G Numere Complexe

  • Published on
    16-Dec-2015

  • View
    14

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Numere Complexe

Transcript

<ul><li>\ .1d;11 C ={:.:=a+ bila.li ER} reprezinta. mul~in11~a 111.unerelor com- 1rl1x1. iar 1rn (-'lt&gt;nwnt al ac</li><li><p>7 </p><p>' </p><p>J </p><p>1 robleme rezolvate </p><p>I '11111 (rt1 + ibt)(a2 + ib2) = a1a:i + a1ib2 + ib1a2 + i2b1b2 = a1a2 - b1b2 + ( 11, /12 + a2b1 )i arata di P</p></li><li><p>Q </p><p>, </p><p>l </p><p>l1~xercitii propuse I) J )c ... t t&gt;t1W11tu :: 1 111m11111 ltj&gt;ll"ll 11] .: . </p><p>l'11tr11 :1. &gt; E c :-.11111</p></li><li><p>11 </p><p>'.l. Sa se df'tennine numerele reale :r, y pentru care (~ + ;r,i)( 1 - i) + (2 - :Ji)(y + i) = 10. . </p><p>U. Ef, ceea ce 111st&gt;amna di nu putem compara in seusul relatiilor de mai sus doua nu- 111</p></li><li><p>I &gt;tttionstratie. Fie :::1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + bl,i, doult numere complexe 1111!1.rn carf' z1 + Zz = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Avem </p><p>1 I :::2 = a1 +a2-(b1 +b:.1)i = a1 +a2-b1i-b2i = (a1-b1i)+(a2-b2i) = I I ::2. </p><p>t&gt;hservatii. 1) Proprieta.tea ramane adevarata. i pentru n numere com- pl1xp z1, z2, z11 i scriem &amp;/ </p><p>:\. ( :onjugatn1 surnei a doua numere complexe este ega1 cu suma 1 ouju.e;atelor celnr doua numere complexe. </p><p>I IP111onstratie. Fif' z =a+ bi i z = a - bi conjugatul luj z. Atunci =(a+ bi)(a.- bi)= a'l. - li"1i2 = a2 + b2 2 0. </p><p>i. Prod11sul a dona. numerf' complex conjugate este un munar real. ::; z E R. (\i) ::: E C. </p><p>I &gt;nuina 1w z r--viue la a ,e:asi numerele realr- ;r si .If peutru care :)(.r + iy) = 8i(.1 + 1.y) +(KI - fri) sau 5.z: + !'iyi = -~y + 81 + i(~a~- !'5). Arcast.a f'galita.t.e intro llo11a numere complexe sub Iorrna algf'bnca con </p><p>{ !'i.r = -8y + 81 I . !'.; - d11cP la sisternul: ) cu so u~1a .r = .). Y = I 'f)y = 8;r - !) </p><p>Prrn nrmare numarul complex z care vPriffra er uatj a c-&gt;ste z = 5 + 7i. </p></li><li><p>, A </p><p>5. Conjugatul ca.tuiui a doua numere complexe este egal cu catul nmjngatelor celor doua. uumere. </p><p>(Conj ugatul pl'.lteri i unui numar r.omplex este egal cu puterea conjugat ului acelui numar). </p><p>I I .! </p><p>I I </p><p>ln caiul particular cand n11merde complexe snnt egale z1 = .z2 Zu = z, atunci </p><p>lkvcni1_n la impartirea a dona nurnere cornplexe z1 = a1 + bti z2 = ''' I b2.,1, =2 f ~- Catul lor ;;- este de asemenea un uumar comple~. Tre- </p><p>= ... = 1111111' sa precizam J)t&gt;tltl""~l acest numar partea reala i partea imaginara, I 1111 ru aceasta Sf' amplifica fractia ;;- cu z2 ( deci cu conjugatul complex 111 lui .:2) caud avem: </p><p>tt1+b1i = (a1H1i)(1t2-b2i) _ A+Bi _ A B - 2+b21 (rt2+b&gt;i)(a?-b.,i) - 1l2+b2 - 112+b2 + 2+b2 i, I - - - 2 2 2 2 ''2 2 </p><p>'"" c am notat cu A, B partea reala ~i respectiv imaginara a numarului , 11111phx de la numarator. l:ximple. 1) Calculati :::-1 peutru: </p><p>") z = 1 + i; . b) z = -:l - i. Ir Av-m: a) z-1 = !. = _1 __ = t-i _ 1-i _ 1-i _ 1 1. </p><p>:: I+ (I+i)(t-i) - 1+1 - T - 2 - 22 I 1) - - I = ! = _1 -r-r = -:Hi _ -3+i _ -3 1 </p><p>s -3-t (-3-i}(-3+i) - 9+1 - lO + IOZ. i, 1) ( 'alculati =i. in cazurile: ' z2 . </p><p>::: = -:: ( Pcntru Ct pro ha di un nnmar romp lex este pur imaginer se demonstreaz{i egalitatea ::: = -z) </p><p>11 .. mo1~stratie. _Dae.a z_ E R"i, atunci z = bi, b E R" i deci:; = -bi, iar - In = :::. R.enproc, fie z =a+ bi cu proprietatea z = -z . </p><p>111 aici a+ bi= -(a - bi)-::&gt; ~a= 0 :?a= 0, p;al en difereuta conjugatelor pen- tru doua n11111ere complexe, adica </p><p>.:1 - ::2 = .:1 - ::2., (V) Z1' :::2 E C. 1 </p><p>n n E ::k = E ::k k=l k=l </p><p>It&gt; </p></li><li><p>I' </p><p>~ Calrulati: a)!..!.. h) :i-2~- c) 1+2i. ]) 1+i. ) -:i+1. f) -lt:li :l-1 ' 2+:h, 1+i ' ( 1-si' e 2+:ii ' :1-si </p><p>) Fie&gt; ::1=l+1.i. ::2 = -:t Z3 = !5+ !5i. ::4 = -8 - 6i. '-1.i :w calr uleze: a) =1::' h) =1+z2 c) :3-::~ d) ::1z3. f') ~ _ :::i . </p><p>Z3 1 2z4 ' ::1.:::1 ~ Z1Z:4' ZJ Z I. Fie ;:;1 = !j + 2i, ::2 = -:l + 5i. Sa se calculeze: i) Bt"' (:i-_-2); b) re(z1J. c) Im (_3L_). :l) lm(::2l </p><p>le(z2)' z1 -z2 ' ( lm(zi)+R: </p><p>1) ( ~)(; + (-17v5)'' = 2: b) ( vq-i)" + (-1ti.)6 = -2. \rata~i di.: </p><p>ll+t)b-1 = I.). ( I). {l+1i)3+(1-:.!i)3 - _ lli. (I f-1)8+1 17' \ __:., {2-i)2-(2+i)2 - 4 , </p><p>' ( 1-4i)(1-i) - (:34i)(2+i) - - 48i :.!