Espelhos Esféricos - Feira de Ciências

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    07-Dec-2015

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Espelhos esfrics

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<ul><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 1/15</p><p>TudosobreFeiras|Projetos5a/8asries|Aparelhosindispensveis|Cinemtica|Dinmica|Esttica|Fluidos|FsicaTrmicaptica|OndaseAcstica|Eletrosttica|Eletrodinmica|Eletromagnetismo|CorrenteAlternada|Eletrnica|Estroboscopia</p><p>SugestesDidticas|Artigos|Leituras/TeoriasRecomendadas|FichasLaboratriodeFsica|Eletroqumica|MotoresGeraisMundoAtmicoeRelatividade|Astronomia|PerpetuumMbile|Biologia|ArtesanatoCientfico|CorredordosLinks</p><p>.</p><p>Falecomoprofessor Listageraldosite Pginainicial Envieaumamigo Autor</p><p>pticaGeomtrica(Parte3EspelhosEsfricos)</p><p>Prof.LuizFerrazNettoleobarretos@uol.com.br</p><p>PreliminaresDenominaremosporespelhoesfricoqualquerporodeumasuperfcieesfricacapazdeexibir,empredominncia,ofenmenodareflexoregular.Portanto, o espelho esfrico constitui uma regio de uma casca esfrica, isto , uma calota esfricaondeseverificacondiesparaquesedcommximaintensidadeofenmenodareflexoregulardaluz.Consideraremosqueoespelhosejaobtido,sempre,pela intersecodeumasuperfcieesfricacomumplanosecante,comoindicaaFig.15esquerda.</p><p>Seasuperfcierefletoraestvoltadaparaocentrodasuperfcieesfrica,quecontmoespelhodado,estedenominaseespelhocncavo(internamenterefletor)Fig.15centroseasuperfcierefletoraaquenoestavoltadaparaocentro,oespelhoditoespelhoconvexo(externamenterefletor)Fig.15direita.</p><p>Elementosgeomtricos</p><p>MveisparaLaboratriosProjetosFabricaoeInstalaesEquipamentos,Capelas,Cmaramida</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 2/15</p><p>a)Centrodecurvatura(C)ocentrodasuperfcieesfricaquecontmacalotaesfricaquedefineoespelho.Fig.16.b)Raiodecurvatura(R)oraiodasuperfcieesfricaquecontmoespelhoesfricodado.c)Curvatura(r),pordefinio,oinversodoseuraiodecurvatura:r=1/R.</p><p>Concluisequeacurvaturadeumespelho(r)eseuraiodecurvatura(R)guardamumarelaoinversa(r.R=1)realmente,quantomaiorfororaiodecurvatura,tantomenorserasuacurvaturaeviceversa.Observeque,seoraiodecurvaturadoespelhoesfricotenderparaoinfinito,acurvaturatenderparazero e, desse modo, poderemos considerar, por extenso, o espelho plano como sendo um casoparticulardeespelhoesfricoraioinfinitamentegrandeecurvaturanula.Sendoacurvaturaoinversodeumcomprimento(oraio),suasunidadessero:cm1,m1etc.</p><p>d)Vrtice(V)oplodacalotaqueconstituioespelho.e)Eixoprincipal(ep)aretadefinidapelovrticeecentrodecurvaturadoespelho,constituindoseueixodesimetria.f)Eixosecundrio(es)todaaretaque,passandopelocentrodecurvatura,'fura"oespelhoemumpontoqualquer(quenoovrtice).Existeminfinitoseixossecundriosnosespelhosesfricos.g)Dimetrodoespelho(d)odimetro(AB)dacircunfernciaquerepresentaabordadoespelho,ouem outras palavras, a distncia que separa dois pontos diametralmente opostos do contorno doespelho.Nocasogeral,odimetrodoespelhomenorqueodimetrodaesferaqueooriginou.Nosespelhosesfricosque iremos considerar emptica geomtrica, os dimetros so insignificantes emcomparaocomosraiosdecurvatura.h)Abertura (a) o ngulo plano determinado por dois eixos secundrios que passam por pontosdiametralmenteopostosdocontornodoespelho(a=ACB),comoseilustranaFig.16.Portanto,aaberturadeumespelhoesfricocoincidecomongulovisualmedianteoqualoobservador,situadonoseucentrodecurvatura,voespelho.Aabertura(a)deumespelho,comomostraaFig.17,variadiretamentecomodimetrod(Rmantidoconstante)einversamente,comoraiodecurvaturaR(dmantidoconstante).