Fscia 1 completo

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C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3Maria Antonieta T. de AlmeidaVolume 3 - Mdulo 33 edioIntroduo s Cincias Fsicas 1Apoio:Apoio:FaperjFaperj - Fundao Carlos Chagas Filho de Amparo Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro- Fundao Carlos Chagas Filho de Amparo Pesquisa do Estado do Rio de JaneiroMaterial DidticoA447iAlmeida, Maria Antonieta T. de. Introduo s cincias fsicas 1. v.3 / Maria Antonieta T. deAlmeida. 3.ed. Rio de Janeiro : Fundao CECIERJ, 2006. 185p.; 21 x 29,7 cm. ISBN 85-7648-195-2 1. Movimentos. 2. Vetores. 3. Cinemtica vetorial. 4. Leis deNewton. I. Ttulo.CDD: 530.1Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.Copyright 2005, Fundao Cecierj / Consrcio CederjNenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.ELABORAO DE CONTEDOMaria Antonieta T. de AlmeidaEDITORATereza QueirozCOORDENAO EDITORIALJane CastellaniCOORDENAO DE DESENVOLVIMENTOINSTRUCIONALCristine Costa BarretoCOORDENAO DE LINGUAGEMMaria Anglica AlvesDESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALE REVISOAlexandre Rodrigues AlvesMrcia PinheiroNilce P. Rangel Del RioREVISO TIPOGRFICAEquipe CEDERJCOORDENAO GRFICAJorge MouraPROGRAMAO VISUALKaty ArajoVera AbreuILUSTRAOFbio Muniz de MouraMorvan de Araujo NetoCAPAEduardo BordoniFbio Muniz de MouraEDITORAO DE FRMULASGiuseppe Luigi ToscanoPRODUO GRFICAAna Paula Trece PiresAndrea Dias FiesRua Visconde de Niteri, 1364 - Mangueira - Rio de Janeiro, RJ - CEP 20943-001Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725Fundao Cecierj / Consrcio CederjVice-Presidente de Educao Superior a DistnciaPresidenteCelso Jos da CostaCarlos Eduardo BielschowskyDiretor Material DidticoCarlos Eduardo BielschowskyCoordenao do Curso de FsicaLuiz Felipe Canto2006/2Universidades ConsorciadasGoverno do Estado do Rio de JaneiroSecretrio de Estado de Cincia, Tecnologia e InovaoGovernadoraWanderley de SouzaRosinha GarotinhoUENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DONORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Raimundo Braz FilhoUERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Nival Nunes de AlmeidaUNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADODO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania TuttmanUFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURALDO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta MirandaUFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio TeixeiraUFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Ccero Mauro Fialho RodriguesC E D E R J 9AULA 21 MDULO 3MDULO 3 As medidas experimentais e as observaes terrestresRecomeando... ......................................................................................................................... 9Aula 1 A descrio do movimentoIntroduo ..................................................................................................................... 11O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos? ............................... 12Partculas e suas trajetrias ........................................................................................... 13Referncias, observadores e sistemas de coordenadas .................................. 16Leituras e exerccios 1 ................................................................................... 17Vetores .......................................................................................................... 19Exerccios 2 ................................................................................................... 31Exerccios programados 5 .............................................................................................. 32Gabarito ...................................................................................................................... 33Aula 2 Os vetores e suas basesIntroduo ..................................................................................................................... 37O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais? .............................. 38Decomposio de vetores ............................................................................................. 39Exerccios 3 .................................................................................................. 48Exerccios programados 6 .............................................................................................. 50Gabarito ...................................................................................................................... 52Aula 3 Cinemtica vetorialIntroduo .................................................................................................................... 55O que sei sobre os vetores cinemticos e suas relaes com as trajetrias? ................. 56Vetores cinemticos ....................................................................................................... 57Vetor deslocamento ........................................................................................ 58Vetor posio ................................................................................................ 59 Leituras e exerccios 4 ................................................................................... 61Vetor velocidade ........................................................................................... 62Vetor acelerao ........................................................................................... 67Movimento unidimensional .......................................................................................... 70Componentes dos vetores cinemticos ......................................................... 70Signifi cado geomtrico da componente da velocidade e da aceleraono movimento unidimensional ...................................................................... 70Problema inverso ......................................................................................................... 74Movimento retilneo uniforme ....................................................................................... 75Movimento retilneo uniformemente acelerado ............................................................. 76Leituras e exerccios 5 ................................................................................................... 78Exerccios programados 7 .............................................................................................. 79Gabarito ...................................................................................................................... 80Introduo s Cincias Fsicas 1SUMRIOVolume 3 - Mdulo 3Aula 4 O que muda o movimento Prtica 1 ............................................................................................................................ 83Aula 5 Leis de NewtonIntroduo ...................................................................................................................... 89O que sei sobre as leis do movimento e as foras? ...................................................... 90Foras e suas caractersticas ......................................................................................... 91Defi nio .......................................................................................................... 91Foras de contato ............................................................................................ 92Foras de ao a distncia ............................................................................... 95As interaes fundamentais da Natureza ........................................................ 97 Intensidade, direo e sentido de uma fora ................................................... 98Identifi cando as foras que atuam sobre corpos ............................................. 99Leituras e exerccios 6 ................................................................................................ 100As Leis de Newton ............................................................................................ 102Primeira Lei de Newton ................................................................................ 102As idias de Galileu sobre o movimento ....................................................... 103Inrcia ........................................................................................................... 104A Primeira Lei de Newton ............................................................................. 105Leituras e exerccios 7 .................................................................................. 110 Segunda Lei de Newton ..................................................................................... 112Leituras e exerccios 8 .................................................................................................118Terceira Lei de Newton ...................................................................................... 119Leituras e exerccios 9 ................................................................................................ 123Exerccios programados 8 ............................................................................................124Gabarito ....................................................................................................................126Aula 6 Outros tipos de movimentoIntroduo ................................................................................................................... 135O que sei sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos?........137Conhecendo melhor as foras gravitacionais ...............................................................138Conhecendo melhor a fora de atrito ..........................................................................139Leituras e exerccios 10 ...............................................................................................141Cinemtica do movimento de um projtil e do movimento circular ............................142Trajetrias parablicas ..................................................................................150Leituras e exerccios 11 ...............................................................................................152Movimento circular ........................................................................................153Explicando a Terceira Lei de Kepler ................................................................156Movimento de corpos onde atuam foras impulsivas ..................................................157Leituras e exerccios 12 ................................................................................................159Exerccios programados 9 ............................................................................................160Gabarito ......................................................................................................................162Aula 7 A fl utuao dos corpos .............................................................................................169Prtica 2 .......................................................................................................................169E para terminar... .................................................................................................................177ComplementosComplemento 1 O centro de massa .........................................................................179Complemento 2 Propagao de erros .......................................................................181Complemento 3 Construo de um grfi co ...............................................................185Referncias Bibliogrfi cas ..............................................................................................187Agradecimentos ...................................................................................................................189C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3Recomeando...As medidas experimentais e as observaes terrestresVoc est recebendo agora o material referente ao terceiro mdulo da nossadisciplina.No Mdulo 2, tentamos entender de forma qualitativa e descritiva fenmenosassociados aos corpos celestes do Sistema Solar. Aprendemos que todos os planetasgiram em torno do Sol em rbitas elpticas, que a inclinao do eixo da Terra emrelao sua rbita em torno do Sol a responsvel pelas estaes do ano; que asfases da Lua esto associadas ao seu movimento em torno do Terra; que as marsdependem das posies da Lua (em maior escala) e do Sol (em menor escala) emrelao Terra; que o sistema solar surgiu de um colapso gravitacional de umanuvem de gs e poeira em rotao etc.Neste mdulo, estamos interessados em descrever quantitativamente osmovimentos de sistemas simples e entender as suas causas. Nele, iniciaremos oestudo da teoria denominada Mecnica da Partcula.A escolha dos conceitos relevantes para a descrio dos movimentos e oestabelecimento das leis que explicam suas causas constituem um exemplobelssimo de modelagem da Natureza construda por cientistas brilhantes comoKepler, Galileu, Newton etc. As Leis da Mecnica da Partcula foram apresentadaspor Newton no seu livro Philosophiae naturalis principia mathematica.As aulas deste mdulo devem ser complementadas por leituras e exercciosdos livros de Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga: Fsica volume nico, e do Gref:Fsica 1.Este mdulo foi programado para ter durao mdia de trs semanas e meia. constitudo de sete aulas, iniciado por este texto, Recomeando...(que voc estlendo agora) e acaba no E para terminar...As aulas so:1. A descrio dos movimentos2. Os vetores e suas bases3. Cinemtica vetorial4. O que muda o movimento5. Leis de Newton6. Outros tipos de movimento7. A fl utuao dos corposAo fi nal do mdulo, voc encontrar tambm um complemento sobre o centrode massa, outro complemento sobre incertezas experimentais e a bibliografi a.Nas Aulas de 1 a 3 sero introduzidos os conceitos necessrios descrio dosmovimentos: referenciais, partculas, trajetrias, vetor deslocamento, vetor posio,vetor velocidade e vetor acelerao. A construo da trajetria de uma partcula a partir do conhecimento da sua posio inicial e da sua velocidade inicial serrealizada qualitativamente e de forma geomtrica.A Aula 4 um experimento que tem como fi nalidade mostrar que as foras so vetores.Na Aula 5 sero discutidas as causas dos movimentos e enunciadas as Leisde Newton. Elas so a base da Mecnica da Partcula. Sero apresentados alguns exemplos simples da aplicao dessas leis.Na Aula 6 sero analisados movimentos planos, com as Leis de Newton.A Terceira Lei de Kepler ser demonstrada para rbitas circulares. Os conceitos de quantidade de movimento e de fora mdia necessrios descrio de colisestambm sero apresentadosA Aula 7 uma prtica que tem como fi nalidade discutir as caractersticas da fora empuxo e fazer medidas de massas, volumes, densidades etc.O material para os experimentos a serem utilizados no plo j est disponvel, e os tutores o conhecem bem.Os principais conceitos abordados so: referencial partcula trajetria vetor deslocamento vetor posio vetor velocidade vetor acelerao forasPara acompamhar as discusses feitas, voc precisa conhecer as idias bsicasde trigonometria e geometria, saber manipular funes trigonomtricas simples eexpresses algbricas elementares.A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 111A descrio do movimentoObjetivoDefi nir alguns dos conceitos necessrios para descrever os movimentos: referenciais, trajetrias e vetores.IntroduoEstamos cercados por corpos que se movimentam. A ma que cai damacieira, a Lua que gira em torno da Terra, a Terra que gira em torno do seu eixoe translada em torno do Sol etc. Descrever e descobrir as causas dos movimentosdos corpos o objetivo da Mecnica.Nesta aula defi niremos alguns dos conceitos necessrios para a descriodos movimentos. Ela composta por quatro partes:O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos? umquestionrio que tem como fi nalidade levantar as suas idias prvias sobre o assunto.Partculas e suas trajetrias um texto que discute estes conceitos.Referncias, observadores e sistemas de coordenadas um texto que discuteestes conceitos.Vetores um texto onde so discutidos os vetores e suas propriedades.Leituras e exerccios 1 so textos e exerccios sobre os conceitos tratadosnesta aula, dos livros Mecnica 1 (Gref) e Fsica Volume nico (AntonioMximo e Beatriz Alvarenga).Bom trabalho!A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 12O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos?As questes apresentadas a seguir tm como fi nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre partculas, trajetrias e vetores.Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre partculas, trajetrias e vetores antes edepois de trabalhar esta aula importante para o seu aprendizado.Questionrio 11. O que uma partcula? 2. Quando um corpo pode ser tratado como partcula? D exemplos.3. O que a trajetria de uma partcula?4. O que um referencial?5. O que um observador?6. O que so coordenadas cartesianas planas?7. O que so coordenadas cartesianas tridimensionais?8. Qual a defi nio do vetor deslocamento?9. Qual a regra para somar vetores?10. Qual a regra para multiplicar um vetor por um nmero real?11. Quais as propriedades da soma de vetores e da multiplicao de um vetor por um nmero real?A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 113Todo movimento relativo, isto , depende de quem observa.A escolha do ponto de observao muito importante na descrio dosmovimentos dos corpos. Por exemplo, em um parque de diverses, a carrocinha(objeto de estudo) do pipoqueiro est em repouso para a criana (observador 1)que espera pacientemente a sua pipoca, est se deslocando em linha reta para a me(observador 2) que acompanha o fi lho no passeio do trenzinho e est girando emalta velocidade para o adolescente (observador 3) que est no crculo da morte.Partculas e suas trajetriasNa Aula 2 do Mdulo 2 foram apresentadas as teorias de Ptolomeu eCoprnico sobre o Sistema Solar. A Teoria de Ptolomeu afi rma que o Sol e todosos planetas giram em torno da Terra e a Teoria de Coprnico diz que so osplanetas que giram em torno do Sol. Uma pessoa com pouca cultura cientfi ca aoser questionada se a Terra que gira em torno do Sol ou se o Sol que gira emtorno da Terra responder que o Sol que gira em torno da Terra. Todos os dias,todos observam o Sol se deslocar no cu do Leste para o Oeste. Afi nal de contas, a Terra que gira em torno do Sol ou o Sol que gira emtorno da Terra? As duas respostas esto corretas, porque a pergunta est incompleta.Para se descrever o movimento de um corpo necessrio se defi nir o que (objetode estudo) est se observando e quem (observador) est observando. Na perguntaanterior, o observador no foi especifi cado. Para um observador fi xo na Terra, o Sol que gira em torno da Terra. Todavia, para um observador fi xo no Sol aTerra que gira em torno do Sol.O que incorreto dizer que todos os planetas e o Sol giram em crculos emtorno da Terra. Na Aula 1 do Mdulo 2, foi apresentado o argumento utilizadopor Galileu para demonstrar que a rbita de Vnus em torno da Terra no podiaser circular.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 14Portanto, podemos concluir que a descrio de um movimento diferente paradiferentes observadores, isto , todo movimento relativo a um observador.Alm disso, existem pontos de observao onde a descrio do movimento mais simples. No caso do nosso exemplo, ele mais simples para o meninoque est esperando a pipoca. Por isso, quando for possvel, escolheremos oponto de observao que permita a descrio mais simples do movimento.Do ponto de vista prtico, nem sempre possvel analisar o movimento de um pontode observao onde a sua descrio a mais simples. Por exemplo, na ocasio em que foram feitos os estudos para descobrir qual era o movimento dos planetas, asobservaes s eram possveis da Terra. No entanto, a descrio do movimentodos planetas mais simples com o ponto de observao no Sol. Um corpo pode ter um movimento simples, como no caso de um pequenopedao de giz que arremessado por um estudante para atingir o seu colega declasse, ou um movimento mais complicado, como um atleta de saltos ornamentaisque se encolhe aps pular de um trampolim. O giz se desloca no espao sem girare sem se deformar e o atleta se desloca no espao girando e deformando.Figura 1 Movimento de translao. Figura 2 Movimento de translao e rotao.PARTCULATRAJETRIAABABNesta aula, defi niremos os conceitos relevantes para a descrio dosmovimentos de corpos que se deslocam no espao sem girar e sem deformar(Figura 1). Neste caso, o conhecimento da forma do corpo e do movimento deum dos seus pontos (por exemplo, do ponto A) permite a descrio completa doseu movimento (Figura 1). Dizemos nesse caso que o corpo pode ser tratado comouma partcula.PARTCULA um modelo utilizado na descrio do movimento de um corpoem que se supe que toda a massa do corpo est em um ponto. A linha geradapelo deslocamento de uma partcula denominada de TRAJETRIA.A descrio do movimento de corpos que transladam e giram (Figura 2) s ser apresentada na disciplina de Fsica I.Em algumas ocasies, quando estamos interessados em descreverparcialmente o movimento de um corpo, podemos tratar sistemas que giram edeformam como partculas. AABBA descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 115Ver Aula 1 do Mdulo 2.SistemaExteriorCentro de massaLeia maisdetalhessobre ocentro demassa noComplemento 1.Por exemplo, na descrio da rbita da Terra em torno do Sol (ponto de observao)podemos tratar a Terra como uma partcula porque a distncia mdia da Terra aoSol muito maior do que o raio da Terra, sendo portanto as dimenses da Terrairrelevantes para solucionar esse problema. No entanto, se quisermos analisar asestaes do ano nosso planeta no pode ser tratado como partcula.P1 O QUE UMA PARTCULA? P2 QUANDO UM CORPO PODE SER TRATADO COMO PARTCULA? D EXEMPLOS.P3 O QUE A TRAJETRIA DE UMA PARTCULA?Chamaremos, a partir de agora, o corpo ou conjunto de corpos que estosendo observados de SISTEMA. Todo o resto do Universo ser denominado deexterior. Por exemplo, se a Terra for o nosso sistema, o EXTERIOR ser constitudopor tudo que no a Terra, por exemplo, corpos celestes, poeira csmica etc.Na realidade, possvel demonstrar que para qualquer sistema sempreexiste um ponto do espao, o CENTRO DE MASSA, que ao se deslocar gera umacurva (trajetria do centro de massa) igual da trajetria de uma partcula coma massa do sistema e que sofre as mesmas aes que o exterior exerce sobre osistema. Por exemplo, se considerarmos a Terra como uma esfera rgida o centrode massa ser o centro da esfera. Se considerarmos que somente o Sol atua sobrea Terra, isto , que as aes dos outros corpos celestes sobre ela so desprezveis, atrajetria do centro de massa ser igual trajetria de uma partcula com a massada Terra e que sofre apenas a ao do Sol.A seguir, defi niremos alguns dos conceitos necessrios para a descrio domovimento de uma partcula.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 16REFERENCIALCOORDENADAS CARTESIANAS PLANASCOORDENADASCARTESIANAS TRIDIMENSIONAISFigura 5 Referencial S.Referncias, observadores e sistemas de coordenadasSISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO: par ordenado que deter-mina a distncia perpendicular a dois eixos perpendiculares. Na Figura 3 as coordenadas cartesianas do ponto A so o par ordenado (XA, YAY ).Figura 4 As coordentadas cartesianas do ponto A so XA,YA e ZA.AOXYAAYXZAO XYAYAXACOORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS: conjunto ordenado com 3 nmeros que medem a distncia perpendicular de um ponto a trs eixos perpendiculares.REFERENCIAL: um corpo rgido em relao ao qual se podem especifi car as coordenadas espaciais e temporais de eventos fsicos. Para se medir distnciasutiliza-se uma rgua, e para medir tempos utilizam-se relgios. Um referencial Spode ser visualizado em termos bem concretos: por exemplo, trs barras rgidasdefi nindo um sistema de eixos cartesianos, que podem ser tomados comocomprimentos unitrios, para medidas das coordenadas e um relgio para medidade tempos (Figura 5). Na disciplina de Fsica I ser realizada uma discusso maisdetalhada sobre esse conceito. comum representar os referenciais nas fi guras dos livros apenas pelo seu sistema de eixos cartesianos. essa representao grfi ca simplifi cada dos referenciais que ser adotada neste mdulo.A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 117OBSERVADOROBSERVADOR: um agente fsico em um referencial capaz de realizarmedies. Ele pode ser uma pessoa ou aparelho programado para medir.P4 O que so COORDENADAS CARTESIANAS PLANAS?P5 O que so COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS?P6 O que UM REFERENCIAL?P7 O que UM OBSERVADOR?Leituras e exerccios 1LeituraLeia sobre os assuntos Conceito do movimento na seo 2.1 do Captulo 2 do livro de Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga, Fsica - volume nico. Dessa mesmaseo resolva os exerccios de fi xao de nmeros de 1 at 6.Figura 6 Carrinho em um trilho de ar.Exerccio 1A Figura 6 uma cpia da foto estroboscpica de carrinho que se deslocaem um trilho de ar da esquerda para a direita.1. Neste movimento, o carrinho pode ser tratado como partcula? Justifi quea sua resposta.2. Escolha um dos pontos do carrinho (A) e desenhe a sua trajetria para oreferencial S fi xo no trilho e com os eixos coordenados OXY desenhados na Figura 6.3. Mea na Figura 6 a coordenada x do ponto A para o sistema de refernciaS representado pelos eixos coordenados OXY desenhados na Figura 6.4. Faa um grfi co de x versus t para o carrinho. O intervalo de tempoentre as fotografi as o mesmo. Considere este intervalo como unitrio. Utilizepapel milimetrado.5. Repita os itens de 2 at 3 para o ponto A e para o referencial S fi xo naTerra com eixos OXY.Veja o Complemento 3 Construo de um grfico.