Funcao Do 2o Grau Exercicios Resolvidos PDF

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    31-Jul-2015

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<p>Exerccios Resolvidos</p> <p>1) Calcular os zeros das seguintes funes: a) f(x) = x2 3x 10 b) f(x) = x2 + x 20 c) f(x) = x2 x + 12 d) f(x) = x2 + 4x 4 e) f(x) = 36x2 + 12x + 1 f) f(x) = (2x + 3).(x 2)</p> <p>a) f(x) = x2 3x 10</p> <p>a=1;b= 3; c = 10</p> <p>Equao do 2 grau!</p> <p>As razes da equao so x1 = 2 e x2 = 5 Os zeros da funo so x1 = 2 e x2 = 5</p> <p>b) f(x) = x2 + x 20</p> <p>a = 1 ; b = 1; c = 20 Equao do 2 grau!</p> <p>As razes da equao so x1 = 5 e x2 = 4 Os zeros da funo so x1 = 5 e x2 = 4</p> <p>c) f(x) = x2 x + 12</p> <p>a= 1 ;b= 1 ; c = 12 Equao do 2 grau! A funo continua inalterada, mas a equao foi multiplicada por 1, apenas para facilitar o clculo das razes.</p> <p>Para efeito de clculos, consideraremos agora</p> <p>;</p> <p>e</p> <p>As razes da equao</p> <p>so x1 = 4 e x2 = 3</p> <p>Os zeros da funo f(x) = x2 x + 12 so x1 = 4 e x2 = 3</p> <p>d) f(x) = x2 + 4x 4</p> <p>a= 1 ;b=4; c= 4 Equao do 2 grau! A funo continua inalterada, mas a equao foi multiplicada por 1, apenas para facilitar o clculo das razes.</p> <p>Para efeito de clculos, consideraremos agora</p> <p>;</p> <p>e</p> <p>A equao A funo f(x) = x2 + 4x 4</p> <p>tem duas razes reais e iguais a 2</p> <p>e) f(x) = 36x2 + 12x + 1</p> <p>a = 36; b = 12 ; c=1</p> <p>A equao A funo f(x) = 36x2 + 12x + 1</p> <p>tem duas razes reais e iguais a</p> <p>f) f(x) = (2x + 3).(x 2) Equao do 2 grau!</p> <p>Se o produto fatores, Da...</p> <p>ou</p> <p> igual a zero, podemos ter certeza que um dos , nulo. (1 raiz) (2 raiz) so x1 = 3/2 e x2 = 2</p> <p>1) Se 2) Se As razes da equao</p> <p>Os zeros da funo f(x) = (2x + 3).(x 2) so x1 = 3/2 e x2 = 2</p> <p>2) Calcular m para que: a) a funo f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 seja cncava para cima. b) a funo f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 seja cncava para baixo. c) a funo f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 seja quadrtica.</p> <p>a) Para que o grfico de uma funo quadrtica, ou do 2 Grau, seja uma parbola com a concavidade voltada para cima (CVC), necessrio que o coeficiente do x2 seja positivo: f(x) = (m 3)x2 + 4x 7</p> <p>b) Para que o grfico de uma funo quadrtica, ou do 2 Grau, seja uma parbola com a concavidade voltada para baixo (CVB), necessrio que o coeficiente do x2 seja negativo:2 f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1</p> <p>c) Para que uma funo seja quadrtica, ou do 2 Grau, necessrio que o coeficiente do x2 no seja nulo:2 f(x) = (m2 4)x2 4x + 3</p> <p>3) Nas funes abaixo, calcule as coordenadas do vrtice, dizendo se este ponto de mximo ou mnimo. a) f(x) = x2 4x + 3 b) f(x) = x2 x + 2</p> <p>c) f(x) = 4x4 + 4x + 1</p> <p>a) f(x) = x2 4x + 3</p> <p>a = 1 ; b = 4; c=3</p> <p>Abscissa do vrtice:</p> <p>Ordenada do vrtice:</p> <p>Coordenadas do vrtice:</p> <p>a) f(x) = x2 4x + 3</p> <p>a = 1 ; b = 4; c=3</p> <p>Abscissa do vrtice:</p> <p>Ordenada