Filtri FIR IIR

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    22-Jul-2015

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Capitolo 8Filtri Digitali FIRe IIRI ltri digitali che studiamo in questo capitolo sono particolari sistemi LTI causali a tempodiscreto. Essi possono essere implementati e simulati su macchine digitali (microprocessorio processori specializzati come i DSP); per molti anni addirittura essi sono risultati la picomune applicazione dei DSP.Il vantaggio sui ltri analogici duplice:essi possono essere riprogrammati via software sullo stesso hardware;possibilemodicareintemporealeicoefcientideiltri, ottenendo intalmodoltri adattativi.Iprincipalitipidiltridigitalisono iltri FIR(FiniteImpulseResponse)eIIR(InniteImpulseResponse). Tecnicamente, un ltro FIR un sistema LTI causale con risposta nitaallimpulso; lafunzionedi trasferimentodi unltroFIRrisultaessereunpolinomioinz1. Con ltri IIR invece, intendiamo quella sottoclasse dei sistemi LTI causali con rispostaanche innita allimpulso, dotati di una funzione di trasferimento razionale in z1.Nelle applicazioni pratiche, il ltro FIR da preferire quello IIR dove vi sia richiesta difase lineare, altrimenti, se la distorsione in fase tollerabile, si preferisce luso di ltri IIRperch comportanounminornumerodi parametri, menomemoriaeminorcomplessitcomputazionale.Nel primoparagrafosi introduconoledenizioni di ltri FIReIIR, discutendonevantaggi e svantaggi:199200 Filtri Digitali FIRe IIRun ltro FIR sempre stabile e pu avere fase lineare;un ltro IIR pu essere instabile e non ha in generale fase lineare; essi possono tuttaviaaverealcunecaratteristiche(bandaditransizione, attenuazione)migliori rispettoaquelle dei ltri FIR.Si discute poi la realizzazione di ltri mediante reti i cui elementi costitutivi sono ope-ratori di somma, moltiplicazione per costante e ritardo temporale. Il progetto di queste reti agevolato da propriet composizionali quali:lafunzionedi trasferimentodel sistemaottenutodallacascatadi duereti ilprodotto delle funzioni di trasferimento dei sistemi realizzati dalle singole reti;lafunzionedi trasferimentodel sistemaottenutodallasommadi duereti lasomma delle funzioni di trasferimento dei sistemi realizzati dalle singole reti.Nel quartoparagrafovengono introdotte alcunetecnichediprogetto diltridigitali.Vengono analizzati i principali parametri utilizzati nella progettazione aiutata da strumentiCAD; si mostra poi una semplice tecnica di realizzazione di ltri digitali IIR a partire daquelli analogici e si discute in dettaglio la tecnica di progetto di ltri FIR col metodo dellenestre.Ilcapitolosiconcludeconuncennoai principali tipidi rumoreintrodottodalfattochesegnali esistemi inerentementeanalogici vengonotrattati contecnichedigitali. Inparticolare, vienediscussoil rumoreprodottodallaquantizzazionedel segnale, quellodovutoallaquantizzazionedei coefcienti equellocausatodai troncamenti nel calcolodigitale.8.1 Filtri FIR e IIR CausaliLa causalit, sinonimo di realizzabilit, ha implicazioni importanti sul comportamento infrequenza del ltro che meritano di essere discusse brevemente.Il progettodi ltri FIReIIRcausali consisteneldeterminarnei coefcienti median-te speciche formulatenormalmente nel dominiodelle frequenze,espresse intermini diampiezza e fase della risposta del ltro desiderata. Questa attitudine non garantisce tut-tavia che