+ "2-i - ,r;' </p><p>l ( I + Lf) ( l + ( iii ) 2) ( I + ( lf) 4) . . . ( l + ( lf) 1") ( I - 2~,, ) ( I + i), n E N. n 2: 2; </p><p>1 I (1 + ~-) (1 + (J.ir) (1 + (1;.Jr) .. (1 + (71)2") = 0, n E N II .....: :!. </p><p>II '-l;i 'W clf-'t,f'nni1w lllllllt-'l'P!P l"f-'</p></li><li><p>11 .. monstratie. Fif':; =a+ bi. Atunci 11 a2+b2=(a+bi)(a-bi)=zz. </p><p>t lliHervatie. Acnm cat11l a doua nmnere comph~xe se poate exprima prin </p><p>:i. Produsul dintre ui1 nmnar complex i conjugatul sau este c,gal cu pat rat ul mod11l nl u i ac</p></li><li><p>= :-~~:. uude at I';" ''rcitii rezolvate I ( ';.lnda.~i morlulul peutru fiecare din uuuierele: </p><p>I ,1) ;~ + li: h) ~~:. 1 II I ):idi .: = :r + yi. a.t.nuci modulul a.cestui numar complex este </p><p>I hmonstratie. Verificam a doua inegalitate. Cum ambii membri sunt I'" 1t ivi. ridicam la piitrat i avern echivalent I 1 I .:212:::; (lzd + l.::.!1)2 {::? (z1 + z2)(z1 + =2):::; (lz1I + lz2l)2 {::} </p><p>1=1 + Z1Z2 + Z2Z1 + Z2Z2:::; lz1I:.! + lz2l2 + 2Jz1l lz2l- l l111 -1z1 = lz112, ::2z2 = lz212 i ultima inegalitate se reduce la </p><p>, I- .:2::1 :::; 21.:1 I l.:21 {::} z1.:2 + =1z2:::; 2lz1 I lz2I {::? 1H1-&gt;(z1::2):::; 2lz11 l=2I {::} Re(.:lZ2):::; lz1z21, adevarat deoarece daca </p><p>''+bi. atuuci a= Re(z) :=:;; .Ja2 + b2 = lzj. 1 v1d.ER (daca .:1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b21., 111111 0 {::} \i 1 IJ ~ 0 {::} .A ~ 0. </p><p>111 11111rl117.iXt' Z1 . .:2. , .:,, , </p><p>Demonstratie. Fit&gt; .::1 = a1 + b1 i; z:.! = a2 + b2i. Atunci .:1=2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i ~i l.:1.::.!I = y'(a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + a2b1)2 = J(af + bf)(a~ + b~) = = Jar+ hfJa~ + b~ = lz1l lz2I- </p><p>4. Modulul produsului a doua numere complexe este egal cu produsul modulelor celor doua uumere. </p><p>l.:1.:::.!I = lz1l lz2!, (V) z1, Zz EC. </p></li><li><p>( r;:;)3 1-iv3 . e) 2(i+i) ' </p><p>I obleme propuse I ''.ilrHla.ti modulele urmatoarelor nurnere complexe: </p><p>) "1+t)i h) I+.112). </p><p>1 l1'i1 :::1,::2, z:3 EC astJd 1ncat lz1I = :3, lz2l = 4, lz:3I = 5 i I I }. + Z:~ = o. Sa se arate ca 16zf + 9zi = o. </p><p>11 l)i11 =1 + :::2 + :::3 = 0 rczulU1 z1 + z2 + za = 0 (1), iar din lz112 = 'I , il2 = 16, lz:3J2 == 25 deducem ::1z1 = 9, z.iz2 = 16, Z;3Z:3 = 25 </p><p>111 1 - .2.., ::2 = 16 z3 = 25. Cu aceste exprimari relatia (1) devine: Z1 :2 ' Z:J S I I 11; 2~ 0 . .II'~ z1, z2 E R, atnnci zf = lz1 I:.!, zi == lz:i 12 i relatia se verifica. </p><p>l daca z = z. </p><p>1 1,1 - .r + iy i se face verificarea imediat. l -2 ')I 12 2 -:.! 