Formule geometriche

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    19-Jan-2016

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Formule geometriche elementari

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<ul><li><p>Formulario di Geometria </p><p>Edizione 2006 A cura di Gentile Valter </p><p>1 </p><p>FORMULARIO DI GEOMETRIA </p><p>A cura di Valter Gentile </p><p>E-Notes pubblicata dalla Biblioteca Centrale di Ingegneria Siena, 12 settembre 2006 </p></li><li><p>Formulario di Geometria </p><p>Edizione 2006 A cura di Gentile Valter </p><p>2 </p><p>GEOMETRIA Principi ( da scheda 1 a 5) Solidi (da scheda 18 a 35) Teoremi Di Guldino (sch. 50 - 51) Figure Piane (da scheda 6 a 17) Relazioni notevoli (da scheda 36 a 49) Esempi solidi di rotazione(sch. 52) </p><p>Figure piane Solidi S = area b = base </p><p>h = altezza = 3,141592 </p><p>Sl = area laterale Sb = area di base </p><p>St = area totale V = Volume </p><p>h = altezza del solido S = area </p><p> = 3,141592 </p><p>Indice Schede Pag. Scheda 1 : Geometria del piano: definizioni 3 Scheda 2 : Geometria del piano: angoli 4 Scheda 3 : Geometria del piano: angoli, tipi di triangoli 5 Scheda 4 : Triangoli: propriet angoli, similitudine 6 Scheda 5 : Poligoni convessi: propriet angoli 7 Scheda 6 : Quadrato 8 Scheda 7 : Rettangolo e parallelogrammo 9 Scheda 8 : Triangolo 10 Scheda 9 : Rombo 11 Scheda 10: Trapezio 12 Scheda 11: Poligono regolare 13 Scheda 12: Circonferenza 14 Scheda 13: Arco 15 Scheda 14: Cerchio 16 Scheda 15: Settore circolare 17 Scheda 16: Segmento circolare ad una base 18 Scheda 17: Corona circolare 19 Scheda 18: Prisma retto 20 Scheda 19: Parallelepipedo rettangolo 21 Scheda 20: Cubo 22 Scheda 21: Piramide retta 23 Scheda 22: Tronco di piramide retta 24 Scheda 23: Tetraedro 25 Scheda 24: Ottaedro 26 Scheda 25: Dodecaedro 27 Scheda 26: Icosaedro 28 Scheda 27: Cilindro circolare 29 Scheda 28: Cilindro equilatero 30 Scheda 29: Cono circolare retto 31 Scheda 30: Cono equilatero 32 Scheda 31 Tronco di cono circolare retto 33 Scheda 32: Sfera 34 Scheda 33: Calotta sferica e segmento sferico ad una base 35 Scheda 34: Zona sferica e segmento sferico ad due basi 36 Scheda 35: Fuso sferico o Spicchio 37 Scheda 36: Equivalenza e Similitudine nello spazio 38 Scheda 37: Teorema di Pitagora 39 Scheda 38: I teorema di Euclide ( per i triangoli rettangoli ) 40 Scheda 39: II teorema di Euclide ( per i triangoli rettangoli ) 41 Scheda 40: Raggio del cerchio inscritto ( in un triangolo qualsiasi ) 42 Scheda 41: Raggio del cerchio circoscritto ( in un triangolo qualsiasi ) 43 Scheda 42: Quadrilatero convesso inscritto in una circonferenza (teorema di Tolomeo) </p><p>Quadrilatero convesso circoscritto ad una circonferenza 44 Scheda 43: Raggio del cerchio exinscritto ( in un triangolo qualsiasi ) 45 Scheda 44: Triangolo equilatero ( relazioni notevoli ) 46 Scheda 45: Triangolo isoscele Triangolo isoscele circoscritto ( relazioni notevoli ) 47 Scheda 46: Teorema Di Pitagora Generalizzato ( Triangolo qualsiasi ) 48 Scheda 47: Applicazioni della similitudine (teoremi: bisettrici, corde, secante, tangente) 49 Scheda 48: Trapezi circoscritti a semicirconferenze ( relazioni notevoli ) 50 Scheda 49: Trapezi circoscritti a cerchi ( relazioni notevoli ) 51 Scheda 50: I Teorema di Guldino 52 Scheda 51: II Teorema di Guldino 53 Scheda 52: Esempi svolti per solidi di rotazione 54 Scheda 53/54: Esempio svolto per i teoremi di Guldino 