fygy.files. ?? · Web viewPROBABILITAS. Probrabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi suatu kejadian yang terjadi dalam suatu percobaan pada kondisi tertentu. Jenis Probabilitas

  • Published on
    05-Feb-2018

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

<p>PROBABILITAS</p> <p>Probrabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi suatu kejadian yang terjadi dalam suatu percobaan pada kondisi tertentu.</p> <p>Jenis Probabilitas </p> <p>1. Probabilitas Klasik</p> <p>P(A) = </p> <p>2. Probabilitas Relatif</p> <p>P(A) = </p> <p>3. Probabilitas Subjektivitas</p> <p>Syarat Probabilitas </p> <p>1. P (A) &gt; 0</p> <p>2. P (A) + P (A) = 1</p> <p> Jika dalam n percobaan x sukses maka akan ada ( n-x ) gagal, sehingga :</p> <p> x + ( nx ) = n</p> <p> + = 1</p> <p> P ( sukses ) P ( gagal ) = 1.</p> <p>Asas-asas dalam probabilitas </p> <p>1. Peristiwa / Kejadian saling lepas ( mutually exclusive )</p> <p> (A) (B)2 kejadian saling lepas bila ke-2 kejadian tidak terjadi bersamaan </p> <p> A B = </p> <p>Teorema 1 :</p> <p>P ( A U B ) = P (A) + P(B)</p> <p> ( A B ) = </p> <p>P ( AB ) = 0</p> <p>Contoh :</p> <p>1. Sebuah dadu dilempar 1 kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 5 atau 6 ?</p> <p> Jawab :</p> <p> P (A) = P (5)</p> <p> P (B) = P (6)</p> <p> P ( A U B ) = 1/6 + 1/6</p> <p> = 2/6 = 1/3</p> <p>Teorema 2 :</p> <p>P ( A U B U C ) = P (A) + P (B) + P (C)</p> <p>P ( A1 U A2 .. Am ) = P (A1) + P (A2) + .. + P (Am)</p> <p>2. Kejadian ( Peristiwa tidak saling lepas mutually inclussive )</p> <p> Bila 2 kejadian tidak tak terpisah ( berbarengan )</p> <p> Bila 2 kejadian merupakan gabungan ( U ) dan tidak saling lepas</p> <p> (P ( A U B ) = P (A) + P (B) P (AnB))</p> <p>Contoh 2 :</p> <p>Suatu himpunan terdiri dari pegawai BUMN, 50% karyawan dan 50% karyawati.</p> <p>60% karyawan adalah pegawai ikatan dinas. 20% karyawati adalah pegawai ikatan dinas.</p> <p>a. Perapa peluang terpilihnya karyawati atau pegawai berstatus ikatan dinas ?</p> <p>b. Berapa peluang terpilihnya karyawan atau karyawati berstatus ikatan dinas ?</p> <p> Teorema 3 :</p> <p>Tiga peristiwa tidak saling lepas :</p> <p>P ( AUBUC ) = P(A) + P (B) + P (C) P (AB) P (AC) P(BC) P(ABC)</p> <p>Empat peristiwa tidak saling lepas </p> <p>P (AUBUCUD) = P( A ) + P( B ) + P( C ) + P( D ) P( A P( A P( B P( B </p> <p> P( C + P(A + P( B+ P( A + P( A +</p> <p> P( A </p> <p>3. Peristiwa Komplementer ( bebas )</p> <p> Bila peristiwa A dan dalam sampel yang sama dan meliputi semua unsur kecuali di A , maka adalah peristiwa komplementer bagi A</p> <p> Peristiwa saling lepas</p> <p> Teorema 4 :</p> <p> P ( ) = 1 P( A )</p> <p> P ( A U ) = P( A ) + P( ) = 1</p> <p> P( ) = 1 P( A )</p> <p>4. Peristiwa independent (bebas)</p> <p> Bila dan hanya terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa ke-2 </p> <p> Peristiwa saling lepas bebas </p> <p>Teorema 5</p> <p>P (AB) = P(A).P(B)</p> <p>Contoh 3 : </p> <p>Kota kecil memiliki 1 mobil pemadam kebakaran dan 1 mobil Ambulans.Jika peluang waktu bagi mobil pemadam kebakaran siap 0,98 dan peluang waktu bagi mobil ambulans siap 0,92.Berapakah peluang ke-2 nya.Jika terjadi kebakaran rumah.