21 12 ( ) Al A d I u 2 I It 1 1 1 + :::, :::; ~ ::1 , z'2 + z2 :::; z2 * . ( unan rezu ta z1 + </p><p>1 I ~ + z2'2:::; 2(lz11'2 + lz212). Cum mai sus rela~ia este cu egalitate se d1 .J11ct' di trebuie sa avem egaJit,ate lll (*), adica Z1 = Z12, Z2 = Z2. </p><p>1 I l.11'i1 :::1, ::2. :::3 E C i z1 + z2 + .z:3 = z1z2 + z2za + Z;3Z1 = 0, atunci I ii l~2l == l::::JI I( 11111 ~:3 = -::, - Z2 i Z1Z2 + Z2Z:3 + Z;3Z1 = 0 rezulta zf + Z1Z2 + zJ = 0, ' ''' 11111111ltita. rn .:1-:::2 da. zl == z]. Luand aici modulul gasim lzil = lz2I ' 11 ii 11.C. I ::2 I = I .::31. </p><p>I&gt;, ;iici se obtiue sisternul ( dupa uncle calcule din prima i a doua egali- ( 8;r + 2y - 11 = 0 . . 7 s </p><p>I tic): ~ ., O cu solutia :r = ;;, '.II= -6 lx+y-L= v I '1111 urrnare uumarul cautat care verifica egalitatile din euun] este </p><p>7 t5i () . </p><p>lzl = -J.r2 + y2. a) Aveni 13 + 4il = .J;p + 42 = v'25 = 5. A b ) Modulul catului este egal cu catul modulelor. ln acest caz avem: </p><p>1 1-i I = II-ii = Ji+i_i = 1 (Am utilizat egalitatea lzl = lzl). l+i II+il IHI 2. Sa se arate ca: </p><p>a) Jz + 2iJ2 + 4 Im(z) = lzJ2 + 4, (V) z E C. b) lzl2 == 2Re2(z) - Re(::-2), (V) z EC. </p><p>R. a) Fie z = :r + iy. Atunci . . lz + 2il2 == j:i: + (y + 2)i\2 = .t:2_+ (y + 2)2_-= ::.2 + ~2 + 4y + 4. Cum Im(z) = -y. membrul stang al egahtatn devine </p><p>. z I 12 4 x2 + y2 + 4v + 4 - 4y == ::c2 + y + 4 == z + . . . . I 12 2 2 C 2 2 y2 + 2xyi b) Dac.a z == .r + yi, atunci z = x + y . .-urn z == x - </p><p>membrul drept devine . . . . 2;1:2 _ (x2 _ y2) == .r2 + yz = lzl2 i prin urmare cei doi membri sunt egali, 3. Sa sf&gt; arate dt oricare ar fi:: E C -{-1}, lzl = 1, exista a E iR astfe . 't 1.!!i (1) inca z == l-(i' . .., =-I R. Fie z E C - {-1}, lzl =I. Drn (1) reznlta a= i(z+l)" Trebuie aratat di a E R. Se stie ca a E iR q a == a. _ Probam ultima egalitate calculaud a. Avern (utilizam ca lzl == 1 q z z </p><p>- 1 . 1-1 --1 - =- - = - -~- - a l ): a= -i(.~+1) - -i(f+1) - i(::+1) - . A ) - D .x - - i+m atnnci..,-'- -1 Observatie. re oc sr recrproca. a</p></li><li><p>l111licatii i raspunsuri </p><p>.11 JlK: b) l c) l d) Ji e) -1- f) Ji g) fi'i(i'. . ' ' 2 ' . 2Ji' 8 , v .:., .. ,, I &gt;.11;1 .r esk uumarul dat, .atunci .r E R {::? :l' = x. Din 1;1 + 1;1 = x </p><p>11 il.t.i :2+1.:-12 = .~:zl.:I sau ~2 = ;rlzlz-: lzl2 Acum se ia a_= xjz_L. l!