ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC˘AO DE ENERGIA~ igo.paulino/General_files/FGI_CAP04.pdf · Trabalho e…

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  • Trabalho e EP Calculando EP Energia Mecanica Trab. Forcas Externa e Cons. Energia

    ENERGIA POTENCIAL ECONSERVACAO DE ENERGIA

    Fsica Geral I (1108030) - Captulo 04

    I. Paulino*

    *UAF/CCT/UFCG - Brasil

    2012.2

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    Sumario

    Trabalho e EP

    Energia potencial

    Forcas conservativas

    Calculando EP

    Energia Potencial Gravitacional

    Energia Potencial Elastica

    Energia Mecanica

    Conservacao de Energia Mecanica

    Curva de energia potencial

    Trab. Forcas Externa e Cons. Energia

    Trabalho devido a forcas externas

    Conservacao de Energia

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    Trabalho e Energia Potencial

    A energia potencial U e o tipo de energia que pode ser associada aconfiguracao (arranjo) de um sistema que exercem forcas entre si.Se a configuracao do sistema se alterar, a energia potencialtambem sera alterada.

    Um tipo especial de energia potencial e aenergia potencial gravitacional que deve-seao estado de separacao entre objetos.

    Outro tipo de energia potencial que serabastante discutido neste curso e a energiapotencial elastica que esta associada aoestado de compressao e estiramento de umobjeto elastico tipo uma mola.

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    Trabalho e Energia Potencial

    No movimento do tomate ao lado, durante a subida, sabe-seque o trabalho realizado pela forca gravitacional e negativo, ouseja, a forca gravitacional retira energia da energia cinetica dotomate. Isto acontece ate que toda a energia seja transferidacompletamente. Quando o tomate chega ao topo da suatrajetoria, este possui apenas energia potencial gravitacional. Oprocesso contrario acontece quando o tomate realiza omovimento de descida.Durante a descida, sabe-se que o trabalho realizado pela forcagravitacional e positivo. A energia potencial, que o tomateadquirira quando chegou ao topo da trajetoria, ecompletamente transferido para a forma de energia cinetica.Desta maneira, tanto na subida, quanto na descida, a variacaoda energia potencial pode ser escrita por:

    U = W . (1)Embora, o exemplo tomado se diz respeito a energia potencialgravitacional, a Equacao 1 pode ser aplicada tambem para umsistema de uma massa presa a uma mola.

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    Forcas conservativas e nao-conservativasSempre que um campo vetorial qualquer ~G puder ser escrito como gradientede uma campo escalar , diz-se que este campo vetorial e um campoconservativo. Matematicamente, tem-se:

    ~G = ,neste caso, e o operador gradiente e pode ser escrito, em coordenadascartesianas, por:

    = x x

    y

    y+ z

    z.

    O campo escalar e dito campo potencial de ~G .

    Em analogia a essa definicao matematica, pode-se escrever a seguinteexpressao:

    ~F = U ,neste caso, ~F e a forca que atua sobre o sistema. Sempre que isto for possvel,diz que U e a energia potencial associada a forca ~F e a forca ~F e ditaconservativa.

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    Forcas conservativas e nao-conservativasAdmitindo que a forca variavel ~F mude apenas em uma unicadirecao, o modulo do campo vetorial ~F pode ser calculado por:

    F (x) = dUdx

    Quando apenas forcas conservativas atuam sobre um sistema, asolucao do problema pode ser significantemente simplificada,utilizando-se os conceitos de energia

    Seja W1 o trabalho realizada sobre o sistema e W2 o trabalhorealizado pelo sistema. Numa situacao em que W1 = W2, a forcaresultante que esta realizando trabalho e conservativa. Exemplosde forcas conservativas: forca gravitacional, forca elastica (lei deHooke), forca eletrostatica, etc. Um tpico exemplo de uma forcanao conservativa e a forca de atrito.

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    Independencia do percurso para forcas conservativas

    O principal teste para saber se uma forca econservativa e o seguinte:

    O Trabalho resultante realizado por uma forcaconservativa sobre um sistema que se move aolongo de qualquer percurso fechado e igual azero.

    O exemplo dado anteriormente sobre a subida edescida do tomate e justamente sobre umpercurso fechado, no qual a tomate sai de umponto inicial e retorna aquele mesmo ponto.

    Um resultado importante do teste do caminhofechado e que: O trabalho realizado por umaforca conservativa sobre um sistema emmovimento entre dois pontos independe dopercurso seguido.

