(Fiche technique intégrales) - ?· Fiche technique : intégrales 1. Calculer une intégrale. La difficulté…

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    13-Sep-2018

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  • Fiche technique : intgrales

    1. Calculer une intgrale. La difficult principale est une intgrale comportant des produits ou des quotients. Dans ce cas, il y a deux techniques principales : les composes et lintgration par parties. Les composes : elles se basent sur la proprit suivante : si ( )f x a pour primitive ( )F x ,

    alors ( )f ax b+ a pour primitive 1 ( )F ax ba

    + et [ ]'( ) ( )u x f u x a pour primitive [ ]( )F u x .

    Ainsi : 7x a pour primitive 81

    8x donc 7(5 3)x + a pour primitive 81 1 (5 3)

    5 8x + et

    7cos( ) sin ( )x x a pour primitive 81 sin8

    x (ici 7( )f x x= et ( ) sin( )u x x= ). Pour appliquer

    ce procd, il faut reconnatre une nouvelle variable ( ( )u x ) et sa drive. La drive doit tre en facteur multiplicatif. Sont de cette nature les primitives suivantes :

    cossin xxe ,

    11

    ln lnx

    x x x

    =

    , 2 5

    2 1

    ( 3)

    x

    x x

    ++ +

    , 1x

    x

    e

    e x

    ++

    , cos(ln )x

    x,

    Sont sous cette forme constante multiplicative prs les primitives suivantes : xe

    x, 2cos( 1)x x + ,

    2

    3 2

    x

    x +, sin(2 )cos(2 )x x , tan x ,

    Les intgrations par parties : Elles utilisent la formule [ ]' 'b b

    b

    aa a

    u v uv uv= . Pour les

    appliquer, il faut avoir un produit (ou un quotient) dans lequel on connat une primitive dun des facteurs. Quand on fait une intgration par parties, par ordre de priorit : On drive les logarithmes On drive les puissances Se calculent ainsi :

    23

    1

    lnx xdx , 1

    2

    0

    xxe dx , 2

    0

    cos(2 ) xx e dx

    ,

    2. Encadrer, majorer. On utilise essentiellement les trois proprits suivantes ; Positivit de lintgrale :

    Si pour tout x de [a ; b] ( ) 0f x (et si a b), alors ( ) 0b

    a

    f x dx

    Ingalit de la moyenne :

    Si pour tout x de [a ; b] ( )m f x M (et si a b), alors ( ) ( ) ( )b

    a

    m b a f x dx M b a

    La moyenne de f sur [a ; b] est le nombre 1

    ( )b

    a

    f x dxb a

    .

    Comparaison dintgrales :

  • Si pour tout x de [a ; b] ( ) ( )f x g x (et si a b), alors ( ) ( )b b

    a a

    f x dx g x dx .

    Exemple : montrer que 1

    0

    0 1x

    dx

    x e

    +

    Attention : ces trois thormes sont en sialors, il ne faut absolument pas employer dquivalences quand on les utilise. 3. Suites dintgrales. Il y a deux possibilits : soit on intgre sur un intervalle variable, par exemple

    1 1

    1 ln

    n

    n

    n

    I dxx

    +

    =+

    , soit on intgre une fonction variable, par exemple 1

    0

    n xnJ x e dx= . Dans

    tous les cas, il faut bien distinguer ce qui se passe pour la variable x et ce qui se passe pour la variable n. En rgle gnrale, on ne cherche pas calculer les intgrales, mais on utilise les proprits de lintgrale pour tudier le sens de variation ou la limite de la suite. On peut parfois avoir recours une intgration par parties pour obtenir une formule de rcurrence. Pour les suites prcdentes :

    Montrer que, pour tout entier n, 1 1

    1 ln( 1) 1 ln( )nI

    n n

    + + +, en dduire le sens de

    variation et la limite de (In) Etudier le sens de variation de (Jn).

    Montrer que pour tout entier n, 1

    1 1ne

    Jn n

    + +

    , en dduire la limite de (Jn)

    4. Fonctions dfinies par une intgrale

    Le thorme fondamental : la fonction F dfinie par ( ) ( )x

    a

    F x f t dt= est la primitive de la

    fonction f qui sannule en a. Quand une fonction est dfinie par une intgrale, on peut tudier ses variations sans calculer lintgrale. De nouveau, il y a deux, variables, x et t, il faut faire trs attention. Par exemple :

    Posons 0

    ( )x

    t

    dtF x

    e t=

    .

    On peut remarquer que, que, quel que soit le rel t, 1te t + (on montre ce rsultat en tudiant la fonction ( ) 1tg t e t= ), donc te t ne sannule jamais et F est dfinie sur . Quelle est la drive de F ? Quelles sont les variations de F ? Quel est le signe de F ? Pour x < 0 , on ne peut pas utiliser les thormes de comparaison directement (cest le

    problme des bornes), donc on crit 0

    ( )t

    x

    dtF x

    e t=

    .

    Pour tout t de [x ; 0], montrer que 1 1 1

    1 tt e t t

    (on rappelle que x < 0), en dduire

    que 0

    ln(1 )t

    x

    dtx

    e t

    et la limite de F en .

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