Exercícios Propostos CTG - Trigonometria

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    28-Mar-2016

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Exerccios Propostos CTG - Trigonometria

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  • Fabiano Nader & Kenji Chung

    Fabiano Nader & Kenji Chung

    0

    TRIGONOMETRIA RESOLUO

    EXERCCIOS PROPOSTOS

    E1. SOLUO: De acordo com a figura, temos: (onde x a distncia pedida)

    Assim, x = 8 + 5 = 64 + 225 = 289 x = 17 metros.

    RESPOSTA: LETRA C.

    E2. SOLUO: f(x) = sen x + cos x + cotg x + cossec x tg x sec x f(60) = sen60 + cos60 + 1/tg60 + 1/sen60 - tg60 - 1/cos60 = 3/2 + + 1/3 + 2/3 - 3 2 = (3 + 3 + 2 + 4 6 - 43)/23 =( 3 -33)/23. Racionalizando: (33 9)/6 = (3 3)/2.

    RESPOSTA: LETRA B.

    E3. SOLUO: Comprimento da circunferncia (360): C = 2r Medida de um arco de circunferncia de : S = 2 r (/360) S = 2 km = 2000 m; = 300; = 3,14. Ento 2000 = 2r (300/360) 1000 = r (5/6) r = 6000/(5) = 1200/ = 1200/(3,14) 382 m.

    RESPOSTA: LETRA C.

    E4. SOLUO: Usando a relao fundamental sen x+ cos x = 1, temos: cos x + 0,6 = 1 cos x = 1 - 0,36 cosx = 0,64 cos x = 0,64 = 0,8. Mas tg = sen/cos. Logo, tg = 0,6/0,8 = 6/8 = . Voltando figura, temos: 10/ x = tg 10/x = 3x = 40 x = 40/3.

    RESPOSTA: 40/3.

    E5. SOLUO: AB + 5 = 13 AB = 12. Ento cos BC = 12/13.

    RESPOSTA: LETRA A.

    E6. SOLUO: Sendo x a distncia indicada na figura abaixo, temos:

    Cos 30 = x/4 = 3/2 x = 23 m. A distncia entre M e N : 1,5 + 23 + 1 2,5 + 21,73 2,5 + 3,4 = 5,9 m.

  • Fabiano Nader & Kenji Chung

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    RESPOSTA: LETRA C.

    E7. SOLUO: Sen60 = x/15 = 3/2 x = 153/2 (um dos catetos). O outro cateto mede y, onde cos60 = y/15 = y = 15/2. Assim, a soma das medidas dos catetos, vale: 153/2 + 15/2 = 15(3 + 1)/2.

    RESPOSTA: LETRA E.

    E8. SOLUO: Tg30 = x/200 = 0,577 x = 200(0,577) = 115,4 m. 1,5 + 115,4 = 116,7 117 metros.

    RESPOSTA: LETRA C.

    E9. SOLUO: Se sen = sen , eno = = 45. Assim, os catetos possuem a mesma medida x, e 2x = 4 x = 8 x = 22. Assim, a rea Fo tringulo A = (22)/2 = 4 cm.

    RESPOSTA: LETRA B.

    E10. SOLUO: Como CDB = 45, ento BC = 2dm, pois o tringulo BCD issceles. Calculando cada lado, temos:

    i) dmBDBD 22822222

    ==+=

    ii)

    dmABAB

    sen

    ABBDAB

    sen

    22

    2221

    2221

    30

    2230

    ===

    =

    ==

    ii)

    dmADADAD

    BDAD

    62

    3.2223

    2223

    30cos

    2230cos

    ===

    =

    ==

    RESPOSTA: LETRA C.

    E11. SOLUO: Se sen= 3/5:

    Ento x = 4 e tg = = 36/x x = 48 m.

    RESPOSTA: 48.

    E12. SOLUO:

    Sen30 = x/21 = x = 10,5 m. (10,5 = 3 3,5). Assim, estamos falando do 3 andar.

    RESPOSTA: LETRA B.

  • Fabiano Nader & Kenji Chung

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    E13. SOLUO: 1) O tringulo XZB retngulo e issceles: XZ = h 2) No tringulo BZY, como XY = 30, tem-se ZY = 30 h e tg 60 = h/(30 h) = 3 h = 303 - 3h h(3 + 1) = 303 h = 303/(3 + 1). Racionalizando: h = 45 - 153 km.

    RESPOSTA: LETRA D.

    E14. SOLUO: A partir das informaes, temos:

    Ento tg ( ) = x/5 x = 5 tg( )

    RESPOSTA: LETRA A.

    E15. SOLUO: A altura da torre ser a soma das medidas (5 + y). O valor de y ser calculado conhecendo a medida x de AB.

    i)

    mxxx

    sen

    xadjcatopcat

    tg35

    33

    .

    315

    315153

    335

    33

    30

    5.

    .

    30=====

    =

    ==

    ii)

    myy

    tg

    yx

    yadjcatopcat

    tg153.53.353

    35356035.

    .

    60====

    =

    ===

    . Logo, CD = 20m.

    RESPOSTA: 20.

    E16. SOLUO: Se a velocidade do foguete de 180 m/s, em 5 segundos ter percorrido: 5 180 = 900 m.

    Assim, estar a y metros do ponto de lanamento, onde cos60 = y/900 = y = 900 m. E ter atingido uma altura de x metros, onde sen60 = x/900 = 3/2 x = 4503 m.

    RESPOSTA: LETRA D.

