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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 1

    Introduccin a la Teora de la ElasticidadS. Gil

    HOMINES, DVM DOCENT, DISCVNT

    (Los hombres, enseando, aprenden)

    Sneca (I a.c.)

    Si un material es sometido a traccin, es decir si el mismo es solicitado desde

    sus extremos en direcciones opuestas, de modo similar a como se ilustra en la Fig. 1, la

    longitud del mismo aumenta y eventualmente, si la fuerza es grande, el material puede

    romperse. En esta seccin estudiaremos la conexin entre los efectos de las fuerzas y las

    deformaciones que las mismas causan sobre una muestra de material. Si una muestra

    cilndrica de material, de seccin transversal A, y longitud inicial L0 es sometida a

    traccin, mediante una fuerza F que acta a lo largo de su eje, la misma sufrir un

    estiramiento de magnitud L. Si L/L0

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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 2

    se los suele designar con la letra Y. En rigor esta relacin solo vale en la llamada zona

    de proporcionalidad (Fig. 2). El cociente F/A se denomina esfuerzo (stress) y se denota

    con la letra , sus unidades son las mismas que las de presin (Pa). Al cociente L/L0

    se lo denomina deformacin unitaria (strain) y se la denota con la letra , esta magnitudes adimensional (no tiene unidades). Con esta notacin la expresin (1) se puede

    escribir como: == YE (3)

    En la figura 2 se muestra una curva a tpica de la deformacin con respecto al esfuerzo.

    Figura 2. Relacin entre el esfuerzo aplicado y la deformacin unitaria . Cuando sesobrepasa el lmite elstico, y se suprime el esfuerzo aplicado, el material queda

    permanentemente deformado, este hecho se indica en el grafico por medio de las

    flechas. El valor 0, indica la magnitud de la deformacin permanente. Hasta el lmite deproporcionalidad 0

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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 3

    Al principio del estiramiento, la deformacin es proporcional al esfuerzo, es zona de

    validez de la Ley de Hooke. Esto ocurre hasta que el esfuerzo aplicado alcanza un valor

    llamado Lmite de proporcionalidad (pr). Si el material es sometido hasta este valorde esfuerzo, al suprimir el mismo, el material retoma su forma original sin sufrir

    deformacin permanente.

    Ms all del Lmite de proporcionalidad, la grfica se desva de la recta y no existe unarelacin sencilla entre y .... Sin embargo, hasta el lmite elstico, el objeto regresar asu longitud original si se remueve la fuerza aplicada, es decir los esfuerzos aplicados no

    producen deformaciones permanentes (caracterizada por el valor de deformacin

    residual 0) en el material. Ms cuantitativamente, por lo general se requiere que hastael lmite de elstico 0

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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 4

    Dependiendo del tipo de material, esta regin de fluencia puede o no existir, si esta

    regin es pequea o inexistente, el material esfrgil, si esta regin es amplia, el material

    es dctil. Si se desea que una muestra no se rompa, es importante no superar el esfuerzo

    asociado al limite de fluencia Y (Yield Strength o Tensile Strength). El punto de

    fluencia se define como el punto de interseccin de la curva y una paralela a lalnea de la zona elstica que pasa por el punto de deformacin permanente f=0.002(0.2%).

    Cuando una nuestra cilndrica se somete a traccin, adems de sufrir un estiramiento en

    la direccin de la fuerza aplicada, la muestra sufre un estrechamiento en sus

    dimensiones transversales. Si denominamos con d el dimetro de una muestra

    cilndrica, por efecto del esfuerzo aplicado, el mismo disminuir en una magnitud d.

    Definimos la deformacin transversal T=d/d. En general T e proporcional a , estoes:

    =T , (4)

    la constante , se denomina coeficiente de deformacin transversal o coeficiente de

    Poisson. Para una muestra incompresible, el valor sera = 0.5, para una materialistropo se espera = 0.25 1,2. Experimentalmente su valor vara usualmente entre 0.25a 0.5, siendo tpicamente 0.3 para muchos materiales (Ver tabla 1).

