Ejercicios Hamilton

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    16-Dec-2015

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Ejercicios Hamilton

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  • FORMULACIN HAMILTONIANA: ECUACIONES

    1. El punto de suspensin de un pndulo simple de masa y de longitud l est obligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y est conectado a un punto de la periferia de un volante de masa y de radio . El volante gira libremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana del sistema, y las correspondientes ecuaciones del movimiento de Hamilton.

    m

    M a

    cossincos2

    lylax

    =+=

    &&&&&

    lsinylasinx

    =+= cos2

    ( )

    ( )

    =

    +

    ++==

    =====

    =

    +=

    &&&&

    &&&&

    &

    &&&&

    A,21

    coscossin2sin222

    cos4122

    21

    cossin2sin22

    22222

    224

    0

    2

    2

    22222

    L

    mglalmmaIlmL

    mglV

    MRlaMlarrdrlI

    IT

    almmalmT

    a

    D

    p

    32

  • 2cos2sin2224)2sin24(2

    12cossin2

    cossin22sin24)1(

    )1(21

    2sin24cossin2cossin22

    mlamaIml

    mlalmalmaI

    TT

    P

    P

    maIalmalmml

    +

    +=

    =

    =

    =

    +=

    A

    PAP

    AP

    A

    &&

    coscossin4222)2sin24(21 mglPPalmPmlPmaIH

    +++=

    No hay ninguna que sea obviamente cclica, aunque H se conserva: H=E, al no depender explcitamente del tiempo.

    Las ecuaciones de Hamilton son:

    PHHP

    PHHP

    =

    =

    =

    =

    &&

    &&

    ;

    ;

    -------------------------------------------

    2. La Lagrangiana de un sistema con dos grados de libertad puede escribirse en la forma

    ])()cos[(2

    22 tqsintqtsinqmL ++= &

    Cul es la Hamiltoniana correspondiente?Se conserva? Introduciendo la nueva coordenada

    tqsinQ = , hallar la Lagrangiana en funcin de Q y su derivada, y tambin la correspondiente Hamiltoniana .Se conserva ? H H

    33

  • [ ]

    22

    )cos(

    )()cos(2

    2222

    22

    mqtsinqmH

    LqpH

    tqtsinqtmsinqLp

    tqtsintqtsinqmL

    ==

    +==

    ++=

    &

    &

    &&

    &

    donde

    tsintq

    tmsinpq

    1)cos( =&

    Entonces la Hamiltoniana es:

    2)cos(

    2222 mqtq

    tmsinpmH =

    No se conserva al depender del tiempo.

    22211

    1222

    1

    21

    21

    )(2

    cos

    QmPm

    H

    QmPQQmL

    tqtsinqQ

    tqsinQ

    =

    =+=+=

    =

    &&&&

    S, se conserva.

    -----------------------------------------

    3. Considrese un cilindro de radio R, libre de girar respecto de su eje de simetra, situado verticalmente, y cuyo momento de inercia respecto de tal eje es . Sobre la superficie lateral del cilindro est fija rgidamente una espira uniforme pista helicoidal, a lo largo de la cual puede deslizarse sin rozamiento un punto material de masa . El ngulo formado por la hlice respecto de la vertical es tal que desciende una altura 2 por cada vuelta que se da alrededor del cilindro. Supngase que la partcula parte del reposo desde la parte superior del cilindro y se desliza bajo la influencia de la gravedad. Usando un sistema de coordenadas cualquiera, obtener la Hamiltoniana para el sistema combinado partcula-cilindro, y resolver completamente el movimiento del sistema. Interprtense todas las variables cclicas del sistema.

    I

    m

    34

  • =+=+=

    zryrx )sin(;)cos(

    siendo la constante de la espiral: 2=L

    [ ]2222 )((21 &&& ++= RmTparticula

    2

    21 &ITcilindro = mgV =

    [ ] mgaIRmL +++++=2

    )2(21 222222 &&&&&&

    =

    ++=

    &

    &&&&&&& A),(

    21)(

    ),(21

    22

    222

    ImRmRmRRmT

    =

    2

    1

    2

    1

    &&

    App

    ( )

    ++

    = 21

    222

    22

    21 )(,

    21

    pp

    RmmRmRImR

    ppT

    siendo 42222 ))(( RmmRIRm ++=

    pero es cclica de modo que es constante: Lo que equivale a la conservacin del momento angular total. De hecho, como el sistema parte del reposo

    ,

    2p .2 constp ==

    0=.0)( 22 =++ && ImRmR

    Entonces,

    .)(21 2

    12 pImRT +=

    35

  • Definiendo + ImR

    21 ,

    mgp

    H =2

    21

    Las ecuaciones de movimiento son:

    1pH=& ;

    = Hp1&

    1p=& ; mgp =1&

    )0(;)( 01 ==== &&tmgttmgp en t .0=2

    0 2tmg

    +=

    242222

    2

    0 ))((2t

    RmmRIRmImRmg

    ++++=

    Movimiento uniformemente acelerado:

    mg=&& ;

    ImRmRmg

    += 22

    &&

    ----------------------------------------

    4. Una Hamiltoniana de un grado de libertad tiene la forma

    [ ]kbeebqpqbeptqpH ttt +++= )(22

    ),,(22

    en donde y son constantes. b, ka) Hallar la Lagrangiana asociada a esta Hamiltoniana. b) Obtener una Lagrangiana equivalente que no dependa del tiempo

    explcitamente, explicando someramente la base del procedimiento seguido. c) Escribir la Hamiltoniana correspondiente a esta segunda Lagrangiana y

    explicar su relacin con la Hamiltoniana anterior.

