Distribución de Bernoulli

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    19-Dec-2015

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Bernoulli

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<ul><li><p>7. DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVA. </p><p>Esta tambin es un caso especial de la distribucin Binomial, ya que en </p><p>este caso se trata de que al llevar a efecto varias veces un experimento </p><p>binomial, se desea determinar la probabilidad de que ocurran r xitos, solo </p><p>que el ltimo de ellos debe ocurrir en el k-simo ensayo o repeticin del </p><p>experimento que es el ltimo. </p><p>Para encontrar una frmula que nos permita calcular probabilidades </p><p>con esta distribucin, partiremos de un ejemplo. </p><p>Ejemplo: </p><p>Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la </p><p>probabilidad de que aparezca guila es de 2/3, mientras que la probabilidad </p><p>de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que aparezcan </p><p>tres guilas, y la ltima que aparezca sea en el ltimo lanzamiento. </p><p>Solucin: </p><p>S trazamos un diagrama de rbol que nos represente los 8 </p><p>lanzamientos de la moneda, encontraremos que las ramas que nos interesan </p><p>son aquellas en donde aparecen 3 guilas y la ltima de ellas aparece en el </p><p>ltimo lanzamiento; ejemplos de una rama que nos interesa sera; </p><p>SAASSSSA, SSASSSAA, ASSASSSA, etc., etc. </p><p>Entonces la probabilidad se puede determinar de la siguiente forma: </p></li><li><p>(Probabilidad de que aparezcan Tres guilas, donde la ltima de ellas aparece en el ltimo lanzamiento de </p><p>la moneda)=(# de ramas del rbol en donde la tercera guila que aparece est en el octavo </p><p>lanzamiento)(probabilidad asociada a cada rama) </p><p>Luego, definiendo algunos trminos a utilizar; </p><p>Y = k = nmero de lanzamientos necesarios para que se obtenga una guila </p><p>por r-sima vez = 8 lanzamientos </p><p>r = nmero de veces que aparece un xito = 3 guilas </p><p>p = probabilidad de xito = p(aparezca guila) = 2/3 </p><p>q = probabilidad de fracaso = p(aparezca sello) = 1/3 </p><p>Luego, el nmero de ramas que nos interesan del rbol se podra </p><p>determinar de la siguiente forma: </p><p> # de ramas = </p><p>Cual es la razn de que se tomen k-1 ensayos y r-1 xitos al momento </p><p>de calcular el nmero de ramas que nos interesan? </p><p>Lo anterior se debe a que en el ltimo ensayo siempre va a haber un xito, </p><p>por lo que como ste no se va a mover como lo hacen los xitos anteriores, </p><p>entonces no se toma en cuenta para el clculo de las ramas que nos </p><p>interesan. </p><p>Y la probabilidad asociada a cada rama sera; </p></li><li><p> Probabilidad asociada a cada rama = p(S)*p(A)*p(A)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A)= </p><p>= q*p*p*q*q*q*q*p = Por lo tanto, la frmula a utilizar sera: </p><p>Donde: </p><p>P(Y=k) = probabilidad de que ocurran r xitos en k ensayos y que el ltimo </p><p>de ellos que es el r-simo, ocurra en el k-simo ensayo que es el ltimo. </p><p>r = nmero de xitos </p><p>k = nmero de ensayos para obtener r xitos </p><p>p = p(xito) = p(aparezca guila) </p><p>q = p(fracaso) = p(aparezca sello) = 1-p </p><p>Binomial Negativo </p><p>Ejemplos: </p><p>1. S la probabilidad de que un cierto dispositivo de medicin muestre una </p><p>desviacin excesiva es de 0.05, cul es la probabilidad de que; a) el sexto </p><p>de estos dispositivos de medicin sometidos a prueba sea el tercero en </p><p>mostrar una desviacin excesiva?, b) el sptimo de estos dispositivos de </p><p>medicin sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviacin </p><p>excesiva?. </p><p> Solucin: </p><p>a) k = 6 dispositivos de medicin r = 3 dispositivos que muestran desviacin excesiva p = p(dispositivo muestre una desviacin excesiva) = 0.05 q = p(dispositivo no muestre una desviacin excesiva) = 0.95 </p><p>p(Y = 6) = b) k = 7 dispositivos de medicin r = 4 dispositivos que no muestran una desviacin excesiva </p></li><li><p>p = p(dispositivo no muestre una desviacin excesiva) = 0.95 q = p(dispositivo muestre una desviacin excesiva) = 0.05 </p><p>p(Y = 7) = </p><p>2. Los registros de una compaa constructora de pozos, indican que la </p><p>probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en </p><p>el trmino de un ao es de 0.20. a) Cul es la probabilidad de que el sexto </p><p>pozo construido por esta compaa en un ao dado sea el segundo en </p><p>requerir reparaciones en un ao?. b) Cul es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta </p><p>compaa en un ao dado sea el tercero en requerir reparaciones en un </p><p>ao?. Solucin: a) k = 6 pozos r = 2 pozos que requieren reparaciones en un ao p = p(pozo requiera reparaciones en un ao) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un ao) = 0.80 </p><p> p(Y = 6) = b) k = 8 pozos r = 3 pozos que requieren reparaciones en un ao p = p(pozo requiera reparaciones en