    Los esfuerzos de traccin son solo un tipo de los mltiples formas en que un material

    puede ser solicitado. En la figura 3 se muestran dos tipos comunes de esfuerzos

    aplicados a un material, el de compresin y el de corte o cizalladura. Desde luego

    tambin existen esfuerzos de torsin. En el caso de los esfuerzos de corte, el mismo se

    define como el cociente entre la fuerza que produce la deformacin y el rea de la caraparalela a la fuerza (cara superior en la Figura 3). Por su parte la deformacin unitaria,

    es el cociente del desplazamiento de la cara superior a la altura de la muestra. Para

    muchos metales, la relacin entre esfuerzo y deformacin es la misma para la

    compresin y la traccin, pero desde luego no es universal, existen muchos materiales,

    en que las propiedades de compresin y traccin son muy diferentes, por ejemplo el

    concreto, la piedra, vidrio, mrmol, etc.

    Para el caso de deformaciones de corte o cizallamiento la relacin entre esfuerzo y

    deformacin, en la zona proporcional viene dada por:

    tan.0

    GGL

    L

    G c ==

    = (5)

    donde G se denomina el mdulo de corte o cizallamiento y representa el ngulo enque rota el lado vertical (Fig.2) como consecuencia de la deformacin. El mdulo de

    corte esta relacionado con el mdulo de Young por la relacin:1,2,9

    )1(2 +=

    EG (6)

    donde es el coeficiente de Poisson. Similarmente, si una muestra se somete a una

    compresin en todas las direcciones, por ejemplo cuando el cuerpo se sumerge en unfluido dentro del cual su presin exterior se incrementa en una cantidad P, su volumen

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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 5

    decrecer en una magnitud V, a partir de su volumen su inicial V0. En este caso larelacin entre deformacin y presin viene dada por:

    K

    P

    V

    V =

    0

    (7)

    donde, en la zona proporcional, la constante K, llamada mdulo de compresibilidad, sevincula con el mdulo de Young por la relacin:

    1,2,9

    )21(3 =

    EK (8)

    Incidentalmente, si 0.5, G , o sea el material sera incompresible. Si unamuestra cilndrica de longitudL0 y rea transversalA, se somete a una torsin a lo lardo

    de su eje por efecto de un par o cupla aplicado M, la muestra se deformar, rotando sus

    cara (perpendicular a su eje) un ngulo . Dentro de la relacin proporcional, se cumple:

    pIG

    LM

    = 0 (9)

    o bien en forma diferencial

    pIG

    M

    x =

    (10)

    dondeIp

    representa el momento areal polar (Ver Fig. 5),G

    yM

    el momento o partorsor.

    Figura 4. Barra cilndrica de longitud original L0, pandeo. A la izquierda se muestra un

    segmento infinitesimal de la barra sometida a pandeo.M(x) representa el momento o par

    flector.

    zz

    F

    M(z) M(z)+dM(z)

    dz

    y y

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    Pandeo de Vigas (Lectura optativa)

    Cuando una viga de seccin uniforme se flexiona, como se ilustra en la Fig. 4, parte dela misma se tracciona (parte superior) y parte de la misma esta sometida a compresin

    (parte inferior). En general, una magnitud importante que determina sus propiedades

    para el pandeo, depende del momento areal de sus seccin transversal respecto de una

    lnea recta, llamada lnea neutra, que pasa por el centro de gravedad de la seccin, como

    se ilustra en la figura 5.

    La relacin entre el par o cupla flectora y la deformacin en este caso viene dada por la

    relacin:

    )(2

    2

    zMz

    yIE

    x

    =

    (11)

    Pandeo Torsin

    = TransvAreap dArI 2

    Figura 5. Definicin del momento areal de una barra de seccin uniforme. La lnea

    neutra pasa por el centro de gravedad del la figura (izquierda) y la integral se supone se

    realiza sobre toda la seccin. A la derecha se muestra como se calcula el momento areal

    polar, de utilidad para calcular las torsiones, dA representa el elemento diferencial de

    rea.

