Distribucion Normal y Curva Normal

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    07-Mar-2016

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Distribucin normal y tablas para entender la distribucin z

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Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 T. 2 Modelos tericos de distribucin de probabilidad 1. La distribucin binomial 2. La distribucin o curva normal El conocimiento acumulado en Psicologa ha permitido evidenciar como algunas variables de inters en este campo se distribuyen de un modo caracterstico, esto es, tienen una distribucin de probabilidad particular que se repite a lo largo del tiempo y para diferentes muestras. De muchos de estos patrones regulares de distribucin de probabilidad han sido planteados los modelos tericos que representan matemticamente a esas distribuciones y que, por tanto, permiten obtener fcilmente, a partir de una funcin matemtica, cul ser la probabilidad (o probabilidad acumulada) asociada a un valor cualquiera de la variable. Dos de los modelos ms relevantes en el contexto de la Psicologa son el de la distribucin binomial, para variables ordinales y cuantitativas discretas, y el de la distribucin normal, para variables cuantitativas continuas. En los siguientes apartados se describen las caractersticas de estos dos modelos tericos de distribucin de probabilidad y se muestra su aplicacin en la prctica. Otros modelos tericos de distribucin de probabilidad como la distribucin t de Student, la distribucin ji-cuadrado y la distribucin F de Snedecor son tambin especialmente importantes en el campo de la Estadstica, ello debido a que la distribucin muestral de algunos estadsticos se ajusta a estos modelos tericos de distribucin de probabilidad. La distribucin muestral de un estadstico es un concepto clave en la estadstica inferencial que ser introducido en un captulo posterior. 1. La distribucin binomial Comencemos con un ejemplo : supongamos que se elige al azar una muestra de 6 personas para formar parte de un jurado popular que ha de juzgar a una persona inmigrante y sabemos que en la poblacin de la que se ha extrado esa muestra un 30% de las personas son racistas. A partir de estos datos, cul es la probabilidad de que la mitad o ms de los miembros del tribunal sean racistas? Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 2 La respuesta a la pregunta anterior se puede resolver fcilmente sabiendo que la distribucin de probabilidad de la variable que nos ocupa se corresponde con la de la distribucin binomial. Veamos ms formalmente las condiciones para que la distribucin de probabilidad de una variable se ajuste al modelo terico de la distribucin binomial: 1. Partimos de una variable categrica dicotmica de la que conocemos su distribucin de probabilidad en una determinada poblacin. Sea la variable X [X1; X2], entonces en esa variable dicotmica se debe decidir cul de las dos modalidades de la misma es la que nos interesa a fin de poder buscar la respuesta a aquello que nos interese saber (sea, por ejemplo, X1), pues es la probabilidad asociada a esa modalidad a la que se conoce simblicamente como (y, complementariamente, a la de X2 como 1-): Xi P(Xi) X1 X2 1- 1 Ejemplo : Variable ser racista [Si; No] => modalidad de inters para contestar a la pregunta planteada en el ejemplo: Si => P(X 1) = = 0,30 => P(X 2) = 1- = 0,70 Sealar que en la prctica del anlisis de datos es bastante habitual contar con datos de variables dicotmicas (o dicotomizadas), por ejemplo, variables en que se han recogida datos del tipo correcto/incorrecto, a favor/en contra, de acuerdo/en desacuerdo, bien/mal, si/no, curado/no curado, tratamiento/no tratamiento, etc. Es frecuente en la literatura de la distribucin binomial considerar a esas dos modalidades, de forma genrica, como Acierto y Error, de modo que P(Acierto) = y P(Error) = 1- 2. Se realiza n veces esa variable aleatoria (por ejemplo, se extrae una muestra de n casos de una poblacin en los que no sabemos a priori que va a ocurrir con la variable X ), debindose satisfacer la condicin de que se mantenga constante para todas las realizaciones. Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 3 Ejemplo : n = 6 (tamao de la muestra, pues cada extraccin de un miembro del jurado representa una realizacin de la variable aleatoria Ser racista) y en cada extraccin se asume que se mantiene constante (= 0,30) 3. Si se cumplen las dos condiciones anteriores, la variable aleatoria nmero de experimentos (casos) en los que se verifica la condicin X1 se distribuye segn el modelo terico de la distribucin binomial. Si la distribucin de probabilidad de una variable X se ajusta al modelo binomial se expresa simblicamente como: X B(n;) Ejemplo . Variable nmero de miembros del tribunal que son racistas B(6; 0,30) La distribucin de probabilidad (funcin de probabilidad) de una variable binomial X viene definida por la siguiente funcin matemtica, donde X i puede oscilar entre 0 y n: !( ) (1 )!( )!i iX n Xii inP XX n X = Ejemplo : si queremos obtener la probabilidad de que 2 miembros del tribunal sean racistas: 2 6 2 2 46! 720(2) 0,30 (1 0,30) 0,30 0,70 0,3242!(6 2)! 2 24P = = = Si sustituyramos en la frmula del modelo binomial para los distintos valores que puede tomar X en este ejemplo, obtendramos la distribucin de probabilidad de X (n de miembros del tribunal que son racistas): Xi P(Xi) 0 0,118 1 0,303 2 0,324 3 0,185 4 0,060 5 0,010 6 0,001 1 Otro procedimiento alternativo para obtener la distribucin de probabilidad de una variable que se ajuste al modelo binomial es acudir a la tabla de la distribucin de probabilidad de este modelo, la cual se puede encontrar en el apndice de tablas de muchos libros de estadstica. En la misma se Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 4 pueden encontrar tabuladas las distribuciones de probabilidad de una variable binomial para diferentes valores de y de n. Fragmento de la tabla de la distribucin binomial (tomado de las tablas publicadas por Botella y cols., 2001) Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 5 Ejemplo : Observar el fragmento adjunto de la tabla de la distribucin binomial. Buscando en la misma podramos obtener fcilmente, por ejemplo, la distribucin de probabilidad de una variable X que se distribuya segn el modelo binomial con parmetros n = 4 y = 0,50: X B(4;0,50) Xi P(Xi) 0 1 2 3 4 0,062 0,250 0,375 0,250 0,062 Otro ejemplo de variable que se distribuye segn sta distribucin de probabilidad es el n de veces que sale cara al lanzar una moneda al aire 4 veces. Tras comprobar que se cumplen los requisitos para que se pueda decir que esta variable se distribuye segn el modelo binomial, obtener la distribucin de probabilidad correspondiente a la misma. Ejercicio 1: Para la variable N de miembros del tribunal que son racistas presentada antes, obtener las siguientes probabilidades: (1) de que 4 miembros del tribunal sean racistas; (2) de que, como mximo, 5 sean racistas; (3) de que ms de la mitad sean racistas; (4) obtener la esperanza matemtica y la varianza de esta variable aleatoria. Ejercicio 2 : Sabiendo que en la poblacin espaola la proporcin de mujeres es de 0,60, (1) cul es la probabilidad de que al extraer una muestra aleatoria de 7 personas de esa poblacin, ninguna de ellas sea mujer? (2) y cul la de que todas fuesen mujeres? (3) construir la distribucin de probabilidad correspondiente a la variable n de mujeres al extraer al azar una muestra de 7 personas de la poblacin espaola (X ); (4) obtener la media (o valor esperado), la mediana y la moda de la variable aleatoria X ; (5) representar grficamente la funcin de probabilidad de X ; (6) dem de la funcin de distribucin de X ; (7) obtener la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria complementaria, esto es, la de la variable n de hombres al extraer al azar una muestra de 7 personas de la poblacin espaola. Es una propiedad de cualquier variable que se distribuye segn la distribucin binomial que su esperanza matemtica y su varianza se pueden obtener segn las siguientes frmulas: E(X) = = n 2X = n(1-) Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 6 Ejercicio 3 : Obtener con las anteriores frmulas la esperanza matemtica y la varianza de la variable N de miembros del tribunal que son racistas. Comprobar que coincide con los valores ya obtenidos anteriormente para estos dos ndices. Ejercicio 4 : Suponiendo que se contesta completamente al azar a un examen de 10 preguntas de verdadero/falso y de que se corrige puntuando con un 1 los aciertos y con un 0 los errores, obtener la probabilidad de que se saque un 5 en el examen; y cul es la probabilidad de sacar un 10?; y la de sacar un 5 o ms? Obtener el valor esperado de la variable puntuacin en el examen e interpretarla. 