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 18Exerccio 2A Figura 7 uma cpia da foto estro-boscpica de uma esfera em queda livre.1. Neste movimento, a esfera pode ser tratadacomo partcula? Justifi que a sua resposta.2. Escolha um dos pontos da esfera (A)e desenhe a sua trajetria para o referencial Sfi xo na Terra e com os eixos coordenados OXYdesenhados na Figura 7.3. Mea na Figura 7 a coordenada y doponto A para o sistema de eixos coordenadosOXY desenhado na fi gura.4. Faa um grfi co de y versus t da esferatem funo do tempo. O intervalo de tempo entreas fotografi as o mesmo. Considere este intervalocomo unitrio. Utilize papel milimetrado.5. Repita os itens de 2 at 3 para o pontoA e para o referencial S fi xo no trilho comeixos OXY.Figura 7 Queda livre de umaesfera.Figura 8 Esfera arremessada.Exerccio 3A Figura 8 uma cpia da foto estroboscpica de uma esfera que foiarremessada de uma plataforma de madeira.A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 1191. Neste movimento, a esfera pode ser tratada como partcula? Justifi que asua resposta.2. Escolha um dos pontos da esfera e desenhe a sua trajetria para oreferencial S fi xo na Terra e representado pelos eixos coordenados OXY desenhadosna fi gura 8.3. Mea na Figura 8 as coordenadas (x,y) do ponto A para o referencial S.Faa os grfi cos x versus t et y versus t para a esfera. O intervalo de tempo entretas fotografi as o mesmo. Considere este intervalo como unitrio. Utilize papelmilimetrado.4. Repita os itens de 2 at 3 para o ponto A e para o referencial S fi xo naplataforma com eixos OXY.VetoresVetor deslocamentoIniciaremos a nossa discusso sobre vetores analisando deslocamentosentre dois pontos. ABFigura 10- O menor caminho entre dois pontos em uma superfcie esfrica.ABFigura 9 Menor caminho entre dois pontos de um plano.Em um plano, o menor caminho entre dois pontos uma linha reta. NaFigura 9 representamos o menor caminho entre os pontos A e B localizados emum plano. Em um espao curvo, o menor caminho entre dois pontos no uma reta.Por exemplo, em uma superfcie esfrica o menor caminho entre dois pontos umarco de crculo. A Figura 10 mostra o menor caminho entre os pontos A e B deuma superfcie esfrica.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 20pedraportoFigura 11 Terreno onde o objeto foi enterrado.O arco de crculo pode ser tratado aproximadamente como uma retaquando as suas dimenses so muito menores que o raio da esfera.A superfcie da Terra pode ser considerada aproximadamente como umaesfera com raio da ordem de 6400km. As reas das cidades terrestres so muitomenores do que a rea da Terra. Por isso, podemos tratar as superfcies dascidades como planos. Nelas o menor caminho entre dois pontos uma reta.Certamente, essa uma das razes pelas quais os deslocamentos retilneosadquiriram importncia no estudo do movimento dos corpos. Vamos estudaragora as propriedades relevantes desses deslocamentos.Para entender quais as propriedades importantes de um deslocamentoretilneo, vamos imaginar que, em uma gincana, a ltima tarefa da equipeconsiste em encontrar um objeto que foi enterrado em um terreno com formaretangular. O terreno est completamente vazio e o seu centro foi marcado poruma pequena pedra (Figura 11). A organizao da gincana fez trs mapas semdesenhos. Os mapas s contm informaes escritas. Eles so sorteados entre asequipes e os seus contedos so:Mapa 1: a partir do centro do terreno ande um metro.Mapa 2: a partir do centro do terreno ande um metro na direo perpendicular ao porto.Mapa 3: a partir do centro do terreno ande um metro, se aproximandodo porto e na direo perpendicular a ele.Quem vai encontrar o objeto primeiro? Certamente, a equipe que tem amaior chance de encontrar o objeto aquela que recebeu o mapa 3. Descrevemosa seguir os pontos indicados por cada um dos mapas.A equipe que recebeu o mapa 1 tem que procurar o objeto enterradoem todos os pontos do crculo com raio de 1m e centro na pedra (Figura 12-a).A equipe com o mapa 2 precisa procurar o objeto apenas nos pontos A e B(Figura 12-b). Aquela com o mapa 3 pode ir direto ao local em que o objeto estenterrado, que o ponto A da Figura 12-c.A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 121Figura 12-a Mapa 1.ABFigura 12-b Mapa 2.AFigura 12-c Mapa 3.A1mFigura 13 Deslocamento.A discusso anterior mostra que as informaes completas sobre umdeslocamento tm que conter alm do seu tamanho (1m), a sua direo(perpendicular ao muro que contm o porto) e o seu sentido (se aproximando doporto). A fi gura geomtrica que contm todas essas informaes um segmentode reta orientado com comprimento de 1m (Figura 13). Para reforar que um deslocamento um segmento de reta orientado, costume represent-lo por uma letra com um segmento de reta orientado em cima,por exemplo, . Dizemos que a representao simblica de um deslocamento,e o segmento de reta orientado a representao geomtrica do deslocamento.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 22Consideraremos iguais os deslocamentos com a mesma direo, o mesmomdulo (tamanho) e o mesmo sentido, independente do fato de eles seremaplicados em pontos diferentes (pontos A e B da Figura 14).Figura 14 Deslocamentos iguais.Figura 15 Deslocamentos.Figura 16 Soma de deslocamentos.Apesar de o menor caminho entre dois pontos ser uma reta, nem sempre na vida prtica possvel se deslocar em linha reta entre dois pontos. Por exemplo, o muro que cerca o terreno representado da Figura 15 impede o deslocamento retilneo de uma pessoa entre os pontos C e D. Nesse caso, o menor caminho entreos pontos C e D constitudo por dois deslocamentos retilneos.O primeiro deslocamento um segmento reta orientado que vai de C para E com tamanho e o segundo um segmento de reta orientado que vai de E para D e tem tamanho (Figura 16). Dizemos que se deslocar de C para E a seguir se deslocar de E para D equivalente a se deslocar diretamente de C para D. Na Figura 16 est representado o segmento de reta orientado associado ao deslocamento de C para D ( ).A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 123Na realidade, podemos pensar que os deslocamentos foram somados,onde somar dois deslocamentos signifi ca encontrar um deslocamento que permitasair diretamente do ponto de origem (C) at o ponto de chegada (D). Na prtica,isto signifi ca fazer as seguintes operaes:1. Ligar o fi nal do segmento de reta orientado que representa o primeirodeslocamento (parte com a seta) com o incio do segmento de reta orientado querepresenta o segundo deslocamento (parte sem a seta na Figura 17-a);2. Ligar o incio do segmento de reta orientado que representa o primeirodeslocamento (parte sem a seta) com o fi nal do segmento de reta orientado querepresenta o segundo deslocamento (parte com a seta).Figura 17-b Soma de deslocamentos.Na Figura 17-b esto representados os deslocamentos sucessivos e ea sua soma, que o deslocamento .A representao simblica da operao descrita acima .Atividade 1: Transforme os quatro metros de pedreiro da sua Caixa deexperimentos em segmentos de reta orientados da seguinte forma: corte trstringulos de papelo. Cole-os em uma das extremidades do metro de pedreiro.O fi nal do segmento de reta orientado vai coincidir a ponta da seta. A ponta daseta deve coincidir com uma das extremidades do metro de pedreiro. O incio dosegmento de reta orientado pode ser marcado com um palito.Figura 18 Metro de pedreiro transformado em segmento de reta orientado.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 24Atividade 2: Faa com os metros de pedreiro j transformados em segmentos de reta orientados as seguintes somas de deslocamentos:.Lembre-se de que somar deslocamentos repetir as operaes 1 e 2 defi nidas anteriormente e representadas nas Figuras 17-a e 17-b.Os deslocamentos esto representados na Figura 19. A unidade de medida defi nida pelo quadriculado da Figura 19 vale 20cm.Figura 19 Atividade 2.A Figura 20 mostra que a aplicao sucessiva dos deslocamentos eao ponto A produz o mesmo ponto D, independentemente da ordem em que osdeslocamentos ocorrem.Figura 20 Regra do paralelogramo.Podemos deslocar com at B e com at D ou com at C e at D. Isto , a soma de dois deslocamentos comutativa.A Figura 20 mostra que o desenho que descreve as somas e um paralelogramo; dizemos que os deslocamentos se somam pelaregra do paralelogramo.P8 QUAIS SO AS INFORMAES NECESSRIAS PARA CARACTERIZAR COMPLETAMENTE UM deslocamento?P9 COMO SE SOMAM DOIS DESLOCAMENTOS?A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 125Atividade 3: Utilize os metros de pedreiro para verifi car a veracidade da regra do paralelogramo para os deslocamentos eobtidos na atividade 2 (Figura 18).Na Figura 20 est representada a soma de deslocamentos e .O deslocamento resultante foi obtido atravs da aplicao da regra da soma aosdeslocamentos e , seguida da aplicao da mesma regra aos deslocamentos e .Figura 22-a Soma de deslocamentos sucessivos.Figura 22-b Soma de deslocamentos sucessivos.A observao da Figura 21 mostra que para somar deslocamentossucessivos sufi ciente realizar os seguinte passos:1. Ligar o fi nal (parte com a seta) do deslocamento anterior com o incio(parte sem a seta) do deslocamento seguinte;2. ligar o incio (parte sem seta) do primeiro deslocamento com o fi nal(parte com seta) do ltimo deslocamento.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 26Atividade 4: Utilize os deslocamentos representados na Figura 19 para fazer com os metros de pedreiro a soma do deslocamentocom o deslocamento . Represente o deslocamento resultante (soma dosdeslocamentos) com um quarto metro de pedreiro.Alm da soma de deslocamentos, existe uma outra operao com osdeslocamentos que relaciona deslocamentos com a mesma direo.Produto de umDeslocamento por um Nmero RealVetoresFigura 23 Deslocamentos com a mesma direo.d1d2d3Na Figura 23, observamos deslocamentos com a mesma direo ecomprimentos proporcionais a 1:2:3. Os dois menores tm o mesmo sentido e o maior tem sentido contrrio a eles. Podemos represent-los da seguinte forma:Isto , podemos defi nir uma operao de multiplicao de um deslocamento por um nmero real da seguinte forma:Se > 0 o deslocamento tem a mesma direo do deslocamento ,o mesmo sentido e mdulo . Se o deslocamento tem a mesma direo do deslocamento ,o sentido contrrio ao de e mdulo .Atividade 5: Represente um deslocamento com um dos metros de pedreiro. Construa com o outro metro de pedreiro os deslocamentosP10 Qual a regra para MULTIPLICAR UM DESLOCAMENTO POR UM NMERO REAL?As grandezas que podem ser representadas por segmentos de retas orientados, que se somam pela regra do paralelogramo e tm uma operao de multiplicao por um nmero real so denominadas VETORES. A soma e a multiplicao de os nmeros reais tm as seguintes propriedades:A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 127So estas propriedades que permitem uma manipulao algbrica simplesdos nmeros reais. Com elas podemos inverter a ordem dos fatores na soma e namultiplicao, associar e desassociar elementos de uma soma, fatorar expressescolocando os termos comuns em evidncia, distribuir o produto sobre a soma denmeros reais, trocar de lados elementos de uma igualdade e de uma desigualdade etc.A operao de soma e a multiplicao de um vetor porum nmero real apresentam algumas das propriedades da soma e damultiplicao dos nmeros reais. Listamos algumas destas propriedades a seguir..A comutatividade da soma de vetores j foi demonstrada. Ela permitetrocar a ordem dos vetores em uma soma..O vetor o elemento neutro da soma de vetores. Ele um vetorcom mdulo zero. .A aplicao da regra do paralelogramo aos vetores e mostra queo elemento simtrico de um vetor o vetor .-aaFigura 24-a Elemento simtrico.Soma de um vetor com o vetor simtrico do vetor defi ne a subtrao de vetores. Ela denotada de forma simplifi cada como. Para realiz-la sufi ciente aplicar a regra do paralelogramo aosvetores e .Figura 24-b Subtrao de vetores.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 28Atividade 6: Utilize os deslocamentos representados na Figura 19 para fazer com os metros de pedreiro a subtrao de deslocamentos ..A propriedade de associatividade da soma de vetores facilmente observadana Figura 25.Figura 25 Associatividade da soma de vetores.As propriedades 1 e 4 permitem escrever a soma de vetores sem osparnteses, uma vez que a ordem em que os vetores so acionados no altera oresultado, isto ,..A verifi cao da propriedade 5 imediata, uma vez que:O vetor tem a direo do vetor e o mdulo . Se o sentido de igual ao de , e se for negativo o sentido contrrio.O vetor tem a direo do vetor , que a mesma do vetor , e mdulo . O sentido de ser igual ao sentido de se , e contrrio se . Por exemplo, suponha que e , neste caso o vetor tem o sentido contrrio ao do vetor e o vetor tem o sentido contrrio ao do vetor , sendo o seu sentido igual ao sentido do vetor . No caso em que e tem o sentido contrrio ao sentido do vetore o vetor tem o mesmo sentido do vetor , sendo o seu sentido contrrio ao sentido do vetor .O vetor tem a direo do vetor e o mdulo igual a . O seu sentido ser igual ao sentido dese , e contrrio se .A comparao entre os mdulos, as direes e os sentidos dos vetores e mostram que eles so iguais.A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 129A propriedade 6, que permite distribuir o produto de um nmero real sobrea soma de vetores, fcil de demonstrar utilizando-se propriedades de tringulossemelhantes. Vamos supor inicialmente que .Figura 27 Desigualdade triangular.Figura 26 Distribuindo o produto sobre a soma de vetores.A Figura 26 mostra o tringulo 123 construdo com vetores , ecom o vetor . O tringulo 146 foi construdo prolongando-se oslados e e passando pelo ponto 4, que dista do ponto 1, uma retaparalela ao vetor . Ele semelhante ao tringulo 123, uma vez que todos osseus ngulos so iguais aos ngulos do tringulo 123. A semelhana entre ostringulos permite escrever as relaes:Por isso, o segmento de reta orientado o vetor , o segmentoorientado o vetor e o segmento orientado o vetor . O tringulo146 defi ne a soma dos vetores e tem como resultado o vetor ,isto , . A propriedade 6 est demonstradapara . A demonstrao para anloga e no ser apresentada.P11 POR QUE OS NGULOS DO TRINGULO 123 E 146 SO IGUAIS?.A propriedade 7 uma conseqncia imediata da regra que defi ne a somade vetores e das propriedades geomtricas de um tringulo. A Figura 27 mostra otringulo construdo com os vetores , e .A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 30Os lados de um tringulo satisfazem a desigualdade triangular, isto , |a | |b | |c | |a |+ |b |na expresso anterior d origem propriedade 7. Ela mostra claramente que em geral o mdulo de uma soma de vetores menor do que a soma dos mdulos dos vetores. A igualdade s se verifi ca se os vetores forem colineares (com a mesma direo e o mesmo sentido).P12 QUAIS AS PROPRIEDADES DA SOMA DE VETORES E DA MULTIPLICAO DE UM VETOR POR UM NMERO REAL?P13 MOSTRE QUE QUANDO DOIS VETORES SO COLINEARES O MDULO DA SOMA DOS VETORES IGUAL SOMA DOS MDULOS DOS VETORES.As propriedades demonstradas anteriormente permitem a simplifi cao de expresses vetoriais e a decomposio dos vetores em bases ortogonais. Essadecomposio ser apresentada na aula 2 deste mdulo.Exemplo 1. Simplifi que a seguinte expresso vetorial:.Soluo: As propriedades discutidas anteriormente permitem fazer asseguintes simplifi caes na expresso apresentada:3 8 56 20 56 045 76 07645+ ( ) + +( ) = + ==a ba ba bG G GG G GG GA descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 131Exerccios 2Exerccio 4Simplifi que a seguinte expresso:.Exerccio 5Na Figura 19, repetida a seguir, esto representados alguns vetores. Realizegeometricamente as operaes descritas nos itens de a at e. Quais so, em cadaum dos casos, o mdulo e a direo do vetor ?:Responda novamente ao questionrio 1.Nesta aula definimos alguns dos conceitos necessrios paradescrever os movimentos: referenciais, trajetrias e vetores.Figura19 Exerccio 2.A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 32Exerccios programados 5Exerccio 1Projete o ponto na direo da reta a seguir:Exerccio 2Projete o ponto A na direo dos eixos OXY e encontre as coordenadas do ponto.AAYO XOExerccio 3Represente os pontos alcanados por trs partculas que sofrem deslo-camentos retilneos a partir da origem indicada a seguir.a. A primeira se desloca 2cm da origem. Onde ela est?b. A segunda se desloca 2cm da origem na direo dareta representada ao lado. Onde ela est?c. A terceira se desloca 2cm da origem na direo dareta representada ao lado, de baixo para cima do papel. Ondeela est?Concluso: Para se determinar univocamente um deslocamento necessriofornecer: _____________________, __________________________ e _______________________.Exerccio 4Assista minipalestra A descrio do movimento. Ela est disponvel no site: http://tv.ufrj.br/ladif.A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 133AReta ao longo da qualdesejamos projetar o ponto AProjeo do ponto AAyAAx xy GabaritoExerccio 1Projete o ponto na direo da reta a seguir:Projetar um ponto na direo de uma dada reta traar uma reta perpen-dicular a essa reta, que passe pelo ponto que se deseja projetar. O ponto onde ocorre a interseo entre as duas retas a projeo do ponto A:Exerccio 2Projete o ponto A da direo dos eixos OXY e encontre as coordenadas doponto.Da mesma forma que no exerccio anterior, as projees do ponto A so obtidas traando retas perpendiculares aos eixos x e y, que passam pelo ponto A. As projees do ponto A so os pontos de interseo dessas retas com os eixos coordenados:As coordenadas do ponto A so as distncias entre a origem e as projees do ponto. Por exemplo, se o ponto projetado estiver na parte negativa do eixo a coordenada ser negativa.Se as unidades dos eixos estiverem em centmetros, basta medir com uma rgua as coordenadas do ponto:A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 34OAyAxAxyOA AyOAxxyCoordenadas do ponto A no primeiro quadrante:xA =A (1,2 0,1)cmyA = A (1,0 0,1)cmCoordenadas do ponto A no segundo quadrante:xA =A (-1,2 0,1)cmyA = A (1,0 0,1)cmExerccio 3Represente os pontos alcanados por trs partculas que sofrem deslo-camentos retilneos a partir da origem indicada a seguir.a. A primeira se desloca 2cm da origem. Onde ela est?Como s foi informado o tamanho do deslocamento da partcula, ela podeestar em qualquer ponto de uma circunferncia com 2 cm de raio centrada naorigem:b. A segunda se desloca 2cm da origem na direo da reta representadaabaixo. Onde ela est?Agora sabemos o tamanho do deslocamento e tambm a direo ao longoda qual se d esse deslocamento. Mas ainda assim a partcula pode ter sedeslocado 2 cm para cima ou 2 cm para baixo. Portanto ela pode estar em doispontos, como mostrado na fi gura abaixo:A descrio do movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 135Posio da partcula aps o deslocamento2 cmc. A terceira se desloca 2cm da origem na direo da reta, de baixo paracima do papel. Onde ela est?Concluso: Para se determinar univocamente um deslocamento precisa-sefornecer: _____________________, __________________________ e _______________________.Sabemos agora o tamanho do deslocamento (2 cm), a direo na qual se d o deslocamento (ao longo da reta desenhada) e o sentido do deslocamento (de baixo para cima). A posio fi nal da partcula aps o deslocamento pode ser ento representada no desenho abaixo:Portanto, para se determinar univocamente um deslocamento preciso conhecer seu mdulo (isto , seu tamanho), sua direo e seu sentido. 1.Para o referencial SPara qualquer ponto do carrinho, por exemplo, o ponto A no centro docarrinho, temos que a trajetria para o referencial S uma linha paralela ao eixo OX.Exerccio 4Individual.OC E D E R J 9AULA 21 MDULO 3 Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 237Os vetores e suas basesObjetivoRepresentar os vetores de um plano utilizando bases ortogonais.IntroduoNa Aula 1 iniciamos a discusso do movimento dos corpos. Conclumosque a escolha do ponto de observao muito importante na descrio dosmovimentos dos corpos. Descrevemos o movimento de alguns corpos (carrinho emum trilho de ar, esferas etc.) tratando-os como partculas. Falamos sobre trajetriase deslocamentos. Nesta aula vamos defi nir os conceitos do vetor posio. Serodiscutidas tambm a decomposio de vetores em bases ortogonais.Esta aula composta por trs partes:O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais? umquestionrio que tem como fi nalidade levantar as suas idias prvias sobre estesassuntos.Decomposio de vetores em bases ortogonais um texto no qual o assunto discutido.Exerccios 3 so exerccios propostos sobre vetores.Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 38O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais?As questes apresentadas a seguir tm como fi nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre a decomposio de vetoresem bases ortogonais. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostass questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre a decomposio devetores em bases ortogonais e o vetor posio antes e depois de trabalhar esta aula importante para o seu aprendizado.Questionrio 21.O que um vetor unitrio?2.Como se projeta um vetor na direo de um vetor unitrio ? D exemplos.3.O que uma base de vetores ortogonais? D exemplos.4.O que so componentes de um vetor em uma base ortogonal? D exemplos.5.Enuncie a regra para somar vetores utilizando as suas componentes. Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 239Decomposio de vetoresProjeo de vetoresAs regras para somar vetores e multiplicar vetores por nmeros reaisapresentadas na aula 1 so geomtricas. Elas tm o inconveniente de dependeremda qualidade dos desenhos elaborados. Nesta aula, vamos transformar essas regrasem soma e multiplicao de nmeros reais. Com esta fi nalidade vamos representaros vetores em bases apropriadas. Tal representao aparece naturalmente quandotentamos responder s seguintes perguntas:1. Quantos vetores existem em um plano? 2. Ser que eles esto relacionados? O nmero de vetores em um plano infi nito. Todavia, eles estorelacionados. Mostraremos a seguir que qualquer vetor de um plano pode serrepresentado como a combinao linear de dois vetores com direes diferentes.Na Figura 28, vemos que o vetor pode ser escrito como a soma de doisvetores paralelos aos vetores e , isto ,O vetor tem a mesma direo do vetor e o vetor tem a mesmadireo do vetor . Portanto, podemos escrever e .Conseqentemente, temos que d2 + d3 . Dizemos que aprojeo do vetor na direo do vetor e que a projeo do vetorna direo do vetor . A soma d2 + d3 denominada combinao lineardos vetores e .Figura 28 Decomposio de vetores em uma base oblqua.d1d2d12d3d13Por uma questo de simplicidade, escolhe-se representar todos os vetores deum plano em termos de dois vetores unitrios perpendiculares. Vetores unitriosso aqueles que tm mdulo um. So representados por uma letra com umacento circunfl exo em cima, por exemplo, . Dizemos, nesse caso, que os vetoresunitrios formam uma base ortogonal para os vetores do plano. Os vetoresunitrios mais utilizados so aqueles que tm a direo e o sentido dos eixos. Nocaso dos eixos OX e OY eles so denominados comumente por e .BASE DE VETORESORTOGONAISOs vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 40componentes de um vetorprojeo de um vetorO OX XYY^^ ^^d1yd1d1xd2d2xd2yNa Figura 29 esto representados o vetor , as bases e e as projees do vetor na base escolhida. A projeo do vetor na direo do unitrio foi denominada e aquela na direo do unitrio por .d1 d1yd1x^^Figura 29 Decomposio de vetores em uma base ortogonal. As projees e podem ser escritas da seguinte forma:; , onde o nmero que deve multiplicar a base para obter o vetor projetado na direo do unitrio e , o nmero por que se deve multiplicar a base para obter . Os nmeros eso denominados componentes do vetor nas direes dos vetores unitrios e . Na Figura 30, observamos que as componentes , e dos vetores e so positivas e que a componente negativa. A componente negativa porque para se obter o vetor projetado a partir do vetor unitrio necessrio multiplic-lo por um nmero negativo, uma vez que o sentido de contrrio ao sentido de .Figura 30 Sinais das componentes dos vetores.P1 O que um VETOR UNITRIO?P2 Como se projeta um VETOR NA DIREO DE UM VETOR UNITRIO ? D EXEMPLOS.P3 O que uma BASE DE VETORES ORTOGONAIS? D EXEMPLOS.P4 O que so componentes de um vetor EM UMA BASE ORTOGONAL?D EXEMPLOS. Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 24145YOSXAB^^Figura 32-a - Vetor deslocamento do carro.Exemplo 1: A fi gura 31 mostra um carro que parte do ponto A e se deslocaat um ponto B que dista 80km de A. A reta que une os pontos A e B faz umngulo de 45o com o eixo OX .a. Desenhe o vetor deslocamento do carro.b. Desenhe os vetores projetados e .c. Calcule as componentes e do vetor deslocamento do carro nasdirees dos vetores unitrios e .d. Escreva os vetores projetados e em funo dos vetores unitrios e .Figura 31 Um carro que se desloca 80km na direo Nordeste.Resoluo:a. O vetor deslocamento do carro vai de A at B e est desenhado na Figura 32-a.b. Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio , necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio , a partir do eixo OX , e que passem pelo incio e pelo fi nal de (Figura 32b).O vetor projetado aquele que tem a direo do vetor unitrio , e omdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor(Figura 32 b). Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 42Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio a partir do eixo OY que passem pelo incio e pelo fi nal de (Figura 32-b). O vetor projetado aquele que tem a direo do vetor unitrio , e o mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor(Figura 32-b).Figura 32-b Decomposio do vetor deslocamento. c. A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetorunitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente igual ao mdulo do vetor projetado. O mdulo da componentepode ser calculado por trigonometria, uma vez que.Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a componente positiva e igual a .A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetorunitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente igual ao mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que.Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a componente positiva e igual a .d. Os vetores projetados escritos em funo dos unitrios e so:dx = 402 (km) edy = 402 (km) Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 243Resoluo:a. O vetor deslocamento do carro vai de A at B e est desenhado naFigura 34 a.45dAB135SYO^^Figura 34-a Vetor deslocamdno do carro.Exemplo 2: A fi gura 33 mostra um carro que parte do ponto A e se deslocaat um ponto B que dista 80km de A. A reta que une os pontos A e B faz umngulo de 135o com o eixo OX.Desenhe o vetor deslocamento do carro.a. Desenhe os vetores projetados e .b. Calcule as componentes e do vetor deslocamento do carro nasdirees dos vetores unitrios associados aos eixos representados na fi gura 33.c. Escreva os vetores projetados e em funo dos vetoresunitrios e .Figura 33 Exemplo 3. b. Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio apartir do eixo OX que passem pelo incio e pelo fi nal de (Figura 34-b). O vetorprojetad aquele que tem a direo do vetor unitrio , com o mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 34-b).Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 44c. A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetorunitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que.Como o vetor tem o sentido contrrio ao do vetor unitrio a componente negativa e igual a .A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor unitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente igual ao mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que.Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a componente positiva e igual a +402 km .d. Os vetores projetados escritos em funo dos unitrios e so:e45dAB135SYO^^dydxPara projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio a partir do eixo OY que passem pelo incio e pelo fi nal de (Figura 34-b). O vetor projetado aquele tem a direo do vetor unitrio , com o mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 34-b).Figura 34-b Decomposio do vetor deslocamento. Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 245Representao polar de um vetor em um plano.Os exemplos 2 e 3 mostram que possvel caracterizar completamenteum vetor em um plano fornecendo-se ou as suas componentes e ou o seu mdulo (tamanho) e ngulo medido no sentido anti-horrio a partirda direo do eixo OX (e a sua direo e sentido). A representao de um vetorque utiliza o seu mdulo e o ngulo que ele forma com o eixo OX denominada polar, e aquela que utiliza as componentes nas direes dos unitrios dos eixos denominada cartesiana. A relao entre estas duas representaes de vetores pode ser deduzida facilmente da Figura 35. SYO^^BddydxYO^^ axaybxcxcybyabcFigura 36 Componentes de uma soma de vetores.Figura 35 Representaes polar e cartesiana de um vetor.Se so conhecidos e , possvel obter e com as seguintesrelaes:Quando so conhecidos e , possvel obter e com asseguinte relaes:A Figura 36 mostra que as componentes da soma de dois vetores so iguais soma das componentes, isto , se e .P5 ENUNCIE A REGRA PARA SOMAR VETORES UTILIZANDO AS SUAS COMPONENTES.Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 46Exemplo 3: Um carro se desloca 80km entre os pontos A e B e a seguir 40km entre os pontos B e C (Figura 37). Os deslocamentos so retilneos. A retaque une os pontos A e B tem a direo leste-oeste e aquela que une os pontos B e C forma um ngulo de 30o com a direo leste-oeste.A B30oCd1d2d3YSXO^^Figura 38-a Vetor deslocamento resultante do carro.Figura 37 Exemplo 4a. Desenhe os vetores deslocamento entre os pontos A e B , entre os pontos B e C e entre os pontos A e C .b. Encontre as componentes dos vetores e na direo dos eixos OXY desenhados na Figura 37.c. Encontre as componentes do vetor na direo dos vetores unitrios e desenhados na Figura 37. Expresse o vetor em termos dos vetores unitrios.d. Encontre o mdulo do deslocamento e o ngulo que ele faz com o eixo OX.Resoluo:a. Os vetores deslocamentos , e esto representados na Figura 38-a.b. A fi gura 38-b mostra que o vetor projetado igual ao vetor . O vetor projetado nulo porque as duas retas perpendiculares ao vetor unitrio que projetam o vetor neste eixo coincidem. Por isso, as componentes do vetor so: Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 247Na Figura 38-b, esto representados os vetores e . Os mdulos dascomponentes do vetor so:e . As componentes e so positivas, uma vez que os vetoresprojetados e tm os mesmos sentidos dos vetores unitrios e .Portanto, temos: .c. As componentes do vetor deslocamento so:d3x = d1x + d2x = (80 + 203) km = 115 km e .Portanto, temos .d. O mdulo do vetor O ngulo que o vetor faz com o eixo OX pode ser obtido da seguinte forma:.A decomposio de vetores do espao tridimensional requer trs bases.Uma das bases mais utilizadas aquela que utiliza os vetores unitrios , e nas direes dos eixos OX, OY e OZ. A Figura 39 mostra as projees dovetor nas direes desses unitrios.Figura 39 Base tridimensional.A B30oCd2d3YSXO^^d1 d1x=d2yd2xFigura 38-b Decomposio do vetor deslocamento resultante.Nessa base, o vetor representado por , onde ,e so as componentes do vetor.Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 48P18 VERIFIQUE A VERACIDADE DA DECOMPOSIO ANTERIOR.Existem grandezas que tm mdulo, direo e sentido e no so vetores. Por exemplo, as rotaes em torno de um eixo. Toda rotao tem um eixo de rotao,um ngulo de rotao e um sentido (horrio ou anti-horrio). No entanto, vocaprender na disciplina Fsica I que duas rotaes no se somam segundo a regrado paralelogramo.Vrias grandezas fsicas so vetores. Na aula 3 alguns desses vetoressero discutidos.Exerccios 3Exerccio 6Na Figura 19 repetida a seguir esto representados alguns vetores. Calculecomponentes dos seguintes vetores:Considere o tamanho do quadriculado como unidade. Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 249Exerccio 7 Uma motocicleta se desloca 40km para o Norte, 60km na direo Nordestee 20km na direo Oeste.a. Desenhe os vetores deslocamentos da motocicleta. No esquea dedesenhar o deslocamento resultante.b. Represente todos os deslocamentos utilizando os seguintes vetores unitrios: vetor unitrio que tem direo Leste-Oeste e aponta para o Leste ( ) ; vetor unitrio que tem direo Norte-Sul e aponta para o Norte ( ) .c. Calcule o mdulo do deslocamento resultante e o ngulo que ele faz coma direo Leste-Oeste.Questionrio:Responda novamente ao questionrio 2.Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 50Exerccios programados 6Exerccio 11. Projete as retas AB, CD e EF representadas na Figura 1, na direo doeixo OX. Com uma rgua mea o tamanho da reta projetada;Projete as retas AB, CD e EF na direo do eixo OY. Com uma rgua, mea o tamanho da reta projetada.YA BCDFEXExerccio 21. Projete os vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do eixo OX. Desenhe os vetores projetados na direo OX. Mea com uma rgua os mdulos desses vetores projetados.2. Projete os vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do eixo OY. Desenhe os vetores projetados na direo OY. Mea com uma rgua os mdulos desses vetores projetados.Figura 1YA BCDFEXGd1Gd2Gd3Figura 2 Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 251Exerccio 3Utilize os mdulos dos vetores projetados medidos no exerccio 2 pararesponder s seguintes perguntas:1. Escreva as componentes ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) dos vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 3.Escreva os vetores projetados (G G Gd d dx x x1 2 3, e ) e (G G Gd d dy y y1 2 3, e ) comomltiplos dos vetores unitrios representados na Figura 3.YA BCDFEXGd1 Gd3Figura 3Gd2Exerccio 4Assista minipalestra Vetores e suas bases. Ela est disponvel no site:http://tv.ufrj.br/ladif, ou voc pode copiar o CD disponvel no seu plo.Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 52GabaritoExerccio 1Projete as retas AB, CD e EF representadas na Figura 1, na direo do eixo OX. Com uma rgua mea o tamanho da reta projetada.Y1,0 cm1,4 cm1,4 cm 2,0 cmXEFDCBAProjete as retas AB, CD e EF na direo do eixo OY. Com uma rgua mea o tamanho da reta projetada.As linhas pontilhadas delimitam o tamanho das projees sobre os eixos OX e OY de cada um dos segmentos de reta. O tamanho da projeo da reta AB no eixo OX :( 1,4 0,1) cm O tamanho da projeo da reta AB no eixo OY : (0,0 0,1) cm (ponto) O tamanho da projeo da reta CD no eixo OX :( 2,0 0,1) cm O tamanho da projeo da reta CD no eixo OY : (1,0 0,1) cm O tamanho da projeo da reta EF no eixo OY : (1,4 0,1) cm O tamanho da projeo da reta EF no eixo OX :( 0,0 ( 0,1) cm (ponto)Exerccio 21. Projete os vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do eixo OX. Desenhe os vetores projetados na direo OX.2. Projete os vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do eixo OY. Desenhe os vetores projetados na direo OY.DenominaremosG G Gd d dx x x1 2 3, e as projees dos vetores G G Gd d d1 2 3, e nadireo OX. DenominaremosG G Gd d dy y y1 2 3, e as projees dos vetoresG G Gd d d1 2 3, ena direo OY. Os vetores e suas basesC E D E R JMDULO 3 - AULA 253YXEFDBACGd1Gd x1Gd2Gd x21.Vetor Gd3 projetado em OYVetor Gd2 projetado em OYGd1dGd3Gd y3G Gd y1 0=YXEFDBAC2.Gd y2 Gd2Exerccio 31. Escreva as componentes ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) dos vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 3. As componentes dos vetoresGd1 so:d1x =( 1,4 0,1)cmd1y = (0,0 0,1)cm As componentes dos vetores Gd2 so:d2x =( 2,0 0,1)cm d2y = (1,0 0,1)cmG Gd x3 0=Gd3Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 54 As componentes dos vetores Gd3 so:d3x = (0,0 0,1)cmd3y =( -1,4 0,1)cm2. Escreva os vetores projetados (G G Gd d dx x x1 2 3, e ) e (G G Gd d dy y y1 2 3, e ) como mltiplos dos vetores unitrios representados na fi gura 3.Os vetores projetados, escritos como mltiplos dos vetores unitrios, so obtidos multiplicando-se as componentes pelos vetores unitrios correspondente aos eixos.G GG Gd cm d cmd cm dx yx y1 12 21 4 0 1 0 0 0 12 0 0 1 1 0= = = =( , , ) ( , , )( , , ) ( , = 0 11 4 0 13 3, )( , , )cmd c= 0 00 03 (00 )11 m d cmx yG Gd3Exerccio 4Individual.Cinemtica vetorial5555 C E D E R JMDULO 3 - AULA 355Cinemtica vetorialObjetivosDefi nir os vetores posio, velocidade e acelerao de uma partcula e entender as suas relaes com a trajetria da partcula.IntroduoNas Aulas 1 e 2 estudamos os vetores deslocamento. Nesta aula vamosdefi nir novos vetores cinemticos (vetor posio, vetor velocidade e vetoracelerao de uma partcula) e entender suas relaes com a trajetria dapartcula. Esta aula composta por quatro partes:O que sei sobre os vetores cinemticos e as suas relaes com a trajetria? um questionrio que tem como fi nalidade levantar suas idias prvias sobreestes assuntos.Vetores cinemticos um texto onde esse tema discutido.Movimento unidimensional um texto onde o assunto discutido.Leituras e exerccios 4 rene textos e exerccios sobre as grandezas cinemticas(vetor posio, vetor velocidade e vetor acelerao) dos livros Mecnica 1 (Gref) eFsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Cinemtica vetorial5656INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 56O que sei sobre os vetores cinemticos e asrelaes com as trajetrias?As questes apresentadas a seguir tm como fi nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos sobre os vetores cinemticos e as suas relaescom a trajetria. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre os vetores cinemticos esuas relaes com a trajetria, antes e depois de trabalhar esta aula, importante para o seu aprendizado.Questionrio 31. O que o vetor posio?2. O que o vetor velocidade mdia?3. O que o vetor velocidade instantnea?4. O que o vetor acelerao mdia?5. O que o vetor acelerao instantnea?6. Mostre grafi camente como possvel obter o vetor posio em um instante qualquer de tempo quando se conhece a posio inicial da partcula e a sua velocidade instantnea em qualquer instante do tempo.7. Mostre grafi camente como possvel obter o vetor velocidade em um instante qualquer de tempo quando se conhece a velocidade inicial da partcula e sua acelerao instantnea em qualquer instante do tempo.8. Quais as equaes horrias da posio, da velocidade e da acelerao de uma partcula que est se deslocando em um movimento retilneo uniforme sobre o eixo OX?9. Quais as equaes horrias da posio, da velocidade e dae acelerao de umapartcula que est se deslocando em um movimento retilneo uniformemente aceleradosobre o eixo OX?Cinemtica vetorial5757 C E D E R JMDULO 3 - AULA 357IntroduoA trajetria de uma partcula uma curva no espao. J vimos que possvelrepresentar a trajetria de uma partcula fornecendo as coordenadas cartesianasdos seus pontos. Por exemplo, na fi gura 40 a reta AB representa a trajetria deum carro no sistema de referncia S fi xo Terra.Figura 40 Equao da trajetria no sistema de eixos coordenados OXY: y=0.No sistema de coordenadas OXY, a equao da trajetria do carro y=0.Por outro lado, se tivssemos utilizado um outro sistema de referncia S fi xo na Terra com o sistema de eixos coordenados O`X`Y` a equao seria diferente, isto , y=x/ 2 (ver Figura 41). YOS XcarroB1m2mYAXFigura 41 Equao da trajetria do carro no sistema de referncia S com os eixos decoordenadas OXY: y=x/ 2 .Visivelmente, a forma da trajetria de uma partcula no dependedo sistema de eixos coordenados escolhidos. Ser que existe uma outrarepresentao para a trajetria mais essencial, isto , uma que no dependa do sistema de eixos coordenados? Existe, a representao vetorial da trajetria, que ser estudada a seguir.Cinemtica vetorial5858INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 58Vetor deslocamentoNa aula 1 aprendemos o vetor deslocamento. O vetor deslocamento no coincide com a trajetria da partcula (ver Figura 42).Figura 44 Poligonal construda com vrios pequenosdeslocamentos sucessivos entre os pontos A e B.Figura 43 Vetor deslocamento entre os pontos A e B associado aduas trajetrias C1 e C2 diferentes.Figura 42 Vetor deslocamento.Od1Existem vrias trajetrias possveis entre as extremidades do vetor deslocamento.Um grande nmero de vetores deslocamento sucessivos entre os pontos A e B fornece uma linha poligonal que parecida com a trajetria (ver Figura 44).Conseqentemente, fcil concluir que qualquer trajetria pode ser aproximadapor um nmero muito grande de vetores deslocamento sucessivos.Cinemtica vetorial5959 C E D E R JMDULO 3 - AULA 359Vetor posioPodemos caracterizar a trajetria de uma partcula utilizando o vetorposio. O vetor posio de um ponto o vetor deslocamento da origem Oat o ponto (ver fi gura 45-a). vetor posioFigura 45-a Vetor posio.P1 O que o VETOR POSIO?A trajetria fi ca completamente defi nida quando se conhece o vetor posioda partcula em todos os instantes do tempo.Quando o movimento ocorre no plano, podemos expressar o vetorposio em funo dos vetores unitrios e associados ao sistema de eixoscoordenados OXY. A fi gura 45-b mostra que as componentes e do vetorposio coincidem com as coordenadas e do ponto onde a partcula seencontra, isto , e .ArAXYyAxAO^^Figura 45-b Vetor posio do ponto A.Por isso comum se representar o vetor posio da seguinte forma:r = x+ y .Cinemtica vetorial6060INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 60Exemplo 1: Um carro se desloca 80km entre os pontos A e B e a seguir 40km entre os pontos B e C (veja Figura 45-c). Os deslocamentos so retilneos. A reta que une os pontos A e B tem a direo Leste-Oeste e aquela que une os pontos B e C forma um ngulo de 30o com a direo LesteOeste. Escreva o vetor posio do carro associado aos pontos A, B e C em funo dos vetores unitrios e . As coordenadas do ponto A no sistema de eixos coordenados OXY soe .Resoluo:Figura 45-c Exemplo 1.A Figura 45-d mostra os vetores posio dos pontos A, B e C. As coordenadas dos pontos B so e .Figura 45-d Vetor deslocamento resultante. Figura 45-e Vetor deslocamento .Cinemtica vetorial6161 C E D E R JMDULO 3 - AULA 361O tringulo BC1 da Figura 45-e mostra que:cos (300) =B1BC B1 = 4032= 203 km = 35 kmsen(300) =C1BC C1 = 40 12= 20 km.Por isso, as coordenadas do ponto C so xC = 16 + 80 + 35 = 131 km eyC= 16 + 20 = 36 km . Conseqentemente, os vetores posio dos pontos A,B e C so respectivamente iguais aO vetor posio associado trajetria do carro (Figuras 40 e 41) , onde s(t) a distncia do carro at a origem O e o vetorunitrio (mdulo 1) na direo da reta que defi ne a trajetria (ver Figura 46).Os(t)r(t)Esta representao a mesma para os sistemas de eixos coordenados OXYe OXY. Podemos concluir ento que a representao vetorial da trajetria deuma partcula mais essencial do que a representao em coordenadas.Leituras e exerccios 4Leia sobre os assuntos Posio, Deslocamento nas sees 4.4 e 4.6 do textoFsica I-Mecnica do Gref.ffFaa os exerccios propostos.Figura 46 Representao da trajetria do carro com o vetor posioCinemtica vetorial6262INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 62VELOCIDADE MDIAVetor velocidadeNa vida prtica importante conhecer os deslocamentos associados a umcorpo e a rapidez com que esses deslocamentos ocorrem. Por exemplo, comum se dizer que algum se deslocou do Rio para So Paulo em seis horas. A grandeza que est associada rapidez com que um deslocamento ocorre a velocidade. O vetor velocidade mdia defi nido da seguinte forma:v m(t1, t2) =d(t2 t1) =d(t).A velocidade mdia um vetor porque o resultado da multiplicaodo vetor deslocamento pelo nmero real positivo . Ela tem a direo do deslocamento, isto , a direo da reta secante trajetria. Na Figura 47 esto representados o vetor deslocamento da partcula entre os instantes t1 t2 e o vetor velocidade mdia entre esses instantes.Figura 47 Vetores deslocamento e velocidade mdia.A fi gura 47 mostra que o vetor deslocamento a diferena entre os vetores posio nos instantes t1 e t2 , uma vez quer (t2) = r (t1) +d d = r (t2)r (t1)vetor deslocamento entre os pontos A e B. O vetor deslocamento dado por d1 = 80 (km) . A diferena entre os vetores posio dos pontos A e B . Portanto, o vetor deslocamento do ponto A para o ponto B a diferena entre os vetores posio dos pontos B e A. habitual denominar o vetor deslocamento por No adotaremos essa notao nesta aula para no sobrecarregar as expresses.Cinemtica vetorial6363 C E D E R JMDULO 3 - AULA 363P2 O QUE O VETOR VELOCIDADE MDIA?Exemplo 2: O carro do Exemplo 1 parte do ponto A e leva uma hora para se deslocar do ponto A at o ponto B e meia hora para se deslocar doponto B at o ponto C. Calcule o vetor velocidade mdia do carro associada aodeslocamento de A at C.Resoluo:A velocidade mdia .O conhecimento da velocidade mdia entre dois instantes permite calcularo deslocamento entre esses instantes, isto ,d = v m(t1, t2)(t2 t1).A velocidade mdia associada a intervalos de tempo pequenos conduz aoconceito de velocidade instantnea. Os matemticos tm uma operao que se adapta perfeitamente defi nio de velocidade instantnea, a operao de limite.Na Figura 48 est representada grafi camente a operao matemtica delimite utilizada na defi nio da velocidade instantnea.VelocidadeInstantneaFigura 48 Representao grfica do processo limite aplicado velocidade mdia.Cinemtica vetorial6464INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 64 medida que o intervalo de tempo diminui, a velocidade mdia seaproxima da velocidade instantnea. A velocidade mdia est mais prxima da velocidade instantnea que a velocidade mdia . Portanto, podemos dizer que quanto menor o intervalo de tempo melhor ser a seguinte aproximao:v m(t1, t1 + t) = v (t1)..A Figura 48 mostra que, medida que o intervalo de tempo diminui, a direo da velocidade mdia se aproxima da direo da reta tangente trajetria. Conseqentemente, podemos intuir que a direo da velocidade instantnea igual direo da reta tangente trajetria.P3 O que o vetor VELOCIDADE INSTANTNEA?A trajetria de uma partcula fi ca completamente determinada quando seconhece o vetor posio em todos os instantes de tempo.A Figura 49 mostra que, se conhecermos o vetor posio em um instante e o vetor deslocamento entre os instantes e , possvel obter o vetor posio em um instante .Figura 49 Soma do vetor posio com o vetor deslocamento.Quando o intervalo de tempo pequeno, o vetor deslocamentod = v m(t0, t0 + t) t pode ser obtido de forma aproximada com o vetor velocidade instantnea, isto ,Exemplo 3: A Figura 50 mostra o vetor posio e o vetor velocidadeinstantnea de uma partcula no tempo t=1s. Desenhe o vetor posio aproximado no instante de tempo t=1,1s .Cinemtica vetorial6565 C E D E R JMDULO 3 - AULA 365a velocidade instantnea so muito diferentes e a aproximao empregadaanteriormente para se calcular o vetor deslocamento no pode serutilizada. Neste caso, necessrio obter o vetor deslocamento , somando-sedeslocamentos sucessivos (ver Figura 52, com n=6) associados a n intervalos detempo pequenos .Resoluo:O vetor deslocamento associado ao intervalo de tempo 0,1 s dado por: d = 0, 1vm . O vetor posio no instante de tempo 1,1s . Como o intervalo de tempo 0,1s pequeno,podemos aproximar a velocidade mdia pela velocidade instantneaConseqentemente, temos que:A representao aproximada do vetor posio est na fi gura 51.Figura 51 Vetor posio.Figura 52 Obteno do vetor deslocamento a partir de seis deslocamentos sucessivosassociados a tempos iguais a t/6 .Os pequenos deslocamentos sucessivos podem ser obtidosaproximadamente com as velocidades instantneas, isto ,Cinemtica vetorial6666INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 66O vetor deslocamento pode ser escrito com uma boa aproximao daseguinte forma:,onde.A aproximao anterior se transforma em uma identidade quando o nmero de intervalos n tende para infi nito, isto ,.Conseqentemente, podemos concluir que o conhecimento do vetor posio inicial de uma partcula e da sua velocidade instantnea em toda a trajetria permite obter o vetor posio no instante do tempo , uma vez que . Como o intervalo de tempo foi escolhido arbitrariamente, podemos concluir que possvel conhecer o vetor posio em todo instante de tempo a partir do conhecimento do vetor posio inicial de umapartcula e da sua velocidade instantnea em toda a trajetria.P4 MOSTRE GRAFICAMENTE COMO POSSVEL OBTER O VETOR POSIO EM UM INSTANTE QUALQUER DE TEMPO QUANDO SE CONHECE A POSIO INICIAL DA PARTCULA E A SUA VELOCIDADE INSTANTNEA EM TODO INSTANTE DO TEMPO.Cinemtica vetorial6767 C E D E R JMDULO 3 - AULA 367Vetor aceleraoOutra informao importante associada a uma trajetria a rapidez comque a velocidade instantnea muda. Nesse caso, temos a acelerao mdia e aacelerao instantnea. Figura 53 A acelerao mdia.A acelerao mdia (Figura 53) entre dois instantes e tem aseguinte defi nio:Exemplo 4: O carro do Exemplo 1 se desloca entre os pontos A e B com umavelocidade com mdulo igual a 40km/h e de B para C com uma velocidadecom mdulo igual a 40km/h. O primeiro deslocamento se d em duas horas e osegundo em uma hora. Qual o vetor acelerao mdia do carro?Resoluo:A fi gura anterior mostra as velocidades do carro. As componentes dosvetores velocidades e so:ACELERAO MDIACinemtica vetorial6868INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 68O clculo das componentes da segunda velocidade realizado de maneira anloga ao do Exemplo 1 e utiliza o tringulo BC1.As componentes da acelerao mdia so:av vkm hav vmxx xmyy y0 3335 403530 330 2032 1 22 1, /,( ) = = ( ) = = = 22032km h/O vetor acelerao mdia dado por:a i j Km hmG G G0 3 1 7 6 7 2, , , /( ) +( )velocidade instantnea em um intervalo de tempo t , isto ,A acelerao instantnea a acelerao mdia tomada em intervalos detempo muito pequenos e defi nida pela operao de limite.,onde e .Em intervalos de tempo pequenos, temos que a acelerao mdia aproximadamente igual acelerao instantnea. .Quando o intervalo de tempo pequeno, a variao de velocidadepode ser obtida de forma aproximada com o vetor acelerao e instantnea, isto , a acelerao instantnea so muito diferentes e a aproximao utilizada anteriormente para calcular a variao de velocidade no pode ser utilizada. Nesse caso, necessrio obter a variao de velocidade somando variaes de velocidades sucessivas (ver Figura-54,com n=6) associadas a n intervalos de tempos pequenos .ACELERAO INSTANTNEACinemtica vetorial6969 C E D E R JMDULO 3 - AULA 369As pequenas variaes de velocidade podem serobtidas aproximadamente com as aceleraes instantneas, isto ,,onde .A variao de velocidade pode ser escrita como uma boa aproximaoda seguinte forma:v = a (t0) tn+a (t1) tn+ . . . +a (tn1) tn. .A aproximao anterior se transforma em uma identidade quando onmero de intervalos n tende para infi nito, isto ,.Conseqentemente, podemos concluir que o conhecimento do vetorvelocidade inicial de uma partcula e da sua acelerao instantneaem toda a trajetria permite obter o vetor velocidade em um instante de tempot = t0 + t , uma vez que . Como o intervalode tempo foi escolhido arbitrariamente, podemos concluir que possvelconhecer o vetor velocidade em todo instante de tempo a partir do conhecimentodo vetor velocidade inicial de uma partcula e da sua aceleraoinstantnea em toda a trajetria.A Mecnica da Partcula tem como objetivo encontrar a trajetria dapartcula a partir das suas leis. Veremos na aula 5 que as Leis de Newton fornecema acelerao instantnea da partcula. Portanto, se conhecermos a posio inicial,a velocidade inicial da partcula e a sua acelerao instantnea j sabemos comoconstruir grafi camente a sua trajetria.P5 Defina ACELERAO MDIA.P6 Defina ACELERAO INSTANTNEA.Figura 54 Soma de variaes sucessivas de velocidades em intervalos de tempos iguais a .Cinemtica vetorial7070INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 70Movimento unidimensionalComponentes dos vetores cinemticosOs vetores cinemticos podem ser representados por suas componentes.Essa representao simples no caso de movimentos unidimensionais quando um dos eixos coordenados coincide com a direo do movimento. Por exemplo, no caso em que o eixo OX coincide com a direo do movimento temos que:r (t) = x(t) ; a = (x(t2)x(t1)) ; v inst(t1) = limt0(x(t2) x(t1)t);a inst(t1) = limt0(vx(t2) vx(t1)t);Em alguns livros se denomina a componente x(t) do vetor posio por p(t)ou s(t). Os ndices x na acelerao e na velocidade tambm so esquecidos. Esserelaxamento na notao no deve induzir voc a pensar que p(t) ou s(t), v(t) e a(t)so os mdulos destas grandezas.Signifi cado geomtrico da componente da velocidade e da acelerao no movimento unidimensionalSignifi cado geomtrico da componente da velocidadeA trajetria de uma partcula que se desloca no eixo OX determinada pela sua posio x(t). A velocidade mdia e a velocidade instantnea tm um signifi cado geomtrico de fcil visualizao no grfi co de x versus t. Figura 55 Significado geomtrico da velocidade mdia.No grfico x versus t, a velocidade mdia o coeficiente angular da reta secante quepassa pelos pontos com coordenadas (t1,x1) e (t2,x2).Cinemtica vetorial7171 C E D E R JMDULO 3 - AULA 371As velocidades mdias e instantneas so iguais quando elas so constantes. No grfico x versus t avelocidade instantnea o coeficiente angular da reta tangente curva no instanteconsiderado.Figura 56 Representao geomtrica da velocidade instantnea.Figura 57Na Figura 55 est representada a posio x da partcula para os instantesde tempo e . O coefi ciente angular da reta secante curva que passa pelospontos com coordenadas (t1, vx1 ) e (t2, vx2 ) . Esse coefi ciente angular , por defi nio, a velocidade mdia da partcula, isto ,. Essa a interpretao geomtrica da componentevelocidade mdia em um movimento unidimensional.Na fi gura 56 foram desenhadas vrias retas secantes associadas s velocidadesmdias em intervalos de tempos cada vez menores . Observe que medida que o intervalo de tempo tende a zero, a reta secante se aproxima dareta tangente. Por isso, a velocidade instantnea representada geometricamente pelo coefi ciente angular da reta tangente curvade no ponto da curva com coordenadas .A fi gura 57 mostra que, no caso em que o grfi co de x versus t uma reta,ta velocidade mdia o coefi ciente angular da reta, sendo portanto constante.A reta tangente em cada ponto da reta coincide com a prpria reta. Comoa velocidade instantnea o coefi ciente da reta tangente, ela constante e igual velocidade mdia, isto , .Cinemtica vetorial7272INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 72 Neste caso, a acelerao mdiae a acelerao instantnea so nulas.Quando o grfi co de no uma reta, o clculo da velocidade instantnea tem que ser feito com a defi nio exata de limite que ensinadana disciplina Clculo I. Todavia, possvel obter uma estimativa numrica davelocidade instantnea calculando a velocidade mdia em intervalos de tempocada vez menores e verifi cando para que valor a velocidade mdia est tendendo.Exemplo 5: Uma partcula se desloca sobre o eixo OX em uma trajetria descrita pela equao horria (metros).1. Demonstre que a velocidade mdia entre os instantes de tempoe dada por2. Calcule a velocidade mdia para os intervalos de tempo iguais a 0,100s, 0,025s, 0,010s, 0,0005s e 0,0001s. D a sua resposta com quatro alga-rismos signifi cativos,3. Calcule a velocidade instantnea da partcula no instante t = 2,000s.4. Para quais intervalos de tempo as velocidades mdias calculadas no item 2 e a velocidade instantnea em t = 2,000s so iguais?Soluo:1. A velocidade mdia da partcula entre os instantes de tempo e dada por2. A tabela a seguir mostra os valores da velocidade mdia nos instantessolicitados. As velocidades mdias foram expressas com quatro algarismossignifi cativos.