    Figura 6. Barra de longitudL, soportada por una morsa y con el otro extremo libre. A laizquierda con una sobrecarga en su extremo y a la derecha sin sobrecarga y vibrando.

    y Lnea neutra

    c.m.

    = AreaTransvxdAyI 2

    x

    dAdA

    r

    c.m

    dA

    A)x

    z

    B)

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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 7

    Vibraciones forzadas de un barraLa ecuacin de movimiento de una barra con vibracin transversal viene dada por

    2

    2

    4

    4

    t

    yA

    z

    yIE x

    =

    (12)

    y definiendo

    =

    A

    IEc x

    20 (13)

    la ecuacin (2) se transforma en:

    02

    2

    4

    42

    0 =

    +

    t

    y

    z

    yc (14)

    Si existen fuerzas de friccin (internas del material o externas, p.ej. medio viscoso),

    caracterizada por un coeficiente de friccin b (por unidad de longitud) y adems existe

    una fuerza impulsora F(z,t) por unidad de longitud (direccin z), la ecuacin demovimiento (13) o (14) de transforma en:

    ),(2

    2

    4

    4

    tzFt

    yb

    t

    yA

    z

    yIE x =

    +

    +

    (15)

    Barra empotrada con un extremo libre

    Un caso de inters practico es la forma que toma una barra de longitudL soportada por

    una morsa y de la que pende una sobrecarga m de su extremo como se ilustra en la

    Figura 6.A). La funcin que describe la fuerza por unidad de longitud se puede escribir,

    usando la notacin (x) para describir la funcin delta de Dirac, como: F(z)=m.g.(x-L).Integrando la ecuacin (15) obtenemos la forma de la curva que forma la barra viene

    dada por la ecuacin:

    )(2

    2

    zLIE

    gm

    z

    y

    x

    =

    (16)

    cuya solucin es:

    )3

    (2

    )(3

    2 zzL

    IE

    gmzy

    x

    = (17)

    Si la barra vibra sin sobrecarga (es decir con su extremo libre) la frecuencia de

    vibracin se obtiene a partir de (14) con la condiciones de bordes (y(z=0)=0,

    00=

    =zzy , 022 =

    =Lzzy y 033 =

    =Lzzy ), la frecuencia fundamental

    viene dada por la expresin siguiente expresin3,4,5

    :

    0221

    28.028.0c

    LA

    IE

    Lf x =

    =

    (18)

    Vibraciones de una barra con ambos extremos libresSimilarmente, para una barra con sus dos extremos libres, la solucin de (14) conduce a

    las siguientes frecuencia propias3,4,5,6:

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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 8

    021

    7908.1c

    Lf = si n=1 (19)

    y

    02

    21

    22

    1c

    L

    nfn

    +=

    si n>1 (20)

    En presencia de roce o friccin, (Ec. 15), las frecuencias se modifican ligeramente, si

    0k es la frecuencia natural sin roce (Ec. 18,19, 20) y las correspondientes frecuencias

    con roce son k, entonces:

    220

    2 += kk con bc

    bA

    EIx =

    =

    22

    20

    (21)

    en esta ecuacin d representa el factor de atenuacin que determina como la amplitud de

    oscilacin decrece en el tiempo, o sea que para un dado punto de la barra, la oscilacin

    en el tiempo puede escribirse como:

    ))(sin()exp()(),( 000 zttzBtzy k += (22)

    aqu,z0 indica la coordenada de la barra en la que se observa la oscilacin.