un ao) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un ao) = 0.80 </p><p> p(Y = 8) = </p></li><li><p> 7. DISTRIBUCIN GEOMTRICA. Esta distribucin es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que </p><p>ocurra un xito por primera y nica vez en el ltimo ensayo que se realiza </p><p>del experimento, para obtener la frmula de esta distribucin, haremos </p><p>uso de un ejemplo. </p><p>Ejemplo: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la </p><p>probabilidad de que aparezca guila es de 2/3, mientras que la </p><p>probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de </p><p>que en el ltimo lanzamiento aparezca una guila. Solucin: Si nosotros trazamos un diagrama de rbol que nos represente los 8 </p><p>lanzamientos de la moneda, observaremos que la nica rama de ese rbol </p><p>que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por </p><p>ltimo una guila; como se muestra a continuacin: S S S S S S S A S denotamos; x = el nmero de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra </p><p>un xito por primera y nica vez = 8 lanzamientos p = probabilidad de que aparezca una guila = p( xito) = 2/3 q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3 Entonces la probabilidad buscada sera; P(aparezca una guila en el ltimo </p><p>lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) = </p><p>=q*q*q*q*q*q*q*p = Luego, la frmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con </p><p>esta distribucin sera; </p><p> Donde: </p></li><li><p>p(x) = probabilidad de que ocurra un xito en el ensayo x por primera y </p><p>nica vez p = probabilidad de xito q = probabilidad de fracaso Resolviendo el problema de ejemplo; x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una </p><p>guila p = 2/3 probabilidad de que aparezca una guila q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello </p><p> p(x=8) = Ejemplos: 1. S la probabilidad de que un cierto dispositivo de medicin muestre una </p><p>desviacin excesiva es de 0.05, cul es la probabilidad de que; a) el sexto de </p><p>estos dispositivos de medicin sometidos a prueba sea el primero en mostrar una </p><p>desviacin excesiva?, b) el sptimo de estos dispositivos de medicin sometidos a </p><p>prueba, sea el primero que no muestre una desviacin excesiva?. </p><p> Solucin: </p><p>a) x = 6 que el sexto dispositivo de medicin probado sea el primero </p><p>que muestre una variacin excesiva p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medicin muestre </p><p>una variacin excesiva q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medicin no muestre </p><p>una variacin excesiva </p><p>p(x = 6) = b) x = 5 que el quinto dispositivo de medicin probado, sea el </p><p>primero que no muestre una desviacin excesiva p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medicin no </p><p>muestre una variacin excesiva q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medicin muestre </p><p>una variacin excesiva </p><p>p(x = 5) = </p></li><li><p>2. Los registros de una compaa constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el </p><p>trmino de un ao es de 0.20. Cul es la probabilidad de que el quinto pozo </p><p>construido por esta compaa en un ao dado sea el primero en requerir </p><p>reparaciones en un ao?. </p><p> Solucin: x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un </p><p>ao p = 0.20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el trmino </p><p>de un ao q = 0.80 = probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el </p><p>trmino de un ao </p><p> p(x = 5) = </p><p>1. DISTRIBUCIN BINOMIAL </p><p>Las caractersticas de esta distribucin son: </p><p>a) En los experimentos que tienen este tipo de distribucin, siempre se </p><p>esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, </p><p>no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente xito (que es lo que se </p><p>espera que ocurra) o fracaso (lo contrario del xito). </p><p>b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son </p><p>constantes, es decir no cambian. </p><p>c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son </p><p>independientes entre s. </p><p>d) El nmero de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante. </p></li><li><p> A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una frmula que nos permita </p><p>cualquier problema que tenga este tipo de distribucin. </p><p>Ejemplo: </p><p>Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad </p><p>de que aparezcan 2 guilas. </p><p>Solucin: </p><p>Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que </p><p>hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribucin </p><p>binomial, y podemos decir que efectivamente as es, ya que se trata de un </p><p>experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al </p><p>lanzar la moneda, guila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son </p><p>constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los dems y </p><p>el