(s)0,1000 12,610,0250 12,150,01000 12,060,0005 12,000,0001 12,00Cinemtica vetorial7373 C E D E R JMDULO 3 - AULA 373Signifi cado geomtrico da componente da aceleraoNo grfico vx versus t a tcomponente da aceleraoinstantnea o coeficiente angular da reta tangente no instante considerado.Figura 59 Significado geomtrico da componente da acelerao instantnea.Figura 58 Significado geomtrico da componente da acelerao mdia.A acelerao mdia e a acelerao instantnea tm um signifi cadogeomtrico que de fcil visualizao quando fazemos o grfi co de .Na Figura 58, est representada a velocidade instantnea da partcula paraos instantes de tempo e . O coefi ciente angular da reta secante curvaque passa pelos pontos com coordenadas (t1, vx1 ) e (t2, vx2 ) .Esse coefi ciente angular , por defi nio, a acelerao mdia da partcula, isto ,.3. A velocidade instantnea em t = 2s v v t t t m sm2 2 2 12 6 122( ) = +( ) = + +( ) = lim limt 0 t 0 , / .4. As velocidades mdias associadas aos intervalos de tempo 0,010s, 0,005se 0,001s so iguais velocidade instantnea em t = 2,000sCinemtica vetorial7474INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 74Na Figura 59 foram desenhadas vrias retas secantes associadas s aceleraes mdias em intervalos de tempos cada vez menores. Neles, o instanteque defi ne a acelerao mdia fi ca cada vez mais prximo do instante de tempo . Observe que medida que o intervalo de tempo tende a zero, a reta secante seaproxima da reta tangente.Portanto, a acelerao instantnea representada geometricamente pelo coefi ciente angular da reta tangente curva no grfi co de no ponto da curva com coordenadas (t1, vx1 ).Figura 60 Movimento uniformemente acelerado.A Figura 60 mostra que, no caso em que o grfi co de vx versus t uma treta, a acelerao mdia o coefi ciente angular da reta, sendo portanto constante.A reta tangente em cada ponto da reta coincide com a prpria reta. Como a acelerao instantnea o coefi ciente da reta tangente, ela tambm constante eigual acelerao mdia.Problema inversoVimos anteriormente que o objetivo da Mecnica da Partcula encontrar o vetor posio da partcula como funo do tempo. No caso de um movimentounidimensional no eixo OX, o vetor posio da partcula fi ca completamente determinado quando conhecemos x(t). Como as Leis da Mecnica da Partcula fornecem a acelerao instantnea da partcula, nosso problema se reduz aencontrar x(t) a partir do conhecimento de ax(t). Esse problema denominado de problema inverso. Ele ser resolvido de forma qualitativa e geomtrica apenas para o movimento retilneo uniforme (ax=0) e o para o movimento uniformemente acelerado . A soluo rigorosa desse problema e deproblemas com aceleraes variveis ser deixada para a disciplina de Fsica I.As aceleraes mdias e instantneas so iguais quando elas so constantes.Cinemtica vetorial7575 C E D E R JMDULO 3 - AULA 375Movimento retilneo uniformeO movimento retilneo uniforme aquele em que a acelerao instantneae a acelerao mdia so nulas. Nesse caso temos que a velocidade instantnea constante, uma vez que.Como a velocidade instantnea constante, o grfi co de x versus t umareta (veja a Figura 61).Portanto, a velocidade mdia constante e igual velocidade instantnea.Conseqentemente, podemos obter x(t) utilizando a interpretao geomtrica davelocidade mdia.Existe uma representao geomtrica para o deslocamento. A fi gura 62 mostra que o deslocamento a rea sob a curva de versus t.x.Cinemtica vetorial7676INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 76Se considerarmos o intervalo de tempo entre os instantes e temos que:Portanto, o grfi co de x versus t uma reta com coefi ciente angular igualt velocidade instantnea. importante ressaltar que necessrio conhecer aposio inicial da partcula x(0) e a sua velocidade inicial vx(0) para que o vetorposio da partcula fi que completamente determinado.Movimento retilneo uniformemente aceleradoO movimento retilneo uniformemente acelerado aquele em que aacelerao instantnea constante. J sabemos que nesse caso a acelerao mdiatambm constante. Portanto, podemos obter com facilidade a dependncia davelocidade instantnea com o tempo. Se considerarmos o intervalo de tempo entre os instantes etemos:.Portanto, a equao horria que descreve a velocidade instantnea nomovimento retilneo uniformemente acelerado A posio no movimento uniformemente acelerado pode ser obtidaa partir do grfi co de da seguinte forma: Imagina-se um movimento diferente do real composto de N movimentosretilneos uniformes, cada um deles com durao . Figura 63 Representao geomtrica do deslocamento x.Cinemtica vetorial7777 C E D E R JMDULO 3 - AULA 377 Na Figura 63 dividimos o movimento em 10 intervalos (N=10)e representamos a velocidade do novo movimento (linha poligonal). Estemovimento e o real no so iguais. Eles tm em comum o ponto de partida, oponto de chegada e os valores das velocidades . O deslocamento total do movimento imaginrio dado por:onde denominamos .Observe que o deslocamento imaginrio a soma das reas dos retngulos,isto ,.Uma anlise qualitativa da Figura 63 permite intuir que, quando o nmero de movimentos retilneos tender para infi nito, o deslocamento imaginriose transformar no deslocamento real e a soma das reas dos retngulos setransformar na rea sob a reta que representa a velocidade de v em funo dotempo t. Ela a rea do trapzio retngulo de bases e e altura .Portanto, o deslocamento no movimento uniformemente acelerado se reduz a.No caso em que o instante e (t = t) o deslocamento nomovimento uniformemente acelerado se reduz a.Portanto, a equao horria do movimento retilneo uniformementeacelerado . fundamental que voc perceba que as equaes horrias obtidas anteriormentes podem ser utilizadas em movimento em que a acelerao instantnea constanteou nula, uma vez que elas foram obtidas a partir dessas hipteses.Cinemtica vetorial7878INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 78Leituras e exerccios 5LeiturasLeia sobre os assuntos Posio, Deslocamento, Velocidade e Acelerao e Cinemtica Escalar nas sees 4.4 e 4.6 do texto Fsica I-Mecnica do Gref. Faa os Problemas e questes de vestibulares do captulo 2 do livro deAntonio Mximo e Beatriz Alvarenga, Fsica - volume nico.Exerccio 1Um homem parte do ponto A e vai at o ponto C passando pelo ponto B (ver fi gura a seguir). O mdulo da sua velocidade constante eigual a 3km/h. Os deslocamentos so retilneos.YOSXABCObtenha, em termos dos unitrios e :os vetores posio dos pontos A, B e C;os vetores deslocamento entre A e B, entre B e C e entre A e C;o vetor velocidade mdia associado ao deslocamento total;o vetor acelerao mdia associado ao deslocamento total.Considere que o lado do quadriculado corresponde a 1m.Responda novamente ao Questionrio 3.Nesta aula definimos as velocidades e as aceleraes e suas relaes com as trajetrias. Observamos que possvel construir grafi-camente a trajetria de uma partcula a partir da sua acelerao instantnea, da posio inicial e da velocidade instantnea inicial. A discusso do movimento unidimensional permitiu obter uma soluo geomtrica para as trajetrias dos movimentos retilneo uniforme e uniformemente acelerado.Cinemtica vetorial7979 C E D E R JMDULO 3 - AULA 379Exerccios programados 71. Veja a minipalestra Cinemtica Vetorial.2. Um carro vai do ponto A at o ponto B, como ilustra a Figura 1.i. desenhe os vetores-posio dos pontos A e B. Expresse esses vetoresem termos dos unitrios e .ii. desenhe os vetores-deslocamento do ponto A ao ponto B e expresseem termos dos unitrios e . iii. supondo que o deslocamento ocorreu em 2h, calcule o vetorvelocidade mdia entre os pontos A e B.iv. As velocidades instantneas do carro nos pontos A e B sorespectivamente iguais a GvGA (80 + 40 )km/h e GvGB (80 )km/h.Calcule a acelerao vetorial mdia do carro entre os pontos A e B. Considere que cada quadrado vale 10km.Figura 1Cinemtica vetorial8080INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 80Gabarito1. Individual2. Um carro vai do ponto A at o ponto B como ilustra a fi gura a seguir.i. Desenhe os vetores posio dos pontos A e B. Expresse esses vetores em termos dos unitrios e .GrAr = 30km + 20kmGrB = 170km + 70kmii. Desenhe o vetor deslocamento do ponto A ao ponto B e expresse-o em termos dos unitrios e .G G Gr r rAB B A= = 170km + 70km (30km + 20km ) = 140km + 50kmGrAGrBGrAB =Cinemtica vetorial8181 C E D E R JMDULO 3 - AULA 381iii. Suponha que o deslocamento ocorreu em 2h calcule o vetorvelocidade mdia entre os pontos A e B.G Gv rti j i j km hm AB= =+= +( )140 50270 25 / iv. As velocidades instantneas do carro nos pontos A e B sorespectivamente iguais a GvGA (80 + 40 )km/h e GvGB (80 )km/h.Calcule a acelerao vetorial mdia do carro entre os pontos A e B. A acelerao mdia de uma partcula entre dois pontos o produto do vetor variao de velocidade entre esses pontos ( Gv ) pelo nmero 1/ t, onde t o intervalo de tempo que a partcula gasta para se deslocar entre esse pontos.Assim, temos:G G Ga v vti i j km h jm B A== += 80 80 40220 2( ) / C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3O que muda o movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 483O que muda o movimentoPrtica 1 Mesa de ForasExperimento - Equilbrio de trs foras coplanares concorrentesdecomposio em componentes;obteno da resultante de um dos pares;equilbrio do sistema.Figura 64 Mesa de foras.mstransferidorde acrlicosupermObjetivoMostrar experimentalmente que as foras so vetores.Material utilizado painel de foras para fi xao magntica, apoiado verticalmente sobrepar de trips; 3 dinammetros de fi xao magntica, graduados em newtons (mx. 2N); 3 ms de terras raras para fi xar os dinammetros; escala angular pendular, com divises em graus; 3 cordinhas com anis em suas extremidades.83 C E D E R JMDULO 3 - AULA 1O que muda o movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 84PrecauesAntes de iniciar a experincia,, o aluno deve ler as instrues bsicasexistentes no manual do painel de foras. Aqui repetiremos apenas as que podemprevenir danos:1. Nunca utilize o dinammetro acima de sua capacidade (2N).2. Nunca solte bruscamente a mola do dinammetro quando estiver esticada.a3. Nunca puxe os ms sem antes inclin-los levemente. Para soltar os ms de terras raras, use seus manpulos (pequenos cabos) para primeiro inclin-los,diminuindo a fora de reteno.4. Antes de comear o experimento zere os dinammetros.Informaes preliminaresInformaes preliminaresAs foras so puxes ou empurres e podem ser representados por segmentosde retas orientados. Na Figura 65 esto representadas as foras e . Figura 65 Soma de foras pela regra do paralelogramo. Cuidado!! O dinammetro que mede a fora F3 tem que ser zerado na posio em que ele vai ser utilizado.Vamos verifi car se o modelo que trata as foras como vetores temcomprovao experimental. A condio necessria para que as foras sejamvetores que elas se somem pela regra do paralelogramo, isto , que as seguintesrelaes sejam satisfeitas:R =F12 + F22 2F1F2 cos () e sen()R=sen()F2.O que muda o movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 485Outra forma de expressar esse resultado atravs das componentes dasforas, isto ,Rx = F1x + F2x; Ry = F1y + F2yEsse experimento permite medir as foras , e a fora(ver Figura 66).A Figura 66 mostra que a fora anula o efeito das foras e. Portanto, ela fora . Logo, podemos medir diretamente a fora .Assim, a mesa de foras tambm permite medir a fora resultante .Atividade experimental1. Monte o painel de foras na posio vertical, usando um nvel de bolhacircular para o nivelamento dos trips e do suporte do painel.2. Acople os trs dinammetros D, conforme a Figura 64. Use umacordinha para os dois de cima, com um anel de cada extremidade conectado acada um deles. Dobre ao meio uma outra cordinha, passe-a sobre a primeira eprenda seus dois anis no dinammetro de baixo.3. Acople a escala angular pendular C ao painel. Veja a Figura 64. Cuidado,no deixe essa escala cair. Em caso de dvida na colocao do painel, consulte omanual da mesa de foras.4. Movimente os dinammetros de forma a conseguir que o ponto deconcorrncia das foras situe-se no centro da escala angular pendular e que osngulos medidos em relao ao eixo positivo dos X sejam e(o ngulo entre as foras ser de 1200).XYDDC F33F1F21 2DFigura 66 Medidas diretas das foras.O que muda o movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 865. Preencha as tabelasAnlise dos dadosAs componentes das foras , e so, respectivamente:F1x = F1 cos (1) ; F1y = F1sen(1)F2x = F2 cos (2) ; F2y = F2sen(2)F3x = 0 ; F3y = F3O erro de uma soma de uma funo O erro de uma funo .O erro de uma funo .Leia ocomplemento 2 sobre o clculo de erros.F1x F2x F1y F2y F1x + F2x F1y + F2y[N] [N] [N] [N] [N] [N]|F1x| |F1y | |F2x| |F2y | |F1x + F2x| |F1y + F2y|[N] [N] [N] [N] [N] [N]Tabela 2 Medidas indiretas.Tabela 3 Erros das medidas indiretas.|F1| |F2| |F3| 1 2 |F1| |F2| |F3| 1 2 3[N] [N] [N] (graus) (graus) [N] [N] [N] (radianos) (radianos) (radianos)Tabela 1 Medidas diretas.O que muda o movimentoC E D E R JMDULO 3 - AULA 487Compare as componentes da soma das foras e obtidas porclculo indireto (Tabela 2) com as componentes da fora medidas diretamente(Tabela 1) e verifi que se o modelo que soma foras como vetores comprovadopor esse experimento.Concluso:C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3Leis de Newton89 C E D E R JMDULO 3 - AULA 589Leis de NewtonObjetivos:Discutir o conceito de fora e as Leis de Newton. IntroduoNas Aulas 1, 2 e 3 apresentamos os conceitos necessrios para a descriodos movimentos. Nesta aula vamos estudar as causas dos movimentos. Ela composta de sete partes.O que sei sobre as leis do movimento e as foras? um questionrio quetem como fi nalidade levantar as suas idias prvias sobre o assunto.Foras e suas caractersticas um texto que discute as idias intuitivassobre foras.Leis de Newton um texto que discute as leis que permitem entender eprever os movimentos dos corpos.Leituras e exerccios 6 so textos e exerccios sobre foras no livro FsicaVolume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga) e exerccios propostos.Leituras e exerccios 7 so textos e exerccios sobre a Primeira Lei deNewton (a lei da inrcia) no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo eBeatriz Alvarenga) e exerccios propostos.Leituras e exerccios 8 so textos e exerccios sobre a Segunda Lei deNewton no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga) eno livro Fsica 1- Mecnica, do Gref, e exerccios propostos.Leituras e exerccios 9 so textos e exerccios sobre a Terceira Lei deNewton (a lei da ao e reao) no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximoe Beatriz Alvarenga).Leis de Newton90INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 90O que sei sobre as leis do movimento e as foras? As questes apresentadas a seguir tm como fi nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre foras e as leis de Newton.Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre as foras e as leis de Newton antes edepois de trabalhar esta unidade importante para o seu aprendizado.Questionrio 41. Qual a noo intuitiva de fora ?2. O que so foras de contato? D exemplos.3. O que so foras de ao a distncia? D exemplos.4. Como se medem as foras?5. As foras so vetores? Por qu?6. Qual a expresso da fora gravitacional entre duas massas?l7. Enuncie a Primeira Lei de Newton.8. Enuncie a Segunda Lei de Newton.9. Enuncie a Terceira Lei de Newton.10. O que a massa mede?Leis de Newton91 C E D E R JMDULO 3 - AULA 591de costas est empurrando o outro lutador, isto , est exercendo um fora sobre ele. Foras e suas caractersticasDefi nioDesde a Antigidade, vrias perguntas preocupavam os cientistas:Quais so as causas do movimento?H necessidade de alguma ao para manter um corpo em movimento?O que pode alterar o movimento de um corpo e de que forma essaalterao se realiza?As respostas a essas questes foram dadas h aproximadamente trssculos por Isaac Newton. Ele formulou as trs leis que explicam as causas domovimento baseando-se nas suas observaes e em trabalhos de alguns cientistasque o antecederam, como Galileu.Iniciaremos o estudo dessas leis discutindo o conceito de fora.A nossa experincia cotidiana mostra que puxes e empurres podemprovocar o incio e o fi nal de um movimento. Esses puxes e empurres sodenominados foras. FORASFigura 67 A bola entra em movimento quando empurrada pelo p do jogador. O p do jogador exerce uma fora sobre a bola.Figura 70 O homem est puxando acorda, isto , est exercendo uma forasobre ela.Figura 69 O remo est empurrando a gua para trs, isto , est exercendo uma fora sobre a gua.Leis de Newton92INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 92P-1 Qual a definio intuitiva de foras?Foras de contatoEm todos os exemplos apresentados anteriormente, a fora que atua sobreo corpo exercida por outro corpo que est em contato com ele. Essas foras sodenominadas foras de contato.A fora que atua na bola exercida pelo p que est em contato com ela.A fora que atua sobre o lutador de sum que est de frente exercidapelas mos do outro lutador. Elas esto em contato com ele.A fora que atua sobre a gua est sendo exercida pelo remo que est emcontato com ela.A fora que puxa a corda est sendo exercida pelas mos do homem, que esto em contato com a corda.As foras de contato surgem quando tentamos deformar, arrastar ou puxar um corpo.Figura 71-a A cama elsticaempurra o menino para cima.Figura 71-b A mola puxa a mo quando esticada e a empurra quando comprimida.FORAS DE CONTATOA cama elstica empurra o menino para cima quando esticada para baixo(fi gura 71-a). A mola empurra a mo quando comprimida e a puxa quando esticada (fi gura 71-b). Leis de Newton93 C E D E R JMDULO 3 - AULA 593A mo que empurra a parede na fi gura 72 deforma a superfcie da parede.Nesse caso, a deformao muito pequena , sendo imperceptvel.Como a cama elstica, a parede deformada empurra a mo para fora.FORA NORMALFora de atrito entre superfcies slidas.A fora que uma superfcie exerce sobre um corpo na direo perpendiculara ela denominada fora normal.A resistncia que encontramos quando tentamos arrastar um objeto sobreuma superfcie depende do par de superfcies. A superfcie de uma caixa deslizacom mais facilidade sobre uma superfcie de mrmore do que sobre um tapete(fi gura 73). A fora que difi culta o deslizamento da superfcie de um corpo sobrea superfcie de outro corpo chamada fora de atrito. Ela tem a direo das retastangentes superfcie. O seu sentido tal que ela se ope ao movimento ou tendncia ao movimento de uma superfcie em relao a outra superfcie.Figura 72 A superfcie da parede empurra a mo, impedindo-a de penetrar no seu interior.Podemos entender qualitativamente o aparecimento da fora de atritocom um modelo simples. Nesse modelo supomos que as superfcies apresentampequenas irregularidades . Elas difi cultam o deslizamento de umasuperfcie sobre a outra.Figura 73 A superfcie da caixa desliza com mais facilidade sobre um piso de mrmore do que sobre um tapete.Figura 74 As pequenas irregularidades entre as superfcies criam a forade atrito que dificulta o deslizamento da caixa.Leis de Newton94INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 94Dizemos que uma superfcie lisa quando as foras de atrito exercidas por outras superfcies sobre ela so desprezveis.Quando a superfcie de um corpo se movimenta no interior de uma camada defl uido, como por exemplo de ar, o fl uido exerce uma fora de atrito (resistncia do ar) sobre ele. A nossa experincia diria mostra que essa resistncia do ar aumenta com o tamanho da superfcie do corpo e com a sua velocidade. Por exemplo, fcil perceber que uma folha de papel aberta cai muito mais devagar do que umafolha de papel amassada. Em um dia sem vento, no sentimos a presena do arquando caminhamos. No entanto, se estivermos em um carro com velocidade de80km/h e colocarmos a mo para fora do carro, sentiremos nitidamente a nossamo ser empurrada para trs pelo ar.Quando entramos em uma piscina nos sentimos mais leves. Isso ocorre porque a gua nos empurra para cima com a fora empuxo. Veremos na aula 7 que o mdulo da fora empuxo igual ao peso do volume de gua deslocado.Um objeto imerso no ar tambm empurrado para cima pela fora empuxo queo ar exerce sobre ele. Quando o peso do objeto muito maior do que o peso do ar deslocado, a fora empuxo pode ser desprezada. Este o caso de objetos com densidades muito maiores do que a densidade do ar . No caso de um objeto com densidade menor do que a densidade do ar (um balo, porexemplo) a fora empuxo no pode ser desprezada.P2 O que so foras de contato?P3 Descreva as caractersticas da fora normal. Por que a fora normal aparece?P4 Descreva as caractersticas da fora de atrito. Por que ela aparece?P5 Descreva as caractersticas da fora empuxo. Por que elaaparece?P6 Descreva as caractersticas da fora de atrito com ar. Por queela aparece?Resistncia do arFora empuxoLeis de Newton95 C E D E R JMDULO 3 - AULA 595, exerce uma fora sobre a bola a distncia.Foras de ao a distnciaA constatao de que na maioria das vezes em que um corpo colocadoem movimento h um outro corpo em contato empurrando-o ou puxando-o nos faz crer erradamente que para que haja fora tem que existir contatoentre os corpos. Essa crena aparece nos filmes. Neles, somente fadas ebruxas conseguem movimentar os objetos sem toc-los. Foras de ao a distnciaExistem foras que so exercidas sem que haja contato entre os corpos.Elas so denominadas foras de ao a distncia. A fora gravitacional e a foraeletromagntica so foras de ao a distncia. A Terra puxa os corpos mesmoquando no est em contato com eles. Na fi gura 76, a Terra est puxando a mamesmo sem estar em contato com ela.Figura 76 A ma puxada pela Terra, que no est em contato com ela.Leis de Newton96INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 96O valor da razo entre os mdulos das foras gravitacionais exercidaspela Lua e pela Terra sobre um corpo na superfcie da Terra nos permite desprezar afora gravitacional da Lua sobre esse corpo. Analogamente, o valor da razoentre os mdulos das foras gravitacionais exercidas pelo Sol e pela Terra sobreum corpo na superfcie da Terra nos permite desprezar a fora gravitacional do Sol sobre esse corpo. Podemos ento concluir que as foras gravitacionais exercidaspelos corpos celestes sobre corpos prximos Terra podem ser desprezadas.Os ms e os corpos eletrizados tambm exercem foras de ao a distncia. Na fi gura 77 o m puxa o prego, que no est em contato com ele.Figura 77 O m puxa o prego,que no est em contato com ele.As foras gravitacionais decorrem da interao entre massas. A foragravitacional entre duas massas proporcional ao produto das massas einversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas. A razo entre a atrao gravitacional exercida por dois corpos celestessobre uma massa m 1 e m2 so as massas dos corpos celestes e d1 e d2 so as distncias entre eles e a massa m.Os dados apresentados a seguir permitem calcular a razo entre os mdulos das foras gravitacionais exercidas pela Lua e pela Terra e a razo entre os mdulos das foras gravitacionais exercidas pelo Sol e pela Terra em um corpo que est sobre a superfcie da Terra.Ver aula 2 no Mdulo 2FORAS GRAVITACIONAISLeis de Newton97 C E D E R JMDULO 3 - AULA 597FUNDAMENTAISNeutrino uma partcula sem massa esem carga eltrica.Estimemos agora a fora gravitacional entre corpos do nosso cotidiano(pessoas, mesas, cadeiras, nibus, caminhes etc). Por exemplo, vamos calculara fora gravitacional entre um homem e uma mulher com massas iguais a 100kge que esto separados de uma distncia de 1m. O mdulo da fora gravitacionalexercida pela mulher sobre o homem .Ela muito pequena e pode ser desprezada. Fica claro por essa estimativa queas atraes gravitacionais entre objetos do nosso cotidiano (bicicletas, pessoas,casas, edifcios etc.) em relao aos seus pesos podem ser desprezadas.P7 O QUE SO FORAS DE AO A DISTNCIA? CITE EXEMPLOS.P8 QUAL A RELAO ENTRE AS FORAS GRAVITACIONAIS EXERCIDAS PELO SOL E PELA TERRA EM UM OBJETO DE MASSA M LOCALIZADO NA SUPERFCIE DA TERRA?P9 QUAL A RELAO ENTRE AS FORAS GRAVITACIONAIS EXERCIDAS PELA LUA E PELA TERRA EM UM OBJETO DE MASSA M LOCALIZADO NA SUPERFCIE DA TERRA?P10 QUAL A RELAO ENTRE AS FORAS GRAVITACIONAIS EXERCIDAS POR UM CORPO COM MASSA DE 100KG E PELA TERRA EM UM OBJETO DE MASSA M LOCALIZADO NA SUPERFCIE DA TERRA? A DISTNCIA ENTRE A MASSA M E A MASSA DE 100KG DE UM METRO.As interaes fundamentais da Natureza primeira vista, poderia parecer que existe uma grande diversidade deforas na Natureza; no entanto, at hoje s foram identifi cados quatro tipos deinteraes fundamentais.A interao gravitacional entre as massas.A interao eletromagntica entre cargas eltricas, ms e correntes eltricas.aA interao nuclear entre prtons, nutrons etc.A interao fraca entre nutrons, prtons, eltrons, neutrinos etc.A interao nuclear entre os prtons e nutrons dos ncleos responsvelpela estabilidade dos ncleos dos tomos.As foras de contato (normais, foras de atrito, foras de molas, forasde cordas etc.) tm natureza eletromagntica. Elas so resultantes das interaesentre as cargas eltricas dos tomos e molculas das superfcies dos corpos neutros.Lembre-se de que todos os corpos neutros so compostos por um nmero igual decargas eltricas positivas e negativas distribudas nos seus volumes.Leia sobrecorpos neutros noMdulo 4.Leis de Newton98INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 98FF=0F=AF=2Ad2dd=0a b c dFigura 79 A fora uma grandeza que tem mdulo, direo e sentido.P11Quais so as interaes fundamentais da natureza?Intensidade, direo e sentido de uma foraAs intensidades das foras podem ser medidas com molas lineares. Molaslineares so aquelas cujas elongaes so proporcionais s foras que atuam sobre as suas extremidades, isto , (d a elongao da mola). O instrumento que utiliza molas para medir foras chamado de dinammetro.Figura 78 Os dinammetros so utilizados para medir foras.O efeito de uma fora sobre um objeto depende da intensidade, direo esentido em que ela aplicada. Na fi gura 79 observamos a trajetria de uma bola debilhar inicialmente em repouso devido a tacadas com direes e sentidos diferentes.Como as foras tm mdulo, direo e sentido, so representadas por segmentosde reta orientados. Alm disso, resultados experimentais demonstram que