    Bibliografa

    1. Theory of elasticity - S. Timoshenko and J.N. Goodier, Mc Graw-Hill NY 1951

    2. Introduccin a la mecnica de los slidos - P.A.A. Laura y M.J. Maurizi - EUDEBA

    Buenos Aires 1979.3. Vibraciones Mecnicas Seto - Mc Graw-Hill NY 1970

    4. Introduccin a la Teora de las Vibraciones Mecnicas - F. L. Babio y H.M. Corts -

    Ed. Labor S.A. Barcelona 1970

    5. Matemticas superiores para Ingenieros y Cientficos L.A. Pipes - Mc Graw-Hill

    NY 1970

    6. A Student Project on Wind Chimes G.W. Baxter and K.M. Hagenbuch Phys.

    Teach. 36, 204 (1998) y Phys. Teach. 36, 209 (1998)

    7. Manual del Ingeniero - Htte - Ed. Gustavo Gili S.A. Barcelona 1980

    8. Handbook of Chemistry and Physics CRC - Lide, D.R. (Ed.) - Springer - 80th ed.

    1999

    9. Manual de Fsica Elemental N.I. Koshkin y M.G. Shirkvich MIR Mosc 1975

    Experimentos:1. Medicin del mdulo de Young de alambres de cu, al, etc. por mtodo de carga y

    descarga.

    2. Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo esttico- Deflexin de barras.

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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 9

    3. Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo dinmico- Deflexin de

    barras. Fotointerruptores.

    4. Medicin del mdulo de Young de barras y tubos por mtodo dinmico. Sonido

    emitido por la muestra al ser golpeada. Grabacin del sonido- Sound card.

    ApndiceMomentos areales para distintas secciones transversales

    Seccin Transversal Momentos Distancia al

    c.m.

    Circulo de radio R

    4

    4RII yx ==

    4

    2RIp =

    Semicrculo de radio R

    4

    9

    8

    8RIx

    =

    4

    8RIy =

    Re =3

    4

    Tubo de radios R (exterior) y r

    (interior)

    ( )444

    rRII yx ==

    ( )442

    rRIp =

    Rectngulo de lados a y b

    12

    3abIx

    =

    12

    3 abIy

    =

    x

    x

    b

    y

    a

    x

    y

    x

    e

    y

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    Introduccin a al Elasticidad Fsica 1 UNSAM - S. Gil 10

    Termometra.

    La temperatura se mide en el sistema SI en grados Celsius (centgrado). Mientras que

    las temperaturas absolutas se realizan en grados Kelvin, la relacin entres ambas es:

    152730 .]C[T]K[T ++++==== (1)

    La escala Celsius se relaciona con la escala Fahrenheit por:

    ( )FTCT 32][9

    5][ 00 =

    (2)

    Expansin trmica: En general cuando se calienta una barra de un slido, sulongitud aumenta. Este hecho fsico se resume en las siguientes relaciones:

    )TTTLTLTLL )()()()( 00 == (3)o bien

    dTL

    dL==== (4)

    Aqu,L(T) es la longitud de la barra a la temperatura T,es el coeficiente de dilatacintrmico (lineal) caracterstico de cada sustancia.

    Similarmente, el volumen, tanto para un slido como para un liquido, en general

    aumenta siguiendo la relacin:

    )TTTVTV )()()( 0 = (5)

    Aques el coeficiente de expansin volumtrica.

    Para el caso de slidos istropos y homogneos, es fcil probar que el coeficiente de

    dilatacin de rea es 2. y el volumtrico = 3. (NOTA: estas ltimas relaciones sonvalidas aproximadamente solo para slidos istropos).

    Material Coeficiente de

    Expansin

    Lineal [1/C]Material Coeficiente de Expansin

    en Volumen [1/C]Aluminio 24 x10

    -6Alcohol Etlico 1.1 x10

    -4

    Latn 19 x10-6

    Gasolina 9.5 x10-4

    Hierro y Acero negro 12 x10-6

    Glicerina 4.9x10-4

    Ladrillo Concreto 12 x10-6

    Mercurio 1.9x10-4

    Cobre 17 x10-6

    Agua 2.1 x10-4

    Vidrio comn 9 x10-6

    Aire (CNPT) 36 x10-4

    Vidrio Pyrex 3.3 x10-6

    Gases (en general a20C)

    35 x10-4

    Tabla 2- Coeficientes de expansin trmica en [1/C] para algunos materiales a 20C

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