fygy.files. ?? · Web viewPROBABILITAS. Probrabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi suatu kejadian yang terjadi dalam suatu percobaan pada kondisi tertentu. Jenis Probabilitas

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

PROBABILITAS

Probrabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi suatu kejadian yang terjadi dalam suatu percobaan pada kondisi tertentu.

Jenis Probabilitas

1. Probabilitas Klasik

P(A) =

2. Probabilitas Relatif

P(A) =

3. Probabilitas Subjektivitas

Syarat Probabilitas

1. P (A) > 0

2. P (A) + P (A) = 1

Jika dalam n percobaan x sukses maka akan ada ( n-x ) gagal, sehingga :

x + ( nx ) = n

+ = 1

P ( sukses ) P ( gagal ) = 1.

Asas-asas dalam probabilitas

1. Peristiwa / Kejadian saling lepas ( mutually exclusive )

(A) (B)2 kejadian saling lepas bila ke-2 kejadian tidak terjadi bersamaan

A B =

Teorema 1 :

P ( A U B ) = P (A) + P(B)

( A B ) =

P ( AB ) = 0

Contoh :

1. Sebuah dadu dilempar 1 kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 5 atau 6 ?

Jawab :

P (A) = P (5)

P (B) = P (6)

P ( A U B ) = 1/6 + 1/6

= 2/6 = 1/3

Teorema 2 :

P ( A U B U C ) = P (A) + P (B) + P (C)

P ( A1 U A2 .. Am ) = P (A1) + P (A2) + .. + P (Am)

2. Kejadian ( Peristiwa tidak saling lepas mutually inclussive )

Bila 2 kejadian tidak tak terpisah ( berbarengan )

Bila 2 kejadian merupakan gabungan ( U ) dan tidak saling lepas

(P ( A U B ) = P (A) + P (B) P (AnB))

Contoh 2 :

Suatu himpunan terdiri dari pegawai BUMN, 50% karyawan dan 50% karyawati.

60% karyawan adalah pegawai ikatan dinas. 20% karyawati adalah pegawai ikatan dinas.

a. Perapa peluang terpilihnya karyawati atau pegawai berstatus ikatan dinas ?

b. Berapa peluang terpilihnya karyawan atau karyawati berstatus ikatan dinas ?

Teorema 3 :

Tiga peristiwa tidak saling lepas :

P ( AUBUC ) = P(A) + P (B) + P (C) P (AB) P (AC) P(BC) P(ABC)

Empat peristiwa tidak saling lepas

P (AUBUCUD) = P( A ) + P( B ) + P( C ) + P( D ) P( A P( A P( B P( B

P( C + P(A + P( B+ P( A + P( A +

P( A

3. Peristiwa Komplementer ( bebas )

Bila peristiwa A dan dalam sampel yang sama dan meliputi semua unsur kecuali di A , maka adalah peristiwa komplementer bagi A

Peristiwa saling lepas

Teorema 4 :

P ( ) = 1 P( A )

P ( A U ) = P( A ) + P( ) = 1

P( ) = 1 P( A )

4. Peristiwa independent (bebas)

Bila dan hanya terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa ke-2

Peristiwa saling lepas bebas

Teorema 5

P (AB) = P(A).P(B)

Contoh 3 :

Kota kecil memiliki 1 mobil pemadam kebakaran dan 1 mobil Ambulans.Jika peluang waktu bagi mobil pemadam kebakaran siap 0,98 dan peluang waktu bagi mobil ambulans siap 0,92.Berapakah peluang ke-2 nya.Jika terjadi kebakaran rumah.

Contoh:

Kotak berisi 20sekering , lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu persatu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak) Berapakah peluang kedua sekering cacat?

P(A)=1/4

P(B)=4/19

P(A

Contoh 4 :

Berapakah peluang dua buah dadu A dan B dimana mata dadu A muncul mata dadu X 3 dadu B muncul mata dadu Y5?

Jawab:

P(A)=3/6

P(B)=2/6

P(A3/6 x 2/6 = 1/6

5. Probabilitas Bersyarat

Bila P(B) > 0 probabilitas peristiwa A dengan syarat peristiwa B terjadi

P(A B) = ; P(B)>0

Contoh 5 :

Pada pelemparan 2 dadu,probabilitas x+y 2

Teorema Nilai Mutlak (1)

Nilai mutlak dari x dinyatakan IxI didefinisikan sebagai

IxI =

Contoh : I3I =

I5I =

Teorema 2

a. IxI < a jika dan hanya jika a < x < a dimana a > 0

b. IxI a jika dan hanya jika a x a , a > 0

c. IxI > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a : a > 0

d. IxI a jika dan hanya jika x a atau x -a : a > 0

Contoh 2 :

a. Ix-5I < 4

b. I3x + 2I > 5

c. I7xI = 4-x

Teorema 3

Jika a dan b bilangan riil , maka :

IabI = IaI . IbI

IabI =

Teorema 4

Jika a adalah suatu bil riil dan b bukan bilangan nol

Maka ; =

Teorema 5

Jika a dan b merupakan bilangan rii , maka :

Ia + bI IaI + IbI

Ia bI IaI IbI

IaI IbI Ia bI

FUNGSI

Fungsi f merupakan pasangan berurut (x,y) shg x dan y memenuhi persamaan tsb

F = {(x,y)I y = 4x + 16}

Pasangan berurut (Himpunan Penyelesaian)

(0,16),(-1,12),(1,20) dst

Daerah asal : (-,+)

Daerah hasil : (-,+)

Tentukan daerah asal dan hasil dari :

1. Y =

2. Y =

3. Y =

Teorema 1

Jika f adalah suatu fungsi , maka grafik fungsi f adalah mempunyai titik-titik (x,y) di R2 sehingga (x,y) merupakan pasangan berurut dari f :

Contoh :

F(x) = , Tentukan daerah asal yang memenuhi f(x) tsb.

