Exercicios Progressao Aritmetica Matematica Gabarito (1)

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1 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br Exerccios de Matemtica Progresso Aritmtica 1) (UNICAMP-2009) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma pea teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numerao consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribudos entre elas de forma aleatria. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas? b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente at a ltima fila. Determine o nmero de cadeiras da sala em funo de n, o nmero de filas que a sala contm. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n. 2) (VUNESP-2009) Um viveiro clandestino com quase trezentos pssaros foi encontrado por autoridades ambientais. Pretende-se soltar esses pssaros seguindo um cronograma, de acordo com uma progresso aritmtica, de modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pssaros, no segundo dia sete pssaros, no terceiro nove, e assim por diante. Quantos pssaros sero soltos no dcimo quinto dia? a) 55. b) 43. c) 33. d) 32. e) 30. 3) (UFSCar-2009) Uma partcula se move ao longo do primeiro quadrante do plano cartesiano ortogonal a partir do ponto (0, 0), conforme indica o grfico a seguir. Mantido o mesmo padro de movimento, a partcula atingir o ponto (50, 50), a partir do incio do deslocamento, em exatas a) 42 horas e meia. b) 38 horas. c) 36 horas e meia. d) 27 horas. e) 19 horas e meia. 4) (PASUSP-2009) Na Grcia Antiga, Pitgoras estudou vrias propriedades dos chamados nmeros figurados, como, por exemplo, os nmeros triangulares. Os primeiros cinco nmeros triangulares so: O nmero triangular T a soma dos n nmeros naturais de 1 a n. A soma da sequncia dos nmeros inteiros de 1 a n pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro termo com o ltimo igual do segundo termo com o penltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode ser obtido, somando-se o primeiro termo ao ltimo e multiplicando-se o valor encontrado pela metade do nmero de termos da sequncia. Pode-se utilizar a noo de nmeros triangulares para resolver o problema dos apertos de mo, segundo o qual, se em uma festa todos se cumprimentam uma nica vez, o nmero de apertos de mo um nmero triangular. Se forem dados 78 apertos de mo em uma festa, em que todos os presentes se cumprimentem uma nica vez, com um aperto de mo, quantas pessoas haver na festa? a) 10 b) 13 c) 16 d) 19 e) 22 5) (PASUSP-2009) Na Grcia Antiga, Pitgoras estudou vrias propriedades dos chamados nmeros figurados, como, por exemplo, os nmeros triangulares. Os primeiros cinco nmeros triangulares so: O nmero triangular T a soma dos n nmeros naturais de 1 a n. A soma da sequncia dos nmeros inteiros de 1 a n pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro termo com o ltimo igual do segundo termo com o penltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode ser obtido, somando-se o primeiro termo ao ltimo e multiplicando-se o valor encontrado pela metade do nmero de termos da sequncia. O nono nmero triangular T9 : a) 66 b) 55 c) 45 d) 36 e) 28

2 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br 6) (FUVEST-2008) Um polinmio de grau 3 possui trs razes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progresso aritmtica em que a soma dos termos igual a 59. A diferena entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz 524. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinmio 5, determinea) a progresso aritmtica.b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinmio. 7) (UNIFESP-2008) Nmeros triangulares so nmeros que podem ser representados por pontos arranjados na forma de tringulos eqilteros. conveniente definir 1 como o primeiro nmero triangular.Apresentamos a seguir os primeiros nmeros triangulares. Se Tn representa o n-simo nmero triangular, ento T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que Tn satisfaz a relao Tn = Tn-1 + n, para n = 2,3,4,..., pode-sededuzir que T100 igual a a) 5.050. b) 4.950. c) 2.187. d) 1.458. e) 729. 8) (UFSCar-2008) Observe o padro de formao das figuras numeradas. a) Sabendo-se que as figuras 1, 2 e 3 so formadas, respectivamente, por 5, 13 e 25 quadrados de rea 1cm2, calcule a rea da figura 10 da seqncia indicada. b) Seja x o nmero da figura x, e f(x) o nmero de quadrados de 1cm2 que compem essa mesma figura. Em relao funo f, determine sua lei de formao e seus conjuntos domnio e imagem. 9) (UFSCar-2008) Sejam as seqncias (75, a2, a3, a4, ....) e (25, b2, b3, b4, ....) duas progresses aritmticas de mesma razo. Se a100 + b100 = 496, ento 100100ba igual a a) 223273 b) 219269 c) 187247 d) 191258 e) 171236 10) (UNIFESP-2007) As medidas dos ngulos internos de um polgono convexo de n lados formam uma progresso aritmtica em que o primeiro termo a1 e a razo r > 0. a) Se a1 > 25 e se r > 10, obtenha o valor mximo possvel para n nas condies enunciadas. b) Se o maior ngulo mede 160 e a razo igual a 5, obtenha o nico valor possvel para n. 11) (UNIFESP-2007) Entre os primeiros mil nmeros inteiros positivos, quantos so divisveis pelos nmeros 2, 3, 4 e 5? a) 60. b) 30. c) 20. d) 16. e) 15. 12) (Mack-2007) Observe a disposio, abaixo, da seqncia dos nmeros naturais mpares. 1 linha 1 2 linha 3,5 3 linha 7,9,11 4 linha 13,15,17,19 5 linha 21,23,25,27,29 .................................... O quarto termo da vigsima linha a) 395 b) 371 c) 387 d) 401 e) 399 13) (FUVEST-2007) Em uma progresso aritmtica a1, a2, ..., an, ... a soma dos n primeiros termos dada por Sn = b.n2 + n, sendo b um nmero real. Sabendo-se que a3 = 7, determine