nmero de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3. </p><p>Para dar solucin a este problema, lo primero que hay que hacer es un </p><p>diagrama de rbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ah </p><p>se obtendr el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, </p><p>usando la frmula correspondiente. </p><p>A = guila, S = sello </p><p> 1/2 A </p></li><li><p> 1/2 A </p><p> 1/2 S </p><p> A </p><p> 1/2 A </p><p> 1/2 1/2 S </p><p> S </p><p> 1/2 A </p><p> 1/2 A </p><p> 1/2 1/2 S </p><p> S </p><p> 1/2 A </p><p> 1/2 S </p><p> 1/2 S </p></li><li><p>=AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS </p><p>Para obtener la frmula, definiremos lo siguiente: </p><p>n = nmero de lanzamientos de moneda </p><p>x = nmero de xitos requeridos = nmero de guilas = 2 </p><p>p = probabilidad de xito= p(aparezca guila) =1/2 </p><p>q = probabilidad de fracaso= p(aparezca sello) =1/2 </p><p>Entonces podemos partir de la siguiente expresin para desarrollar la </p><p>frmula; </p><p>P(aparezcan 2 guilas)=(No. De ramas del rbol en donde ap. 2 </p><p>guilas)(probabilidad asociada a cada rama) </p><p>Entonces el nmero de ramas en donde aparecen dos guilas se puede </p><p>obtener; </p></li><li><p>Enumerando las ramas de inters, estas seran: AAS, ASA, SAA, QU TIPO </p><p>DE ARREGLOS SON ESTOS ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son </p><p>permutaciones en donde algunos objetos son iguales, entonces, el nmero de </p><p>ramas se puede obtener con la frmula correspondiente, </p><p>donde n = x1+x2+...+xk </p><p>sustituyendo en esta frmula, tenemos lo siguiente; </p><p>esta frmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso </p><p>de dos tipos de objetos, si hay ms de dos tipos de objetos, definitivamente solo </p><p>se usa la frmula original, como se observar en el caso de la distribucin </p><p>multinomial, pero porqu vamos a cambiar de frmula?, simplemente porque </p><p>en todos los libros de texto que te encuentres vas a encontrar la frmula de </p><p>combinaciones en lugar de la de permutaciones, que es la siguiente, </p></li><li><p>y sustituyendo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son 3 las </p><p>ramas de inters, que son donde aparecen dos guilas, donde n = 3, x = 2. </p><p>Y la probabilidad asociada a cada rama? </p><p>Probabilidad asociada a cada rama = p(guila)*p(guila)*p(sello)= p*p*q = </p><p>p2q= </p><p> = </p><p>Luego la frmula de la distribucin Binomial sera: </p><p>donde: </p><p>p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x xitos, cuando la </p><p>probabilidad de xito es p </p><p>Dando solucin al problema de ejemplo tenemos lo siguiente: </p><p>n = 3, x = 2, p = </p></li><li><p>Para calcular la media y la desviacin estndar de un experimento que </p><p>tenga una distribucin Binomial usaremos las siguientes frmulas: </p><p>Media o valor esperado. </p><p>Donde: </p><p>n = nmero de ensayos o repeticiones del experimento </p><p>P = probabilidad de xito o la probabilidad referente al evento del cual se </p><p>desea calcular la media que se refiere la media </p><p>Q = complemento de P </p><p>Desviacin estndar. </p></li><li><p>Ejemplos: </p><p>1. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un perodo de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como mximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. </p><p>Solucin: </p><p>a) n = 5 </p><p>x = variable que nos define el nmero de accidentes debidos a errores </p><p>humanos </p><p>x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano </p><p>p = p(xito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75 </p><p>q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = </p><p>0.25 </p><p>b) </p></li><li><p>c) En este caso cambiaremos el valor de p; </p><p>n =5 </p><p>x = variable que nos define el nmero de accidentes que no se </p><p>deben a errores de tipo humano </p><p>x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos </p><p>p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores </p><p>humanos) = 0.25 </p><p>q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores </p><p>humanos) = 1-p = 0.75 </p><p>2. Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presin es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en ms de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos. </p><p>Solucin: </p><p>a) n =12 </p><p>x = variable que nos define el nmero de tubos en que el vapor se </p><p>condensa </p><p>x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa </p><p>p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40 </p></li><li><p>q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60 </p><p> = 0.21284 </p><p> b) p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) = p(x=3)+p(x=4)++p(x=12)= 1-</p><p>p(x=0,1,2)= </p><p> = 1-0.002176+0.0174096+0.06385632= 1- 0.08344192= 0.91656 </p><p>c) </p><p> = 0.22703 </p></li><li><p>3. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en...</p></li></ul>