Teorema 2

Diberikan 2 fungsi f dan g

(1) ( f+g )(x)= f(x) + g(x)

(2) ( f-g )(x) = f(x) - g(x)

(3) ( f.g )(x) = f(x) . g(x)

(4) ( f/g )(x) = f(x) / g(x)

(5) (f o g)(x) = f(g(x))

Contoh 5 :

f (x) = 5

g (x) = 2x 3

Tentukan fungsi daerah asal fungsi koposisi ( f o g )(x)

Jawab :

f (x) = f ( g(x))

= f ( 2x 3 )

=

Daerah asal f(x)= [ 0,+4 ]

g(x)= [ ,+ ]

F(x)= [ ]

Teorema 3

1. Fungsi genap jika untuk tiap x didaerah asal f

f (x) = f (x)

Grafiknya Simetri terhadap sumbu y

2. Fungsi ganjil jika untuk tiap x didaerah asal f

f (x) = f (x)

Grafiknya Simetri terhadap titik awal O

Contoh 6 :

1. y =

2. y =

Contoh 7 :

1. f(x) = { (x,y) |= 9 }

SISTEM BILANGAN KOMPLEK

= a

=

= . a

= j.a

j =

= 1

= () j = = j

= ( = 1

= (3 . =

= (5 = 1

Conth :

6x + 10 = 0

x1,2 = = 3

= 3 j.2

Riil imajiner

Bilangan kompleks = bilangan riil + bilangan imajiner

A + jb = a + jb

Teorema penjumlahan dan pengurangan

( a + jb ) + ( c + jb ) = ( a + c ) + j ( b + d )

( a + jb ) ( c + jd ) = ( a c ) + j ( b d )

Contoh : ( 6 + j5 ) + ( 2 j3 ) + j( b d )

Teorema Perkalian

( a + jb ) ( c + jb ) = ( ae ) + j( bc + ad ) + bd

Dimana = 1

Teorema Pembagian

= x

Contoh :

=

Kesamaan Bilangan Kompleks

Jika ke- 2 Bilangan riil sama dan ke- 2 Bilangan Imajiner sama.

Contoh :

( a + b ) j( a b ) = 8 + j6

Bilangan Kompleks dalam bentuk ( Diagram Argand, (x,y) )

y

5 4 + j5

4 x

P

y 2 + j7

z1 = 4 + j5

z2 = 2 + j8

4 + j5

x

Bilangan kompleks dalam bentuk bilangan kutub / polar ( r , )

r2 = a2 + b2

r br =

asin = b = r . sin

tan = cos = a = r . cos

z = ( a + jb ) = r ( cos )

r = modus bilangan komplek

= | z |

= argument bilangan komplek

Bentuk eksponensial dari bilangan komplek

e-jd = cos + j sin

e-jd = cos ( - ) + j sin ( - )

= cos j sin

Contoh :

e-j = cos ( - ) + jsin ( - )

= cos j sin

= j

Perkalian bilangan kutub

r1 ( cos 1 + j sin 1 ) . r2 ( cos 2 + j sin 2 )

= r1r2 [ cos ( 1 + 2 ) + j sin ( 1 + 2 ) ]

Pembagian bilangan kutub

= ]

Bilangan kutub dalam bentuk pangkat

zn = [ r ( cos + j sin ) ]n

= rn [ cos ( n ) + j sin ( n ) ]

LIMIT FUNGSI

F(x) = x2 , maka untuk x mendekati 2,fungsi akan bernilai

xa bukan berarti x = a

contoh : f(x) = = x

X

F(x)

0

3

0.9

4.8

0.99

4.98

0.999

4.998

0.9999

4.9998

x

F(x)

2

7

1.1

5.2

1.01

5.02

1.001

5.002

1.0001

5.0002

Terlihat x < 1 sebesar 0.0001 maka f(x) < 5 sebesar 0.0002

X > 1 sebesar 0.0001 maka f(x) > 5 sebesar 0.0002 f(x) mendekati 5 jika x mendekati 1

|f(x) 5| sekecil mungkin dengan jalan |x 1| kecil

Setiap bilangan positif yang diberikan terdapat bilangan positif 5 yang dipilih sesuai sehingga |x 1| < 5 dan |x 1| 1 maka |f(x) 5| <

Besar tergantung besarnya . Jika 0 < |x 1|<

Definisi Limit Fungsi

Misalkan f suatu fungsi terdefinisi tiap bilangan pada selang terbuka yang memuat a , kecuali mungkin di a itu sendiri. Limit f(x) maka x mendekati a adalah L ditulis :

Jika Pernyataan Berikut Benar :

Diberikan > 0 yang kecil t