una determinata risposta in frequenza produca una risposta allimpulso causale.Sebbene non vi sia una soluzione generale al problema, si possono individuare condizioninecessarie o almeno sufcienti ponendo restrizioni sulla risposta in frequenza.Paley e Wiener (1934) hanno dimostrato che, se una sequenza h(n) nulla pern< 0 eha energia nita, cio +n=0 |h(n)|2< +, allora la sua trasformata di Fourier verica:_| ln |H(ei)||d< +.Viceversa, se |H(ei)| quadrato integrabile, cio_|H(ei)|2d < +eselacondizionedi Paley-Wiener rispettata, allorasemprepossibileassociarealmodulodi H(ei) unarispostainfase () inmodotalecheil ltroconrispostainfrequenzaH(ei) = |H(ei)|ei()8.1. Filtri FIR e IIR Causali 201sia causale. Unimportante conseguenza di questo risultato che un ltro causaleha unrisposta in frequenza che non pu essere nulla su una banda nita, il che conferma la noncausalit del ltro ideale.In aggiunta alla suddetta condizione, la causalit impone anche una relazione forte trala parte reale HR(ei) e la parte immaginaria HI(ei) di H(ei). La spiegazione deriva dalladecomposizione della sequenza h(n) in due sequenze: una pari hp(n) e una dispari hd(n),denite come segue:hp(n) =12[h(n) + h(n)], hd(n) =12[h(n) h(n)]. indubbio che un segnaleh(n), nullo per pern< 0, coincide con la sequenza parihp(n)associata o alla sequenza dispari hd(n) associata pi h(0). Ne consegue che le due sequenze,quella pari e quela dispari associate a h(n), non sono tra loro indipendenti.Poich si pu mostrare che le trasformate dihp(n) ehd(n) risultano essere rispettiva-mente:hp(n)Fd HR(ei), hd(n)Fd HI(ei)si deducechesussisteunarelazionedi interdipendenzaanche traleduetrasformateHR(ei) eHI(ei).Riassumendo, la causalit ha importanti implicazioni sul progetto e la realizzazione diltri digitali:la risposta in frequenzaH(ei) non pu essere zero eccetto che in un insieme nitodi punti;lampiezza|H(ei)| della risposta in frequenza non pu essere costante su una ban-da nita di frequenze;le bande passante e proibita presentano oscillazioniche nonpossonoessereeliminateacausadel troncamentooperatosuh(n) (fenomenodiGibbs);la parte realeHR(ei) e la parte immaginariaHI(ei) diH(ei) sono tra loro interdi-pendenti, di conseguenza il modulo |H(ei)| e la fase(ei) diH(ei) non possonoessere scelti arbitrariamente.8.1.1 Filtri FIR e Filtri a Fase LineareRichiamiamo che un sistema LTI causale a tempo discreto detto ltro FIR se la rispostah(n)allimpulsounitario nita nel senso cheh(n)=0 pern 0. Il rapporto ingresso-uscita allora descritto dalla seguente equazionealle differenze nite:y(n) =M1k=0h(k)x(n k). (8.1)Passando alle trasformate z e applicando la propriet della traslazione temporale, si ottiene:Y(z) =H(z)X(z),doveH(z) =M1k=0h(k)zkeX(z), Y(z)sono letrasformatezrispettivamente di x(n)ey(n). Si osservi cheH(z) un polinomio in z1.Le caratteristiche pi interessanti dei ltri FIR sono le seguenti:202 Filtri Digitali FIRe IIR1. Un ltro FIR sempre causale e stabile;ci pu essere rilevato dal fatto cheH(z) un polinomio in z1, e quindi ha un solo polo in z = 0, di fatto interno alla cerchio diraggio 1.2. Un ltro FIR pu avere fase lineare: se la funzione h(n) simmetrica o antisimmetricarispetto a (M1)/2 (cio h(k)= h(M1 k) oppure h(k) = h(M1 k)), allorala fase H(ei) lineare.Infatti, se h(k) = h(M1 k):H(ei) =M1k=0h(k)eik=M1k=0h(k)eik+ ei(M1k)2= ei M12M1k=0h(k)ei( M12k)+ ei( M12k)2= ei