    Em termos matematicos, pode-se se escrever:

    Wab,1 = Wab,2 (2)

    Para demostrar a Equacao 2, faz-se o seguinte: Sabe-se que otrabalho realizado por uma forca conservativa ao longo de umpercurso fechado e nulo, logo

    Wab,1 + Wba,2 = 0 ,

    portanto,

    Wab,1 = Wba,2 ,

    ou seja, o trabalho realizado ao longo da trajetoria de ida deveser igual ao trabalho realizado pela trajetoria de volta.

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    Energia Potencial Gravitacional

    Sabendo que a variacao da energiapotencial pode ser escrita por:

    U = WPor outro lado, o trabalho de uma forcavariavel qualquer que atua em apenas umadirecao pode ser encontrado da seguinteforma:

    W =

    xfxi

    F (x)dx .

    Desta maneira, a variacao da energiapotencial pode ser calculada por:

    U = xfxi

    F (x)dx . (3)

    Para o caso da energia potencial gravitacionaltem-se que F (y) = mg , em que g e o modulodo campo gravitacional que esta atuando sobreo sistema. Substituindo na Equacao 3, tem-seque:

    U = yfyi

    mgdy = mg yiyf

    dy

    U = mg(yf yi ) = mgy .(4)

    Tomando um ponto de referencia como sendoyi = 0 correspondente a um valor de energiapotencial inicial Ui = 0, pode-se se escrever aenrgia potencial para um yf = y como

    U(y) = mgy . (5)

    Isto quer dizer que a energia potencialgravitacional depende apenas da posicaovertical y do sistema em relacao a um nvel dereferencia arbitrario.

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    Energia Potencial ElasticaDa mesma maneira, pode-se utilizar a lei de HooKe, ou seja,

    F (x) = kx ,

    para calcular a energia potencial elastica, i.e.,:

    U = xfxi

    kxdx = k yiyf

    xdx

    U = 12kx2f

    12kx

    2i .

    (6)

    Escolhendo o valor de Ui = 0 em x = 0 e fazendo xf = x tem-seque

    U(x) =1

    2kx2 . (7)

    O que quer dizer que a energia potencial elastica e proporcional aoquadrado da distancia de deslocamento do sistema preso a mola.

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    Conservacao de Energia Mecanica

    A energia mecanica de um sistema pode serconsiderada como a soma da energia cinetica ea energia potencial. Ou seja,

    Em = U + K . (8)

    Quando apenas forcas conservativas atuamsobre o sistema e nao ha transferencia deenergia mecanica para uma outra forma deenergia. Ou seja, quando nehuma forca atuasobre o sistema. Sabe-se que neste caso avariacao da energia cinetica pode ser calculadapor:

    K = W (9)

    e ainda, a variacao da energia potencial podeser estimada por:

    U = W . (10)

    Comparando as Equacoes 10 e 9, pode-seescrever que:

    U = KUf Ui = Kf KiKf + Uf = Ki + Ui

    Emf = EmiEm = 0 .

    (11)

    Isto implica que, num sistema isolado (sema acao de uma forca externa), a energiamecanica se conserva. Portanto, pode-serelacionar a soma da energia cinetica e aenergia potencial em instantes distintos semse preocupar com o movimentointermediario que o sistema foi submetido.

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    Leitura da curva de Energia Potencial

    Olhando para curva de energia potencial pode-se facilmenteescrever a curva da forca variavel que esta atuando sobre osistema considerando a seguinte equacao:

    F (x) = dU

    dx.

    No painel (c) desta figura, o ponto x1 e conhecido como pontode retorno. Os pontos x2 e x4 sao conecidos como pontos deequilbrio estavel. O ponto x3 e o ponto de equilbrio instavel etodos os pontos a direita de x5 sao pontos de equilbrio neutro.

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    Equilbrio neutro, estavel e instavel

    Na pratica, os pontos de equilbrio podem ser melhor visualizadosna esquema da figura abaixo.

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    Trabalho realizado por uma forca externa

    Trabalho e a energia transferida para um sistema ou retirada dele por meio deuma forca externa que age sobre este sistema

    Quando a energia e tranferida para o sistema, o trabalho epositivo.

    Quando a energia e retirada do sistema, o trabalho e negativo.

    Como tatica para solucao de problemas, e sempre necessario escolheradequadamente o sistema que pretende-se estudar. Para o caso de um sistemalivre de forcas dissipativas, pode-se calcular o trabalho devido a uma forcaexterna por:

    W = K + U

    W = Em ,(12)

    isto e, o trabalho devido a forca externa sem a presenca de atrito pode sercalculado a partir da variacao da energia mecanica do sistema.

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    Trabalho realizado por uma forca externa

    Considere uma for