</p> <p>Contoh:</p> <p>Kotak berisi 20sekering , lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu persatu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak) Berapakah peluang kedua sekering cacat?</p> <p>P(A)=1/4</p> <p>P(B)=4/19</p> <p>P(A</p> <p>Contoh 4 :</p> <p>Berapakah peluang dua buah dadu A dan B dimana mata dadu A muncul mata dadu X 3 dadu B muncul mata dadu Y5?</p> <p>Jawab: </p> <p>P(A)=3/6</p> <p>P(B)=2/6</p> <p>P(A3/6 x 2/6 = 1/6</p> <p>5. Probabilitas Bersyarat </p> <p> Bila P(B) &gt; 0 probabilitas peristiwa A dengan syarat peristiwa B terjadi </p> <p> P(A B) = ; P(B)&gt;0</p> <p>Contoh 5 :</p> <p>Pada pelemparan 2 dadu,probabilitas x+y 2</p> <p>Teorema Nilai Mutlak (1)</p> <p>Nilai mutlak dari x dinyatakan IxI didefinisikan sebagai </p> <p>IxI = </p> <p>Contoh : I3I =</p> <p> I5I = </p> <p>Teorema 2</p> <p>a. IxI &lt; a jika dan hanya jika a &lt; x &lt; a dimana a &gt; 0</p> <p>b. IxI a jika dan hanya jika a x a , a &gt; 0</p> <p>c. IxI &gt; a jika dan hanya jika x &gt; a atau x &lt; -a : a &gt; 0</p> <p>d. IxI a jika dan hanya jika x a atau x -a : a &gt; 0</p> <p>Contoh 2 : </p> <p>a. Ix-5I &lt; 4</p> <p>b. I3x + 2I &gt; 5</p> <p>c. I7xI = 4-x</p> <p>Teorema 3</p> <p>Jika a dan b bilangan riil , maka : </p> <p>IabI = IaI . IbI</p> <p>IabI = </p> <p>Teorema 4</p> <p>Jika a adalah suatu bil riil dan b bukan bilangan nol </p> <p>Maka ; =</p> <p>Teorema 5</p> <p>Jika a dan b merupakan bilangan rii , maka :</p> <p>Ia + bI IaI + IbI </p> <p>Ia bI IaI IbI </p> <p>IaI IbI Ia bI</p> <p>FUNGSI</p> <p>Fungsi f merupakan pasangan berurut (x,y) shg x dan y memenuhi persamaan tsb</p> <p>F = {(x,y)I y = 4x + 16}</p> <p>Pasangan berurut (Himpunan Penyelesaian)</p> <p>(0,16),(-1,12),(1,20) dst</p> <p>Daerah asal : (-,+)</p> <p>Daerah hasil : (-,+)</p> <p>Tentukan daerah asal dan hasil dari :</p> <p>1. Y = </p> <p>2. Y = </p> <p>3. Y = </p> <p>Teorema 1</p> <p>Jika f adalah suatu fungsi , maka grafik fungsi f adalah mempunyai titik-titik (x,y) di R2 sehingga (x,y) merupakan pasangan berurut dari f : </p> <p>Contoh :</p> <p>F(x) = , Tentukan daerah asal yang memenuhi f(x) tsb.