Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

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    23-Oct-2015

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<ul><li><p>1 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br </p><p>Exerccios de Matemtica Progresso Geomtrica </p><p> 1) (FUVEST-2010) Os nmeros a1, a2, a3 formam uma progresso aritmtica de razo r, de tal modo que a1 + 3, a2 </p><p> 3, a3 3 estejam em progresso geomtrica. Dado ainda que a1 &gt; 0 e a2 = 2, conclui-se que r igual a </p><p>a) 33 </p><p>b) 2</p><p>33 </p><p>c) 4</p><p>33 </p><p>d) 2</p><p>33 </p><p>e) 33 </p><p> 2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milho de reais. Para isso, fao uma aplicao financeira, </p><p>que rende 1% de juros ao ms, j descontados o imposto de </p><p>renda e as taxas bancrias recorrentes. Se desejo me </p><p>aposentar aps 30 anos com aplicaes mensais fixas e </p><p>ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em </p><p>reais, que devo disponibilizar mensalmente : </p><p>Dado: 1,01361 36 </p><p>a) 290,00. </p><p>b) 286,00. </p><p>c) 282,00. </p><p>d) 278,00. </p><p>e) 274,00. </p><p> 3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de </p><p>uma PG, de razo negativa, 2</p><p>1. Alm disso, a diferena </p><p>entre o stimo termo e o segundo termo da PG igual a 3. </p><p>Nessas condies, determine: </p><p>a) A razo da PG. </p><p>b) A soma dos trs primeiros termos da PG. </p><p> 4) (VUNESP-2009) Em uma determinada regio de floresta na qual, a princpio, no havia nenhum desmatamento, </p><p>registrou-se, no perodo de um ano, uma rea desmatada de </p><p>3 km2 e a partir da, durante um determinado perodo, a </p><p>quantidade de rea desmatada a cada ano cresceu em </p><p>progresso geomtrica de razo 2. Assim, no segundo ano a </p><p>rea total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km2. Se a rea total </p><p>desmatada nessa regio atingiu 381 km2 nos n anos em que </p><p>ocorreram desmatamentos, determine o valor de n. </p><p> 5) (Mack-2007) Em uma seqncia de quatro nmeros, o primeiro igual ao ltimo; os trs primeiros, em progresso </p><p>geomtrica, tm soma 6, e os trs ltimos esto em </p><p>progresso aritmtica. Um possvel valor da soma dos </p><p>quatro termos dessa seqncia </p><p>a) 10 </p><p>b) 18 </p><p>c) 12 </p><p>d) 14 </p><p>e) 20 </p><p>6) (Mack-2007) cotg</p><p> ...</p><p>1263 igual a </p><p>a) 3 </p><p>b) 3 </p><p>c) 3</p><p>3</p><p>d) 3</p><p>3</p><p>e) 3</p><p>32</p><p> 7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progresso geomtrica </p><p>a1,a2,a3 , , , que a1 &gt; a e a6 = 9 3 . Alm disso, a progresso geomtrica a1, a5, a9, ...tem razo igual a 9. </p><p>Nessas condies, o produto a2a7 vale </p><p>a) 27 3 </p><p>b) 3 3 </p><p>c) 3 </p><p>d) 3 3 </p><p>e) 27 3 </p><p>8) (UFC-2007) A seqncia (an)n1 tem seus termos dados </p><p>pela frmula an = 2</p><p>1n . Calcule a soma dos dez primeiros </p><p>termos da seqncia (bn)n1, onde bn = na2 para n 1. </p><p> 9) (UFC-2007) O ltimo algarismo da soma 1 + 6 + 62 + 63 + ... + 6</p><p>2006 igual a: </p><p>a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 </p><p> 10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 </p><p>com 0,1mm de espessura seguidamente dobrada ao meio, </p></li><li><p>2 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br </p><p>de forma que a dobra sempre perpendicular maior </p><p>dimenso resultante at a dobra anterior. </p><p>a) Escreva a expresso do termo geral da progresso </p><p>geomtrica que representa a espessura do papel dobrado em </p><p>funo do nmero k de dobras feitas. </p><p>b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o </p><p>formato de um paraleleppedo. Nesse caso, aps dobrar o </p><p>papel seis vezes, quais sero as dimenses do </p><p>paraleleppedo? </p><p> 11) (UFSCar-2007) O conjunto soluo da equao sen</p><p> ...