M12M1k=0h(k) cos_M12k_.Poich M1k=0h(k) cos_M12k_ un numero reale, la fase risulta lineare:H(ei) = M12.Analogamente, se h(k) = h(M1 k), si ottiene:H(ei) = iei M12M1k=0h(k) sin_M12k_.Osservando che i = ei/2, si ottiene:H(ei) = M12 +2 .In Figura 8.1 sono rappresentate le risposte allimpulso di due ltri FIR a fase lineare,uno antisimmetrico, laltro simmetrico.8.1.2 Filtri IIRConsideriamooraunsistemaLTIincui larelazioneingresso-uscitavericalaseguenteequazione alle differenze nite:L1k=0aky(n k) =M1k=0bky(n k) (aL1= 0).Osserviamo che seL = 1 lequazione precedente denisce un ltro FIR.SeinveceL >1, lequazioneprecedente noningradodispecicareunivocamenteilsistema: passandoinfattialletrasformatezeapplicandolapropriet dellatraslazionetemporale, si ottiene:Y(z) =H(z)X(z),8.1. Filtri FIR e IIR Causali 203(a) (b)h(n)h(n)M+12n 0M+12M1 M1n 0Figura 8.1(a) Rispostaallimpulsodi unltroafaselineareantisimmetrico. (b)Risposta allimpulso di un ltro a fase lineare simmetrico.doveH(z)=M1k=0bkzkL1k=0akzkeX(z), Y(z) sono le trasformatez rispettivamente di x(n) ey(n).PoichH(z)unafunzionerazionaleinz1dotatadi poli distinti da0, possiamode-scrivere pi sistemi caratterizzatidallastessa funzioneH(z)ma aventi diverse corone diconvergenza. Solounodi essi tuttavia, ecioquellocontenente, causale. Possiamoallora dare la seguente:Denizione 8.1. Un ltro IIR un sistema LTI causale tale che la relazione ingresso-uscita vericalequazione ricorsiva alle differenze nite:L1k=0aky(n k) =M1k=0bky(n k) (aL1= 0, L > 1).Come abbiamo visto sopra, la funzione di trasferimentoH(z) di un ltro IIR H(z) =M1k=0bkzkL1k=0akzk ; lapresenza di poli distinti da 0 comporta che, se illtro causale, la rispostah(n) allimpulso unitario nulla pern< 0, ma risulta diversa da 0 per innitin positivi:la fase di questi ltri non pu mai essere lineare.Esempio 8.1.1.IltroIIRdescrittodallequazioney(n) + ay(n 1) =x(n)ammettelafunzioneditrasferimentoH(z) =11+az1ecoronadi convergenza|z| >|a|, poichil poloinz =a. IntaleregionevalecheH(z) =+n=0 anzn, quindi larispostaallimpulsounitario del ltro :h(n) =_0, n < 0an, n 0 .La risposta allimpulso non nita e il ltro stabile solo se |a| < 1.Lesempioprecedentemostrache, contrariamenteaquantoaccadeperltri FIR, unltro IIR pu non essere stabile; ulteriormente, mentre esistono ltri FIR con fase lineare,la fase di un ltro IIR non mai lineare.Questi svantaggi sono compensati in vari casi dalla maggior semplicit realizzativa deiltri IIR rispetto ai ltri FIR e dalle migliori caratteristiche di attenuazione a parit di ordinedelle equazioni.204 Filtri Digitali FIRe IIR8.2 Applicazioni di Filtri FIR e IIR8.2.1 Zeri di Filtri a Fase Lineare: i Filtri COMBUn ltro FIR ha funzione di trasferimento del tipoH(z) =P(z)zM,doveP(z)unpolinomiodigradoMacoefcientireali. Amenodiunacostante mol-tiplicativa, il ltrovienealloraunivocamentedeterminatodagli zeri di P(z), ciodallesoluzione dellequazioneP(z) = 0.Sia z1 una radice di P(z); essendo i coefcienti di P(z) reali, ricordiamo che o z1 realeo z1 complesso, ma allora il suo coniugato z1 unaltra radice diP(z).Il seguente risultato caratterizza i ltri FIR con fase lineare, in termini dei loro zeri:Fatto 8.1. Sia dato un ltro FIR con funzione di trasferimentoH(z) =P(z)zM.Allora le due seguentiproposizionisono equivalenti:1. il ltro ha fase lineare;2. se rei uno zero diP(z), allora anche1rei uno zero diP(z).Nesegueinp