do vrtice: (clculo alternativo)</p> <p>a) f(x) = x2 4x + 3</p> <p>a = 1 ; b = 4; c=3</p> <p>2</p> <p>1 Valor mnimo da funo ou yMIN = 1</p> <p>V</p> <p>Resposta: O vrtice da funo f(x) = x2 4x + 3 no ponto ( 2 , 1 ) e, sendo seu grfico uma parbola com a concavidade voltada para CIMA, a funo admite um valor MNIMO, no caso, yV = 1</p> <p>b) f(x) =</p> <p>x2</p> <p>x+2</p> <p>a = 1 ; b = 1; c=2</p> <p>Abscissa do vrtice:</p> <p>Ordenada do vrtice:</p> <p>Coordenadas do vrtice:</p> <p>b) f(x) =</p> <p>x2</p> <p>x+2</p> <p>a = 1 ; b = 1; c=2 V 9/4 Valor mximo da funo ou yMAX = 9/4 1</p> <p>Resposta: O vrtice da funo f(x) = x2 x + 2 no ponto ( 1 , 9/4 ) e, sendo seu grfico uma parbola com a concavidade voltada para BAIXO, a funo admite um valor MXIMO, no caso, yV = 9/4</p> <p>c) f(x) =</p> <p>4x4</p> <p>+ 4x + 1</p> <p>a = 4 ; b = 4; c=1</p> <p>Resposta: O vrtice da funo f(x) = 4x4 + 4x + 1 no ponto ( 1/2 , 0 ) e, sendo seu grfico uma parbola com a concavidade voltada para CIMA, a funo admite um valor MNIMO, no caso, yV = 0</p> <p>4) Em cada funo mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as coordenadas do vrtice, crescimento e decaimento, valor mximo, ou mnimo, e faa o esboo do grfico. a) f(x) = x2 4x + 3 b) f(x) = x2 + 4x 4 c) f(x) = x2 + 3x + 4 d) f(x) = x2 + 2x 4</p> <p>a) f(x) = x2 4x + 3</p> <p>Razes: Vrtice: Pontos onde a curva intercepta o eixo Ox: e</p> <p>Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:</p> <p>Para valores de x, menores que 2, a funo decrescente A funo tem seu valor mnimo y = 1</p> <p>Para valores de x, maiores que 2, a funo crescente</p> <p>b) f(x) = x2 + 4x 4</p> <p>Razes: Ox em apenas um ponto, aqui, ( 2 , 0 ) ATENO: Neste caso, sempre que tivermos , a raiz tambm a abscissa do vrtice e, consequentemente, a ordenada do vrtice ser igual a zero! Vrtice: A parbola, cncava para baixo, vai tangenciar o eixo Ox no vrtice V = ( 2 , 0 )</p> <p>Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:</p> <p>A funo tem seu valor mximo y = 0</p> <p>Para valores de x, menores que 2, a funo crescente</p> <p>Para valores de x, maiores que 2, a funo decrescente</p> <p>c) f(x) = x2 + 3x + 4</p> <p>Razes: intercepta o eixo Ox Vrtice:</p> <p>Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:</p> <p>Para valores de x, menores que 1.5, a funo decrescente A funo tem seu valor mnimo y = 1.75</p> <p>Para valores de x, maiores que 1.5, a funo crescente</p> <p>d) f(x) = x2 + 2x 4</p> <p>Razes: intercepta o eixo Ox Vrtice:</p> <p>Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:</p> <p>Para valores de x, menores que 1, a funo crescente</p> <p>Para valores de x, maiores que 1, a funo decrescente</p> <p>A funo tem seu valor mximo y = 3</p> <p>5) Determine a lei da funo afim cuja reta que a representa tem coeficiente angular igual a 2 e passa pelo vrtice da parbola de equao y = x2 + 4.