</p><p>81</p><p>8</p><p>27</p><p>8</p><p>9</p><p>8= cos x, com x [0,2[, </p><p>a) 3</p><p>4,3</p><p>2 </p><p>b) 6</p><p>7,6</p><p>5 </p><p>c) 4</p><p>5,4</p><p>3 </p><p>d) 6</p><p>11,6</p><p>e) 3</p><p>5,3</p><p> 12) (VUNESP-2007) Devido ao aquecimento das guas, a ocorrncia de furaces das categorias 4 e 5 os mais intensos da escala Saffir-Simpson dobrou nos ltimos 35 anos (Veja, 21.06.2006). Seja x o nmero de furaces dessas categorias, ocorridos no perodo 1971-2005. Vamos </p><p>supor que a quantidade de furaces a cada 35 anos continue </p><p>dobrando em relao aos 35 anos anteriores, isto , de 2006 </p><p>a 2040 ocorrero 2x furaces, de 2041 a 2075 ocorrero 4x </p><p>furaces, e assim por diante. Baseado nesta suposio, </p><p>determine, em funo de x, o nmero total de furaces que </p><p>tero ocorrido no perodo de 1971 a 2320. </p><p> 13) (FUVEST-2007) Um bilogo est analisando a reproduo de uma populao de bactrias, que se iniciou </p><p>com 100 indivduos. Admite- se que a taxa de mortalidade </p><p>das bactrias nula. Os resultados obtidos, na primeira </p><p>hora, so: </p><p>Tempo decorrido (minutos) Nmero de bactrias </p><p>0 100 </p><p>20 200 </p><p>40 400 </p><p>60 800 </p><p>Supondo-se que as condies de reproduo continuem </p><p>vlidas nas horas que se seguem, aps 4 horas do incio do </p><p>experimento, a populao de bactrias ser de </p><p>a) 51.200 </p><p>b) 102.400 </p><p>c) 409.600 </p><p>d) 819.200 </p><p>e) 1.638.400 </p><p>14) (Mack-2006) Dada a matriz A = </p><p>3</p><p>10</p><p>02</p><p>1</p><p>, considere a </p><p>seqncia formada por todas as potncias inteiras e </p><p>positivas de A, isto , A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se </p><p>todas as matrizes desta seqncia obtemos uma matriz, cujo </p><p>determinante </p><p>a) 3</p><p>1</p><p>b) 4</p><p>1</p><p>c) 6</p><p>1</p><p>d) 5</p><p>1</p><p>e) 2</p><p>1</p><p> 15) (Vunesp-2006) Dado x0 = 1, uma seqncia de nmeros x1, x2, x3, ... satisfaz a condio xn = axn-1, para todo inteiro </p><p>n1, em que a uma constante no nula. a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa seqncia. </p><p>b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + ... + x8. </p><p>16) (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 &lt; x &lt; </p><p>2</p><p> , uma progresso geomtrica, cos2x vale </p><p>a) 2</p><p>1 </p><p>b) 2</p><p>3</p><p>c) - 2</p><p>1 </p><p>d) - 2</p><p>3</p><p>e) - 2</p><p>2</p><p> 17) (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemtica, props para seu filho, Joo: Voc ganhar uma viagem de </p></li><li><p>3 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br </p><p>presente, no final do ano, se suas notas, em todas as </p><p>disciplinas, forem maiores ou iguais quantidade de termos </p><p>comuns nas progresses geomtricas (1,2,4, ... ,4096) e </p><p>(1,4,16, ... ,4096). De acordo com a proposta, Joo ganhar a viagem se no tiver nota inferior a: </p><p>a) 6 </p><p>b) 7 </p><p>c) 8 </p><p>d) 9 </p><p>e) 10 </p><p> 18) (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direo ao ponto B, percorrendo, a cada </p><p>minuto, a metade da distncia que o separa do ponto B, </p><p>conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a </p><p>distncia entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro </p><p>minuto (1 perodo) ele dever se encontrar no ponto A1; ao </p><p>final do segundo minuto (2 perodo), no ponto A2; ao final </p><p>do terceiro minuto (3 perodo), no ponto A3, e, assim, </p><p>sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza </p><p>linearmente em cada perodo considerado. </p><p> a) Calcule a distncia percorrida pelo objeto ao final dos 10 </p><p>primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua </p><p>distncia ao ponto B inferior a 1 metro. </p><p>b) Construa o grfico da funo definida por f(t) = distncia percorrida pelo objeto em t minutos, a partir do instante t = 0. </p><p> 19) (UFV-2005) O interior de uma jarra um cilindro circular reto e contm V litros de gua. Se fosse retirado 1 </p><p>litro desta gua, o raio, o dimetro e a altura da gua, nesta </p><p>ordem, formariam uma progresso aritmtica. Se, ao </p><p>contrrio, fosse adicionado 1 litro de gua na jarra, essas </p><p>grandezas, na mesma ordem, formariam uma progresso </p><p>geomtrica. O valor de V : </p><p>a) 6 </p><p>b) 4 </p><p>c) 9 </p><p>d) 7 </p><p>e) 5 </p><p> 20) (UFSCar-2006) Selecionando alguns termos da PA (0, 2, 4, 6, 8, ..., n), formamos a PG (2, 8, 32, 128, ..., p). Se a PG </p><p>formada possui 100 termos, o nmero mnimo de termos da </p><p>PA </p><p>a) 2197</p><p>. </p><p>b) 2198</p><p> - 1. </p><p>c) 2198</p><p>. </p><p>d) 2198</p><p> + 1. </p><p>e) 2199</p><p>. </p><p>21) (Vunesp-2006) No incio de janeiro de 2004, Fbio montou uma pgina na internet sobre questes de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas pgina. Supondo que o nmero de visitas pgina, durante o ano, </p><p>dobrou a cada bimestre, o nmero de visitas pgina de </p><p>Fbio no primeiro bimestre de 2004 foi </p><p>a) 36. </p><p>b) 24. </p><p>c) 18. </p><p>d) 16. </p><p>e) 12. </p><p> 22) (FUVEST-2006) Trs nmeros positivos, cuja soma 30, esto em progresso aritmtica. Somando-se, </p><p>respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro </p><p>termos dessa progresso aritmtica, obtemos trs nmeros </p><p>em progresso geomtrica. Ento, um dos termos da </p><p>progresso aritmtica </p><p>a) 9 </p><p>b) 11 </p><p>c) 12 </p><p>d) 13 </p><p>e) 15 </p><p> 23) (IBMEC-2005) O departamento de arqueologia da Universidade de Oxford mantm em sua biblioteca uma </p><p>coleo de aproximadamente 500.000 papiros, todos com </p><p>mais de 1000 anos de idade, cujo contedo comeou a ser </p><p>desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma tcnica </p><p>chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela </p><p>Nasa. Se um computador, munido de um sistema de </p><p>inteligncia artificial, conseguir decifrar o contudo de cada </p><p>um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que </p><p>precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que </p><p>o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10 </p><p>anos, ento toda a coleo de papiros citada ser decifrada </p><p>em </p><p>a) aproximadamente 20 anos. </p><p>b) aproximadamente 40 anos. </p><p>c) aproximadamente 50 anos. </p><p>d) aproximadamente 80 anos. </p><p>e) aproximadamente 100 anos. </p><p> 24) (Vunesp-2005) Considere um tringulo eqiltero T1 de </p><p>rea 16 3 cm2 Unindo-se os pontos mdios dos lados desse tringulo, obtm-se um segundo tringulo eqiltero </p><p>T2, que tem os pontos mdios dos lados de T1 como </p><p>vrtices. Unindo-se os pontos mdios dos lados desse novo </p><p>tringulo obtm-se um terceiro tringulo eqiltero T3, e </p><p>assim por diante, indefinidamente. Determine: </p><p>a) as medidas do lado e da altura do tringulo