</p><p>i)Planomeridianoouseoprincipalqualquerplanoquecontenhaoeixoprincipal(ep)doespelho.Geralmenterepresentamososespelhosatravsdeumasecoprincipal(queentooplanodopapel,quadronegroetc.)enelaestudamososfenmenosdereflexoeaconstruogeomtricadeimagens.j)Plano frontal (p) qualquer plano perpendicular ao eixo principal. Tais planos tm, interesse naconstruode imagens,pois,comoveremos,osespelhosqueconsideraremossoaproximadamenteaplanticos.</p><p>ReflexodaluznosE.E.O fenmeno da reflexo da luz nos espelhos esfricos se processa exatamente damesmamaneiracomovimosparaosespelhosplanos,cadaraiodeluzrefletidoobedecendosduasleisdareflexo.</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 3/15</p><p>Realmente,consideremosraiodeluz(R1)queincidenoponto(I)dasuperfciedeumespelhoesfrico(cncavoFig.18esquerdaeconvexoFig.18direita).</p><p>Esteraiosereflete(R'1)formandocomanormal(N1)aopontodeincidnciaumangulo(a'1),igualaongulodeincidncia(a1).Nosespelhosesfricos,facilmentepodemosconcluirque,anormalaopontodeincidnciapassapelocentrodecurvaturaequeessasnormaisconstituemeixossecundriosdoespelho.Percebeseaindaque,oprocessodereflexoomesmotantosetratedeespelhocncavocomodeconvexo.Porisso,quando se analisa a reflexo num espelho cncavo, as concluses a que se chegam podem sertomadastambmparaoespelhoconvexo.</p><p>PontoautoconjugadoSeja P um ponto objeto localizado no centro de curvatura C de um espelho esfrico cncavo ouconvexo,conformeseilustranaFig.19esquerdaedireita,respectivamente.OpinceldeluzcujovrticeP, incidenoespelho,demodoque, todososseusraiosconstituintescoincidemcomasnormaisaoespelhopelopontodeincidncia.ConseqentementetaisraiosserefletemsegundoamesmadireoeovrticedessepincelemergentedefineaimagemP'queselocalizatambmnocentrodecurvaturadoespelho. Em decorrncia, o centro de curvatura um ponto autoconjugado nos espelhos esfricos,posto que simultaneamente objeto e imagem, sendo real nos espelhos cncavos e virtual nosconvexos.(Nota:pontospertencentessuperfcierefletorasotambmautoconjugados).</p><p>CondiesdenitidezdeGaussPelaTeoriadeGauss,lembramosque,umsistemapticoditoestigmtico,quandoaumpontoobjetoeleconjugaumnicopontoimagem,comoocasodoespelhoplano.Lembramos ainda que, um sistema ptico dito aplantico quando, a um objeto plano frontal eleconjugaumaimagemplanafrontal,comoocasodoespelhoplano.Introduziremosmaisumconceito:umsistemapticoditoortoscpico,quandoaumobjetoplanoeleconjugaumaimagemplana,geometricamentesemelhanteaoobjeto(isentosdedistores),comoocasodoespelhoplano.</p><p>Espelhoplanoestigmtico,aplanticoeortoscpico.</p><p>Aprtica pe em detalhe que, os espelhos esfricos s em determinadas circunstancias podemserconsiderados (e ainda aproximadamente) estigmticos, aplanticos e ortoscpicos. EssascircunstnciasespeciaissoconhecidascomocondiesdenitidezdeGauss,asaber:</p><p>OsraiosincidentesdevemserPARAAXIAIS,isto,raiosprximosaoeixoprincipal,paralelosoupoucoinclinadosemrelaoaele.</p><p>ConseqnciasdascondiesdeGaussDestascondiesconcluiseque:</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 4/15</p><p>a)aparte realmentetil noespelhoesfricodeGaussumapequena regioda calotaesfricaemtornodovrtice,ouseja,umespelhoesfricodeaberturabastantereduzida(a</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 5/15</p><p>Nota2: Todo o exposto acima relativo a pontos sobre o eixo principal, estendesea qualquer pontopertencenteaoeixosecundrio,definindoseentofocosecundrio(Fs).Aocontrriodofocoprincipal,quenico,existeminfinitosfocossecundrios.Fig.23(a).</p><p>Todososfocossecundriosemaisofocoprincipaldefinemnosespelhos,emgeral,umasuperfciecujovrticeofocoprincipal,denominadasuperfciefocal.(Vejaadiante,aberraodeesfericidade).NocasoparticulardosespelhosdeGauss, que soosquenos interessamconsiderar, tal superfciepodeserrepresentadaporumplanofrontalaoespelho,quedenominadaplanofocal(P).Fig.23(b).</p><p>RelaoentreraiodecurvaturaedistnciafocalDemonstrase com certa facilidade, que para os espelhos de Gauss, o foco principal (F), situaseaproximadamenteameiadistnciaentreocentrodecurvatura(C)eovrtice(V),ouseja,adistnciafocal(f)aproximadamenteametadedoraiodecurvatura(R).Fig.24.