2. La distribucin o curva normal Se trata de un modelo terico de distribucin de probabilidad para variables aleatorias cuantitativas continuas que se caracteriza, grficamente, por tener forma similar a la de una campana. Por ello, y por haber sido estudiada inicialmente por el matemtico Karl Gauss, se le denomine tambin como curva o campana de Gauss. La importancia de esta distribucin reside en el hecho de que diversas variables, como los caracteres fisiolgicos y morfolgicos de individuos altura, peso o longevidad, atributos sociolgicos, psicolgicos y, en general, variables que vienen determinados por muchos factores, se distribuyen segn el modelo de la curva normal. Abajo se muestra la representacin grfica de una variable aleatoria que se distribuye segn el modelo terico de la distribucin normal (ms usualmente dicho, que se distribuye normalmente) Como puede observarse, algunas de las caractersticas distintivas de este tipo de distribucin son: (1) que es unimodal; (2) que es simtrica, situndose el eje de simetra sobre el valor de la media (mediana, moda) de la distribucin de la variable; (3) que es asinttica; (4) que -hace corresponder valores de probabilidad altos para los valores centrales de la variable, mientras que esas probabilidades decaen de forma progresiva a medida que nos alejamos del centro de la distribucin, ms aceleradamente en la zona central, menos en los extremos. Ejemplo para una variable con las puntuaciones en un test de inteligencia (escala CI): Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 7 La distribucin de probabilidad (funcin de densidad de probabilidad) de la curva normal viene definida matemticamente por la siguiente funcin matemtica, originalmente planteada por Abraham de Moivre en 1733: 22( )0,51( )2,507i XXXiXP X e= donde X i es un valor concreto de la variable X , e es una constante matemtica (=2,72), y y son dos parmetros de la funcin que se corresponden, precisamente, con la media y la desviacin tpica de X . Teniendo en cuenta la frmula presentada, la distribucin normal puede adoptar diferentes formas, tantas como distintos valores de y se consideren (o sea, infinitas). Cada uno de estos posibles modelos integran la conocida como familia de la distribucin normal y para representar, a nivel simblico, a cada uno de los miembros de esa familia se utiliza la expresin N(; ). A continuacin se muestra la representacin grfica de diversos modelos de la familia de la distribucin normal en los que se han considerado distintos valores de y : - Modelos de distribucin normal con distinto valor de pero el mismo de : Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 8 - Modelos de distribucin normal con el mismo valor de pero distinto de : Entre los modelos de la familia de la distribucin normal, el ms relevante en la prctica es el denominado como distribucin normal estndar o unitaria, esto es, el modelo de la familia de la distribucin normal que tiene = 0 y = 1 [N(0; 1)]. As, es comn que en los libros de estadstica se incluya en un apndice final de tablas estadsticas, la correspondiente a la curva normal estndar o unitaria. Aunque hay variaciones en la forma de presentar esta tabla en los libros, en la misma nos ser posible consultar para un rango de valores comprendido habitualmente entre -3 y 3, cul es el valor de probabilidad y de probabilidad acumulada correspondiente a esos valores. En suma, se trata de una representacin tabular de la funcin de probabilidad o de la funcin de distribucin (o de ambas, como en el fragmento que se muestra ms abajo) de la curva normal con media 0 y desviacin tpica 1. As, si se tiene una variable X que se distribuye segn la distribucin normal estndar [X N(0; 1)], en esta tabla podemos consultar para distintos valores de X , cul es el valor de probabilidad (y ordenada) [P(X=X i)] y de probabilidad acumulada (Area) [P(XX