as foras sesomam pela regra do paralelogramo. Conseqentemente, elas so vetores.P12 Como se medem as foras?AS FORAS SO VETORES.Leis de Newton99 C E D E R JMDULO 3 - AULA 599Identifi cando as foras que atuam sobre corposO movimento de um corpo vai depender das foras que atuam sobreele. Faz-se necessrio na anlise do movimento de um corpo identifi cartodas as foras que atuam sobre o corpo. Essa identifi cao facilitadaquando construmos o diagrama de foras do corpo. Propomos o seguintealgoritmo para construir diagramas de foras:1. Identifi car o sistema que vai ser analisado (objeto de estudo). Fazer umdesenho do objeto de estudo separado dos outros corpos.2. Identifi car os corpos que pertencem ao exterior do sistema e que esto emcontato com ele. No caso em que eles exercem foras sobre o sistema (empurresou puxes), desenhar essas foras sobre ele.3. Verifi car se existem foras gravitacionais.Neste mdulo, iremos supor que no existem foras eletromagnticasproduzidas por corpos carregados, correntes eltricas e ms atuando sobreos corpos. Exemplo 1: Um menino est empurrando a caixa com uma fora horizontal.Faa o diagrama de foras da caixa. Despreze a fora exercida pelo ar.NPfAF1Figura 81 Desenho querepresenta o objeto de estudo.Figura 80 Menino empressando a caixa.Algoritmo umconjunto finito de passos para se chegara um resultado.Algoritmo do diagrama de foras produzidaspor corpos carregados,correntes e mas.Vamos aplicar o algoritmo de diagramas de foras caixa.A caixa o objeto de estudo. Ela foi desenhada separada dos outroscorpos, na fi gura 81.Esto em contato com a caixa as mos do menino, o piso e o ar.O exerccio manda desprezar a resistncia do ar. As mos do menino estoempurrando a caixa na direo horizontal. A fora associada a esse empurrofoi denominada . O piso est sendo empurrado pela caixa que tenta penetrarnele. Ele se deforma de maneira imperceptvel e empurra a caixa para cima, comose fosse uma cama elstica. Esse empurro a fora normalN . As imperfeiesda superfcie do piso empurram a superfcie da caixa em sentido contrrio ao dafora . Esse empurro a fora de atrito .Leis de Newton100INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 100Figura 82 Ma caindo.Figura 83 A ma est em repouso no solo.Das foras gravitacionais que atuam sobre a caixa, apenas a foragravitacionalP exercida pela Terra no desprezvel.Todas as foras que atuam na caixa esto representadas na fi gura 81.Leituras e exerccios 6LeiturasLeia a seo 3.1, intitulada Foras e suas caractersticas, Intensidade, direo e sentido de uma fora, Representao de uma grandeza vetorial e Medida de uma fora, no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Dessa mesma seo faa os exerccios de fi xao de 1 at 7.Exerccio 9 A fi gura 82 mostra uma ma caindo. Aplique o algoritmo dodiagrama de foras ma. Despreze a resistncia do ar.Exerccio 10 A fi gura 83 mostra uma ma em repouso no solo. Aplique oalgoritmo do diagrama de foras ma. Despreze a resistncia do ar.Leis de Newton101C E D E R JMDULO 3 - AULA 5101Figura 86 Poltico no palanque.Exerccio 12: A fi gura 85 mostra uma ma deslizando sobre um planoinclinado liso. Aplique o algoritmo do diagrama de foras ma. Despreze aresistncia do ar.Figura 84 Ma sendo empurradaem um plano liso.Exerccio 11 A fi gura 84 mostra uma ma sendo empurrada em umasuperfcie lisa. Aplique o algoritmo do diagrama de foras ma. Despreze aresistncia do ar.Figura 85 A ma descendo um plano inclinado liso.Exerccio 13 A fi gura 86 mostra um poltico em um palanque improvisado(caixa) que est sobre o solo (o cho). Aplique o algoritmo do diagrama de foras:a) caixa;b) ao poltico.Despreze a resistncia do ar.Leis de Newton102INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 102Exerccio 14 A fi gura 87 mostra um menino que est empurrando umacaixa sobre uma parede com uma fora horizontal. Aplique o algoritmo do diagrama de foras:a) caixa;b) ao menino.Despreze as foras exercidas pelo ar sobre a caixa.As Leis de NewtonAps a discusso qualitativa sobre foras (empurres e puxes ou interaes a distncia entre os corpos), vamos retornar s questes iniciais desta aula.Quais so as causas do movimento?H necessidade de alguma ao para manter um corpo em movimento?O que pode alterar o movimento de um corpo e de que forma essaalterao se realiza?Primeira Lei de NewtonVimos na aula 1 que todo movimento relativo. A escolha de um referencial muito importante na descrio dos movimentos dos corpos.As leis do movimento dos corpos foram obtidas utilizando-se a Terra como referencial. Discutiremos agora algumas das observaes que ajudaram e atrapalharam a descoberta das leis do movimento. Tentaremos responder s duas primeiras questes que foram apresentadas no incio desta aula. Quais as causas do movimento, do ponto de vista do referencial da Terra?Figura 87 Menino empurrando a caixa sobre a paredeLeis de Newton103C E D E R JMDULO 3 - AULA 5103Quem pra os corpos so as foras de atrito. O nosso mundo tem atrito por todaparte. Por isso, durante muito tempo, a lei do movimento aceita como correta era:Um corpo s pode permanecer em movimento se existir uma foraatuando sobre ele. (fi gura 88).Qualquer pessoa que no conhea as leis da mecnica concordar com essa lei.As idias de Galileu sobre o movimentoO cientista Galileu fez uma srie de experimentos com corpos emmovimento. Imaginou um mundo sem atrito e concluiu que nesse mundo poderiahaver movimento sem que houvesse foras atuando sobre um corpo (fi gura 89).Os exemplos apresentados anteriormente nos levam a concluir que so asforas que colocam os corpos em movimento: a ma puxada na direo dasuperfcie da Terra pela fora peso, a bola de bilhar empurrada pelo taco, acaixa empurrada pelo menino etc. H necessidade de alguma ao para manter um corpo em movimento?Desde a nossa infncia sabemos que, para manter um corpo emmovimento, precisamos empurr-lo de vez em quando, isto , precisamos aplicaruma fora sobre ele. Era isso que fazamos quando empurrvamos o nossocarrinho de beb, a cadeira da sala etc. Todos sabemos que se arremessarmos umacaixa sobre a superfcie de uma mesa muito comprida ela pra antes de cair. mento enquanto empurrado.Figura 89 Movimento de um corpo em uma mesa longa e sem atrito.Galileu Galilei-Fsico e astrnomo italiano (Pisa, 1564 Arcetri,perto de Florena, 1642). Fez experimentosdecisivos para estabelecer os princpios da dinmicaLeis de Newton104INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 104Uma das verses atuais da lei do movimento enunciada por Galileu :Se um corpo estiver em repouso, necessria a ao de uma fora sobre ele para coloc-lo em movimento; cessando a ao das foras, o corpo continuar a se mover indefi nidamente em linha reta, com velocidade constante.Essa lei conhecida como Lei da Inrcia.Portanto, a lei do movimento de Galileu responde nossa primeira pergunta.No h necessidade da ao de uma fora para manter um corpo em movimento.InrciaExistem vrios exemplos do cotidiano onde a lei da inrcia comprovada.Por exemplo, um corpo que est em repouso sobre a superfcie da Terra permanece em repouso sobre ela, a menos que uma fora atue sobre ele. Um esquiador que se coloca em movimento empurrando a neve para trs permanece em movimentoretilneo uniforme em uma superfcie de neve plana at que volte a empurrar aneve para parar (fi gura 90). Isso ocorre porque o atrito entre a camada de gua que est em contato com o esqui e o esqui pequeno.Pense em outros exemplos em que os corpos tm a tendncia a manter o seu estado de movimento. Essa propriedade dos corpos denominada inrcia.Figura 90 O esquiador sabe que em uma superfcie de neve plana ele permanece emmovimento retilneo uniforme, enquanto no empurrar a neve para parar. Leis de Newton105C E D E R JMDULO 3 - AULA 5105A Primeira Lei de NewtonIsaac Newton formulou, vrios anos aps Galileu, as trs leis que regem omovimento dos corpos na Terra e nos cus. A Primeira Lei de Newton a Lei daInrcia de Galileu. PRIMEIRA LEI DE NEWTONExistem referenciais onde um corpo isolado permaneceem repouso ou continua em movimento retilneo comvelocidade constante. Dizemos que um corpo est isoladoquando a fora resultante que atua sobre ele nula. Os referenciais onde vale a Primeira Lei de Newton so denominadosreferenciais inerciais.As Leis de Newton foram descobertas no referencial da Terra. Logo,podemos concluir que, pelo menos nas anlises dos movimentos dos corposassociados ao nosso cotidiano (movimento de carros, bicicletas etc.), ela pode serconsiderada inercial. Na realidade, a Terra no um referencial inercial porque elagira em torno do seu eixo. Entretanto, o movimento de rotao da Terra em tornodo seu eixo afeta muito pouco os movimentos usuais, na escala de laboratrio,e na prtica empregamos o laboratrio como um referencial inercial. Por outrolado, um referencial ligado s estrelas fi xas , com excelente aproximao, umreferencial inercial. importante entender o signifi cado da fora resultante. Na aula 4 foiverifi cado experimentalmente que as foras so vetores, somando-se portantopela regra do paralelogramo. Isso signifi ca que o empurro ou puxo quevrias foras exercem sobre um corpo equivalente a um nico empurroou puxo caracterizado pelo mdulo, direo e sentido da fora resultante.A fora resultanteP a soma vetorial de todas as foras que atuam em um corpo.P14- Enuncie a Primeira Lei de Newton.Vamos calcular as foras resultantes dos sistemas descritos nos exercciosde 6 a 9. Mas, antes, fundamental relembrar as vrias representaes de vetorese das somas de vetores: REFERENCIAIS INERCIAISFORA RESULTANTEEstrelas fixas so aquelas que noapresentam movimento relativo entre si.Leis de Newton106INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 106Representao simblica de um vetor: o vetor representado por umaletra com uma seta em cima, por exemplo,P . Ela abstrata e no fornece nenhuma informao sobre o mdulo, direo e sentido do vetor. Ela pode fornecer informaes relativas entre vetores, por exemplo, o vetor tem a mesma direo e o mesmo mdulo do vetorP e sentido contrrio ao dele.Representao simblica de uma soma de vetores: a soma dos vetores e denotada por . Ela tambm abstrata e signifi ca que os vetores devem ser somados pela regra do paralelogramo. Ela no fornece a direo, omdulo e o sentido do vetor obtido pela soma, isto , do vetor resultante.Representao geomtrica de um vetor: o segmento de reta orientadoque representa geometricamente o vetor. Por exemplo, no exemplo 9, a representao da foraP a seta vertical com o sentido de cima para baixorepresentada na Figura 81.Representao geomtrica da soma de vetores: o segmento de retaorientado obtido aplicando-se a regra do paralelogramo aos segmentos de retaorientados que representam os vetores.Representao em componentes de um vetor: fornecem-se os eixoscoordenados com os seus unitrios e os valores das componentes dos vetores.Por exemplo, no sistema de eixos cartesianos da fi gura ao lado, o vetor representado por .Lembre-se de que a componente de um vetor em uma direocaracterizada por um vetor unitrio o nmero por que se deve multiplicar o vetor unitrio naquela direo para se obter o vetor projetado. Ela positiva quando o vetor projetado tem o sentido de e negativa quando o sentido contrrio. Projetar um vetor em uma direo caracterizada por uma reta (1-2), levantar, a partir dessa reta, perpendiculares que passam pelo incio e pelo fi nal do vetor. O mdulo da projeo|Au| = d a distncia entre as perpendiculares.Precisamos desse lembrete para calcular as componentes dos vetores.No caso em que o vetor perpendicular a um dos eixos, o vetor projetado naquele eixo nulo porque a distncia entre as duas retas que o projetam nula. Veja na fi gura ao lado as projees da fora peso. O vetor peso projetado na direo OX nulo porque as duas retas perpendiculares ao eixo OX que fazem a projeo coincidem, sendo portanto a distncia entre elas nula. O mdulo do vetor projetado da fora peso na direo do eixo OY P. A sua componente negativa porque o seu sentido contrrio ao do unitrio . , .Leis de Newton107C E D E R JMDULO 3 - AULA 5107Exemplo 2: Qual a fora resultante que atua em uma ma que estcaindo? Fornea a representao simblica, geomtrica e em componentes dafora resultante. Despreze a resistncia do ar.Figura 92 Fora resultante na ma que est em repouso no solo.Figura 91 Fora resultante na ma.Resoluo: Vamos construir o diagrama de foras do nosso sistema utilizando oalgoritmo do diagrama de foras. O nosso objeto de estudo a ma. A ma desenhada separada dosoutros corpos, no lado direito da fi gura 91.Nesse caso, somente o ar est em contato com a ma. Como o problemainforma que a fora que o ar exerce sobre a ma desprezvel, no existe forade contato. A nica fora gravitacional que no desprezvel o pesoP da ma.A representao simblica da fora resultante na ma .A representao geomtrica da fora resultante a seta que representa afora peso na fi gura 91.A representao em componentes da fora resultante R = P .O mdulo da fora resultante P.Exemplo 3: Qual a fora resultante que atua em uma ma que est nosolo? Considere o mdulo da normal igual ao mdulo da fora peso. Forneaa representao simblica, geomtrica e em componentes da fora resultante.Despreze a resistncia do ar.Leis de Newton108INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 108Resoluo:Vamos construir o diagrama de foras do nosso sistema utilizando oalgoritmo do diagrama de foras.O nosso objeto de estudo a ma. A ma foi desenhada separada dosoutros corpos no lado direito da fi gura 92.Nesse caso, esto em contato com a ma o ar e o solo. Como o problema informa que a fora que o ar exerce sobre a ma desprezvel, a nica fora decontato que existe a que o solo exerce sobre ela. A ma tenta penetrar no solodeformando de forma imperceptvel (como uma cama elstica). A superfcie do solodeformada empurra a ma para cima, isto , exerce a fora normal sobre a ma. Como ningum est tentando arrastar a ma no solo, no existe fora de atrito.A nica fora gravitacional que no desprezvel o pesoP da ma.A representao simblica da fora resultante que atua na ma a fora peso, .A representao geomtrica obtida aplicando a regra do paralelogramos setas que representam a fora peso e a fora normal. A fi gura ao lado mostra que a fora resultante nula.A fora resultante na representao de componentes nula, .O mdulo R da fora resultante .Exemplo 4: Qual a fora resultante que atua em uma ma que deslizasobre uma superfcie sem atrito empurrada horizontalmente para a direita por uma mo (ver fi gura 93)? Considere o mdulo da fora peso igual ao mdulo da fora normal.Fornea a representao simblica, geomtrica e em componentes.O nosso objeto de estudo a ma. A ma foi separada dos outroscorpos e colocada no lado direito da fi gura 93.Nesse caso, esto em contato com a ma o ar, e o solo e a mo. Como o problema informa que a fora que o ar exerce sobre a ma desprezvel, asforas de contato so exercidas pelo solo e pela mo. A ma tenta penetrar nosolo deformando-o de forma imperceptvel (como uma cama elstica).Figura 93 Ma sendo empurrada em um plano liso.Leis de Newton109C E D E R JMDULO 3 - AULA 5109A superfcie do solo deformada empurra a ma para cima, isto , exercea fora normal sobre a ma. Como a superfcie lisa, no tem atrito. A moque est em contato com a ma exerce sobre ela uma fora horizontal .A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso da ma.A representao simblica da fora resultante que atua na ma A aplicao da regra do paralelogramo aos vetores mostra que afora resultante igual fora . Por isso, a sua representao geomtrica igual da fora . O mdulo da fora resultante F.A representao em componentes da fora resultante .Exemplo 5 Qual a fora resultante que atua em uma ma que descesobre um plano inclinado liso (Figura 94)? Fornea a representao simblica,geomtrica e em componentes da fora resultante.Figura 94 A ma descendo um plano inclinado liso.O nosso objeto de estudo a ma. A ma foi desenhadaseparada dos outros corpos e colocada no lado direito da fi gura 94. Nesse caso, esto em contato com a ma o ar e a superfcie do planoinclinado. Como o problema informa que a fora que o ar exerce sobre a ma desprezvel, as foras de contato so exercidas pela superfcie do plano. A matenta penetrar na superfcie do plano deformando-a de forma imperceptvel(como uma cama elstica). A superfcie deformada empurra a ma para cimaperpendicularmente superfcie, isto , exerce a fora normal sobre a ma.Como a superfcie lisa, no h atrito. A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso da ma.A representao simblica da fora resultante que atua na ma R =N +P .A representao geomtrica obtida somando-se os vetores e pelaregra do paralelogramo.Leis de Newton110INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 110Figura 95 A fora resultante que atua na ma.A representao da fora resultante em componentes R = P sen + (N P cos) .Leituras e exerccios 7LeiturasLeia as sees 3.2 e 3.3, intituladas Inrcia - A Primeira Lei de Newton e Fora de atrito do livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Dessa mesma seo faa os exerccios de fi xao de 8 at 15.Exerccio 15 O diagrama de foras de uma ma que est em repouso no 5solo foi desenhado na fi gura 92 , repetida abaixo. Considere que os mdulos da normal e da fora peso so iguais, N=P.Figura 96 Fora resultante na ma que est em repouso no solo.a) Faa a representao geomtrica do vetor . Qual o mdulo desse vetor?b) Faa a representao geomtrica do vetor e compare com a fora resultante que atua na ma. Qual o mdulo desse vetor?Leis de Newton111C E D E R JMDULO 3 - AULA 5111Exerccio 16 Uma ma com peso de desce um plano inclinado liso.O ngulo que o plano inclinado faz com a horizontal (Figura 97).Figura 97 A ma descendo um plano inclinado liso.a) Faa o diagrama de foras da ma.b) Projete o vetor peso nas direes e OY.c) Desenhe o vetores e . Veja a defi nio da operaoproduto de um vetor por um nmero real na aula 2.d) Compare as direes dos vetores representados no item (c) com osvetores projees da fora peso obtidas em (b).Leis de Newton112INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 112Segunda Lei de Newton O que pode alterar o movimento de um corpo e de que forma essaalterao se realiza?Os exemplos do nosso cotidiano mostram que so as foras que modifi cam o movimento dos corpos. Resta saber de que forma essa modifi cao ocorre.As anlises de alguns experimentos nos ajudaro a entender a lei do movimento que responde a essa pergunta. Iniciaremos a nossa discusso relembrando o conceito intuitivo de massa. Massa a quantidade de matriade um corpo. A massa de um corpo medida, desde os tempos antigos, combalanas. As balanas mais simples so aquelas que tm um brao ligado a dois pratos. Medir uma massa desconhecida equivale a equilibr-la com um conjunto de massas padres. Quando o brao fi ca em equilbrio dizemos que a massa docorpo igual soma do conjunto das massas padres. Figura 99 Um corpo submetido a uma fora resultante constante na direo da sua velocidade adquire uma acelerao constante com a mesma direo e o mesmo sentido da fora.Figura 98 Balana em equilbrio. A experincia mostra que um corpo submetido a uma fora resultanteconstante na direo de sua velocidade adquire uma acelerao constante coma mesma direo e o mesmo sentido da fora aplicada. Na fi gura 99 a fora mantida constante com um dinammetro.Figura 100 Corpos com massas diferentes apresentam aceleraes diferentes quando sosubmetidos mesma fora resultante. O corpo de maior massa acelera menos.Na fi gura 100, dois corpos com massas diferentes m1 e m2 (m1>m2) so acelerados por foras resultantes iguais. O corpo de maior massa acelera menos.Leis de Newton113C E D E R JMDULO 3 - AULA 5113Verifi ca-se experimentalmente que a razo entre as aceleraes dos corpos inversamente proporcional razo das massas, isto ,.A expresso anterior mostra que quanto maior a massa de um corpo menora sua acelerao. difcil acelerar e desacelerar um corpo de massa grande. fcilacelerar e desacelerar um corpo de massa pequena. A massa de um corpo mede ainrcia que ele apresenta mudana do seu estado de movimento. Ningum emjuzo perfeito permaneceria na trajetria de um elefante em movimento se tivessea opo de se colocar na frente de um inseto em movimento.A fi gura 99 mostra que a acelerao instantnea do corpo e a foraresultante que atua sobre ele tm a mesma direo e o mesmo sentido. Ser queisso sempre verdade?Na fi gura 102 est representada a trajetria de uma bala que foi arremessadapor um canho. Foram desenhadas sobre a bala a sua velocidade, acelerao e afora resultante. A resistncia do ar foi desprezada. A fora resultante no tem adireo da velocidade da bala. Ela tem a direo da acelerao da bala.Figura 101 muito mais difcil parar um elefante do que um inseto.aPvFigura 102 A fora resultante que atua na bala tem a direo da acelerao da bala do canho. Leis de Newton114INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 114SolTerraa FgvSir Isaac Newton- Matemtico e fsico ingls (Woolsthorpe,1642- Kensington ,1727). Os resultados dos seus estudos sobre os movimentos dos corpos esto sintetizados na sua obra mais importante: Philosophiae naturalis principia mathematica (1686-1687).Na fi gura 103 est representada a trajetria da Terra em torno do Sol. Foramdesenhadas sobre a Terra a sua velocidade, a acelerao e a fora resultante, que notem a direo da velocidade da Terra. Ela tem a direo da acelerao da Terra.Newton analisou vrios experimentos e concluiu que a acelerao de umcorpo sempre proporcional fora resultante que atua sobre ele. Esse resultadoest enunciado na Segunda Lei de Newton. SEGUNDA LEI DE NEWTON Em um referencial inercial, a acelerao de um corpo diretamente proporcional fora resultante que atua sobre ele.A constante de proporcionalidade m a massa do corpo. P16 ENUNCIE A SEGUNDA LEI DE NEWTON.Podemos resumir as discusses e os resultados obtidos at agora daseguinte forma:A Mecnica a cincia cuja fi nalidade descrever o movimento dos corpos.Existem alguns corpos que podem ser tratados como partculas.O conhecimento da acelerao da partcula em funo do tempo e das condies iniciais do movimento da partcula (velocidade e posio iniciais)permite obter o vetor posio da partcula em funo do tempo.A acelerao da partcula obtida com a aplicao da Segunda Lei deNewton a ela.Sugerimos o seguinte algoritmo para encontrar a trajetria de uma partcula:Escolher o referencial inercial a ser utilizado.Aplicar o algoritmo do diagrama de foras para encontrar a fora resultante.Aplicar a Segunda Lei de Newton ao sistema.Analisar os vnculos (restries ao movimento do sistema).Calcular a acelerao. Obter o vetor posio da partcula em funo do tempo a partir daacelerao e das condies iniciais (velocidade inicial e posio inicial).Figura 103 A fora resultante que atua na Terra tem a direo da acelerao da Terra. Leis de Newton115C E D E R JMDULO 3 - AULA 5115Exemplo 6: Na fi gura 104, uma ma de massa m est caindo. Calcule afora resultante e a acelerao da ma. Despreze a resistncia do ar. Considereconhecido o mdulo P do peso da maFigura 104 Fora resultante na ma caindoResoluo:O referencial escolhido a Terra.No exemplo 2, mostramos que a fora resultante que atua na ma afora peso, isto , R =P = P .A aplicao da Segunda Lei de Newton ma fornece: .No existe nenhum vnculo ao movimento da ma antes de elachegar ao solo.A acelerao do sistema a =Pm= g .A razo entre o peso do sistema e a sua massa habitualmente denominadade acelerao da gravidade . costume escrever o peso de um corpo como. Adotaremos essa notao a partir de agora.Exemplo 7: Na fi gura 105, uma ma de massa m est em repouso sobreo solo. Calcule a fora normal e a fora resultante. Despreze a resistncia do ar.Suponha que a fora peso conhecida.Figura 105 Fora resultante na ma que est em repouso no solo.Leis de Newton116INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 116Resoluo:O referencial escolhido a Terra.No exemplo 3, mostramos que a fora resultante que atua na ma .A aplicao da Segunda Lei de Newton ma fornece:O problema informa que a ma est parada. Conseqentemente, a suaacelerao nula. Portanto temos que:.Exemplo 8: Na fi gura 106, uma ma de massa m est no interior de umelevador com acelerao para cima. A ma nunca perde o contato com opiso. Calcule a fora normal, a fora resultante e a acelerao da ma. Desprezea resistncia do ar.Resoluo:O referencial escolhido a Terra.O piso do elevador e o ar esto em contato com a ma. Como a resistncia do ar desprezvel, apenas o piso exerce fora de contato sobre ama. O piso deformado pela ma empurra a ma para cima com a foranormal. A Terra puxa a ma com a fora peso para baixo. A fora resultante queatua na ma . A aplicao da Segunda Lei de Newton ma fornece:Nesse caso, existe um vnculo ao movimento da ma. Ela permanecesempre em contato com o piso do elevador. Logo, ela tem a mesma acelerao doelevador, isto , . Portanto, temos queFigura 106 Ma no piso de um elevador acelerado para cima.Leis de Newton117C E D E R JMDULO 3 - AULA 5117Resoluo:O referencial a Terra. A caixa foi desenhada separada dos outroscorpos no lado direito da fi gura 107 Esto em contato com a caixa: o piso, acorda e o ar.O problema diz que a resistncia do ar desprezvel. A corda puxa ocorpo com a fora . A superfcie deformada de maneira imperceptvel empurraa caixa para cima, como uma cama elstica, exercendo sobre ela a fora normal .No existe resistncia ao deslizamento relativo das superfcies porque elas so lisas.A fora gravitacional que a Terra exerce sobre a caixa a nica foragravitacional que no desprezvel. Ela o peso da caixa.A representao simblica da fora resultante G G G GR P N F= + + .As componentes da fora resultante so:Rx = Px +Nx + FxRy = Py +Ny + Fy.Pela fi gura 107, vemos que as componentes de cada uma das foras so:Px = 0 , Py = PNx = 0 , Ny = NFx = F cos , Fy = F sen importante ressaltar que nesse caso a normal maior do que a fora peso.Isso sempre vai ocorrer quando o elevador estiver acelerando para cima. Todosns j experimentamos um aumento de presso nos ps em elevadores aceleradospara cima. Voc ler uma discusso sobre peso aparente no livro do Gref.Exemplo 9: Na fi gura 107, uma caixa de massa m puxada sobre umasuperfcie lisa por uma corda de massa desprezvel que faz um ngulon de 30ocom a horizontal. Calcule a fora normal, a fora resultante e a acelerao dacaixa. Suponha conhecida a fora que a corda exerce sobre a caixa. Desprezea resistncia do ar.Figura 107 Caixa deslizando em um piso liso.Leis de Newton118INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 118Portanto, as componentes da fora resultante so:.A fora resultante na representao de componentes R = F cos + (N P + F sen) .A aplicao da Segunda Lei de Newton caixa fornece:.No caso do nosso problema, a caixa tem de fi car sobre a superfcie. Essevnculo (restrio ao movimento) faz com que a acelerao da caixa seja horizon-tal. Portanto, a componente da acelerao nula.A aplicao desse vnculo equao da componente y da fora resultan-te fornece a fora normal..Ry = 0 N P + F sen = 0 N = P F sen N = (P F sen) R = F cos .Leituras e exerccios 