</p> <p>Teorema 2</p> <p>Diberikan 2 fungsi f dan g </p> <p>(1) ( f+g )(x)= f(x) + g(x)</p> <p>(2) ( f-g )(x) = f(x) - g(x)</p> <p>(3) ( f.g )(x) = f(x) . g(x)</p> <p>(4) ( f/g )(x) = f(x) / g(x)</p> <p>(5) (f o g)(x) = f(g(x))</p> <p>Contoh 5 :</p> <p> f (x) = 5</p> <p> g (x) = 2x 3</p> <p> Tentukan fungsi daerah asal fungsi koposisi ( f o g )(x)</p> <p> Jawab :</p> <p> f (x) = f ( g(x))</p> <p> = f ( 2x 3 )</p> <p> = </p> <p> Daerah asal f(x)= [ 0,+4 ]</p> <p> g(x)= [ ,+ ]</p> <p> F(x)= [ ]</p> <p>Teorema 3</p> <p>1. Fungsi genap jika untuk tiap x didaerah asal f </p> <p>f (x) = f (x)</p> <p>Grafiknya Simetri terhadap sumbu y</p> <p>2. Fungsi ganjil jika untuk tiap x didaerah asal f</p> <p>f (x) = f (x)</p> <p>Grafiknya Simetri terhadap titik awal O</p> <p>Contoh 6 : </p> <p>1. y = </p> <p>2. y = </p> <p> Contoh 7 :</p> <p>1. f(x) = { (x,y) |= 9 }</p> <p>SISTEM BILANGAN KOMPLEK</p> <p> = a</p> <p> = </p> <p> = . a</p> <p> = j.a</p> <p>j = </p> <p> = 1</p> <p> = () j = = j</p> <p> = ( = 1</p> <p> = (3 . = </p> <p> = (5 = 1</p> <p>Conth :</p> <p> 6x + 10 = 0</p> <p>x1,2 = = 3 </p> <p> = 3 j.2</p> <p> Riil imajiner</p> <p>Bilangan kompleks = bilangan riil + bilangan imajiner </p> <p> A + jb = a + jb</p> <p>Teorema penjumlahan dan pengurangan </p> <p>( a + jb ) + ( c + jb ) = ( a + c ) + j ( b + d )</p> <p>( a + jb ) ( c + jd ) = ( a c ) + j ( b d )</p> <p>Contoh : ( 6 + j5 ) + ( 2 j3 ) + j( b d )</p> <p>Teorema Perkalian </p> <p>( a + jb ) ( c + jb ) = ( ae ) + j( bc + ad ) + bd</p> <p>Dimana = 1</p> <p>Teorema Pembagian</p> <p> = x </p> <p>Contoh :</p> <p> =</p> <p>Kesamaan Bilangan Kompleks</p> <p>Jika ke- 2 Bilangan riil sama dan ke- 2 Bilangan Imajiner sama.</p> <p>Contoh :</p> <p>( a + b ) j( a b ) = 8 + j6</p> <p>Bilangan Kompleks dalam bentuk ( Diagram Argand, (x,y) )</p> <p>y</p> <p> 5 4 + j5</p> <p> 4 x</p> <p>P</p> <p>y 2 + j7</p> <p>z1 = 4 + j5</p> <p> z2 = 2 + j8</p> <p> 4 + j5 </p> <p>x</p> <p>Bilangan kompleks dalam bentuk bilangan kutub / polar ( r , )</p> <p>r2 = a2 + b2</p> <p> r br = </p> <p>asin = b = r . sin </p> <p>tan = cos = a = r . cos </p> <p>z = ( a + jb ) = r ( cos ) </p> <p>r = modus bilangan komplek</p> <p> = | z |</p> <p> = argument bilangan komplek</p> <p>Bentuk eksponensial dari bilangan komplek</p> <p>e-jd = cos + j sin </p> <p>e-jd = cos ( - ) + j sin ( - ) </p> <p> = cos j sin </p> <p>Contoh :</p> <p>e-j = cos ( - ) + jsin ( - )</p> <p> = cos j sin </p> <p> = j </p> <p>Perkalian bilangan kutub </p> <p>r1 ( cos 1 + j sin 1 ) . r2 ( cos 2 + j sin 2 ) </p> <p> = r1r2 [ cos ( 1 + 2 ) + j sin ( 1 + 2 ) ]</p> <p>Pembagian bilangan kutub</p> <p> = ]</p> <p>Bilangan kutub dalam bentuk pangkat </p> <p>zn = [ r ( cos + j sin ) ]n </p> <p> = rn [ cos ( n ) + j sin ( n ) ] </p> <p>LIMIT FUNGSI</p> <p>F(x) = x2 , maka untuk x mendekati 2,fungsi akan bernilai </p> <p>xa bukan berarti x = a</p> <p>contoh : f(x) = = x</p> <p>X</p> <p>F(x)</p> <p>0</p> <p>3</p> <p>0.9</p> <p>4.8</p> <p>0.99</p> <p>4.98</p> <p>0.999</p> <p>4.998</p> <p>0.9999</p> <p>4.9998</p> <p>x</p> <p>F(x)</p> <p>2</p> <p>7</p> <p>1.1</p> <p>5.2</p> <p>1.01</p> <p>5.02</p> <p>1.001</p> <p>5.002</p> <p>1.0001</p> <p>5.0002</p> <p>Terlihat x &lt; 1 sebesar 0.0001 maka