i)] correspondiente a los mismos. Una vez conocida la probabilidad asociada a un determinado valor, de forma inmediata se puede dar respuesta fcilmente a diferentes tipos de preguntas, por ejemplo, el porcentaje acumulado o percentil correspondiente a ese valor, el n de sujetos que es de esperar que tengan un valor inferior o igual a se, o superior a se, o entre dos valores determinados, etc. (ver preguntas del ejercicio siguiente). Ejercicio 5 : Dada una variable X que para un determinado grupo de sujetos se distribuye segn N(0;1): (a) cul es la probabilidad acumulada correspondiente a un valor de 1,18 [P(X1,18) = Pa(X=1,18)]?; (b) qu porcentaje de sujetos tendrn una puntuacin inferior o igual a 1,18?; (c) sabiendo que el grupo de sujetos era de 1000 personas (n =1000), cuntos tendrn una puntuacin Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 9 inferior o igual a 1,18?; (d) cul es la probabilidad de que al extraer un sujeto al azar, ste tenga una puntuacin inferior o igual a 1 [P(X1)]?; (e) y de que sea superior a 1 [P(X>1)]?; (f) y de qu est entre 1 y 2 [P(1X2)], sabiendo que P(X2) = 0,9772? ; (g) y de qu est entre la media de la distribucin y 1 [P(0 X 1)]?; (h) a qu valor de la variable X le corresponde una probabilidad acumulada de 0,75 (esto es, el 75% de los sujetos obtienen una puntuacin inferior o igual a ese valor en la variable = Q3)?; (i) qu valor de la variable X ser slo superado por el 25% de los sujetos? (j) qu valor corresponde al percentil 25?; (k) cul es la probabilidad de que al extraer un sujeto al azar, ste tenga una puntuacin inferior o igual a -1 [P(X-1)]?; (l) y de que la puntuacin sea superior a -1 [P(X>-1)]? Fragmento de la tabla de la curva normal estndar (tomado de las tablas publicadas por Botella y cols., 2001) Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 10 Una consecuencia prctica derivada de la aplicacin del modelo terico de la distribucin normal y, en general, de cualquier modelo terico de distribucin de probabilidad es que, si sabemos o podemos asumir que una variable se distribuye segn un modelo terico, entonces se pueden obtener las probabilidades asociadas a cualquier valor de esa variable y, en consecuencia, la correspondiente distribucin de probabilidad. Ser suficiente para ello con aplicar la frmula matemtica del modelo de probabilidad correspondiente o, ms sencillo, recurrir a una tabla estadstica de ese modelo y consultar en la misma los valores que nos interesen. Ahora bien, cmo aprovechar la tabla de la curva normal unitaria si tengo una variable que, aunque se pueda asumir que se distribuye normalmente, su media y su desviacin tpica no son Estadstica Inferencial en Psicologa Mara F. Rodrigo, J. Gabriel Molina Curso: 2010-2011 11 precisamente 0 y 1? La respuesta est en transformar los valores de la variable a puntuaciones tpicas (Z), con lo que la variable se seguir distribuyendo segn la curva normal, si bien, pasa a tener media 0 y desviacin tpica 1, haciendo as factible la utilizacin de la tabla de la curva normal unitaria. Ejercicio 6 : Supongamos que un conocido nos dice que ha obtenido en un test de inteligencia una puntuacin CI igual a 95. Asumiendo que las puntuaciones en un test de inteligencia se distribuyen normalmente y sabiendo que las puntuaciones CI tienen media 100 y desviacin tpica 15, qu le podemos decir acerca de su puntuacin?, ms concretamente, (a) qu porcentaje de sujetos es de esperar que obtengan un valor inferior o igual a 95?, o (b) qu porcentaje de sujetos es de esperar que obtengan un valor superior a 95?; (c) Supongamos tambin que nos pregunta qu puntuacin CI habra que sacar en el test de inteligencia para estar en el 30% inferior (puntuacin de CI que deja el 30% de sujetos por debajo); (d) y para estar en el 10% superior? (puntuacin de CI que es superada solo por el 10% de los sujetos) (e) entre qu valores de CI se encuentra el 50% central de los sujetos? Referencias: Barn-Lpez, J. (2005). Bioestadstica: mtodos y aplicaciones. Apuntes y material disponible en http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/ Botella, J., Len, O. G., San Martn, R., y Barriopedro, M. I. (2001). Anlisis de datos en psicologa I: teora y ejercicios. Madrid: Pirmide.