55 </p></li><li><p>Formulario di Geometria </p><p>Edizione 2006 A cura di Gentile Valter </p><p>3 </p><p>Geometria del piano: definizioni </p><p>Concetti fondamentali Elementi della geometria : gli elementi fondamentali della geometria sono il punto, la retta, il piano Concetto di punto : Ci si forma il concetto di punto, osservando corpi minutissimi (granello di </p><p>sabbia); lo si rappresenta con un segno piccolissimo della matita sulla carta, lo si indica con una lettera maiuscola. </p><p>Concetto di retta : Ci si forma il concetto di retta, osservando un filo teso, prolungato allinfinito da ambo le parti. Una retta si indica con una lettera dellalfabeto minuscola, o con due lettere maiuscole indicanti due qualsiasi dei suoi punti. </p><p>Concetto di piano : Ci si forma il concetto di piano osservando la superficie levigata di un tavolo, prolungata allinfinito da ogni parte. Un piano si indica con una lettera dellalfabeto greco ( = alfa, = beta etc) </p><p>Definizione di spazio : Dicesi spazio linsieme di tutti i punti esistenti Definizione di figura : Si chiama figura geometrica un qualsiasi gruppo di punti Definizione di geometria : Si chiama geometria la scienza che tratta delle figure geometriche; </p><p>geometria piana quella che tratta di figure costituite da punti di uno stesso piano; geometria solida, quella che tratta di figure costituite da punti non giacenti tutti sullo stesso piano , e cio di figure nello spazio. </p><p>Postulato della retta : per due punti distinti passa una retta ed una sola, i punti di una retta sono ordinati in due versi distinti, opposti luno allaltro, in modo che non v n un primo n un ultimo punto e che fra i due punti, vi sono infiniti punti intermedi. </p><p>Postulato del piano : Data una retta qualsiasi di un piano, i punti del piano vengono da essa divisi in due gruppi o semipiani tali che : 1) ogni punto del piano appartiene alluno o allaltro dei due semipiani 2) la retta che congiunge due punti situati in semipiani opposti incontra la </p><p>retta data, in un punto compreso fra di essi, mentre la retta individuata da due punti situati nello stesso semipiano non ha in comune con la retta alcun punto compreso fra essi. </p><p>Definizione di semiretta : Si chiama semiretta quella parte di retta costituita da un suo punto (origine) e dai suoi successivi in uno dei due versi segnati sulla retta semiretta AB A B Due semirette si dicono opposte se, essendo situate sulla stessa retta, hanno versi opposti A </p><p>Segmenti : Chiamasi segmento la figura formata da due punti distinti (estremi) e da quelli della retta da essa determinata, che sono fra essi compresi segmento AB A B </p><p>Segmenti consecutivi ed adiacenti : </p><p>Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estremo in comune o gli altri due da parti opposte; adiacenti se, oltre ad essere consecutivi giacciono su di una stessa retta. B C A B C A segmenti consecutivi segmenti adiacenti </p><p>Osservazione: Se due segmenti non hanno estremi in comune possono trovarsi in tre posizioni diverse : 1) un estremo di uno interno allaltro; in tal caso si dice che si separano 2) i punti di uno sono tutti interni allaltro e allora si dice che uno interno </p><p>allaltro 3) I punti di ciascuno sono estremi allaltro e allora si dice che uno tutto esterno allaltro. </p></li><li><p>Formulario di Geometria </p><p>Edizione 2006 A cura di Gentile Valter </p><p>4 </p><p>Geometria del