    E17. SOLUO: Pela figura 1, temos: tg =10/30= 1/3 tg = 10/20= 1/2 Pela figura 2, temos: tg =h/(10+x) -->1/3 = h/(10+x) -->h = (10+x)/3 (l) tg = h/x -->1/2=h/x --> h = x/2 (ll) Igualando (l) e (ll), temos: (10+x)/3 = x/2 --> 20 + 2x = 3x --> x = 20 m, Como tg = h/x --> 1/2 = h/20 --> h = 20/2 --> h = 10 m. h+ 1,5 = 10 + 1,5 = 11,5 m, que a altura da rvore.

    RESPOSTA: 11,5 m.

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    E18. SOLUO: Se cos x = -4/5:

    y = 3. No III quadrante, sen x tambm negativo, ento sen x = -3/5. Assim, cossec x = 1/sen x = 1/(-3/5) = -5/3.

    RESPOSTA: LETRA A.

    E19. SOLUO: Sendo O o ponto (0,0), temos:

    Como AO = BO, o tringulo BOA issceles, assim OAB = 45. Olhando para o triangulo COA, temos: Tg ACO = CO/AO = 3/1 = 3. Ento ACO = 30. Mas ABO um ngulo externo do tringulo CAB, assim ABO = ACB + BAC 45 = 30 + BAC BAC = 15.

    RESPOSTA: LETRA E.

    E20. SOLUO: x + 1 = 5 x = 24 x = 26.

    cos = 1/5 sen = 26/5 tg = 26.

    Ento cos sen1 tg

    = (1/5 - 26/5)/(1 - 26) = (1 - 26)/5 1/(1 - 26) = 1/5.

    RESPOSTA: LETRA A.

    APROFUNDAMENTO

    A1. SOLUO: Sejam a, b, c e d os segmentos representados na figura:

    Ento a + b = 2 a + b = 4 (I);

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    a + c = 4 a + c = 16 (II); c + d = 5 c + d = 25 (III); b + d = x (IV) Somando (I), (II) e (III), temos: 2(a + c) + b + d = 45. Substituindo nessa equao (II) e (IV), obtemos: 2 16 + x = 45 x = 45 32 = 13 x = 13.

    RESPOSTA: LETRA C.

    A2. SOLUO: O segmento CD ser a soma dos raios das circunferncias: 3 + 8 = 11 cm. CP ser a diferena: 8 3 = 5 cm. Assim, sen x = 5/11.

    RESPOSTA: LETRA B.

    A3. SOLUO: Do enunciado, temos a figura:

    Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo ADB, temos: (AB) = (AD) + (DB) (AB) = 3 + (33) = 9 + 27 = 36 AB = 6 CM. Ainda nesse tringulo, temos: tg = DB/AD tg = 33/3 = 3 = 60 e = 60. Assim, os arcos P1FT1 e P2GT2, medem, respectivamente, 240 e 120. Portanto, o comprimento L da correia, :

    RESPOSTA: 6(pipipipi + 3 ).

    A4. SOLUO:

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    rea do tringulo BCQ: (1-x)1/2 = (1-x)/2 = (1 3 + 1)/2 = (2 - 3)/2.

    RESPOSTA: LETRA C.

    A5. SOLUO: Pela figura, temos:

    tg = AB/CB = AB/1 AB = tg. cos = CB/CA = 1/(1 + DA) 1 + DA = 1/cos da = sec - 1. Assim, o permetro de ABD, ser: tg + + sec - 1.

    RESPOSTA: tg + + sec - 1.

    A6. SOLUO: A menor distncia do barco ao farol o segmento de reta perpendicular a direo AB que forma os tringulos retngulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distncia do barco ao farol e seja x a distncia do barco ao ponto B. A razo trigonomtrica y / x a tangente do ngulo de 60. De modo anlogo, a razo y / (1000 + x) a tangente de 30. Como a tg60 = 3 e tg30 = 3/3, vem que, y = x3 . Ento, (3/3)/3 = y/(1000 + x) = (x3) /(1000 + x) 1000 + x = 3x 1000 = 2x , logo x = 500. Assim, y = 5003.

    RESPOSTA: LETRA B.

    A7. SOLUO: Como o tringulo retngulo, a medida da mediana relativa hipotenusa igual metade da hipotenusa. Isso pode ser observado pela figura:

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    De acordo com o enunciado, x = (ab). Por Pitgoras: a + b = 4x a + b = 4ab a - 4ab + b = 0. Ento

    . Considerando a > b a = b(2 + 3). Portanto:

    .

    RESPOSTA: LETRA C.

    A8. SOLUO: Os dois corredores percorrem a mesma distncia, pois como um percorre uma semicircunferncia de raio 2R, o outro percorre uma circunferncia de raio R. O corredor que percorre a semicircunferncia de raio 2R, quando percorrer 3/4 do seu trajeto, ir parar no ponto S, sendo que o ngulo SB = 45. O outro corredor, quando percorrer 3/4 do seu trajeto, ir parar no ponto R, sendo RQO = 90.

    RS = OS OR = 2R R 2 = 2R 1,4R = 0,6R.

    RESPOSTA: LETRA B.

    A9. SOLUO: Sabemos que cosx + senx = 1. Ento de (cos x + sen x) + ksen xcos x 1 = 0, temos: (cos x + sen x) + k sen x cos x = 1 cosx + 2senxcosx + senx + ksenxcosx = 1 senx + cosx + 2senxcosx + ksenxcosx = 1 1 + 2senxcosx + ksenxcosx = 1 ksenxcosx = - 2senxcosx k = - 2

    RESPOSTA: LETRA B.

    A10. SOLUO: n arco 0..........10 1..........82 2.........154 3.........226 4.........298 5........370 = 10

    So cinco pontos distintos: a figura de um pentgono regular.

    RESPOSTA: LETRA C.

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