T1, em </p><p>centmetros; </p><p>b) as reas dos tringulos T2 e T7, em cm2. </p></li><li><p>4 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br </p><p>25) (Vunesp-2005) Considere um tringulo eqiltero cuja medida do lado 4cm. Um segundo tringulo eqiltero </p><p>construdo, unindo-se os pontos mdios dos lados do </p><p>tringulo original. Novamente, unindo-se os pontos mdios </p><p>dos lados do segundo tringulo, obtm-se um terceiro </p><p>tringulo eqiltero, e assim por diante, infinitas vezes. A </p><p>soma dos permetros da infinidade de tringulos formados </p><p>na seqncia, incluindo o tringulo original, igual a </p><p>a) 16cm. </p><p>b) 18cm. </p><p>c) 20cm. </p><p>d) 24cm. </p><p>e) 32cm. </p><p> 26) (FMTM-2005) A soma dos infinitos termos de uma progresso geomtrica crescente igual a 13,5 e a soma dos </p><p>dois primeiros termos igual a 12. Nessas condies, o </p><p>termo numericamente igual razo da seqncia o </p><p>a) quarto. </p><p>b) quinto. </p><p>c) sexto. </p><p>d) stimo. </p><p>e) oitavo. </p><p> 27) (Fuvest-2005) Uma seqncia de nmeros reais a1, a2, a3, satisfaz lei de formao an + 1 = 6an, se n mpar, </p><p>an + 1 = 3</p><p>1 an, se n par. </p><p>Sabendo-se que a1 = 2 </p><p>a) escreva os oito primeiros termos da seqncia. </p><p>b) determine a37 e a38. </p><p> 28) (Mack-2005) Um programa computacional, cada vez que executado, reduz metade o nmero de linhas </p><p>verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem </p><p>digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024 </p><p>linhas horizontais sofreu uma reduo para 256 linhas </p><p>verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa reduo </p><p>ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k </p><p>: </p><p>a) 3 </p><p>b) 4 </p><p>c) 5 </p><p>d) 6 </p><p>e) 7 </p><p> 29) (FGV-2005) A figura indica infinitos tringulos issceles, cujas bases medem, em centmetros, 8, 4, 2, 1, ... </p><p> Sabendo que a soma da rea dos infinitos tringulos </p><p>hachurados na figura igual a 51, pode-se afirmar que a </p><p>rea do retngulo de lados h e d igual a </p><p>a) 68. </p><p>b) 102. </p><p>c) 136. </p><p>d) 153. </p><p>e) 192. </p><p> 30) (UFRJ-1999) Uma progresso geomtrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do </p><p>produto de seus termos vale 36. Ache a razo da </p><p>progresso. </p><p> 31) (Fatec-1996) Num certo jogo de azar, apostando-se uma quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes: </p><p>1) perde-se a quantia X apostada; </p><p>2) recebe-se a quantia 2X. </p><p>Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na </p><p>primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2 </p><p>centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por </p><p>diante, apostando em cada vez o dobro do que havia </p><p>apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela </p><p>perdeu. Na 21 vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia </p><p>total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21 </p><p>jogada, tem-se que Q igual a: </p><p>a) 2</p><p>T </p><p>b) T </p><p>c) 2T </p><p>d) T-1 </p><p>e) T+1 </p><p> 33) (UDESC-1996) Se o primeiro termo vale 2 e a razo 3, ento os termos gerais da Progresso Aritmtica e da </p><p>Progresso Geomtrica correspondentes so: </p><p>a) 2 + 3n e 3</p><p>2.3n</p><p>b) 2 + 3n e 2</p><p>3 1n</p><p>c) 3n - 1 e 2.3n </p><p>d) 3 + 2n e 3.2n </p><p>e) 3n - 1 e 3</p><p>2.3n</p></li><li><p>5 | Projeto Futuro Militar www.futuromilitar.com.br </p><p> 34) (PUC-SP-1997) O terceiro e o stimo termos de uma progresso geomtrica