piano : angoli </p><p>Concetti fondamentali Semipiani ed angoli: Si dice semipiano la figura costituita dai punti di una retta e dai punti del </p><p>piano , che si trovano dalla stessa parte rispetto a quella della retta, la quale si dice contorno. </p><p>Angolo: Si dice angolo una delle due parti in cui viene diviso il piano da due semirette uscenti da uno stesso punto; oppure Si dice angolo linsieme dei punti comuni a due semipiani i cui contorni si incontrano in un punto detto vertice, mentre le semirette che lo limitano si dicono lati. A Osservazione : 1) Un angolo si pu considerare generato O angolo AB </p><p>dalla rotazione di una semiretta attorno ad un punto B 2) Due punti interni ad un angolo sono estremi di un segmento </p><p>tutto interno allangolo, mentre un segmento che congiunge un punto interno con un punto esterno incontra certamente uno dei lati dell'angolo </p><p>3) Una retta passante per il vertice e per un punto interno ad un angolo lascia i lati da parti opposte, mentre una retta passante per il vertice e per un punto esterno, lascia i lati dalla stessa parte. </p><p>Angolo convesso e concavo: </p><p>Un angolo dicesi convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati; Un angolo dicesi concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati A O convesso concavo B </p><p>Angolo piatto e giro: Un angolo si dice piatto quando i suoi lati sono semirette opposte; giro quando i lati sono sovrapposti. </p><p> O O angolo piatto angolo giro </p><p>Angoli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice: </p><p>Due angoli si dicono: 1) consecutivi quando hanno un lato in comune e gli altri due da parti </p><p>opposte rispetto a questo lato; 2) adiacenti quando, oltre ad essere consecutivi hanno gli altri due lati sulla </p><p>stessa retta e opposti; 3) opposti al vertice quando i lati delluno sono il prolungamento dei lati </p><p>dellaltro; due angoli opposti sono congruenti. </p><p> C A A B B B C D O O A O C = = Angoli consecutivi angoli adiacenti angoli opposti al vertice </p><p>Misura degli angoli: Gli angoli possono misurarsi in : 1) gradi : un grado la novantesima parte di un angolo retto 2) radianti : un radiante la misura di un angolo al centro di una </p><p>circonferenza che sottende un arco di lunghezza pari al raggio Relazione tra misure degli angoli espresse in gradi ( )e radianti ( r ) </p><p>360 : 2 = : r da cui r = / 180 o = 180 r / </p><p>se &lt; 90 (/2) = angolo acuto se = 90 (/2) = angolo retto </p><p>se &gt; 90 (/2) = angolo ottuso se = 180 () = angolo piatto </p><p>se = 360 (2) = angolo giro </p><p>Angoli complementari: Due angoli si dicono complementari se: + = 90 Angoli supplementari: Due angoli si dicono supplementari se: + = 180 (es. angoli adiacenti) </p></li><li><p>Formulario di Geometria </p><p>Edizione 2006 A cura di Gentile Valter </p><p>5 </p><p>Geometria del piano: angoli, tipi di triangoli </p><p>Concetti fondamentali Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale: </p><p> 2 1 4 3 a </p><p> 5 6 b 8 7 c </p><p> 4 e 6 ; 3 e 5 sono detti alterni interni 4 e 5 ; 3 e 6 sono detti coniugati interni 2 e 8 ; 1 e 7 sono detti alterni esterni 1 e 8 ; 2 e 7 sono detti coniugati esterni 1 e 5 ; 4 e 8 ; 2 e 6 ; 3 e 7 sono detti corrispondenti Se la retta a perpendicolare alla retta b allora gli angoli alterni interni, alterni </p><p>esterni, corrispondenti sono congruenti, mentre sono supplementari gli angoli coniugati