_- 1</p><p> 4 . ) ') .31 . l ) .3 + 2 . ) .3 . d) (} (' . ' . ) a - - 'T. ) - 2 i; c 4 - 1.; o - n; -8 - 6i; e 11 1' f) (-2 + J7)i, (2 - VT)'i, 1, :{. </p><p> 1)~1'{i; h).r=y=-l~v'3; c)6+I7i,6+8i. 111 S z1 .:::2 .::1 E C ast.frI lucat :.:1 + ::2 + z:1 # 0 .. :f + ::i + z:~ = 0 :-Ji </p><p>. (1-i)2(i+i)3 . f) (t+iJ3}3(I-i-fi)2' </p></li><li><p>It ciolvarea ecuatiei de gradul al doilea cu coeficienti ' 0111pleci I 111o1~i1~ a.r2+b:c+c = 0. a, b, c E R, a =J 0 a fost rezolvata anul precedent </p><p>I tt I dis O, atunci z , y au acelasi semn (ori amandoua negative, arnandoua positive), iar peutru b &lt; 0, uumerele z , y au semne coutrar Deci In toate cazurile z admite doua radacini opuse. </p><p>Teorema. Orice numar complex uenul admite doua radacini patrate opuse. </p><p>Exemplu. Numarul complex "i = 1 + i este o radacina patrata a l z = 2i. deoarece ri = (1+i)2=1+2i + i2 = 2i = z. De asemenea uumarul complex r2 = -( 1 + i) este Inca 0 radacina patra </p><p>2 [ ( ')]2 2. sv b v cav 7' - -7' a lui :; peutru ca r2 = - 1 + i = Z = ::. , a 0 servam 2 - adic{L 12 este opusul lui 11. Are loc urmatoarea: </p><p>Definitie. Fie z E c. Se uumeste radacina patrata a lui z 1111 numar complex r E C en proprietatea r2 = z , </p><p>Radacinile patr ate ale unui numar complex </p></li><li><p>I II' In C t&gt;rnatiile: 2 </p><p>11(1 I) =169; b)(:t+l)2=-16; c)(:c-2)2=-'.l5. 1'1111LJ1d :; = .r + iy rf'zolvati eeuatiik: d </p><p>1 -1(): h) -2=-GO: ;)::2=frii d). z2=-10z </p><p>I J ~ 1 F ') 1. ' &gt;+ -1: I - :IL&gt;t2~i; g)-2==1fi-:30i. </p><p>It) I' i~.1~i:t/ rezolve ecuatia ::2 - (2 + 3i)z - (5 - i) = 0. R. Calculam discrimiuautul ecuatiei ~i avem: </p><p>~ = (2 + :li)2 + .+(!) - i) = 15 + 8i. 0 radacina. atrat{t a lui /j,, este 7'1 = 4 + i ( cealaltji este ?'2 -4 - i). Atunci solutiile erna~iei datf' sunt: </p><p>Z - :.1+:li(4+t) ~ dt&gt;_tenni1w valoarea parametrului real ni daca ecuatia I - ( m. - I. ):r + 2Q + !')i = 0 admite 0 radacina reala . </p><p>I '/''I p;mrna~i p~.ram~trul complex ni .ru = -.1. Din prirna f'CLmtie pentru :i:u = -5 se obtine </p><p>1 l'iin;~ncl z = l - i In t&gt;cnati obtinf' 1111( t - i)2 + ( + ')(1 ') . .) . m 1 - t + i. - l = 0 sau m(l - 5i) = 2- 2i. </p><p>I 11 .111 I W = l(l-'.) = ((j + 4i). J_ 1-.5t . l ;3. </p><p>I ~ 1 s1 rezolve in c eruatiile: I 2 1 1 l) ~-9; b)(.r+;J)2=~5; c):c:i-:r+l=O. </p><p>If '') Dae a puueui z = .c - l at 1111</p></li><li><p>' ,, M' forn1eze ecuatia de gra.dul al doilea daca se cunosc radacinile , 111 ni.zuri le: </p><p>l) I - l, Z2 = i; b) Zt = l - i, Zz = 1 + i . I 1 1t:1.