3 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br a) o valor de b e a razo da progresso aritmtica. b) o 20 termo da progresso. c) a soma dos 20 primeiros termos da progresso. 14) (VUNESP-2007) Um fazendeiro plantou 3960 rvores em sua propriedade no perodo de 24 meses. A plantao foi feita ms a ms, em progresso aritmtica. No primeiro ms foram plantadas x rvores, no ms seguinte (x + r) rvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no ms seguinte r rvores a mais do que no ms anterior. Sabendo- se que ao trmino do dcimo quinto ms do incio do plantio ainda restavam 2160 rvores para serem plantadas, o nmero de rvores plantadas no primeiro ms foi: a) 50.b) 75.c) 100 d) 150. e) 165. 15) (UNIFESP-2006) Se os primeiros quatro termos de uma progresso aritmtica so a, b, 5a, d, ento o quocientebd igual a a) 41 b) 31 c) 2. d) 31 e) 5. 16) (Vunesp-2006) Considere a figura ao lado, onde esto sobrepostos os quadrados OX1Z1Y1, OX2Z2Y2, OX3Z3Y3, OX4Z4Y4, ... , OXnZnYn, ... , n > 1, formados por pequenos segmentos medindo 1cm cada um. Sejam An e Pn a rea e o permetro, respectivamente, do n-simo quadrado. a) Mostre que a seqncia (P1, P2, ... , Pn,...) uma progresso aritmtica, determinando seu termo geral, em funo de n, e sua razo. b) Considere a seqncia (B1, B2, ... , Bn ,...), definida por Bn = nnPA. Calcule B1, B2 e B3. Calcule, tambm, a soma dos 40 primeiros termos dessa seqncia, isto , B1 + B2 + ... + B40. 17) (ESPM-2006) De 1995 a 2004, a populao de uma cidade vem aumentando anualmente em progresso aritmtica. Em 2004 constatou-se que o nmero de habitantes era 8% maior que no ano anterior. Pode-se concluir que, de 1995 a 2004, a populao dessa cidade aumentou em: a) 200% b) 180% c) 160% d) 100% e) 80% 18) (Vunesp-2006) A figura mostra duas semi-retas, r e s, de mesmo vrtice V, formando um ngulo de 60. Os pontos A e r e B e s so arbitrrios, diferentes de V. a) Explique por que os ngulos do tringulo AVB esto em progresso aritmtica. b) Se os lados de um tringulo medem 3 cm, 7 cm e 8 cm, mostre que seus ngulos esto em progresso aritmtica. 19) (Mack-2006) Num encontro de dirigentes esportivos, foi aprovada a realizao de um torneio A de futebol, que aconteceu, pela primeira vez, 2 anos depois, e, posteriormente, a cada 9 anos. No mesmo encontro, foi aprovada a realizao de um torneio B, que ocorreu pela primeira vez somente 9 anos depois, acontecendo, a cada 7 anos. Dessa forma, a partir da aprovao, os dois torneios ocorreram, pela primeira vez no mesmo ano, aps a) 50 anos. b) 55 anos. c) 58 anos. d) 60 anos. e) 65 anos.

4 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br 20) (Mack-2006) As medidas dos lados de um tringulo retngulo esto em progresso aritmtica. Se b a medida do maior cateto, a rea do tringulo a) 342b b) 232b c) 4b2 d) 832b e) b2 21) (UFPB-2006) Uma escada foi feita com 210 blocos cbicos iguais, que foram colocados uns sobre os outros, formando pilhas, de modoque a primeira pilha tinha apenas 1 bloco, a segunda, 2 blocos, a terceira, 3 blocos, e assim sucessivamente, at a ltima pilha, conforme a figura ao lado. A quantidade de degraus dessa escada : a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10 22) (UFC-2006) Seja f uma funo polinomial de primeiro grau, crescente e tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real. Sabendo-se que 2, 5, 8, ..., 44 uma progresso aritmtica de razo 3, o valor numrico de f(2) + f(5) + f(8) + ... + f(44) : a) 1020 b) 1065 c) 1110 d) 1185 e) 1260 23) (IBMEC-2005) Certo autor escreveu um livro com 60 captulos em 100 pginas, enumeradas de 1 a 100. Em todas as pginas mpares inicia-se pelo menos um captulo. correto afirmar que a) nenhum captulo iniciou em uma pgina par. b) h pelo menos uma pgina mpar em que dois captulos so iniciados. c) possvel que existam 11 pginas mpares em que se iniciaram dois captulos. d) a soma dos nmero das pginas em que se inicia algum captulo certamente maior do que 2000. e) em todas as pginas cujo nmero um primo menor do que 100 se inicia um captulo.