interni e coniugati esterni </p><p>I triangoli sono detti: </p><p> scaleno se a b c equilatero se a = b = c isoscele se a = b c rettangolo se = 90 Criteri di congruenza dei triangoli: </p><p>I triangoli ABC e ABC sono congruenti (ABC = ABC) se si verifica una delle seguenti condizioni: 1) hanno congruenti due lati e langolo compreso </p><p>b = b; c = c ; = 2) hanno congruenti due angoli ed il lato ad essi comune </p><p> = ; = ; c = c 3) hanno congruenti due angoli ed il lato opposto ad uno di essi </p><p> = ; = : a = a 4) hanno i tre lati rispettivamente congruenti </p><p>a = a ; b = b; c = c </p></li><li><p>Formulario di Geometria </p><p>Edizione 2006 A cura di Gentile Valter </p><p>6 </p><p>Triangoli: propriet angoli, similitudine </p><p>Figure angoli Figure similitudine , , = ampiezze angoli interni = angolo esterno Nomenclatura specifica </p><p>B1C1 = a1 C1A1 = b1 A1B1 = c1 A1H1 = h1 </p><p>B2C2 = a2 C2A2 = b2 A2B2 = c2 A2H2 = h2 </p><p>a1 + b1 + c1 = 2p1 a2 + b2 + c2 = 2p2 </p><p>S1 = area triangolo A1B1C1 S2 = area triangolo A2 B2C2 </p><p>Propriet degli angoli di un triangolo: 1) + + = 180 2) un angolo esterno di un triangolo </p><p>uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti = + </p><p>3) gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali = </p><p>4) gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari </p><p> + = 90 = 90 = 90 </p><p>Propriet triangoli simili : 1) Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli </p><p>rispettivamente uguali e i lati omologhi in proporzione A1 = A2 B1 = B2 C1 = C2 </p><p>a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 2) Per dire che due triangoli sono simili occorre e basta </p><p>che sia soddisfatta una delle seguenti condizioni: a) che gli angoli siano ordinatamente uguali </p><p>A1 = A2 B1 = B2 C1 = C2 b) che un angolo delluno sia uguale ad un angolo </p><p>dellaltro e che i lati che li comprendono formino una proporzione </p><p> A1 = A2 b1 : b2 = c1 : c2 c) che i lati delluno siano proporzionali ai lati </p><p>dellaltro a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 </p><p>3) In due triangoli simili i perimetri stanno come due lati omologhi </p><p>2p1 : 2p2 = a1 : a2 4) In due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi stanno come due lati omologhi </p><p>h1 : h2= a1 : a2 5) Due triangoli simili stanno come i quadrati costruiti su </p><p>due lati omologhi o su due altezze omologhe. (A1B1C1 ) / (A2B2C2) = S1/S2 = (a1 / a2 )2 = (h1 : h2)2 </p><p> Due lati di due triangoli simili si dicono corrispondenti od omologhi quando sono opposti ad angoli uguali. </p></li><li><p>Formulario di Geometria </p><p>Edizione 2006 A cura di Gentile Valter </p><p>7 </p><p>Poligoni convessi: propriet angoli, similitudine </p><p>Figura angoli Nomenclatura specifica </p><p>n = numero lati poligono a, b, c, d, e, f = angoli interni a, b, c, d, e, f = angoli esterni </p><p>Nel caso della figura a lato: esagono equiangolo si ha: </p><p>a + b + c + d + e + f = ( 6 2 )180 = (4) 180 = 720 </p><p>a + b + c + d + e + f = 360 </p><p>a = (4) 180 / 6 = 720 / 6 = 120 </p><p>a = 360 / 6 = 60 </p><p>Propriet angoli interni ed esterni di un poligono convesso 1) La somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono convesso ( n 2 ) 180 2) La somma delle ampiezze degli angoli esterni 360, qualunque sia il numero dei lati 3) Lampiezza di ciascun angolo interno di un poligono equiangolo di n l...</p></li></ul>