    22

    22qpqpH +=

    con kbeebbe ttt ++ )(; HpqqqL = &&),( qp

    pH ==&q

    36

  • Entonces,

    22

    22 qpL = Sustituyendo el p:

    22

    2)(

    2),( qqqqqL += &&

    Recurdese que por el origen variacional de las ecuaciones de Lagrange L es

    equivalente al Lagrangiano dtdFLL +1

    siendo F arbitrario. Ntese que

    = teqdtd 2 .2 2 tt eqeqq &

    Resulta inmediato ver que

    ,22

    )(2

    2221 q

    kqeqdtdLL t = &

    de modo que el Lagrangiano equivalente es el del oscilador armnico:

    221 22

    qkqL = & y el Hamiltoniano asociado es:

    .22

    221 q

    kqH += & ----------------------------------------

    5. Dos masas puntuales y estn unidas por una cuerda de longitud constante . La primera partcula puede moverse libremente sin rozamiento sobre un plano horizontal, mientras la segunda cuelga verticalmente de la cuerda que pasa por un orificio practicado en dicha superficie. Obtener el

    Lagrangiano, tambin el Routhiano correspondiente, y el Hamiltoniano. Reducir el problema a una cuadratura.

    1m 2ml

    1. Lagrangiano. Usamos z y como coordenadas.

    37

  • 1x cos)( zl = , entonces cossin)(1 zzlx &&& =sin)(1 zly = , entonces sincos)(1 zzly &&& =

    22122122

    21

    211 )(222

    1)(21 &&&&& zlmzmmzmyxmT ++=++=

    gzmV 2=

    gzmzlm

    zmm

    L 2221221 )(

    22+++= &&

    Ntese que es coordenada cclica: .0=L El correspondiente momento conjugado

    es constante

    .)( 212 ==== constzlmLp &&

    2. Routhiano.

    Es Vzlm

    zmm

    zlmLpppzR ++== 221221221221 )(22)();,( &&&&

    Finalmente:

    21);,( 21 =ppzR 22122

    1

    22

    2)(z

    mmgzm

    zlmp &+

    Las correspondientes ecuaciones de Lagrange tienen un solo grado de libertad, , puesto que

    z.2 == constp

    El potencial efectivo es .)(2 21

    2

    2 zlmgzm +

    .0=

    zR

    zR

    dtd

    &

    Entonces,

    ).)(2

    ()( 21

    22

    221 zlmp

    gzmz

    zmm =+ &&

    Naturalmente, una primera integral de la ultima ecuacin es la ecuacin de la energa:

    constEzlm

    pgzmz

    mm ==++

    21

    22

    2221

    )(22&

    Despejando , se obtiene la solucin para z& :)(tz

    ++

    ==2

    1

    22

    221 )(2

    )(

    zlmp

    gzmEmm

    z

    dztz

    dzdt &

    38

  • Para la coordenada cclica tenemos: )(t

    [ ] ,)( 212 dt

    tzlmp

    d = lo que reduce la solucin a dos cuadraturas.

    El Hamiltoniano es trivial de obtener al ser diagonal la matriz

    a invertir:

    21

    1211 ;)( mm

    pzzmm

    zLp +=+== &&&

    21

    2212 )(

    ;)(zlm

    pzlmLp ==

    = &&

    &

    T= 21

    22

    21

    21

    )(2)(2 zlmp

    mmp

    ++

    =+= VTH gzmzlm

    pmm

    p22

    1

    22

    21

    21

    )(2)(2++

    Evidentemente es tambin cclico en H .0: 2 === constpH

    Ntese que la existencia de una coordenada cclica reduce en dos(no en uno) el orden del sistema a integrar, al desaparecer tanto la coordenada como su momento conjugado del problema diferencial. Ello no era obvio en los ejemplos anteriores en los que usamos el formalismo lagrangiano en vez del hamiltoniano.

    ------------------------------------------

    6. A partir de la formulacin de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas q : i

    a) constryase una funcin , anloga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean q y .

    ( tpqG ii ,, &&&i &pi

    )

    ) )

    b) Dedzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.

    a) A partir de la lagrangiana , construimos la funcin G mediante una transformacin de Legendre:

    ( tqqL ii ,, & ( tpq ii ,, &&( )tqqLpqG iiii ,, && = .

    Diferenciando esta expresin se obtiene:

    ttLq

    qLq

    qLqppqG i

    ii

    iiiii dddddd

    += &&&&

    39

  • Aqu, el segundo y el tercer trmino se anulan en virtud de la ecuacin de Lagrange, , mientras que de la definicin de moment