f(x) &lt; 5 sebesar 0.0002</p> <p>X &gt; 1 sebesar 0.0001 maka f(x) &gt; 5 sebesar 0.0002 f(x) mendekati 5 jika x mendekati 1</p> <p> |f(x) 5| sekecil mungkin dengan jalan |x 1| kecil</p> <p>Setiap bilangan positif yang diberikan terdapat bilangan positif 5 yang dipilih sesuai sehingga |x 1| &lt; 5 dan |x 1| 1 maka |f(x) 5| &lt; </p> <p>Besar tergantung besarnya . Jika 0 &lt; |x 1|&lt; </p> <p>Definisi Limit Fungsi</p> <p>Misalkan f suatu fungsi terdefinisi tiap bilangan pada selang terbuka yang memuat a , kecuali mungkin di a itu sendiri. Limit f(x) maka x mendekati a adalah L ditulis :</p> <p>Jika Pernyataan Berikut Benar :</p> <p>Diberikan &gt; 0 yang kecil terdapat suatu &gt;0 shg jika </p> <p>0 0 sehingga</p> <p>Jika 0&lt; | xa |&lt; maka f(x) &gt; N</p> <p>Misal f fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a kecuali mungkin di a sendiri untuk x mendekati a , f(x) memperkecil tanpa batas .</p> <p>Jika tiap N &lt; 0 terdapat &gt; 0 sehingga</p> <p>Jika 0&lt; | xa |&lt; maka f(x) &lt; N</p> <p>Teorema 1</p> <p> jika r suatu bilangan bulat positif maka </p> <p>Teorema 2</p> <p>Jika </p> <p> Teorema 3</p> <p> C &gt; 0 </p> <p> C &lt; 0</p> <p> Teorema 4</p> <p> C &gt; 0 </p> <p> C &lt; 0</p> <p>Teorema 5</p> <p> Dimana C 0, maka ;</p> <p>1) C &gt; 0 : f(x) 0 sepanjang nilai positif f(x)</p> <p>2) C &gt; 0 : f(x) 0 sepanjang nilai negatif f(x)</p> <p>3) C &lt; 0 : f(x) 0 sepanjang nilai positif f(x)</p> <p>4) C &lt; 0 : f(x) 0 sepanjang nilai negatif f(x)</p> <p>Contoh ;</p> <p>Tentukan Limit Fungsi Berikut !</p> <p>1). </p> <p>2). </p> <p>3). </p> <p>ASIMTOT</p> <p>Asimtot gerak </p> <p>Garis x = a dikatakan asimtot gerak dari grafik fungsi, jika paling sedikit salah satu pernyataan berikut ini benar :</p> <p> x = a</p> <p>x = a</p> <p>x = a</p> <p> x = a</p> <p>KEKONTINUAN FUNGSI di SATU TITIK</p> <p>Fungsi f dikatakan kontinu di bilangan a jika dan hanya jika ke-3 syarat ini terpenuhi :</p> <p>1) f(a) ada</p> <p>2) </p> <p>3) </p> <p>Contoh :</p> <p>1. f(x) = 2x + 3 , jika x 1</p> <p> 2 , jika x = 1</p> <p>Jawab :</p> <p>1. f(1) = 2</p> <p>2. </p> <p>3. </p> <p>Maka fungsi tersebut f(x) diskontunu pada x = 1</p> <p>Secara umum jika fungsi tak kontinu di a tetapi </p> <p> maka </p> <p>1. f(a) </p> <p>2. f(a) tidak ada </p> <p>ketakkontinuan ini disebut dengan ketakkontinuan terhapus ( Removable discontinaty ) kondisi ini dapat dijadikan kontinu jika, didefinisikan kembali di a sehingga </p> <p> f(a) </p> <p>maka fungsi baru tersebut menjadi kontinu di a</p> <p>jika syarat ke-2 tidak terpenuhi, </p> <p> tidak terdefinisi</p> <p>Maka ketak</p> <p>kontinuan ini merupakan ketakkontinuan essensial yang tidak dapat diubah menjadi kontinu.</p> <p>Contoh :</p> <p>Tentukan kekontinuan fungsi berikut di x = 4</p> <p>f(x) = 2 , x 4</p> <p> x 4 , x = 4</p>

Recommended

View more >