Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

  • View
    301

  • Download
    15

Embed Size (px)

Transcript

3.1 Sistem Persamaan LinierDi dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:

Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriksAx = bYang dalam hal ini,

Yaitu:

3.2Metode Eliminasi GaussEliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini:

Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward substitution):

Kondisisangat penting. Sebab bila, persamaan diatas menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.

Contoh:x + y + 2z = 92x + 4y - 3z = 13x + 6y - 5z = 0

Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:

Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan dapat muncul.Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu:a.Pivoting sebagian (partial pivoting)Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,

Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di bawah ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalamsimple pivoting) karena 0 tidak akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0. Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0, itu berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan (singular system).a.Pivoting Lengkap (complete pivoting)Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya menambah kerumitan program secara berarti. Contoh:

Dengan menggunakan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan metode eliminasi Gauss:a.Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif)b.Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)

Penyelesaiana.Tanpa tata-ancang pivoting sebagian

Operasi baris pertama (0.0003 sebagai pivot)

Jadi,

Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:

(jauh dari solusi sejati)

Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi sejatinya. Kegagalan ini terjadi karenasangat kecil bila dibandingkan dengan,sehingga galat pembulatan yang kecil padamenghasilkan galat besar di.Perhatikan juga bahwa 1.569- 1.568 adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya.a.Dengan tata-ancang pivoting sebagianBaris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454 menjadi pivot

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh:

Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada solusi a. keberhasilan inikarenatidak sangat kecil dibandingkan dengan,sehingga galat pembulatan yang kecil padatidak akan menghasilkan galat yang besar pada.

3.2Eliminasi Gauss-Jordan

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut:

Solusinya:Seperti pada metode eliminasi gauss naf, metode eliminasi Gauss-Jordan naf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya.Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:-Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1). Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.-Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.Contoh:x + y + 2z = 92x + 4y - 3z = 13x + 6y - 5z = 0

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan

Contoh eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-JordanSelesaikan bentuk SPL berikut:2x1+ x2+ 4x3= 163x1+ 2x2+ x3= 10x1+ 3x2+ 3x3= 16dalam bentuk matriks:

Penyelesaian (Eliminasi Gauss):langkah (1)langkah (2)langkah (3)langkah (4)langkah (5)langkah (6)langkah (7)Dengan demikian diperoleh:

Untuk memperoleh x1dan x2subt pers (3) ke pers. (1) dan (2), x3= 3x2 10(3) = -28x2 30 = -28 x2= 2Untuk memperoleh x1:

Jadi diperoleh x1= 1, x2= 2 dan x3= 3Penyelesaian (eliminasi Gauss-Jordan):Untuk eliminasi Gauss-Jordan langkah (1) langkah (3) sama dengan langkah (1) (3) pada eliminasi Gauss,

Jadi Diperoleh:Jadi, diperoleh x1= 1, x2= 2 dan x3= 3.

Metode Eliminasi Gauss dan Gauss JordanEliminasi Gauss

Eliminasi Gaussadalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalammatriks teraugmentasidan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balikuntuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah

1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)2. Baris nol terletak paling bawah3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya4. Dibawah 1 utama harus nol

Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yangEselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh Soal Untuk Gauss dan Gauss jordan

Cari Nilai X1,X2,X3 pada persamaan dibawah ini menggunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan2X1+ X2+ 4X3 = 83X1+ 2X2+ X3 = 10X1+ 3X2+ 3X3 = 8

Berikut adalah penyelesaiannya :Eliminasi Gauss

Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadiX3 = 0.538X2 - 0.25(X3) = 1.25X2 = 1.25+ 0.25(0.538)X2 = 1.384X1 - 2X2+ X3 = 0X1 = 2X2 - X3X1 = 2(1.384) - 0.538X1 = 2.23Jadi X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan :Sebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 8 sampai langkah 10, tapi saya mengulanginya kembali dari awal.

Jadi Isinya sama seperti pada Eliminasi Gauss X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

https://iragitawulandari.wordpress.com/2012/12/15/metode-gauss-jordan/Metode Gauss JordanEliminasi GaussPenjelasanEliminasi Gaussadalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalammatriks teraugmentasidan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balikuntuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.Kelebihan dan KekuranganMetode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahapKeuntungan : menentukan apakah sistem konsisten menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka ebih mudah untuk memecahkankelemahan : memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimalContoh Soal :Diketahui persamaan linearx+ 2y+z= 6x+ 3y+ 2z= 92x+y+