</p> <p>Funo afim: Resposta: A lei de formao da funo afim </p> <p>6) Responda: entre todos os pares de nmeros reais x e y, tais que x y = 10 determine aqueles para os quais a soma de seus quadrados seja mnima. Soma dos quadrados: Os pontos ou</p> <p>A expresso da soma dos quadrados est escrita agora, apenas em funo da varivel x, logo, uma f(x) Funo do 2 grau com , logo, representada por uma parbola cncava para cima que tem seu valor mnimo no vrtice Como Resposta: Par</p> <p>7) Uma parede de tijolos ser usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma rea mxima. Quais as medidas dos lados menor e maior?</p> <p>rea:</p> <p>Funo do 2 Grau CVB, ou seja, admite valor MXIMO no vrtice Como</p> <p>Resposta: Lado menor = 100 m e lado maior = 200 m</p> <p>8) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetria descrita pela equao h(t) = 2t + 8t (t 0), onde t o tempo medido em segundos e h(t) a altura em metros da bola no instante t. Determine, aps o chute: a) o instante em que a bola retornar ao solo b) a altura mxima atingida pela bola</p> <p>Para termos uma boa viso geral da situao, vamos fazer o grfico (mesmo que isso no esteja sendo pedido na questo) Razes: Abscissa do vrtice: Ordenada do vrtice: ou</p> <p>a) o instante em que a bola retornar ao solo: b) a altura mxima atingida pela bola:</p> <p>9) De um carto retangular de base 14cm e altura 12cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapzio issceles, conforme a figura, onde a parte hachurada ser retirada.</p> <p>Calcule o valor de x, em centmetros, para que a rea total removida seja mnima.</p> <p>ou Funo quadrtica CVC que admite MNIMO no vrtice</p> <p>Resposta: O lado do quadrado dever medir 1 cm</p> <p>10) Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a (x + 3) e (2x 4) metros. a) Determine os valores de x, para que a rea da placa varie de 12m2 a 28m2. b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2.</p> <p>a)</p> <p>a) 1 parte:</p> <p>INEQUAO DO 2 GRAU!</p> <p>Clculo das razes:</p> <p>Temos que encontrar dois nmeros que, somados dem 1 e multiplicados resultem em 12 Sem muito sacrifcio, encontramos 4 e 3 (Verifique!)</p> <p>Sabemos que a expresso seria representada, como grfico de uma funo, por uma parbola com a concavidade voltada para cima. Calculamos, de cabea, que os zeros dessa funo seriam 4 e 3 e da no difcil visualizar o esboo desse grfico. Para x = 4 e para x = 3 temos Para x &lt; 4 ou para x &gt; 3 temos Para 4 &lt; x &lt; 3 temos</p> <p>Queremos que</p> <p>ento devemos ter</p> <p>ou</p> <p>a) 2 parte:</p> <p>Clculo das razes:</p> <p>Temos que encontrar dois nmeros que, novamente, somados dem 1, mas agora, que multiplicados resultem em 20 Rapidamente encontramos 5 e 4 (Fcil!)</p> <p>Para x = 5 e para x = 4 temos Para x &lt; 5 ou para x &gt; 4 temos Para Queremos que 5 &lt; x &lt; 4 temos ento devemos ter</p> <p>ou</p> <p>e</p> <p>A soluo deste sistema de inequaes seria . Como nessa questo h uma aplicao no clculo de reas, x no pode ser negativo e da a resposta ser: x poder variar de 3 m a 4 m.</p> <p>b)</p> <p>Essa equao ns j resolvemos e, lembrando que</p> <p>, temos apenas</p> <p>Sendo assim, as medidas dos lados para que a rea seja igual a 28 m2 sero:</p> <p>e</p>