de observaciones n -Cada observacin se clasifica en una de dos categoras, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultnea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categoras se las denomina xito y fracaso. -La probabilidad de que una observacin se clasifique como xito, p, es constante de una observacin o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observacin se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones. - La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n 8. Se define por la formula:Cuando n es mayor.Cuando n es menor. 9. Funcin de distribucin: n k nk F ( x) p q k k 0 xn es el nmero de pruebas. k es el nmero de xitos. p es la probabilidad de xito. q es la probabilidad de fracaso. 10. P=0.3 xito q=0.7 Fracaso n k nk F ( x) p q k 0 k x 11. Esta expresin es el coeficiente binomial, "n sobre k", o el nmero de modos posibles de obtener k xitos en n observaciones. Los coeficientes binomiales forman las filas del tringulo de Pascal y se puede calcular usando factoriales:P( X x ) n! P k Q nk k! (n k )!PQ 1Ejemplo, Cul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?. k es el nmero de aciertos. En este ejemplo k igual a 6 (en cada acierto decamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k=6), n es el nmero de ensayos. En nuestro ejemplo son 10, P es la probabilidad de xito, es decir, que salga cara al lanzar la moneda. Por lo tanto P=0,5. Entonces,P( X 6) 10! 0.5 6 0.510 6 0.205 6! (10 6)!Luego, P(x=6) = 0,205, es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.n es el nmero de pruebas. k es el nmero de xitos. p es la probabilidad de xito. q es la probabilidad de fracaso. 12. Tabla de la distribucin Binomial Cmo utilizar la tabla de la distribucin Binomial? Supongamos que lanzamos al aire una moneda trucada. Con esta moneda la probabilidad de obtener cara es del 25%. La probabilidad que salga cruz ser, pues, del 75%. Lanzamos la moneda 3 veces de manera consecutiva. Si queremos calcular la probabilidad de que observemos 2 caras o menos nos fijamos en la tabla: localizamos n=3, k=2, p=0.25 Y buscamos la interseccin: 0.1406</p>