~i'"- = ; 5. S{t se rezol ve ecnatiile: _ . . . ') (.1 ') _ 0 </p><p>a)( l + i):.:2 + ( i - 6).: '. (2 - :Ji) = ?; - l~) 2tz2+.3(1 + i z + &gt; - i - c) ('i - :3)z2 + (7 - lli).: + (~- + 6i) - O, i) _,'l._(1+12i.)z-(l:l+~h)=0; . ( p:'l. + (5 - i)z + 6 = O; f) z'l. + (4 - 6i)z + 10 - ~01. = O; ;)-iz'l. + (1 + i)z + 1 = 0; h) zz + (2i - 1 )= - 1 - 1. = 0. </p><p>{ xy = 2 - 2i </p><p>6. Sa se rezolve sistemul: x _ {1 - i)y = 0. ..., ..., " . . . 7. Determiuati valorile parametr:ului re~l .1.n daca radaciuile ecuati </p><p>I I 2 .. + 1 - o m 'I= O apartin multimii C - R. m I - ni.t. - ' . 1' ) z + 2--;v + I) - O b) 2-z2 + 6z + 11 = 8. Sa se rezolve In C ecnat11 e: a z H e - '..., </p><p>A v v tia _:3 + .; - - 1 = 0 nu are raclacull reale. 9. rata\1 ca e)r-.)-0 b)x4-(5-2i)x -lOi-, a .1: &gt; .i, -- - </p><p>1) x4 - 8x2 - 9 = 0. 11. Rezol va\i in C ecuatiile: d) x6 - 9x:3 + 8 = </p><p>a) ~r:~ + l = O; b) :c:3 - 8 = 0; c) :c4 + 81 = O; </p></li><li><p>c) .:-2 + z + l = O; b) (l = 9; X1 = </p><p>c) x2-x+1-i X2+(2i-l)X-i-1" </p><p>11' I Clllsidc-&gt;ra, f'CUatia ;z;2 + :J.i; + ;3 = Q CU radarini)~ :1:1, ;C2. 1 ,. 1 ;tlrnleze: a) xi + ;c~: b) :r:{ + xl; c) .rt+ :r~; d) xi + x~; </p><p>I ) ,1 f .+-; f) ~ + :!:L; g) :i + :1. h) l:!-:33j+1 + x2-3x~+1 I I 2 3 2 3' I :r.2 .c I ' , . 1 - ., r2 x3 'j 2 . - I &gt; I 2 -. Xz </p><p>1 1 ,,. formi-&gt;zt&gt; PC11a~ia d t-'Clla~ia .r2 - .r + 2 = 0 i ;C1. ;r2 radacinilt&gt; ei. 1) Sa se calculeze: a) r2 + r2 h) r;3 + -r;3 c) r4 + x4 d) r5 + x.s. e) .L + ...!... ' ' 1 ; 2" ' I ''21 -- ' 1 2' ' I 2) - XI X2 1 </p><p>'&gt; &gt; 3+2 s 3 3+2 f) ...!.. + .L. ) X1-'X1 + X2- T2 ri xi !.:?; .z:4 x4 1 </p><p>- I 2 1 2 </p><p>~) Sit sf' forrneze enmtia. de gradul al doilea in y in cazurile: ) IJ - r + l 1., - ,. + l b) y _ 1+x1 Y _ 1+x2. c) Pi-utru a ralrula .rt + .i:~. scriem ca :c1, .c2 verificii eruatia data. DP a.11 lu1 l"galit.a~ilt&gt;: .rf - .r.1 + 2 = 0 .. d - .c2 + 2 = 0, ( 1 ). Inmultim prin wla.tit:&gt; cu .rf. a dona. cu :c1 t le adunam. Obtiuern: :cf+ x~ - (:ci + :cD 2( ;d + .d) = 0 san .r~ + ;r.~ + !) + 2( -:3) = 0. De::;iLt-&gt; .1:~ = -:h1+2. Analog st:' procedeazii i pentru a do f </p><p>. A , , 1 . ) l . 