G5 oscilaciones

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    07-Jul-2015

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  • 1. ESCUELA POLITCNICA NACIONALINGENIERIA EN SISTEMAS INFORMATICOS Y DE COMPUTACINOSCILACIONESREALIZADO POR:ARTEAGA MADAINIETO DANILOPAREDES ANDRESREMACHE CRISTIANCURSO: SIS 504-GR1PROFESOR:ING. EZEQUIEL A. GUAMN T.QUITO-ECUADORABRIL 2013

2. Indice de contenidosPortada. 0ndice. IPlan de Trabajo...... IIIntroduccin. 1Captulo I:Movimiento Libre no Amortiguado (M.L.N.A)..2Ley de Hooke........2Segunda Ley de Newton.4Ecuacin Diferencial M.L.N.A..6Ecuacin del Movimiento..7Perodo y Frecuencia7Ejercicios Resueltos y Propuestos...8Captulo II:Oscilador Amortiguado......9Oscilador Sobre Amortiguado.....11 3. IOscilador con Amortiguamiento Crtico12Oscilador con Amortiguamiento Dbil...12Ejercicios Resueltos y Propuestos....14Conclusiones..Recomendaciones...Bibliografa 4. IIPlan de Trabajo1. Tema: Oscilaciones2. Objetivos:2.1 General: Aplicar los conocimientos de resolucin deEcuaciones Diferenciales para diversas asignaturas.2.2 Especfico:Resolver problemas de fsica de movimientosamortiguado y no amortiguado.3. Planteamiento del Problema:La destreza en la resolucin de ecuaciones diferenciales, de primerorden u orden superior, dependen de cuanta prctica exista porparte del ejecutante, por lo que hay que buscar la forma de aplicarlascon frecuencia.4. Posible Solucin al Problema:La aplicacin de las ecuaciones diferenciales en diversas asignaturascomo en Fsica, ayuda en la prctica de sus mtodos de resolucin; ypor supuesto, nos da la solucin a planteamientos de problemas quese pueden dar en la vida cotidiana o laboral.5. Metodologa:5.1 Tipo de Investigacin: Exploratoria5.2 Mtodos: Cientfico; Deductivo.6. Calendarizacin:6.1 Fecha de Entrega: 18 de abril de 2013 5. IIOSCILACIONESIntroduccin: En esta seccin, se van a considerar varios sistemas dinmicoslineales en los que cada modelo matemtico es una ecuacin diferencial desegundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones inicialesespecificadas en un tiempo que tomaremos como:Recuerde que la funcin g es la entrada, funcin de conduccin o funcin forzadadel sistema. Una solucin de la ecuacin en un intervalo I que contiene aque satisface las condiciones iniciales se llama salidao respuesta delsistema.SISTEMA RESORTE/MASA MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADOLEY DE HOOKESuponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rgido y luego sele fija una masa a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento oelongacin del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan elresorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce unafuerza restauradora opuesta a la direccin de la elongacin y proporcional a lacantidad de elongacin y es expresada enforma simple como , donde esuna constante de proporcionalidad llamadaconstante de resorte. El resorte secaracteriza en esencia por el nmero . Porejemplo, si una masa que pesa 10 [libras]hace que un resorte se alargue pie,entonces implica que. Entonces necesariamenteuna masa que pesa, digamos, 8 librasalarga el mismo resorte slo pie . 6. IISEGUNDA LEY DE NEWTONDespus de quese une una masa a un resorte, sta alarga el resorte unacantidad y logra una posicin de equilibrio en la cual su peso se define mediantedonde la masa se mide en slugs, kg o gramos y g es la gravedad tomadacomo . La condicin de equilibrio es Sila masa es una cantidad de su posicin deequilibrio, la fuerza restauradora del resorte esentonces . Suponiendo que no hayfuerzas restauradoras que actan sobre elsistema y suponiendo que la masa vibra libre deotras fuerzas externas movimiento libre sepuede igualar la segunda ley de Newton con lafuerza neta o resultante de la fuerzarestauradora y el peso.El signo negativo de esta ecuacin indica que la fuerza restauradora que actaopuesta a la direccin de movimiento. Adems, se adopta la convencin de que losdesplazamientos medios debajo de la posicin de equilibrio son positivos.ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADODividiendo la ecuacin anterior para , se obtiene la ecuacin diferencial desegundo orden o,Donde . Se dice que la ecuacin describe el movimiento armnicosimple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obviasrelacionadas con y , el desplazamiento inicial de la masa,respectivamente. Por ejemplo, si la masa parte de un punto abajode la posicin de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando, se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si y 7. II, la masa se libera desde el reposo de un punto unidades arribade laposicin de equilibrio.ECUACIN DEL MOVIMIENTOPara resolver la ecuacin, se observa que la solucin de su ecuacin auxiliarson los nmeros complejos y . As la solucingeneral bien dad por:PERIODOEs descrito por la ecuacin es donde el nmero T representa el tiempo[segundos] que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es unaoscilacin completa de la masa.FRECUENCIAEs y es el nmero de ciclos completado por segundoEjemplo Movimiento libre no amortiguado1. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t = 0 se libera lamasa desde un punto que est 8 pulgadas debajo de la posicin de equilibrio conuna velocidad ascendente de . Determinar la ecuacin del Movimiento.Solucin:Debido a que se est usando el sistema de unidades de ingeniera, las medicionesdadas en trminos de pulgadas se deben convertir:El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) = 2/3 , x(0)=4/3, donde elsigno negativo en la ltima condicin es un consecuencia del hecho de que la masase le da una velocidad inicial en la direccin negativa o hacia arriba. 8. IIAhora , por lo que la solucin general de la ecuacin diferenciales:2. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento,el sistema resorte/masa exhibe movimiento si la constante de resorte es 1lb/piey la masa se libera incialemte desde un punto 6 pulgadas debajo de la posicinde equilibrio, con una velocidad descendente de 3/2 pie/s. Exprese la ecuacinde movimiento en la forma3. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lb/pie.Cul es el periodo del movimiento armnico simple?Rpta.:Ejercicios propuestos1. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una masa de 50kilogramos se une al extremo del resorte y se libera inicialmente con unavelocidad ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuacin del movimiento?Rpta.:2. Bajo algunas circunstancias, cuando dos resortes paralelos, con constantes ysoportan una sola masa, la constante de resorte efectiva del sistema seexpresa como . Una masa pesa 20 libras estira 6 pulgadas un resortey 2 pulgadas otro resorte. Los resortes se unen a un soporte rgido comn yluego a una placa metlica. Como se muestra en la figura, la masa se une elcentro de la placa en la configuracin del resorte doble. Determinar la constantede resorte efectiva de este sistema. Encuentre la ecuacin del movimiento de lamasa se libera inicialmente desde la posicin de equilibrio con una velocidaddescendente de 2 [pies/s] 9. IIRpta:3. Un modelo de un sistema de resorte/masa es . Por inspeccionde la ecuacion diferencial solamente, describael comportamiento del sistemadurante un periodo largo.Rpta.4. Se fija un contrapeso de 4 Ib a un resorte cuya constante es 16 lb/fi. Cules el periododel movimiento armnico simple?5. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, esta colgado del mismo soportergido, pero enposicin paralela a la del sistema resorte y masa 50Kg. Alsegundo resorte se lefija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de suposicin de equilibrio con una velocidadde 10 m/s hacia arriba.a) Cul masa tiene la mayor amplitud de movimiento?b) Cul masa se mueve con ms rapidez cuando t = 7r/4 s? Y cuandot= 7r/2 s?c) En qu momento estn las dos masas en la misma posicin?Dnde estn en esemomento? En qu direcciones se mueven?6. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimientoarmnico simplees 2/pi oscilaciones por segundo, cul es la constante kdel resorte? Cul es la frecuenciadel movimiento armnico simple si lamasa original se reemplaza con una de 80 kg? 10. IIOSCILADOR AMORTIGUADOTodos los osciladores reales estn sometidos a alguna friccin. Las fuerzas defriccin son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que esdisipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento est amortiguado,salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor quecierto valor crtico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posicin de equilibrio.La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud delamortiguamiento, pudindose dar casos distintos: el sobre amortiguamiento y elmovimiento crticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera estevalor crtico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejanteal movimiento armnico simple, pero con una amplitud que disminuyeexponencialmente con el tiempo. 11. IIConsideremos una masa m en una posicin de equilibrio y sujeta a una fuerza derecuperacin proporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a l segnla ecuacinF= -kxSuponiendo que no acta ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando lasegunda ley de Newton (F= m.a) obtendremos la ecuacin diferencialdelmovimientoque describe un oscilador armnico simple.En todos los casos fsicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente seconsidera proporcional a la velocidad quedando la ecuacin diferencial demovimiento 12. IIdonde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone al movimiento,signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es la causa deque la energa disminuya. Introducido este trmino en la 2 ley de Newtonobtenemos la ecuacin diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.Se trata de una ecuacin diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden. Tiene trestipos de soluciones segn el valor de :Si el sistema est sobre amortiguado (amortiguamiento fuerte osupercrtico)Si el sistema tiene amortiguamiento crtico.Si el sistema oscila con amplitud dec