8LeiturasLeia a seo 3.4, intitulada A Segunda Lei de Newton, do livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Dessa mesma seo, faa os exerccios de fi xao de 24 at 33.Leia a seo intitulada Exerccios complementares, do livro Fsica 1-Mecnica do Gref, faa o exerccio C.14 sobre peso aparente.Exerccio 17 Uma ma desce um plano inclinado liso. Calcule a fora resultante, a normal e a acelerao que atua sobre ela. (ver fi gura 108). Suponha conhecidos o peso P, o ngulo e a massa da ma.XOY^^Figura 108 A ma desce um plano inclinado liso.Leis de Newton119C E D E R JMDULO 3 - AULA 5119Terceira Lei de NewtonA Segunda Lei de Newton diz respeito mudana de movimento do corpoque objeto de estudo. A ma caindo, a ma no solo, a ma no elevador etc.Nela no existe nenhuma referncia ao do objeto de estudo (a ma) sobre osagentes externos que atuaram sobre ele (a Terra, o solo, a superfcie lisa, a mo).Ela se refere apenas a um dos elementos da interao e ignora o fato de que asinteraes mais simples ocorrem aos pares.Antes de enunci-la, vamos descrever o que vemos e sentimos em algumassituaes do cotidiano. No podemos esquecer de defi nir claramente quem o parque est interagindo antes de fazer qualquer anlise.Figura 109 Lutadores de sum se empurrando.Ser que quem empurra empurrado?De que forma?Quando somos empurrados, devido nossa inrcia, empurramos quemnos empurrou. Na fi gura 109, os lutadores de sum esto se empurrando. Se onosso objeto de estudo o lutador de sum que est de frente e o agente externo aquele est de costas, podemos dizer:O lutador de sum que est de costas age sobre o lutador que est defrente aplicando-lhe um empurro (uma fora de ao) e o lutador de sum queest de frente reage empurrando (fora de reao) o lutador que est de costas.Concluso: quem empurra empurrado!!!Que relao existe entre a ao e a reao? Elas tm a mesma direo, omesmo sentido, o mesmo mdulo?Uma maneira simples de analisar as direes e os sentidos da ao e dareao solicitar aos dois lutadores que se empurrem sem se agarrarem. Ficarntido que a direes da ao e da reao so iguais e os sentidos so opostos.Todos ns j vivenciamos essa situao na infncia quando empurramos algum.Leis de Newton120INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 120A visualizao da relao entre os mdulos requer medidas mais apuradas, uma vez que o que observamos so as aceleraes dos lutadores e elas dependemda ao e da reao e das massas dos lutadores. fcil observar que se as massas so iguais eles sero acelerados da mesma forma nos dois sentidos. No entanto,se as massas forem diferentes difcil tirar alguma concluso sem medir asaceleraes dos lutadores. O que verifi camos que se as massas forem diferenteso mais leve ter a maior acelerao.movimentar visivelmente a enorme massa da Terra.Ser que quem puxa puxado?De que forma?Vamos analisar agora o par formado pela corda+bloco (objeto de estudo) e pelo menino que puxa o bloco (agente externo). O menino puxa a corda+bloco (ao) e a corda puxa a mo do menino (reao). Essa a vivncia que temos do cotidiano. Quem puxa um objeto puxado por ele.Que relao existe entre a ao e a reao? Elas tm a mesma direo, o mesmo sentido, o mesmo mdulo?Aqui tambm fcil perceber que a ao e a reao tm a mesma direo e sentidos contrrios. O conhecimento da relao entre as intensidades dependenovamente da medida das aceleraes provocadas pela ao no bloco+corda e pela reao no menino.Figura 110 A corda e o menino esto se puxando.Ser que sempre existe ao e reao? Vemos a Terra puxar a ma, mas no vemos a ma puxar a Terra.Leis de Newton121C E D E R JMDULO 3 - AULA 5121Newton realizou experimentos que lhe permitiram concluir que sempreexiste reao e que a sua intensidade igual da ao. No vemos a Terra acelerarna direo e sentido da ma porque sua massa muito grande e a reao muitopequena para produzir um deslocamento perceptvel da Terra. O mesmo ocorrequando empurramos a Terra para andar. A fora de reao exercida sobre a Terraa desloca de forma imperceptvel. A LEI DA AO E REAO DE NEWTON: A toda ao corresponde uma reao igual e contrriaouQuando o corpo A sofre a ao de um agente externo Bele exerce sobre o agente externo uma fora denominadade reao que tem o mesmo mdulo, a mesma direo eo sentido contrrio ao da ao. Fica claro pelo enunciado da terceira lei que a ao e a reao atuam emcorpos diferentes e que nome ao e reao depende do objeto de estudo.P16 Enuncie a Terceira Lei de NewtonVamos fazer alguns exemplos para entender melhor a terceira lei. Todavia, importante ressaltar que para descobrir a reao de uma fora preciso fazera pergunta correta. A pergunta correta Quem exerceu a fora sobre o agenteexterno? E a pergunta errada Por que a fora foi exercida?Exemplo 10: Iniciemos o estudo com o exemplo 10.O par que interage a Terra e a ma. A ma o objeto de estudo e a Terra, o agente externo. As aes so as foras que atuam na ma. No caso desse exemplo,a nica ao a fora peso. Quem exerce a fora peso na ma? a Terra. A reao fora peso age sobre a Terra e igual a .Se o objeto de estudo fosse a Terra, a ao seria e a reao .-PPFigura 112 Reao fora peso da ma.Leis de Newton122INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 122Exemplo 11: Vamos analisar as aes e reaes do exemplo 7.Nesse exemplo, existem dois pares de interao. O primeiro par que interage a Terra e a ma e o segundo par a ma e o solo. A anlise do par Terra+ma anloga anterior, j que uma interao no altera a outra. Portanto, bastaanalisar o par ma+solo. A ma o objeto de estudo e o solo o agente externo.A ao a normal. A reao est em quem causou a normal. Quem empurrou a ma foi o solo, que, deformado imperceptivelmente pela ma, empurrou ama para cima. Portanto, a reao fora normal est no solo e .-PPN-NAlguns alunos respondem erroneamente que a reao fora normal a fora peso. Esses alunos fazem a pergunta errada Por que o solo empurra a ma? E respondem, porque a fora peso puxa a ma para baixo deformando o solo. Concluindo, assim, que a reao fora normal a fora peso. Eles no percebem que para se descobrir a reao devem perguntar Quem exerceu a fora sobre o objeto de estudo? e no Por que a fora foi exercida? Alm disso, para que duas foras sejam ao e reao elas tm que ter mdulos iguais e direes iguais. Existem vrios exemplos onde a fora normal e a fora peso no apresentam essas caractersticas. Podemos citar o exemplo do elevador, onde os mdulos das foras peso e normal so diferentes, e o exemplo do plano inclinado, onde os mdulos e direes das foras peso e normal so diferentes.Exemplo 12: No Exemplo 9, existem trs pares de interao. O primeiro par que interage a Terra e a caixa, o segundo par a caixa e a superfcie e o terceiro caixa e a corda. A anlise dos dois primeiros pares j foi feita. Nos ateremos apenasFigura 113 - Reaes fora peso da ma e fora normalque atua na ma.Figura 114 Reao fora exercida pela corda sobre a caixa.Leis de Newton123C E D E R JMDULO 3 - AULA 5123ao terceiro par. A caixa o objeto de estudo e a corda o agente externo. A cordaest puxando a caixa com (ao) e a caixa puxa a corda com .Novamente, para concluir corretamente onde esto as reaes o aluno tem que fazer a pergunta correta. Por exemplo, o aluno que pergunta Quem est puxando a caixa? responde que a corda. Ele conclui corretamente que areao fora est na caixa. No entanto, o aluno que faz a pergunta Por que a corda puxa a caixa? responde: porque que o menino puxa a corda. Ele conclui erradamente que a reao fora est na mo do menino.Leituras e exerccios 9LeiturasLeia a seo 3.5, intitulada Ao e reao-A Terceira Lei de Newton do livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Dessa mesma seo, faa os exerccios de fi xao de 24 at 33.Questionrio:Responda novamente ao questionrio 4.Nesta aula, apresentamos os conceitos de fora e as trs leis de Newton. Na prxima aula, estudaremos outros movimentos com auxlio dessas leis.Leis de Newton124INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 124Exerccios programados 81. As expresses a seguir apresentam erros na notao vetorial. Reescreva-asde forma correta. De acordo com as foras apresentadas na Figura 1:a. G G GT P ma =b. GP = mg c. g = (10g m/s2) De acordo com as foras apresentadas na Figura 2:d. N Py y = 0e. N Nsenx =Gf. GN N= cos N sen+ GTGaGPFigura 1GaGNyxGPFigura 2 De acordo com as foras apresentadas na Figura 3:g. G Gf Natrito = h. G GP N= GNGPGfatritoGFDiagrama de foras dobloco que est sendoempurrado pelo menino.Figura 3Leis de Newton125C E D E R JMDULO 3 - AULA 51252. Uma caixa de 1.200kg est sendo rebocada para cima em um planoinclinado, por meio de um cabo rgido amarrado na traseira de um caminhoguincho com uma acelerao de mdulo a = 0,1m/s2. O cabo faz um ngulo de = 30 com o plano inclinado e o ngulo que o plano inclinado faz com a horizontaltambm igual a = 30. O coefi ciente de atrito entre a superfcie e a caixa =0,8. Despreze a resistncia do ar. Analise o problema a partir de um referencial fi xona Terra.a. O nosso objeto de estudo a caixa. Faa um desenho da caixa separadado seu exterior.b. Quais os corpos que esto em contato com ela?c. Quais os corpos que esto em contato com a caixa e que exercem forasobre a mesma? Desenhe as foras de contato sobre a caixa.d. Existem foras gravitacionais que atuam sobre a caixa? Qual delas no desprezvel? e. Onde esto aplicadas as reaes s foras desenhadas sobre a caixa?f. Calcule todas as foras que atuam sobre a caixa.Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e .3030Figura 4Leis de Newton126INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 126Gabarito1. As expresses a seguir apresentam erros na notao vetorial. Reescreva-asde forma correta.Todos os diagramas foram consi-derados a partir do referencial da Terra.a. Subtrair dois vetores o mesmoque somar um vetor com o seu simtrico,isto ,G G G GT P T P = + ( ) . A fi gura a seguirmostra a soma do vetorGT com o vetorsimtrico do vetorGP , que GP .GTGaGPFigura 1GPGTGTA Segunda Lei de Newton se refere soma de vetores e no diferena de vetores.Quem escreve a Segunda Lei como a diferenaG G GT P ma = , est confun-dindo a fora resultante com o seu mdulo. Veja fi gura anterior!Por isso, o correto G G GT P ma+ =b.GP mgj= Quando multiplicamos um vetor por um nmero, obtemos um vetor com a mesma direo do vetor. Se o nmero for positivo, o vetor obtido pelamultiplicao tem o mesmo sentido do vetor que foi multiplicado. Logo, pelaexpressoGP mgj= , a fora peso tem a mesma direo e o mesmo sentido dovetor unitrio , uma vez que pela nossa conveno a letra g associada ao vetor gGg representa o mdulo do vetor acelerao da gravidade e a massa sempre umnmero positivo. A fi gura mostra que a fora-peso tem o sentido contrrio ao dovetor unitrio . GPG G G GT P T P T P+ + = Leis de Newton127C E D E R JMDULO 3 - AULA 5127GaGNyxGPFigura 2A conveno adotada no Mdulo 3 e nos livros de Fsica mais avanadoscoloca um sinal na componente que relaciona o sentido do vetor projetadocom o sentido do unitrio. Se o sentido do vetor projetado igual ao sentidodo vetor unitrio, a componente positiva. Se o sentido for contrrio, acomponente negativa. O vetorGa representado pelas componentes ax = 2 eay = 2, est no primeiro quadrante porque os vetores projetados nas direesdos unitrios e tm o mesmo sentido dos unitrios. O vetor ax = 2 eay = 2 est no segundo quadrante porque o vetor projetado na direo dounitrio tem o sentido do unitrio e o vetor projetado na direo dounitrio tem o sentido contrrio ao do unitrio .GaGaxGayO XYGayGaGaxO XYPortanto, a expresso correta : GP = mg jc. g = (10g m/s2) jNo podemos igualar um nmero real a um vetor, uma vez que um vetorno um nmero real. Na expresso anterior, g o mdulo da acelerao daggravidade e o vetor unitrio na direo do eixo OY com o sentido do eixoOY. A expresso anterior poderia ter as seguintes formas:Gg = (10m/s2) j ou g = 10g m/s2 ou gy = 10m/s2d. N Py y = 0Pela nossa defi nio de componentes,a componente Py da fora peso negativaporque o vetor projetadoG GP Py= tem o sentido contrrio ao do unitrio . A expresso correta NyNN + Py = 0.Leis de Newton128INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 128e. N Nsenx =G n est errada porque as componentes dos vetores so nmeros e nopodemos escrever que um vetor igual a umnmero.Uma forma correta N Nsenx = .f.GN N i Nsen j= +cos Qualquer vetor pode ser escrito comoGN N i N jx y= + A fi gura ao lado mostra que de acordo com asdefi nies de seno e cosseno temos que:sen( ) = =NNx e cos( )NNyPortanto, temos que: N N NNxx= = =sen( ) e N Ncos( )yCuidado! comum encontrar nos livros do Ensino Mdio uma convenopara as componentes de um vetor que estipula que elas so sempre nmeros positivos que representam o tamanho da projeo do vetor. Nessa conveno, para se caracterizar univocamente um vetor com suas componentes, necessrio fornecer as componentes do vetor, acompanhadas do quadrante em que o vetor se encontra. Por exemplo, se informo que o vetorGa tem componentes ax = 2 e ay = 2, sem dizer em que quadrante est, ele pode ser umdos quatro vetores representados a seguir: GaGaGa GaouououSe tivssemos informado que o vetorGa tem componentes ax = 2 e ay = 2 e est no segundo quadrante, o vetor seriaGaEssa conveno no est errada, mas inadequada para defi nir operaes mais complexas com vetores, tais como o produto escalar entre vetores e oproduto vetorial entre vetores. Por essa conveno, a expresso NyNN Py = 0 est correta, porque ambas componentes so positivas. No usaremos essa conveno!GaGNyxGPFigura 2GNO XYNyNNNxNLeis de Newton129C E D E R JMDULO 3 - AULA 5129A expresso correta : GN N i N j= +sen cos De acordo com as foras apresentadas na Figura 3:g. G Gf Natrito = A expresso anterior afi rma que a fora de atrito igual ao vetor querepresenta a fora normal multiplicada pelo coefi ciente de atrito, que um nmero.Logo, pela expresso escrita, a fora de atrito tem a mesma direo e o mesmosentido da fora normal, o que no est correto. As expresses corretas so:f Natrito = ouGf N jatrito = .GNGPGfatritoGFFigura 3Diagrama de foras do bloco que estsendo empurrado pelo menino.h. G GP N= A expresso anterior afi rma que a direo da fora peso igual direo dafora normal, o que no est de acordo com a Figura 3, que mostra que os mdulosda fora peso e da fora de atrito so iguais. Logo, a expresso correta G GP fatrito= 2. Uma caixa de 1.200kg est sendo rebocada para cima em um planoinclinado, por meio de um cabo rgido amarrado na traseira de um caminhoguincho, com uma acelerao de mdulo a = 0,1m/s2. O cabo faz um ngulo de = 30 com o plano inclinado e o ngulo que o plano inclinado faz com a hori-zontal tambm igual a = 30. O coefi ciente de atrito entre a superfcie e a caixa = 0,8. Despreze a resistncia do ar.a. O nosso objeto de estudo a caixa. Faa um desenho da caixa separadado seu exterior.b. Quais os corpos que esto em contato com ela?c. Quais os corpos que esto em contato com a caixa e que exercem fora sobrea mesma? Desenhe as foras de contato sobre a caixa.Leis de Newton130INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 130d. Existem foras gravitacionais que atuam sobre a caixa? Qual delas no desprezvel? e. Onde esto aplicadas as reaes s foras desenhadas sobre a caixa?f. Calcule todas as foras que atuam sobre a caixa.Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e .3030Figura 4a. O nosso objeto de estudo a caixa. Faa um desenho da caixa separada do seu exterior. b. Quais os corpos que esto em contato com ela?Vamos analisar o problema no referencial da Terra, que pode ser consi-derado inercial.O nosso objeto de estudo a caixa. A caixa est desenhada esquematicamente na fi gura acima. Os corpos que esto em contato com ela so o ar, a super-fcie do plano inclinado e o cabo.c. Quais os corpos que esto em contato com a caixa e que exercem forasobre a mesma? Desenhe as foras de contato sobre a caixa.O enunciado informa que a resistncia do ar desprezvel. Assim, os corpos que esto em contato com a caixa e que exercem fora sobre a mesma so a superfcie do plano e o cabo. As foras de contato so aGfat , a normal GN e a foraGF . A caixa tenta penetrar na superfcie do plano inclinado, deformando-a de forma imperceptvel. A superfcie deformada empurra a caixa para cima perpendicularmente superfcie, isto , exercendo a fora normal GN , sobre a caixa. A fora com que o cabo puxa a caixa representada na fi gura a seguir por GF .Leis de Newton131C E D E R JMDULO 3 - AULA 5131d. Existem foras gravitacionais que atuam sobre a caixa? Qual delas no desprezvel? A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso GP da caixa.No Mdulo 3, pginas 84 e 85, so feitas estimativas das ordens degrandeza das foras gravitacionais exercidas pelos corpos celestes sobrecorpos prximos Terra e entre corpos do nosso cotidiano. A concluso que a nica fora gravitacional no desprezvel o peso da caixa. e. Onde esto aplicadas as reaes a essas foras?As foras e as suas reaes so respectivamente:Fora (atuando na caixa) ReaoGfatGfat No plano inclinadoGP GP No centro da TerraGNGN No plano inclinadoGFGF No guincho do caminhoGfatGNGFGP30Leis de Newton132INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 132f. Calcule todas as foras que atuam sobre a caixa.Decompondo as foras de acordo com o sistema de coordenadas ilustrado na fi gura a seguir, temos: GfatGNGP30OXYPela Segunda Lei de Newton temos:G G G G GP N P f maat+ + + =Escrevendo a Segunda Lei de Newton para cada eixo, temos:Eixo x:F P f maF Psen f max x atx xat+ + = + + = cos( ) ( ) ( ) 1Eixo y:F P f N may y aty y y+ + + =O vnculo do problema que a caixa no desloca do plano inclinado.Logo, ay = 0.Temos ento:Fsen( )) cos( ) cos( ) ( ) ( )+ = = N P N P Fsen 0 2O mdulo da fora de atrito dado por:f Nat = Substituindo o mdulo da normal na equao acima obteremos:f P Fsenat = [ cos( ) ( )] ( )3A introduo da fora de atrito na expresso (1) permite calcular o mdulo da acelerao: + + = F Psen P Fsen maF Psen Pcos( ) ( ) [ cos( ) ( )]cos cos (( )cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) + = +( ) = + +( ) =Fsen maF ma PFma ++ +( )+P sin( ) cos( )cos( ) sin( ) Leis de Newton133C E D E R JMDULO 3 - AULA 5133Substituindo os valores fornecidos pelo problema, temos:F N= + +( )+=1200 0 1 12000 0 5 0 70 86 0 411523 8, , ,, ,,Da equao (2) temos:N = 12000 . 0,86 11523,8 . 0,5 = 4558,1N NA equao (3) fornece: fat = 0,8 . 4558,1 = 3646,5NE, P = m.g = 1200 . 10 = 12000g NEscrevendo as foras acima em termos dos unitrios e , temos:GGGGP i j NN j NF i j Nfat= == +=( )( , )( )(6000 96004558 19980 57623646,, )5i N C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3Outros tipos de movimento135C E D E R JMDULO 3 - AULA 6135Outros tipos de movimentoObjetivo:Analisar movimentos de partculas que se deslocam em um plano.IntroduoPodemos resumir as discusses e os resultados obtidos at agora da seguinte forma:A Mecnica a cincia cuja fi nalidade descrever o movimento dos corpos.Existem alguns corpos que podem ser tratados como partculas.O conhecimento da acelerao, da posio inicial e da velocidade inicialde uma partcula permite obter o seu vetor posio .A acelerao da partcula obtida com a aplicao da Segunda Lei deNewton a ela.Nesta aula, utilizaremos esses resultados para entender alguns movimentosde partculas que se deslocam em um plano. Ela composta por oito partes:O que sei sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentosplanos um questionrio que tem como fi nalidade levantar as suas idias prviassobre o assunto.Conhecendo melhor a fora gravitacional um texto que introduz oconceito de acelerao da gravidade e que discute as trajetrias de partculas queesto sob a ao exclusiva de foras gravitacionais.Conhecendo melhor a fora de atrito um texto que discute as leis doatrito entre superfcies slidas. Outros tipos de movimento136INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 136Cinemtica do movimento de um projtil e do movimento circular um texto que discute as grandezas cinemticas desses movimentos.Fora mdia e quantidade de movimento um texto que analisa os movimentos de partculas que sofrem colises e introduz os conceitos dequantidade de movimento e fora mdia.Leituras e exerccios 10 so textos e exerccios sobre a fora de atrito e aplicaes das leis de Newton dos livros Mecnica 1 (Gref) e Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Leituras e exerccios 11 so textos e exerccios sobre a independncia dosmovimentos e movimento de um projtil, do livro FsicaVolume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Leituras e exerccios 12 so textos e exerccios sobre movimento circular, fora mdia e quantidade de movimento dos livros Mecnica 1 (Gref) e FsicaVolume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Outros tipos de movimento137C E D E R JMDULO 3 - AULA 6137O que sei sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos?As questes apresentadas a seguir tm como fi nalidade investigar eorganizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre a fora gravitacional,a fora de atrito e os movimentos planos. Escreva em seu caderno, de formaorganizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, masno deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobrea fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos antes e depois detrabalhar esta unidade importante para o seu aprendizado.Questionrio 51. Descreva as propriedades da fora gravitacional que a Terra exercesobre os corpos que esto prximos sua superfcie.2. Descreva as propriedades da fora de atrito esttico entre superfcies slidas.3. Descreva as propriedades da fora de atrito cintico entre superfcies slidas.4. Em que circunstncias uma fora resultantett d origem a um movimentoretilneo? D exemplos.5. Em que circunstncias uma fora resultante d origem a um movimentocurvilneo? D exemplos.6. Escreva as expresses das grandezas cinemticas do movimento de umapartcula submetida a uma fora resultante constante.7. Quais as caractersticas do vetor velocidade em um movimentocircular uniforme?8. Quais as caractersticas da velocidade angular em um movimentocircular uniforme?9. Qual o signifi cado fsico da fora resultante mdia?10. Qual a defi nio de quantidade de movimento?11. Enuncie a Segunda Lei de Newton utilizando os conceitos de foramdia e de quantidade de movimento.Outros tipos de movimento138INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 138-P PLEI DA GRAVITAO UNIVERSAL, DE NEWTONACELERAO DA GRAVIDADEConhecendo melhor as foras gravitacionais No Mdulo 2 enunciamos a Lei da Gravitao Universal, de Newton.A fora gravitacional entre duas partculas diretamente proporcional aoproduto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entreelas. Ela tem a direo da reta que une as duas massas e atrativa.A expresso vetorial dessa lei :A fora peso a fora gravitacional exercida pela Terra sobre os corpos, isto , . Ela est representada na Figura 116.Figura 115 Fora gravitacional entre duas partculas.Algumas observaes sobre a fora peso so importantes: A Lei da Gravitao Universal diz respeito a partculas. A Terra um corpo extenso. Por que calculamos a fora gravitacional que a Terra exerce sobre os corpos como se ela fosse uma partcula? Para calcular a fora gravitacionalque a Terra exerce sobre uma partcula preciso dividi-la em partculas e somaras foras exercidas por elas no corpo que est sendo atrado. Essa soma s podeser realizada com clculo integral. O resultado obtido mostra que, para efeitoda fora gravitacional, a Terra pode ser tratada como uma partcula com a A razo entre a fora peso e a massa do corpo s depende das propriedades da Terra e denominada acelerao da gravidade . A fora peso o produto da massa do corpo pela acelerao da gravidade, . Quando a fora resultante que atua sobre um corpo a fora gravitacional, a sua acelerao igual acelerao da gravidade. Portanto, nessecaso os corpos com massas diferentes caem todos com a mesma acelerao .Isto s ocorre quando possvel desprezar a resistncia do ar. Figura 116 A Terra pode ser considerada como partcula para efeito declculo da fora gravitacional que ela exerce sobre os corpos.Outros tipos de movimento139C E D E R JMDULO 3 - AULA 6139daquela de uma folha papel amassado. A resistncia do ar na folha aberta nopode ser desprezada em relao fora peso. O valor da acelerao da gravidade na superfcie da Terra(r = RT = 6400 km) pode ser calculada com os valores da massa daTerra e da constante da gravitao universal Ge igual a . Ela varia pouco nas proximidadesda Terra; por exemplo, a acelerao da gravidade em uma altitude de 2000m amesma que na superfcie da Terra, se utilizarmos dois algarismos signifi cativos.Por isso, podemos considerar que a acelerao da gravidade constante nasuperfcie da Terra. O valor da acelerao da gravidade a uma distncia igual aodobro do raio da Terra .Nesta aula, analisaremos o movimento de corpos caindo na Terra edemonstraremos a Segunda Lei de Kepler.P1 DESCREVA AS PROPRIEDADES DA FORA GRAVITACIONAL QUE A TERRA EXERCE SOBRE OS CORPOS QUE ESTO PRXIMOS SUA SUPERFCIE.Conhecendo melhor a fora de atritoQuando um corpo slido empurrado sobre uma superfcie slida, aparecea fora de atrito. O atrito pode ser de dois tipos.O atrito esttico, que aparece quando um objeto empurrado e no entraem movimento. Nesse caso, dizemos que a fora de atrito aparece no sentidode evitar a tendncia ao movimento. Ela nula quando o corpo no est sendoempurrado e pode variar at um valor mximo que proporcional ao valor domdulo da normal superfcie, . A constante de proporcionalidade denominada coefi ciente de atrito esttico.Figura 117 O menino est empurrando a caixa sobre o tapete. O tapete tenta evitar o deslizamento da superfcie da caixa exercendo a fora de atrito sobre ela.Fora de AtritoEstticoOutros tipos de movimento140INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 140faF1eNcNFORA DE ATRITO CINTICAfaevA Figura 117 representa uma caixa que est sendo empurradahorizontalmente pelo menino. A caixa no descola do cho. Ele vai aumentandogradativamente a fora sobre a caixa. Inicialmente, a caixa no desliza. A aplicao da Segunda Lei de Newton caixa fornece:.Enquanto a caixa no desliza a fora de atrito igual fora horizontal.Quando a fora horizontal fi ca maior do que a fora de atrito mxima, a fora resultante no nula e a caixa comea a deslizar, uma vez que a acelerao do sistema no nula .Depois que o deslizamento se inicia, o mdulo da fora de atrito diminui, fi cando menor do que a fora de atrito mxima. O seu mdulo ainda proporcional fora normal, mas a constante de proporcionalidade diferente e menor, . A constante de proporcionalidade denominada coefi ciente de atrito cintico e a fora de atrito, fora de atrito cintica.A Figura 118 representa o grfi co da fora de atrito em funo da forahorizontal . importante ressaltar que a fora de atrito aparece quando existe umatendncia ou um movimento relativo entre as superfcies. errado dizer que a fora de atrito tem o sentido contrrio ao movimento. A Figura 119 mostraum arremessador de peso que est freando, e a Figura 120 um corredor queest acelerando. O arremessador de pesos empurra a Terra para a frente e empurrado