2x1+14 2x2+14 _ -12x1x2-38(x1+x2)+56 urn \If'. Ar um ttV&lt; 111tf"caa ecuatiei dt&gt; gradul al doilea in y care are radacin y1, y2 se calculf'aza S = y1 + Y2 i P = y1y2. Atunci ecuatia est y2 - Sy+ P = O. a) ..; = Yt + .\l'l. = .r1 + 1+:c2+1 = (:c1+.1:2)+2 = 1+2 = :3, P = Y1Y2 (.r1+l)(:r'2+1) = ..i:1.i:2 + :c1+x2+1=2+1 + l = 4. Asadar ecua este: y2 - :~y + 4 = 0. Observatie. Rema.ream cit relatia iutre radacinile ecuatiei in x i c ale t-&gt;cua.tiei in y este data de depeudenta y = x + 1. De aici z = y - Substituind x en y - 1 in ecuatia in z se obtiue ecuatia (y - 1 )2 - (y 1 ) + 2 = () sau y'2 - :~y + 4 = 0. adica tocmai ecnatia. diutata. b) .... = 1' + IJ = l+x1 + 1+x2 = ~1 +x2+2x1x2 = 1~22 = ~ si </p><p>,Jl 2 X( X2 XtX2 2 2 'S p =YI ?'j = l+x1 . l+.c2 = 1+x1+x2+x1x2 = 1+:+2 = 2. </p><p>1. 2 .c1 3:2 .c1x2 2 </p><p>Ecuatia f'ste y2 - %Y + 2 = 0 sau 2y2 - 5y + 4 = 0. </p></li><li>3. Dett-rnuua~i r111i11;1rP:t :tl'f.~tlllH'Utului red us ..,:: E (0 .. ~7r) s</li><li><p>I. ~: ) 1: 2) -~: :{) '2i.; 4) -2-i: !i) l + i; 6) l - i; 7) -I+ i; t:l) -l - i; </p><p>ii 1 ~ iJ3; 10) -I+ iJ;3; 11) J3- 1:: 12) -JJ - i; l:{) '(/' + ~; 11 ~+.. 1-) l._dl. '16) _l._dl. 1~) ., ,r:;+ . 18'') ') /:) :. i 2' ,) 2 2 ' - 2 2 ' ~+v.) 1,, ~+v-)-t, I) ., - 0 - - v.1 t. </p><p>Sc riP~i urmatoarek 111111H~r0 complt&gt;XP sub forma algehrica: } 1(rns~+isin*); 2) :3(cos0+isin0); :n rosrr+isin7l"; </p><p>ll l(nJsJr+isiurr): :)) cm;~+isinI; G) 9(cos-I+isin~); J I 11.., 'I; + j_ Sill :3;: K) 11 (COS ;j; + i sin ;j}.ir ); 9) 4( COS~; + i sin ~; ); </p><p>II l -11 r - 11"' 11 ) . _ . 51!' + : . . src I I CIS T + I Sll1 If; cos G 1. Slll (;"'. </p><p>Probleme propuse Fig. 26 </p><p>A x 1 </p><p>P1111ct.1'I</p></li><li><p>!17 </p><p>Observatii. 1) in ca.zul particular rand unul din nurnerele :;1 sau z2 este zero, atnnci ~i produsul lor este zero. Ace] nurnar complex uul a.re argumentul nedekrminat. La fel se 1ntlmpla. ~i cu argument11l produsului .::1Z2. </p><p>2) In genera.I noi vom spune ca un argument a.I produsului a doua nurnere complext-&gt; este ega.l cu suma argnmentelor. Restul impartirii Jui 'P1 + cp2 prin 271' da argumentul redus peutru z1z2. I 1 </p><p>z1.:i = r1r2[cos(91 + cp2) + i sin(cp1 + tpi)]; modnlul produsului este ega.l cu produsu1 rnod11l</p></li><li><p>!)Q </p><p>Probleme rezolvate 1. Sil. st&gt; ca.ln1lf7.</p></li><li>L. Sa. s...</li></ul>