</p><p>OtringuloCFIissceles,donde:FC=FI...(eq.1)PortratarsedeumespelhodeGauss,opontodeincidnciaIselocalizanasproximidadesdeV,assim,podeseescrever:FI~=FV...(eq.2)</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 6/15</p><p>Comparandose(eq.1)e(eq.2)pomosFC=FVe,portanto,opontoFaproximadamentepontomdiodosegmentoCV,ouseja:f=R/2(c.q.d.).</p><p>Determinaogeomtricadasimagens1RaiosnotveisSejamdados,umespelhoesfrico(cncavoouconvexo)eumobjetoP(realouvirtual).AopontoobjetoP,oespelhoconjugaopontoimagemP',queserdeterminadopelaintersecodedois(pelomenos)raiosrefletidoscorrespondentesadosraiosincidentesprovenientesdeP.Admitindose as condies de Gauss (estigmatismo, aplanetismo, ortoscopismo) podemos escolherdentretodososraiosprovenientesdePalgunsqueobedecemschamadaspropriedadesfundamentaisdosespelhosesfricos(tambmdenominados"raiosnotveis"),asaber:</p><p>(P1)Umraio de luz (i) que incide paralelamente ao eixo principal, refletese (r),passando pelo focoprincipaldoespelho(conseqnciadadefiniodefoco).Fig.25(a)e(b).</p><p>(P2)Umraiodeluz(i)queincide,passandopelocentrodecurvaturarefletese(r)sobresimesmo(aincidncianormal).Fig.26(a)e(b).</p><p>(P3)Um raiode luz (i)que incidepassandopelo focoprincipal, refletese (r),paralelamenteaoeixoprincipaldoespelho(princpiodocaminhoinversoaplicadoaoP1).Fig.27(a)e(b).</p><p>(P4)Umraiodeluz(i)queincidenovrtice,refletese(r),simetricamenteemrelaoaoeixoprincipaldoespelho(anormaloprprioeixoprincipal).Fig.28(a)e(b).</p><p>(P5)Umraiodeluz(i)queincideparalelamenteaumeixosecundrio,refletese(r)passandopelofoco</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 7/15</p><p>secundriocorrespondente(definiodefocosecundrio).Fig.29(a)e(b).</p><p>(P6)Umraiode luz (i)que incidepassandoporumfocosecundrio, refletese (r),paralelamenteaoeixosecundriocorrespondente.Fig.30(a)e(b).</p><p>Notas:a)AimagemP'deumpontodeterminada,emgeral,pelaspropriedades(P1)e(P2)uma terceirapropriedadepodeseraplicadacomoconfirmao.Exemplo:DeterminaraimagemP'queoespelhoesfricocncavoECconjuga,paraopontoobjetoP,dado.Fig.31.</p><p>(P1):incidente(i1)paraleloaeprefletido(r1)passandoporF.(P2):incidente(i2)passandoporCrefletido(r2)passandoporC.(P3):incidente(i3)passandoporFrefletido(r3)paraleloaep.</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 8/15</p><p>Exemplo:ObteraimagemP'dopontoobjetoP,formadapeloespelhoesfricoE,pelasduastcnicas.Fig.33(a)e(b).</p><p>d)AimagemA'B',comrelaoaoobjetoAB,serdireita,seambospertencemaomesmosemiplanodeterminado pelo eixo principal (ou ambos tmmesmo sentido /|\o /|\i ou \|/o \|/ie, ser invertida sepertencemasemiplanosopostos(tmsentidosopostos/|\o\|/iou\|/o/|\i).</p><p>2DeterminaogeomtricadasimagensParaadeterminaogeomtricadeimagens,consideraremosasdiferentesposiesqueoobjetopodeassumir,emrelaoaofocoprincipaleaocentrodecurvatura.ApesardetomarmosparaoobjetooranaturezaREAL,oraVIRTUAL,acentuamos,noentanto,quesomuitomaisimportantesoscasosemqueoobjetoREAL.Fig.34atFig.39,(a)e(b).Vejamososdiferentescasos:</p><p>C1)Objetoalmdocentrodecurvatura:</p><p>C2)Objetoapoiadonocentrodecurvatura:</p><p>C3)Objetoentreocentrodecurvaturaeofocoprincipal:</p><p>C4)Objetonoplanofocal:</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 9/15</p><p>C5)Objetoentreofocoeovrtice(espelho):</p><p>C6)Objetoaqumdovrtice:</p><p>3MovimentorelativodeobjetoeimagemOsesquemasaseguir,esclarecemcomovariaaPOSIOdaimagemeseuTAMANHOquandoumobjetosemovimentasobreoeixoprincipaldoespelho,daesquerdaparaadireita, no cncavoedadireitaparaaesquerdanoconvexo.