valem, respectivamente, 10 e 18. O </p><p>quinto termo dessa progresso : </p><p>a) 14 </p><p>b) 30 </p><p>c) 2 7 </p><p>d) 6 5 e) 30 </p><p> 35) (FGV-2004) Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam disputar a posse de um objeto num jogo de "cara ou coroa". </p><p>Alfredo lana 3 moedas e Bruno 2 moedas, </p><p>simultaneamente. Vence o jogo e, conseqentemente, fica </p><p>com o objeto, aquele que conseguir o maior nmero de </p><p>caras. Ocorrendo empate, a experincia ser repetida, tantas </p><p>vezes quantas forem necessrias, at que haja um vencedor. </p><p>Calcule: </p><p>a) a probabilidade de que Alfredo vena a disputa na </p><p>primeira experincia. </p><p>b) a probabilidade de que Alfredo vena a disputa. </p><p> 36) (Vunesp-2004) Considere os nmeros complexos w = 2i e z = (1 + i). </p><p>Determine: </p><p>a) z2 e (w</p><p>2 z + w), onde z indica o conjugado de z. </p><p>b) |z| e |w|. Mostre que a seqncia (1, |z|, |w|, |zw|, |w2|) </p><p>uma progresso geomtrica, determinando todos os seus </p><p>termos e a sua razo. </p><p> 37) (Unicamp-2004) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questo, a partir da segunda, o </p><p>dobro de tempo gasto para resolver a questo anterior. </p><p>Suponha ainda que, para resolver todas as questes, exceto </p><p>a ltima, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas </p><p>as questes, exceto as duas ltimas, ele tenha gasto 31,5 </p><p>minutos. Calcule: </p><p>a) O nmero total de questes da referida prova. </p><p>b) O tempo necessrio para que aquele aluno resolva todas </p><p>as questes da prova. </p><p> 38) (FGV-2003) a) O 1 termo de uma progresso geomtrica A, a razo q e o ltimo termo B. Obtenha o </p><p>nmero de termos n desta progresso, em funo de A, B e </p><p>q. </p><p>b) Um emprstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros </p><p>em parcelas mensais. A 1 parcela vale R$500,00 e, cada </p><p>parcela a partir da 2 R$50,00 superior anterior. Quantas </p><p>parcelas so necessrias para pagar a dvida? </p><p> 39) (CPCAR-2002) Uma bola abandonada de uma certa altura. At que o movimento pare, a bola atinge o solo e </p><p>volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcana 2</p><p>1</p><p>da altura em que se encontrava anteriormente. Se, depois do </p><p>terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em </p><p>que foi abandonada a bola , em metros, igual a </p><p>a) 0,8 </p><p>b) 1 </p><p>c) 8 </p><p>d) 0,5 </p><p> 40) (CPCAR-2003) Um candidato do CPCAR 2003, preparando-se para o teste de aptido fsica, exercita-se </p><p>numa esteira percorrendo 3,8 km por dia. Para um </p><p>treinamento menos cansativo, ele inicia correndo a uma </p><p>velocidade de 12 km/h e a cada 10 minutos ele reduz a </p><p>velocidade pela metade. correto afirmar que </p><p>a) o candidato completa o percurso de 3,8 km em menos de </p><p>45 minutos. </p><p>b) para percorrer a metade do percurso de 3,8 km ele gasta </p><p>mais de 10 minutos. </p><p>c) aps 30 minutos, a velocidade atingida de 6 km/h no </p><p>mnimo. </p><p>d) aos 40 minutos ele percorreu 3,5 km exatamente. </p><p> 41) (UEL-2002) A figura construda segundo a seqncia abaixo denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de </p><p>Menger. Representa um fractal gerado a partir de um cubo. </p><p>Partindo-se do cubo inicial, obtm-se outros cubos </p><p>menores, com arestas iguais a 3</p><p>1da aresta deste. O cubo </p><p>central e os cubos do centro de cada face so removidos. O </p><p>procedimento se repete em cada um dos cubos menores </p><p>restant...</p></li></ul>