para trs por ela. Neste caso, a fora de atrito se ope ao movimentodo arremessador de pesFigura 118 Grfico da fora de atrito em funo da fora horizontal que est sendo aplicada na caixa.Figura 119 O arremessador de pesos empurra a Terra para a frente e empurrado pela Terra para trs. O sentido da fora de atrito contrrio ao movimento do arremessador de pesos.Outros tipos de movimento141C E D E R JMDULO 3 - AULA 6141para a frente. Neste caso, a fora de atrito tem o sentido do movimento.faevEm ambos os casos a fora de atrito est se opondo tendncia dedeslizamento relativo entre as superfcies (sola do tnis e superfi cie do solo).P2 Descreva as propriedades da FORA DE ATRITO ESTTICO entre superfcies slidas.P3Descreva as propriedades da FORA DE ATRITO CINTICO entre superfcies slidas.Leituras e exerccios 10LeiturasLeia a seo 3.7, intitulada Coefi ciente de atrito no livro Fsica Volumenico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Dessa mesma seo, faa os exerccios de fi xao de 44 at 48.Do captulo 3 desse mesmo livro faa os problemas 7 at 24.Leia o Apndice 1-Fora de Atrito do livro Fsica 1-Mecnica,de Gref.Figura 120 O corredor empurra a Terra para trs e empurrado para a frente por ela. A fora de atrito tem o sentido domovimento do corredor.Outros tipos de movimento142INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 142Cinemtica do movimento de um projtile do movimento circularA trajetria de uma partcula depende da fora resultante que atua sobreela, da sua posio inicial e de sua velocidade inicial. Isto fcil de observar quando impulsionamos um pedao de giz de maneiras diferentes.Figura 121-a Giz largado do ponto A.Atrajetriagizv0Agiztrajetriav0AgiztrajetriaBFigura 121-b Giz arremessado para cima a partir do ponto A.Figura 121-c Giz arremessadohorizontalmente do ponto A.Figura 121-d Giz largado do ponto B.Quando largamos o pedao de giz do ponto A, ele cai verticalmente; quando ele arremessado para cima da mesma posio com uma velocidade inicialcom mdulo , ele sobe verticalmente e depois desce; quando arremessado horizontalmente do ponto A com velocidade , ele cai percorrendo uma trajetria curva (ver Figura 121-c). A dependncia da trajetria com a posioinicial do giz aparece quando largamos o giz de dois pontos diferentes (A e B). A trajetria do giz que largado do ponto A diferente da trajetria do gizque largado do ponto B (Figura 121-d).Outros tipos de movimento143C E D E R JMDULO 3 - AULA 6143 amesma, a = g . A resistncia do ar foi desprezada. O que diferencia as situaesdescritas na Figura 121 so as velocidades e posies iniciais do giz.Em que situao uma fora resultante produz uma trajetria curvilnea plana?A trajetria do giz que largado retilnea. A trajetria do giz que arremessado curvilnea e plana. Nesta seo, estamos interessados em entenderem que condies a trajetria de uma partcula curvilnea e plana. Discutiremosalguns exemplos com essa fi nalidade.No movimento retilneo, a velocidade do corpo em qualquer instantede tempo tem a direo da reta que defi ne a sua trajetria. As variaes develocidade do corpo tambm tm a direo da trajetria. Para pequenos intervalosde tempo, as variaes de velocidade do corpo soproporcionais s aceleraes instantneas. Como a acelerao instantnea proporcional fora resultante que atua no corpo, podemos dizer que:A condio necessria e sufi ciente para que um corpo permanea em umatrajetria retilnea que a fora resultante que atua sobre ele tenha em qualquerinstante de tempo a direo da velocidade inicial do corpo (Figura 122).Em um movimento retilneo a fora resultante pode mudar o mdulo e osentido da velocidade, mas no a sua direo. O exemplo 1 ilustra a ao da foraresultante em um movimento retilneo.Figura 122 Quando, durante o movimento de um corpo, a fora resultante tem sempre a mesma direo de suasvelocidades, o movimento retilneo. tOutros tipos de movimento144INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 144Exemplo 1 Na Figura123-a, um patinador est se deslocando comvelocidade constante v1 . Quando ele passa pelo ponto A (Figura 123-b), apanha uma corda que est sendo puxada por sua amiga. Ela se encontra fora do rinquede patinao. Por que, para um observador que est parado fora do rinque depatinao, a trajetria do patinador aps ele segurar a corda continua retilnea?Figura 123-a Patinador livrev1AFigura 123-b Patinador apanha a cordaFigura 123-c Patinador sendo puxado pela amiga.A descrio do movimento do patinador vai ser dividida em duas partes.A primeira parte o movimento antes do ponto A (antes de ele apanhar a corda)e a segunda aquela depois do ponto A (depois que ele apanha a corda).Outros tipos de movimento145C E D E R JMDULO 3 - AULA 6145O referencial escolhido o rinque de patinao.Figura 124-a Diagrama de foras do patinador livre.NPTTFigura 124-b Diagrama de forasdo patinador segurando a corda.OZXO eixo OZ aponta para fora da folha do papel.OZXO eixo OZ aponta para fora da folha do papel.Primeira parte: Movimento do patinador analisado do referencial da terraantes do ponto A. O objeto de estudo o patinador. Ele foi desenhado separado dos outroscorpos na Figura 124-a. S esto em contato com o patinador o gelo e o ar. Se desprezarmosa resistncia do ar e a fora de atrito entre os patins e o gelo, a nica fora decontato que atua o sobre patinador a normal que o gelo exerce sobre ele. A Terra puxa o patinador com a fora peso . A fora resultante que atua no patinador A aplicao da Segunda Lei de Newton ao patinador fornece: Como o patinador no se desloca na direo vertical, sua aceleraonessa direo nula, . A componente da acelerao na direodo movimento tambm nula, porque . Portanto, a acelerao dopatinador nula.Conseqentemente, a sua velocidade permanece constante, sendo a suatrajetria retilnea.Segunda parte: Movimento do patinador analisado do referencial da terradepois do ponto A (o patinador est segurando a corda). O objeto de estudo o patinador. Ele foi desenhado separado dos outroscorpos na Figura 124-b. S esto em contato com o patinador o gelo, o ar e a corda. Sedesprezarmos a resistncia do ar e a fora de atrito entre os patins e o gelo, asforas de contato que atuam no patinador so a normal exercida pelo gelo e atenso exercida pela corda.OZXYOutros tipos de movimento146INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 146 A Terra puxa o patinador com a fora peso . A fora resultante que atua no patinador R = 2T +P +N Rx = 2Tx = 2T ; Rz = Pz +Nz = N P. A aplicao da Lei de Newton ao patinador fornece:. Como o patinador no se desloca na direo vertical, sua aceleraonesta direo nula, . Conseqentemente, a acelerao do patinador . Ela tem a direo da fora resultante. Vimos na aula 3 que, para intervalos de tempo pequenos, podemos aproximar a acelerao mdia pelaacelerao instantnea, isto , . Por isso, a variao da velocidade do patinador nesse intervalo de tempo se reduz a . vvv (t + t)A Figura 125 mostra que essa acelerao muda apenas o mdulo davelocidade. Ela no consegue modifi car a direo da velocidade, garantindo dessaforma que o corpo permanecer em uma trajetria retilnea.Um corpo que se movimenta em um plano tem a sua velocidade instantnea sempre paralela a esse plano. Por exemplo, se o plano do movimento coincidircom o plano OXY, a componente da velocidade instantnea do corpo tem queser nula em todo instante de tempo. Para que isso ocorra, a componente da sua acelerao instantnea tambm tem que ser nula em todo instante de tempo.Como a acelerao instantnea paralela fora resultante, ela tambm nopode ter componente na direo perpendicular ao plano. Para que a trajetria noseja retilnea necessrio que a velocidade do corpo mude de direo. Portanto, aacelerao do corpo no pode ser paralela velocidade instantnea em todos osinstantes do tempo. A Figura 126 mostra a variao de velocidade produzida pelaacelerao em um pequeno intervalo de tempo .Figura 125 Variao da velocidade do patinador aps o ponto AFigura 126 A acelerao s muda a direo da velocidade se a suadireo for diferente da direo da velocidade.Outros tipos de movimento147C E D E R JMDULO 3 - AULA 6147a condio necessria e sufi ciente para que a trajetria deum corpo seja curvilnea que a componente da fora resultante perpendicularao plano (OXY) que contm a trajetria seja nula em todos os instantes de tempoe que a fora resultante no tenha a mesma direo da velocidade inicial docorpo. A Figura 127 representa essa situao.O exemplo 2 ilustra a ao da fora resultante em um movimento planono retilneo.Exemplo 2 Na Figura 128-a um patinador est se deslocando comvelocidade constante v1 . Quando ele passa pelo ponto A ( Figura 128-b), apanhauma corda que est presa nas grades do rinque de patinao. A partir desseinstante, at atingir as grades do rinque, ele se desloca sobre um crculo. O braodo patinador se mantm rgido durante o seu movimento Por que a trajetria dopatinador curvilnea aps o ponto A ?Figura 127 A fora resultante que atua em um corpo cuja trajetria curvilnea e plana no tem componente na direo perpendicular ao plano dacurva em nenhum instante de tempo nem pode ter a direo da velocidadeinicial em todos os instantes do tempo.Figura 128-a O patinador est livre.Outros tipos de movimento148INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 148A anlise do movimento do patinador do referencial da terra antes deele pegar a corda anloga realizada no exemplo 1 e no ser repetida. Sanalisaremos o movimento do patinador depois do ponto A (o patinador estsegurando a corda).patinadorcordav1patinadorv2cordaNPTFigura 128-b O patinador apanha a corda.Figura 128-c O patinador segura a corda. O objeto de estudo o patinador. Ele foi desenhado separado na dos outros corpos na Figura 129. S esto em contato com o patinador o gelo, o ar e a corda. Sedesprezarmos a resistncia do ar e a fora de atrito entre os patins e o gelo, asforas de contato que atuam sobre o patinador so a normal exercida pelo gelo e a tenso exercida pela corda. Figura 129 O patinador faz uma curva ao segurar a corda.Outros tipos de movimento149C E D E R JMDULO 3 - AULA 6149A Terra puxa o patinador com a fora peso . A fora resultante que atua no patinador A aplicao da Segunda Lei de Newton ao patinador fornece:. Como o patinador no se desloca na direo vertical, sua acelerao nessadireo nula, . Conseqentemente, a soma da fora peso e da normal nula, . A acelerao do patinador . Ela tem a direo dafora resultante e perpendicular velocidade do patinador. Vimos na aula 3 quepara intervalos de tempo pequenos podemos aproximar a acelerao mdia pelaacelerao instantnea, isto , . Por isso, a variao da velocidade dopatinador nesse intervalo de tempo se reduz a . Tav(t)vv (t + t)A Figura 130 mostra que a tenso que a corda exerce sobre o patinadorque obriga o patinador a fazer a curva, uma vez que ela produz uma aceleraocom a direo diferente da velocidade.P4 Em que circunstncias uma FORA RESULTANTE d origem a um MOVIMENTO RETILNEO? D exemplos.P5 Em que circunstncias uma FORA RESULTANTE d origem a um MOVIMENTO CURVILNEO? D exemplos.Analisaremos a seguir dois movimentos planos cujas trajetrias soparbolas e crculos.Figura 130 Variao da velocidade do patinador no instanterepresentado ao ladoOutros tipos de movimento150INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 150Trajetrias parablicasEstamos interessados em estudar o movimento de partculas onde atuamforas resultantes constantes, por exemplo, o movimento dos corpos que caemnas proximidades da superfcie da Terra sob a ao exclusiva da fora peso.A acelerao de uma partcula submetida a uma fora resultanteconstante tambm constante, uma vez que: .Na aula 3 foram analisados alguns movimentos retilneos comaceleraes constantes: o movimento retilneo uniforme e o movimento retilneouniformemente acelerado.^ xOr(t) v(t) a=0x(t)vX(t)yOr(t)v(t)ay(t)vy (t)ay(t)=constanteFigura 132 Vetores cinemticos de um movimentouniformemente acelerado no eixo OY.A Figura 131 mostra os vetores cinemticos de uma partcula que se desloca emmovimento retilneo uniforme (com acelerao nula) no eixo OX. Os seus vetores cinemticos so:A Figura 132 mostra os vetores cinemticos de uma partcula que sedesloca em movimento retilneo uniformemente acelerado no eixo OY. Os seus vetores cinemticos so:Figura 131 Vetores cinemticos do movimento retilneo uniforme.Outros tipos de movimento151C E D E R JMDULO 3 - AULA 6151ao mesmo tempo e da mesma altura.Oyxv0aRr(0)x(0)y(0)Figura 133 Representao das condies iniciais de umapartcula submetida a uma fora resultante constante.Figura 134 Quando a fora resultante constante, os movimentos da partcula nadireo da fora e na direo perpendicular a ela so independentesA descrio do movimento de uma partcula submetida a uma aceleraoconstante fi ca simplifi cada quando escolhemos um dos eixos coordenados com adireo da fora resultante ( Figura 133).Uma observao detalhada das posies verticais das duas esferas mostraque o movimento vertical da esfera que se desloca horizontalmente igual ao daoutra esfera que cai verticalmente. Quer dizer, o movimento horizontal da esferano modifi cou o movimento vertical. Esse fato conhecido como princpio daindependncia dos movimentos. possvel demonstrar com clculo diferencial eintegral que o princpio da independncia dos movimentos vale para aceleraesconstantes. Ele permite escrever o movimento da partcula como a composiode um movimento retilneo uniforme no eixo OX e uniformemente acelerado noeixo OY, isto ,Outros tipos de movimento152INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 152onde e so as componentes do vetor velocidade inicial nas direesdos eixos.A equao da trajetria da partcula obtida facilmente se expressarmoso tempo em funo da coordenada e introduzirmos a expresso obtida na equao da coordenada :A equao que relaciona com a equao de uma parbola. Esse resultado fi ca mais fcil de visualizar se colocarmos a origem do sistema decoordenadas sobre a posio inicial da partcula. Nesse caso temos que:Uma aplicao interessante dos resultados que acabamos de obter a daqueda dos corpos nas proximidades da Terra sob a ao exclusiva da fora peso.Nesse caso, a acelerao dos corpos constante e igual a e os seus vetores cinemticos so:onde g o mdulo da acelerao da gravidade. Conseqentemente, as trajetrias dos corpos so parbolas.P6 ESCREVA AS EXPRESSES DAS GRANDEZAS CINEMTICAS DO MOVIMENTO DE UMA PARTCULA SUBMETIDA A UMA FORA RESULTANTE CONSTANTE. Leituras e exerccios 11LeiturasLeia as sees 3.6 e 4.8, intituladas Independncia das velocidades,Movimento de um projtil no livro l Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Da seo 4.8 faa os Exerccios de fi xao de 46 at 50 e os Problemas e questes de vestibular de 18 at 21. Outros tipos de movimento153C E D E R JMDULO 3 - AULA 6153O movimento circular aquele em que a trajetria do corpo um crculoou um arco de crculo. Ele comum no nosso cotidiano. Giram em movimentocircular a criana do carrossel, os namorados na roda-gigante, o carro que fazuma curva etc. Giram em movimento quase circular a Lua em torno da Terra, aTerra em torno do Sol etc. Oscilam em movimento circular os pndulos.s a variaodo comprimento do arco s no intervalo de tempo t.No movimento circular, a partcula pode ser localizada pelo vetor posio, ou pelo arco ou pelo ngulo subentendidos pelo vetor posio epelo eixo OX. Tanto o arco como os ngulos so medidos a partir do eixo OXno sentido anti-horrio. A velocidade da partcula tangente ao crculo. A suacomponente na direo do vetor unitrio tangente ao crculo e que apontana direo em que o ngulo aumenta v = limt0St . Ela positiva quandoo movimento no sentido anti-horrio (o arco aumenta) e negativa quando omovimento no sentido horrio (o arco diminui).A velocidade angular a variao do ngulo por unidade de tempo:Quando o arco expresso em radianos, as grandezas lineares podem serobtidas multiplicando-se as grandezas angulares por r, isto ,Figura 135 Localizando uma partcula no movimento circular.Outros tipos de movimento154INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 154O movimento circular mais simples o movimento circular uniforme. Eleest representado na Figura 136. Nele, a velocidade angular constante; isso signifi ca que o vetor posio da partcula percorre ngulos iguais em intervalos detempo iguais. Por isso, sua velocidade angular constante, constante.v(2) v(1)v(3)r(3)r(2) r(1)Figura 137 No movimento circular que no uniforme, as velocidades angular e tangencial variam.v(2)v(1)v(3)v(4)r(4)r(3)r(2) r(1)Na Figura 137 est representado um movimento circular que no uniforme. Neste tipo de movimento os ngulos varridos em tempos iguais sodiferentes e o mdulo da velocidade tangencial varia no tempo. Podemos observar esse tipo de movimento em uma roda-gigante que est parando, um carrossel que est acelerando etc.Nesta disciplina, s abordaremos o movimento circular uniforme. Nessemovimento a variao angular proporcional velocidade angular, isto ,.O perodo do movimento circular o tempo que a partcula leva paracompletar uma volta, isto , percorrer um ngulo de . Portanto, o perodo do movimento circular .No movimento circular uniforme, o mdulo da velocidade tangencialpermanece constante. Apenas a direo da velocidade muda. Conseqentemente, a acelerao do movimento tem que ser radial. Esse resultado pode ser apreendidocom facilidade se analisarmos a curva gerada pelos vetores velocidades quandoeles so colocados sobre uma mesma origem, por exemplo, sobre . Outros tipos de movimento155C E D E R JMDULO 3 - AULA 6155geram um crculo com raio constante e igual ao mdulo v das velocidades.A soma dos ngulos do quadriltero gerado pelos vetores , ,v (2)te o prolongamento da direo de 360o. So conhecidos os dois ngulos de90o (as direes das velocidades so perpendiculares aos raios) e o ngulo .O quarto ngulo do quadriltero vale .Conseqentemente, o ngulo entre as duas velocidades tambm ..A acelerao instantnea . A Figura 139 mostra a variaode velocidade correspondente ao intervalo de tempo .Quando o intervalo de tempo tende a zero, o mdulo do vetor se aproxima do arco de crculo de raio v subentendido pelo ngulo ., isto ,. Como a velocidade v da partcula , o mduloda acelerao . Tambm fcil de perceber que a direo dovetor tende a fi car perpendicular ao vetor velocidade v (t). Por isso, o vetoracelerao instantnea perpendicular velocidade, tendo portanto a direodo raio e o sentido de fora para dentro do crculo. Ela denominada aceleraocentrpeta.P7 Quais as caractersticas do vetor velocidade em um movimentocircular uniforme? O1vv(t)v(t+ t)O1v(t)a(t)r^Figura 139 Anlise das propriedades do vetor acelerao instantnea no movimento circular uniforme.Figura 138 Os vetores velocidades associados a uma partcula em movimento circular uniforme, quando colocados em uma mesma origemO1, geram um crculo com traio v.1Outros tipos de movimento156INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 156P8 Quais as caractersticas da velocidade angular em ummovimento circular uniforme?Explicando a Terceira Lei de KeplerNa terceira aula do Mdulo 2 enunciamos as leis de Kepler. A primeira lei afi rma que as rbitas dos planetas so elipses com o Sol em um dos seus focos.A terceira lei diz que o quadrado do raio da rbita proporcional ao cubo doperodo. Vamos deduzir a Terceira Lei de Kepler utilizando a Segunda Lei de Newton, a Lei da Gravitao de Newton e a aproximao de que as rbitas dosplanetas so crculos. O referencial utilizado vai ser o Sol. Vamos considerar que a nica fora gravitacional que no desprezvel a do Sol. Por isso, a fora resultante que atua no planeta a fora gravitacionaldo Sol. Ela sempre perpendicular velocidade do planeta e por isso muda avelocidade do planeta, mas no altera o seu mdulo. Portanto, o planeta fi ca em movimento circular uniforme com raio r. A Segunda Lei de Newton aplicada ao planeta fornece:A introduo do mdulo fora gravitacional entre o Sol e o planeta e a velocidade angular na segunda leifornece:Portanto, o raio da rbita ao cubo proporcional ao quadrado do perodo.SolTerraa FGvFigura 140 O movimento da Terra em torno do Sol.Outros tipos de movimento157C E D E R JMDULO 3 - AULA 6157Existem muitos exemplos de movimentos planos no nosso cotidianoproduzidos por processos de coliso; por exemplo, a bola de bilhar que colidecom outra bola, um carro que colide com um caminho em uma esquina, umabolinha de pingue-pongue que encontra a raquete etc. Nesses processos, atuamdurante um pequeno intervalo de tempo foras muito intensas (impulsivas) cujosvalores se desconhecem. Para descrever os processos de coliso faz-se necessriaa defi nio de novos conceitos: o conceito de fora resultante mdia e o conceitode quantidade de movimento.A fora resultante mdia , por defi nio, a fora constante queproduziria uma acelerao instantnea igual acelerao mdia do sistema, isto, . Podemos encontrar uma relao entre a fora resultante mdiae a variao de velocidade introduzindo a expresso da acelerao mdia nadefi nio da fora resultante mdia, isto ,.A grandeza fsica denominada quantidade de movimento .Ela de grande importncia na Fsica. A relao entre a fora resultante mdia ea variao da quantidade de movimento fornece uma outra expresso da SegundaLei de Newton.Q = R tVamos analisar a coliso entre uma bolinha de pingue-pongue e umaraquete para entender melhor o conceito de fora mdia.A Figura 141 mostra uma bolinha de pingue-pongue sendo rebatida poruma raquete lisa, refl etida como um raio luminoso em um espelho. Apenas adireo da velocidade muda.v1 v2espelho. Ao ser refletida, o mdulo da sua velocidade no muda.FORA RESULTANTEMDIAQUANTIDADE DEMOVIMENTOSEGUNDA LEI DE NEWTONNOVA VERSOOutros tipos de movimento158INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 158A Figura 142 mostra a variao da velocidade da bolinha e o diagrama deforas que atuam sobre ela durante a sua coliso com a raquete. A variao develocidade foi obtida no desenho pela regra do paralelogramo. O algoritmo do diagrama de foras aplicado bolinha permitecalcular a fora resultante mdia que atua na bolinha.v-v1v2NPNRP A bolinha foi isolada no lado direito da Figura 142. Apenas a raquete e o ar esto em contato com a bolinha. A bolinhaempurra a raquete, deformando-a de forma imperceptvel; a raquete, como uma cama elstica, empurra a bolinha para cima exercendo sobre ela a fora normalComo a fora que a raquete exerce sobre a bolinha durante a coliso muitogrande, podemos desprezar a resistncia do ar. A nica fora gravitacional que no desprezvel a da Terra, o peso da bolinha.A representao simblica da fora resultante . A representao geomtrica da fora resultante foi obtida no desenho com a regrado paralelogramo.A acelerao mdia da bolinha entre o instante imediatamente anterior coliso e imediatamente aps a coliso . Portanto, a fora resultante mdia .P10 Qual o significado fsico da FORA RESULTANTE MDIA?P11 Qual a definio de QUANTIDADE DE MOVIMENTO?P12 Enuncie a SEGUNDA LEI DE NEWTON utilizando os conceitos de FORA RESULTANTE MDIA e de QUANTIDADE DE MOVIMENTO.Figura 142 O diagrama de foras que atuam na bolinha e a variao total da velocidade dabolinha de durante a coliso.Outros tipos de movimento159C E D E R JMDULO 3 - AULA 6159LeiturasLeia as sees 4.1, 4.3 e 4.6, intituladas Movimento circular uniforme,Gravitao universal, Clculo da velocidade e do perodo de um satlite no livroFsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).Da seo 4.1 faa os Exerccios de fi xao de 1 at 9.Do captulo 4 faa Problemas e questes de vestibular de 1 at 7.rLeia as sees de 1.2.1 at 1.25 no livro Fsica 1-Mecnica, do Gref.Reproduza em detalhes o exerccio resolvido 1.5.Nesta aula discutimos a cinemtica do movimento circularuniforme e do projtil, introduzimos os conceitos de foramdia e quantidade de movimento.Outros tipos de movimento160INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 160Exerccios programados 91. Uma pedra de massa m = 100g colocada para girar, em um crculo gvertical, presa a um fi o esticado (Figura 1). Despreze a resistncia do ar e considereo referencial fi xo na Terra.ABCOFIGURA 1Responda, considerando o ponto A:a) Desenhe a pedra separada do seu exterior e diga quais os corpos que esto em contato com ela. Desenhe as foras de contato sobre a pedra.b) Existem foras gravitacionais que atuam sobre a pedra?Qual delas no desprezvel? Represente-a no seu desenhodo item a.c) Onde esto aplicadas as reaes s foras aplicadas sobre a pedra?d) Desenhe os vetores velocidade e acelerao.Considere que o raio da trajetria igual a r = 50cm e o mdulo da velocidade igual a v = 4m/s.e) Calcule o valor da tenso que a corda exerce sobre o fi o.f) Calcule a fora resultante.Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e .Refaa esse exerccio para os pontos B e C.Mas considere o mdulo da velocidade no ponto B vB = 5m/s e no ponto C vC =C 6m/s.Outros tipos de movimento161C E D E R JMDULO 3 - AULA 6161mde altura em relao ao solo, com velocidade inicialGv0 = (40 )m/s. Considere aresistncia do ar desprezvel, o referencial fi xo Terra e g = 10g m/s2.Corpo180m trajetriaAFigura 2a) Escreva x(t),y(t),vx(t) e vy(t) para o corpo.b) Escreva o vetor posio e o vetor velocidade instantnea do corpo paraum instante de tempo t.c) Escreva o vetor posio e o vetor velocidade instantnea em t=3s.d) Obtenha a velocidade mdia e a acelerao mdia entre o tempo t=0s et=3s.e) Obtenha o tempo gasto para o corpo atingir o solo.f) Obtenha o alcance mximo do corpo (maior distncia horizontal percorrida).voYOutros tipos de movimento162INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 162Gabarito1. Uma pedra de massa m = 100g colocada para girar em um crculo ver-gtical, presa a um fio esticado (Figura 1). Despreze a resistncia do ar e considereo referencial fixo na Terra.ABCOFigura 1Responda para o ponto A: a) Desenhe a pedra separada do seu exterior e diga quais os corpos queesto em contato com ela.Esto em contato com a pedra o ar e o fio. O enunciado informa que a resistncia do ar desprezvel, logo, o fio o nico corpo em contato coma pedra que exerce fora sobre a mesma. A fora est desenhada na figura A e a tenso GT .GPGTFigura A b) Existem foras gravitacionais que atuam sobre a pedra? Qual delas no desprezvel? Represente-a no seu desenho do item a.Sim, A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso da pedra. No Mdulo 3, pginas 84 e 85, so feitas estimativas das ordens de grandeza das foras gravitacionais exercidas pelos corpos celestes sobre corpos prximos Terra e entre corpos do nosso cotidiano. A concluso que a nica fora gravitacional no desprezvel o peso da pedra. c) Onde esto aplicadas as reaes s foras aplicadas sobre a pedra?A reao tenso GT est aplicada no fio e GT . A reao fora pesoGPest localizada no centro da Terra e GP .Outros tipos de movimento163C E D E R JMDULO 3 - AULA 6163GvGacpConsidere que o raio da trajetria igual a r = 50cm e o mdulo da velo-cidade no ponto A igual a v = 4m/s.e) Calcule o valor da tenso.Atravs da Segunda Lei de Newton, temos:Segunda Lei de Newton: G GR ma=A representao simblica da fora resultante : G G GR T P= +As componentes da fora resultante so:R T PR T Px x xy y y= += +Pela figura A, vemos que as componentes de cada uma das foras so: Tx = == = 0 0PT T P Pxy yPortanto, as componentes da fora resultante so:Rx == 0R T PyA Segunda Lei de Newton fornece: = + = = =T P mvrT P mvrT N2 2 20 1 40 50 1 10 2 2,., ,A representao simblica da tenso no ponto A :GT N j= 2 2, f) Calcule a fora resultante.Como foi visto no item anterior, a fora resultante :GGR R jR T P NR j Nyy== = = = 2 2 1 3 23 2, ,( , )Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e .GGGGGT j NP j NR j Nv j m sa j m scp= = = == ( , )( )( , )( ) /( ) /2 213 2432 2GT N j= 2 2, Outros tipos de movimento164INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 164Refaa para os pontos B e C.Mas considere o mdulo da velocidade no ponto B, v m sB = 5 / e v m sC = 6 / .Para o ponto B, temos:a) Pedra isolada do exterior com as foras que agem nela:GTGPOs itens: b), c), d) e e) so iguais aos referentes ao ponto (A).f)GaOBGVGaxGayGaSegunda lei de Newton: G GR ma=A representao simblica da fora resultante : G G GR T P= +As componentes da fora resultante so:R T PR T Px x xy y y= += +Pela figura A, vemos que as componentes de cada uma das foras so: Tx = == = T PT P Pxy y00A Segunda Lei de Newton fornece: = = == = T mvrT mvrT N T i N2 2 20 1 50 55 5,.Gh) O valor da fora resultante :No eixo OY, a pedra move-se em queda livre, logo a Segunda Lei deNewton fornece:P mg N P jN= = = = 0 1 10 1 1,GA fora resultante GR R x= +i R jy GR i j N= ( )5 1 Outros tipos de movimento165C E D E R JMDULO 3 - AULA 6165GGGGGT i NP j NR i j Nv j m sa j m scp= = = = = ( )( )( )( ) /( ) /515 155 2 Para o ponto C, temos:a) Pedra isolada do exterior com as foras que agem nela:GTGPFigura COs itens: b), c), d) e e) so iguais aos referentes ao ponto (A).f)GvGag) Calcule o valor da tenso que a corda exerce sobre o fio.De acordo com a segunda lei de Newton temos:Segunda lei de Newton:G GR ma=A representao simblica da fora resultante :G G GR T P= +As componentes da fora resultante so:R T PR T Px x xy y y= += +Pela figura C, vemos que as componentes de cada uma das foras so: Tx = == = 0 0PT T P Pxy yPortanto, as componentes da fora resultante so:R x == 0R T PyOutros tipos de movimento166INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 166A fora resultante perpendicular velocidade da pedra e, por isso, mudaa direo da mesma mas no muda o seu mdulo. Portanto, a pedra fica emmovimento circular uniforme com raio R. A Segunda Lei de Newton fornece:T P mvrT P mvrT N = = + = + =2 2 20 1 60 50 1 10 8 2,., ,A representao vetorial da tenso no ponto C : GT N j= 8 2, h) Calcule o valor da fora resultanteGGR R jR T P NR j Nyy== = ==8 2 1 7 27 2, ,( , )Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e .GGGGGT j NP j NR j Nv i m sa j m s== == =( , )( )( , )( ) /( ) /8 217 2672 22. Um corpo lanado horizontalmente do alto de uma plataforma de 180mde altura em relao ao solo, com velocidade inicial Gv i m s0 40= ( ) / . Considere aresistncia do ar desprezvel, o referencial fixo Terra e g = 10m /s2:Corpo180m trajetriaOFigura 2XYvoOutros tipos de movimento167C E D E R JMDULO 3 - AULA 6167x(t),y(t),vx(t) e vy(t) para o corpo.No eixo OX, o corpo move-se em movimento retilneo uniforme:x t x v to ox( ) = +onde x v m s x t to ox= = =0 40 40 e / ( ) .No eixo OY, o corpo move-se por ao da fora gravitacional. Logo, y t y v ta tyy( ) = + +0 022onde y v e a m s y t toy y02 20 0 10 5= = = =, / ( ) .v tv t v a t txy y y( )( )== + = 40100b) Escreva os vetores posio, velocidade e acelerao instantneas docorpo para um instante de tempo t.O vetor posio :Gr t x t i y t jt i t j( ) ( ) ( )( ) ( )= += +40 5 2 Gv t v t i v t ji t jx y( ) ( ) ( )( )= += +40 10 O vetor acelerao instantnea :Ga(t) ax= + =i a j jy 10 c) Escreva o vetor posio e o vetor velocidade instantnea em t=3s. O vetor posio para t = 3s:Gr i j i j m( ) ( )3 40 3 5 3 120 452= + = + O vetor velocidade instantnea para t = 3s:Gv i j i j m s( ) ( ) /3 40 10 3 40 30= + = + d) Obtenha as velocidade mdia e acelerao mdia entre o tempo t=0s e t=3s.velocidade mdia:G G Gv r r i j i j m sm = = + = +( ) ( ) ( ) /3 03120 45340 15 acelerao mdia:G G Ga v v i j i j m sm = = + =( ) ( ) ( ) /3 0340 30 40310 2 Outros tipos de movimento168INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 168e) Obtenha o tempo gasto para o corpo atingir o solo.O tempo gasto para atingir o solo o tempo que o projtil atinge y(t) = 180m.y t ttt s( ) = = = =55 1801805622f) Obtenha o alcance mximo do corpo (maior distncia horizontal percorrida).A maior distncia horizontal percorrida igual distncia que o mvel percorre no eixo x durante o tempo de queda:x t t x m( ) ( )= = =40 6 40 6 240 .A flutuao dos corpos169C E D E R JMDULO 3 - AULA 7169Figura 143 Equipamento experimental.A flutuao dos corposPrtica 2Experimento 1 Medir empuxo em um corpo de provae sua densidadeObjetivoSero efetuadas medies de: Massa de um corpo de prova, com uma balana; Peso de um corpo de prova, com um dinammetro; Empuxo; Densidade de um corpo de prova.Material utilizado Corpo de prova 1: 1 cilindro de alumnio com dois ganchos, com peso deaproximadamente 1N (incluindo os ganchos); Corpo de prova 2: 1 cilindro de alumnio com um gancho, com peso deaproximadamente 0,5N (incluindo o gancho); 1 dinammetro graduado em newtons, com prendedor magntico; 1 balana graduada em gramas; 1 proveta graduada em ml (ou cm3), cujo volume total igual a 500ml,altura aproximadamente igual a 40cm e dimetro externo de 5cm;A flutuao dos corpos170INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 170Figura 145 Corpo imerso no fluido em equilbrio.Informaes preliminares:Na Figura 144 esto representados um fl uido em equilbrio e o diagrama de foras de uma poro desse fl uido com volume . O fl uido que est em contato com a poro de fl uido com volume exerce sobre ela a fora . A Terra atrai a poro de fl uido com a fora peso . Como a poro de fl uido est em equilbrio, a fora resultante que atua sobre ela nula. Conseqentemente o mdulo da fora igual ao mdulo da fora peso, isto , , onde a densidade volumtrica do fl uido e g a acelerao da gravidade. Vamos considerar apenas fl uidos com densidades gvolumtricas constantes.A Figura 145 representa um corpo imerso em um fl uido em equilbrio. Ovolume de fl uido deslocado pelo corpo igual ao da poro de fl uido da Figura 144.A quantidade de fl uido que envolve o corpo igual da Figura 144. A fora exercidasobre o corpo pelo fl uido que est em contato com ele igual fora . O corpo empurrado para fora do fl uido pela fora , denominada fora empuxo. A fora empuxo tem a direo e o sentido contrrio ao da forapeso e mdulo igual ao peso do volume deslocado, isto , ..Fora EmpuxoA flutuao dos corpos171C E D E R JMDULO 3 - AULA 7171Figura 146 Diagrama de foras do corpo de prova imerso no ar.A Figura 146 apresenta um corpo de prova que est pendurado poruma linha em um dinammetro e os diagramas de foras do corpo e da linha.O corpo de prova est imerso no arVamos aplicar o algoritmo do diagrama de foras ao corpo e ao fi o paraobter os seus diagramas de foras.O corpo foi desenhado separado do seu exterior na Figura 146. Estoem contato com ele o fi o e o ar. A fora que o ar exerce sobre o corpo a foraempuxo, que igual ao peso do volume do ar deslocado. Ela desprezvel emrelao ao peso do corpo e no ser considerada. O fi o exercesobre o corpo a fora . A Terra atrai o corpo com a fora . O equilbrio nosd que: .A leitura do dinammetro o mdulo da fora que o fi o exerce sobreo dinammetro.O fi o foi desenhado separado do seu exterior na Figura 146. Esto emcontato com ele o ar, o corpo e o dinammetro. A fora empuxo exercida peloar sobre o fi o desprezvel em relao fora exercida pelo corpo sobre ele, umavez que o volume de ar deslocado pelo fi o muito pequeno. A fora exercidapelo corpo sobre o fi o , uma vez que a sua reao a fora que o fi o exercesobre o corpo que . A fora que o dinammetro exerce sobre o fi o ,uma vez que a sua reao a fora que o fi o exerce sobre o dinammetro.A fora gravitacional que a Terra exerce sobre o fi o desprezvel porque ofi o tem massa muito menor que a massa do corpo de prova. Pelo equilbrio temosque . Portanto, a leitura nodinammetro igual ao mdulo do peso do corpo de prova (P)P .A flutuao dos corpos172INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 172Vamos aplicar o algoritmo do diagrama de foras ao corpo e ao fi o paraobter os seus diagramas de foras.O corpo foi desenhado separado do seu exterior na fi gura 147. Estoem contato com ele o fi o e a gua. A fora que a gua exerce sobre o corpo afora empuxo que igual ao volume de gua deslocadafi o exerce sobre o corpo a fora . A Terra atrai o corpo com a fora . Oequilbrio nos d que: .A leitura do dinammetro o mdulo da fora que o fi o exerce sobreo dinammetro. O fi o foi desenhado separado do seu exterior na fi gura 147. Esto emcontato com ele o ar, o corpo e o dinammetro. A fora empuxo exercida peloar sobre o fi o desprezvel em relao fora exercida pelo corpo sobre ele, umavez que o volume de ar deslocado pelo fi o muito pequeno. A fora exercida pelocorpo sobre o fi o , uma vez que a sua reao a fora que o fi o exercesobre o corpo, que . A fora que o dinammetro exerce sobre o fi o ,uma vez que a sua reao a fora que o fi o exerce sobre o dinammetro.A fora gravitacional que a Terra exerce sobre o fi o desprezvel porqueo fi o tem massa muito menor que a massa do corpo de prova. Pelo equilbriotemos que .Portanto, a leitura no dinammetro igual ao mdulo da fora que igual aA fora denominada peso aparente .A Figura 147 apresenta um corpo de prova que est pendurado por uma linha em um dinammetro e os diagramas de foras do corpo e da linha. O corpo de prova est imerso na gua.Figura 147 Diagrama de foras do corpo de prova imerso na gua.A flutuao dos corpos173C E D E R JMDULO 3 - AULA 7173Atividade experimentalFigura 148 Equipamento experimental.1. Encha o recipiente com gua at, por exemplo, o nvel .Estime a incerteza nessa leitura, . Coloque e na Tabela 1.2. Usando a balana, leia a massa do corpo, , e estime aincerteza nessa leitura , e coloque na Tabela 1. No se esquea decalibrar a balana.3. Posicione o dinammetro no quadro magntico como mostradona Figura 148 repetida acima. No se esquea de fazer o ajuste inicial dodinammetro, bem como seu alinhamento na prancha vertical.Alinhamento inicial do dinammetro: Solte o parafuso libertador da capae a movimente para cima ou para baixo, nivelando o primeiro trao da escala coma extremidade da capa (referncia).4. Corte um pedao de linha de alta resistncia com um comprimento daordem de 20cm. Dobre a linha e d um lao. Prenda uma das extremidades dalinha no dinammetro e a outra no corpo de prova 1.5. Leia o dinammetro e estime a incerteza dessa leitura e coloque na Tabela 1.6. Preencha a proveta com gua. Verifi que se ela est com uma esponjano fundo.7. Introduza o peso na proveta com gua, como na fi gura 148. Tenha cuidadopara no deixar o peso cair. Evite a queda do peso sobre o fundo da proveta.8. Com muito cuidado repita a medio, agora com o corpo de prova 2inteiramente mergulhado na gua do recipiente. Cuidado para no bater com o corpo de prova nas paredes do recipiente de vidro.A flutuao dos corpos174INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 1749. Leia o novo nvel dgua e a sua incerteza experimental e coloque na Tabela 1.10. Leia o dinammetro e estime a incerteza dessa leitura e coloque na Tabela 1.Tabela 1 Medidas diretasClculo das medidas indiretas e de suas incertezas experimentaisNos clculos a seguir considere os seguintes valores para a acelerao dagravidade e a densidade dgua:, .Calcule o volume do corpo mergulhado pela diferena do nvel da gua antes e depois que ele foi imerso na gua: .Calcule a incerteza experimental associada a essa medida: =Coloque os valores de e na Tabela 2.Calcule a densidade do corpo de prova e a sua incerteza experimental .Coloque os valores de e na Tabela 2.Calcule, utilizando os dados da Tabela 1 e o valor da acelerao da gravidade, o peso do corpo de prova: . Calcule a incerteza experimental associada a essa medida: . A incerteza na medida da acelerao da gravidade foi desprezada em relao incerteza na medida da massa.Coloque os valores de e na Tabela 2.Calcule, utilizando os dados da Tabela 1, os valores do empuxo incertezas nas medidas da acelerao da gravidade e da densidade da gua foram desprezadas em relao incerteza na medida do volume do deslocada de gua.A flutuao dos corpos175C E D E R JMDULO 3 - AULA 7175Coloque os valores de e na Tabela 2.Calcule, utilizando os dados da Tabela 1, os valores do empuxo da sua incerteza experimental. As incertezas nas medidas daacelerao da gravidade e da densidade da gua foram desprezadas em relao incerteza na medida do volume deslocado de gua.Coloque os valores de e na Tabela 2.Anlise dos dados O dinammetro mede a fora que o fi o exerce sobre ele. Portanto, deacordo com as informaes anteriores, temos que: Lo=F=P e L=Q=Paparente .1. Transfi ra para a Tabela 3 os valores de Lo, Lo , P e P.Tabela 2 Medidas indiretas.Tabela 3 Medidas dos pesos.Escreva o intervalo dos nmeros reais I1 = [Lo Lo, Lo + Lo] = ______que representa a faixa de valores experimentais para o peso do corpo obtidodiretamente da leitura do dinammetro.Escreva o intervalo dos nmeros reais I2 = [P P, P + P] = ____________que representa a faixa de valores experimentais para o peso do corpo obtidoindiretamente com a medida da massa do corpo e da acelerao da gravidade.Qual interseco dos intervalos I1 e I2? As faixas de valores obtidas pela medida direta e indireta do peso do corpo so compatveis? Justifi que a sua resposta.2. Transfi ra para a Tabela 4 os valores de E E calculados com adensidade da gua, o volume deslocado pelo corpo e a acelerao da gravidade eos valores de E E calculados com as leituras do dinammetro L e Lo .Tabela 4 Medidas do empuxo.A flutuao dos corpos176INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 176Escreva o intervalo I3 = [E E, E + E] = _______________ dos nmeros reais que representa a faixa de valores experimentais para empuxo calculado pelovolume deslocado.Escreva o intervalo I4I = [E E, E + E] = _______________ dos nmeros reais obtidos indiretamente das leituras L e Lo do dinammetro. Qual intersecodos intervalos I3 e I4? As faixas de valores do empuxo obtidas pelas leituras dosdinammetros e pelo volume deslocado so compatveis? Justifi que a sua resposta.3. O Handbook de Qumica fornece para a densidade do alumnio puro aseguinte faixa de valores: Al = (2,699l 0,001)g/cm3.Transfi ra para a Tabela 5 os valores de corpo corpo da Tabela 2.Escreva o intervalo dos nmeros reais I5= [Al Al , Al + Al] associado faixa de valores do alumnio puro.Tabela 5 Medidas de densidade.Escreva o intervalo dos nmeros reais I6 = [corpo corpo , corpo+ corpo] = ________ que representa a faixa de valores das densidades dos corpos.Qual a interseo do intervalo I5 e I6? As faixas de valores para a densidadedo corpo e a faixa e valores para o alumnio fornecido pelo Handbook socompatveis? Justifi que a sua resposta.177E para terminar...Neste mdulo inciamos o estudo da Mecnica da Partcula. Essa teoria umdos pilares da Fsica. Ela o modelo que explica o movimento de corpos que podemser tratados como partculas no mundo macroscpico.Voc aprendeu que todo movimento relativo, que para descrever ummovimento necessrio defi nir um referencial, que os vetores cinemticos simplifi cam a representao e a descrio das trajetrias, que so as foras que mudam osmovimentos e que as Leis de Newton permitem encontrar as trajetrias de partculascujas velocidades e posies iniciais so conhecidas.Vimos que as foras so o resultado das interaes entre os corpos e que todasas foras de contato tm natureza eletromagntica.O conhecimento da interao eletromagntica permitiu o desenvolvimento domundo moderno. Associadas a ela esto a luz que ilumina cidades, o calor produzidonos aquecedores eltricos, a transmisso de informaes utilizadas nos rdios,telefones, televisores, computadores etc.No Mdulo 4, iniciaremos com o auxlio da Mecnica da Partcula o estudoda interao eletromagntica.C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3O centro de massa179C E D E R JCOMPLEMENTO 1179O centro de massaNa disciplina de Fsica I ser demonstrado que o centro de massa de umsistema um ponto do espao defi nido pela distribuio de massa do sistema. Eletem a trajetria de uma partcula com a massa total do sistema e que est submetidaa todas as foras que o exterior realiza sobre o sistema. Por exemplo, um carro composto por muitas partes, as rodas, o volante etc. O centro de massa do carrodepende da forma com que a sua massa total M est distribuda no seu volume.Quando o carro est se deslocando em uma estrada, o seu centro de massa tem atrajetria igual de uma partcula que tem massa M e sofre a ao do peso do carro,das normais e das foras de atrito que atuam sobre as rodas e da resistncia que o aroferece ao deslocamento do carro.Neste complemento estamos interessados apenas em defi nir o vetor posiodo centro de massa de um sistema para comear a desenvolver nossa intuio emrelao sua posio. Ele uma espcie mdia ponderada pelas massas dos vetoresposio das partes que compem o sistema. A defi nio do vetor posio do centrode massa de um sistema de partculas :Vamos calcular o vetor posio do centro de massa de um sistema formado porduas partculas com massas e que esto separadas por uma distncia . O vetor posio do centro de massa .Os vetores posio so dados por: .As componentes do vetor posio do centro de massa so:CENTRO DE MASSAO centro de massa180INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 180As expresses encontradas mostram que no casos em que as massas soiguais temos : e .^dCMd2Portanto, o centro de massa entre duas partculas est no ponto mdio entreelas, isto , a igual distncia das massas.No caso em que as coordenadas do centro de massa so:eNeste caso, o centro de massa est mais prximo da maior massa. Isto vaisempre ocorrer, uma vez que o vetor posio das partculas mais pesadas contribuemmais no clculo do vetor posio do centro de massa.O clculo da posio do centro de massa de sistemas mais complicados serrealizado em disciplinas mais avanadas do curso. Ser possvel demonstrar combastante facilidade com o auxlio do clculo diferencial e integral que o centro demassa de sistemas homognos e simtricos esto no seu centro de simetria. Porexemplo, o centro de massa de uma esfera com distribuio de massa homogneaest no centro da esfera, o centro de massa de um tijolo homogneo est no centrodo tijolo etc.Propagao de Erros181C E D E R JCOMPLEMENTO 2181Propagao de errosNo Mdulo 1, foi discutido no Complemento 3 Incerteza numa medidaexperimental - que o valor exato de uma grandeza experimentall 1 sempre desconhecido.Por melhores que sejam os mtodos e os instrumentos de medida, o valor encontradopara a grandeza ser uma estimativa para o seu valor verdadeiro. Associamos, ento,a cada medida uma incerteza ou erro. Assim, ao medirmos o valor de uma grandezaexperimental determinamos qual o valor mais provvel e o quo prxima do l valorverdadeiro est essa medida, com base num tratamento estatstico dos dados.Neste mesmo mdulo, nos confrontamos, no laboratrio, com situaes emque o resultado do experimento medido indiretamente, em termos de duas oumais medidas obtidas diretamente. Por exemplo, o clculo do tamanho da manchaluminosa em funo do dimetro do orifcio da mscara e das distncias dafonte mscara e da mscara at o anteparo . Ou seja, nos defrontamos coma questo de determinar qual a incerteza no resultado fi nal , medida indireta,em funo das incertezas das medidas diretas . A sugesto de estimativa paraa determinao da incerteza foi calcular o valor mximo e mnimo para . Mas, em geral,para resolver esse problema aplicamos o mtodo mais usual, conhecido como propagaode erros, que se baseia na aplicao de resultados do clculo diferencial que voc estudarem cursos posteriores.Para ilustrar como os erros se propagam, apresentamos na fi gura abaixo uma representao grfi ca esquemtica da propagao do erro de uma medida direta para uma medida indireta , tal que . Nesta ilustrao, vemos que uma variaono valor de resulta numa variao no valor de .Figura 1 Representao grfica esquemtica da propagao do erro de uma medida direta x para uma medida indireta y, tal que y = f(x).1 Por grandeza experimental entendemos que se trata de toda grandeza cujo valor obtidopor medidas.Propagao de Erros182INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 182Por enquanto, as expresses especfi cas para alguns casos mais usuais foram dedu-zidas para voc e esto resumidas na tabela a seguir, onde a grandeza calculada como funo de outras grandezas e medidas diretamente, sendo e as incertezas correspondentes. Os parmetros e so supostos isentos de erro, e as incertezas e so completamente independentes entre si (no-correlacionadas).Para exemplifi car, vamos considerar um problema real. Medimos no labo-ratrio a diferena de potencial nos terminais de uma lmpada e a corrente que apercorre como sendo, respectivamente, iguais a dissipada na lmpada, bem como sua incerteza .Podemos calcular a potncia dissipada usando a defi nio: . Logo, . Falta determinarmos a respectiva incerteza.Consultando a tabela acima identifi camos que a funo correspondente ao nosso caso f = axy, onde , , e , ou seja, .A expresso para a incerteza em pode ser escrita como:Vamos apresentar a incerteza com apenas um algarismo signifi cativo; assim, ao arredondarmos eliminamos os algarismos excedentes direita do 5 e aumen-tamos o 3 para 4. Logo, .Tabela 2 Frmulas especficas, para alguns casos mais usuais, para o clculo da incerteza de uma medida obtida indiretamente.Propagao de Erros183C E D E R JCOMPLEMENTO 2183A incerteza dada com 1 algarismo signifi cativo, , determina osalgarismos signifi cativos no resultado da potncia, . Portanto, como o 4 se encontra na segunda casa decimal, o ltimo algarismo da potncia deve tambm estar nasegunda casa decimal, . Temos, ento, .Para fi nalizar, a interpretao desse resultado dentro do formalismo da teoriade erros2 nos diz que o valor mais provvel para e que o intervalo defi nido por , concentra 2/3 dos valores possveis para . Isto equivalente adizer que se voc tivesse feito um nmero, , muito grande de medidas, 2/3 delas estariam nesse intervalo. A justifi cativa para esta interpretao ser feita ao longodas prximas disciplinas de Fsica que voc cursar.2 Para uma leitura mais aprofundada consulte o livro Fundamentos da teoria de erros de, J.H. Vuolo.C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3Construo de um grfico185C E D E R JCOMPLEMENTO 3185Construo de um grficoOs resultados de medidas experimentais so representados em tabelas e grfi-cos. Nesse complemento, discutiremos a construo de grficos. Construiremos umgrfico com os dados representados na tabela a seguir:t t x x[s] [s]0, 100 0, 001 21, 5 0, 20, 200 0, 001 22, 7 0, 20, 300 0, 001 23, 9 0, 20, 400 0, 001 25, 1 0, 20, 500 0, 001 26, 3 0, 20, 600 0, 001 27, 5 0, 20, 700 0, 001 28, 7 0, 20, 800 0, 001 29, 9 0, 20, 900 0, 001 31, 1 0, 2Use papel milimetrado para fazer o seu grfico. Os seguintes critrios e requi-sitos devem ser atendidos para que se tenha um bom grfico:1. O grfico deve ter um ttulo. No nosso exemplo, o ttulo Distncias versus tempo.2. Deve-se indicar nos eixos as grandezas fsicas correspondentes e suas respectivasunidades. Veja, na Figura 26, distncia x em cm e tempo em segundos (s).3. O grfico deve ter leitura fcil. Portanto, o centmetro do papel no devecorresponder a valores do tipo 0,66 ou 1,43 etc. Para voc escolher o valor do centmetro do papel milimetrado, divida a sua faixa de valores pela faixa de valoresdo papel milimetrado e escolha um valor maior ou igual aquele obtido. No nosso exemplo, o eixo dos tempos tem 15cm e a faixa de valores do tempo 0,8s, portantoo centmetro tem que ter um valor maior ou igual a (0, 9 0, 1)/15 = 0, 0533. O grfico cujo centmetro tem o valor 0,0533... no de leitura fcil. O valor escolhidopara o centmetro foi 0,1s. O eixo das distncia percorridas (x) tem 10cm e a faixa de valores das distncias de 11cm . O centmetro deste eixo tem que ter um valor maior ou igual a (32, 2 21, 5)/15 = 1, 1. O valor escolhido para o centmetro foi 2cm.Construo de um grfico186INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1C E D E R J 1864. O eixo deve conter apenas os valores correspondentes aos valores doscentmetros; por exemplo, no eixo dos tempos 0,1s a 1,5s; no eixo das distnciasde 20cm at 40cm. No se escrevem os valores medidos; por exemplo, a distncia para t=0,1s 21,5 cm. Esse valor no colocado no eixo das distncias.5. No use linhas de chamada, linhas perpendiculares aos eixos utilizadaspara localizar os pontos. Elas confundem a leitura dos pontos interpolados.6. Escolha o eixo e a orientao do papel de tal forma que a maior faixa devalores fique sobre o eixo que coincide com a maior dimenso do papel.7. Os dados devem ocupar a maior parte das escalas, para que seja possveller os pontos que no foram medidos (interpolados) com maior preciso. No necessrio que a origem do grfico coincida com o zero da medida. No nosso gr-fico, a origem do eixo das distncias coincide com o valor 20 cm.8. As barras de incerteza, [ ]devem ser marcadas nos pontos (ver figura 26).Em algumas situaes, as faixas de incertezas so muito pequenas e no podem sermarcadas no grfico. Este o caso das faixas de incertezas associadas s medidasde tempo.9. Avalie os pontos e trace a curva que melhor descreve seus dados. Ela deveinterpolar os pontos medidos, cortando o maior nmero de barras de incertezaspossvel. Alguns pontos podem ficar fora da sua curva.Referncias bibliogrfi casC E D E R J187REFERNCIAS BIBLIOGRFICASReferncias BibliogrficasGRUPO DE REELABORAO DO ENSINO DA FSICA. USP. Fsica. So Paulo: EdUSP, 2001. 3v.LUZ, Antonio Maximo Ribeiro; ALVARES, Beatriz Alvarenga. Fsica: volume nico. So Paulo: Scipione, 1997. 670p.NUSSENZVEIG, H. Moyss. Curso de Fsica Bsica. v.1: Mecnica. So Paulo: Editora Edgard Blcher, 1997.RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Fsica. v.1: Mecnica. Rio de Janeiro: LivrosTcnicos e Cientfi cos, 1981.C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3AgradecimentosAGRADECIMENTOSC E D E R J189AgradecimentosAos professores do Instituto de Fsica da UFRJ,Leandro Salasar de Paula, Marcus Vencius C. Pinto, Carlos Farina de Souza,pelas sugestes e comentrios.Ao professorStenio Dore de Magalhes,pelo projeto do experimento da fora empuxo.Aos tutores do Instituto de Fsica da UFRJ,Tatiana da SilvaGisele Cristina Coelho PintoJos Roberto da Rocha Bernardo,pelo teste do material e pelas sugestes.Ao funcionrio do Instituto de Fsica da UFRJ,Francisco de Souza Oliveira, pela participao na elaborao dos experimentos. funcionria do CEDERJElizabeth Brito,pela participao na elaborao dos experimentos.C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3C E D E R J 9AULA 21 MDULO 3