</p><p>M1)Movimentoatoplanofocal:</p><p>M2)Movimentoentreoplanofocaleoespelho:</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 10/15</p><p>M3)Movimentoaqumdovrtice:</p><p>Combasenessesesquemas,podemosestabelecerumesquemanicoquenosfornea,de imediato,emqualquercaso,aposiodoobjetoeacorrespondenteposiodaimagem:</p><p>"Qualquerretaquepassepelocentrodecurvaturainterceptaalinhadoobjetonaposiodoobjetoealinhadaimagemnaposiodesuaimagemcorrespondente".</p><p>Procureusaresseesquemaecompareo resultadocomos j conseguidosanteriormenteatravsdaconstruo.Exemplo:Analisar a natureza, posio e tamanho da imagemque o espelho abaixo conjuga para oobjeto,nasposiesP1,P2eP3.</p><p>P'1real,menor,invertidaentreCeF.P'2real,maior,invertidaaqumdeC.P'3virtual,maior,direitaalmdeV.</p><p>DeterminaoanalticadasimagensAssimcomoobtivemosporconstruesgeomtricasascaractersticas (natureza,posio, tamanhoeorientao)dasimagensconjugadaspelosespelhosesfricos,podemosdeterminlastambmporumprocessoalgbrico,ousejadeterminaranaliticamenteaposio,aaltura(tamanho),aorientaoeanaturezadaimagem.Para tanto, ser necessrio introduzir alguns elementos que quantifiquem essas caractersticas.Vejamosisso.</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 11/15</p><p>Asposiesdopontoobjetoedopontoimagempodemserfixadasatravsdeumsistemaderefernciacartesianoortogonal,oqualnosfornecerentoascoordenadas(x,y)e(x',y')dessespontos.Asalturasdoobjetoedaimagem,nosistemaderefernciaacimacitado,seroasordenadasyey'.Asnaturezasparaobjetoeimagem,ficamcondicionadasaossinaisdasabscissasxex'.</p><p>Adeterminaoanalticadasimagensficar,ento,condicionadaspelosseguintesitens:a)fixaodeumreferencialparacaracterizarasposiesdoobjetoeimagemb) uma 'equao de conjugao' que permita obter a abscissa da imagem, quando so dados aabscissadoobjetoeumelementoquecaracterizaoespelho(aabscissadofocoprincipal)c)uma'equaodeaumentolineartransversal',quepermitaobteraordenadadaimagem,quandosodadosaordenadadoobjetoeumelementoquecaracterizaoespelhoesfrico.</p><p>Citaremospara o item (a), dois sistemas de coordenadas de uso habitual, a saber: o referencial deGausseoreferencialdeNewton.</p><p>1ReferencialdeGaussconstitudoporumpardeeixosortogonaisOpeOy,comorigemnovrticedoespelhoesfrico.Opcoincidecomoeixoprincipaleosentidopositivodesseeixosempre 'contrrio'aoda luz incidente(queseadmite,arbitrariamente,incidindodaesquerdaparaadireitadoobservador).Fig.45.</p><p>Abscissa(p):origem:vrticedoespelhodireo:eixoprincipalsentido:contraaluzincidenteOrdenada(y):origem:vrticedoespelhodireo:perpendicularaoeixoprincipalsentido:debaixoparacima</p><p>Indicandose por p e p', respectivamente, as abscissas do objeto e da imagem no referencial deGauss,percebesequeosvaloresdessassopositivos,quandoanaturezarealenegativos,quandoanaturezavirtual.Indicandosepor yey', respectivamente,asordenadas (tamanhos)doobjetoe imagem,percebeseque esses valores tm sinaiscontrrios, quando a imagem invertida em relao ao objeto, e tmmesmosinal,quandoaimagemdireitaemrelaoaoobjeto,conformeseilustranoquadroabaixo:</p><p>Objeto p&gt;0realp</p></li><li><p>21/09/2015 ESPELHOS ESFRICOS - FEIRA DE CINCIAS ... O Imperdvel !</p><p>http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_og03.asp 12/15</p><p>2ReferencialdeNewtonconstitudo, tambm,porumpardeeixoscartesianosortogonais,dispostosemrelaoaoespelhoesfrico,comoseilustranaFig.47(a)e(b):</p><p>Abscissa(x):origemnofocoprincipal,direodoeixoprincipalesentidoopostoaodaluzincidente.Ordenada(y):origemnofocoprincipal,direoortogonalaoeixoprincipalesentidoparacima.</p><p>Asabscissasnewtonianasquelocalizamoobjetoeaimagemsoindicadasporxex',respectivamenteasordenadassoyey',exatamenteasmesmasdoreferencialdeGauss.ObservequeosreferenciaisdeGaussedeNewtondiferemapenasporuma'translao'definidapelasrelaes:</p><p>x=pfex'=p'f</p><p>que so as relaes de converso de um sistema para o outro. Tendose present...</p></li></ul>

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