Gauss - Jordan

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GAUSS - JORDAN

Un sistema de ecuaciones lineales de mxn es una expresin de la forma:

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ! b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn ! b2 .............................................. .............................................. am1 x1 am 2 x2 ... amn xn ! bmY su solucin es un conjunto de valores:

k1 , k 2 ,...k n tales que:

a11k1 a12 k 2 ... a1n k n ! b1 a21 k1 a 22 k 21 ... a2 n k n ! b2 .............................................. .............................................. am1k1 a m 2 k 2 ... amn k n ! bm

Se les llama sistemas equivalentes a dos o ms sistemas de ecuaciones que tienen el mismo conjunto de soluciones.

Son aquellas operaciones que, al realizarse sobre un sistema de ecuaciones, no cambian la solucin de este, solo lo transforman en un sistema equivalente. Estas son:

1) Intercambiar dos ecuaciones cualesquiera del sistema. 2) Multiplicar una ecuacin por un nmero complejo distinto a cero. 3) Multiplicar una ecuacin por un nmero y sumar a otra ecuacin, sustituyendo la ltima con el resultado.

El mtodo de Gauss-Jordan consiste en la eliminacin consecutiva de las incgnitas con el propsito de llegar a un sistema escalonado. Para llevar a cabo dicha transformacin se recurre a las transformaciones elementales, considerndolas sobre una matriz que represente al sistema de ecuaciones nicamente a travs de sus coeficientes. Esta matriz se conoce como Matriz del Sistema; si adems esta contiene los trminos independientes se le da el nombre de Matriz Aumentada del sistema.a x a x ... a1n x n b1 11 1 12 2 a 21x1 a 22 x 2 ... a 2n x n b2 .......... .......... .......... .......... .......... ...... .......... .......... .......... .......... .......... ...... a n1x1 a n2 x 2 ... ann x n bn x1 0x 2 ... 0x n c1 0x x 2 ... 0x n c2 1 .......... .......... .......... .......... ... .......... .......... .......... .......... ... cn 0x1 0x 2 ... x n

T(s)=>T(s)=>T(s)

Para ilustrar la idea central del mtodo, consideremos el problema de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x 1 3x 2 6x 3 ! 9 3x 1 4x 2 1x 3 ! 1 2x 1 4x 2 1x 3 ! 0El cual est representado por el siguiente arreglo matricial:

3 3 2

3 4

6 1

4

1

9 1 0

El 1er paso ser obtener un rengln pivote, cuyo 1er elemento sea 1, normalizando un rengln, en este caso el 2do.

Antes de comenzar el escalonamiento, intercambiaremos los renglones 1 y 2.

Ahora, para comenzar a escalonar, multiplicaremos el 1er rengln por -3.

3 3 2 1 3 2

4 3

1 6

4

1

1 9 0 3 1 0

1/3 (R2)

3 1 2 - 3 3 2

4 1 4

1 2 1

1 3 0 -9 1 0

1 4

2 1

-3 4 4

-6 1 1

R1=>R2

-3 (R1)

4

1

Ahora sumaremos el 1er rengln al segundo, y sustituiremos este ltimo con el resultado. Despus, volvemos a normalizar el rengln 1.

Justo como antes, multiplicaremos el primer rengln, por el primer elemento del 3er rengln, cambiado de signo, en este caso por 2.

Una vez ms sumaremos renglones, ahora el 1ro y el 3ro, sustituyendo este ltimo con el resultado y despus normalizamos de nuevo el pivote.

- 3 3 2 2 0 2

-3 4 4

-6 1 1

-9 1 0 6 10 0

R1+R2 -1/3 (R1)

1 0 2

1 1 4

2 -5 1

3 10 0

2 1 4

4 -5 1

R1+R3 1/2 (R1)

2 (R1)

1 0 0

1 1 2

2 -5 3

3 10 6

Una vez que la primera columna se ha llenado de ceros, cambiamos de pivote al rengln inmediato hacia abajo y llenamos de ceros la segunda columna, hacia abajo. Este algoritmo se repite hasta convertir a la matriz en una matriz diagonal superior, con solo ceros por debajo de su diagonal principal.

Esta primera parte del mtodo se conoce como Eliminacin Gaussiana. Como se aprecia, el sistema ha sido transformado en uno equivalente cuyas ecuaciones son de 1, 2 y 3 variables. A partir de aqu, con la eliminacin Gaussiana se obtienen los valores de las incgnitas a travs de una sustitucin hacia atrs, como se muestra:

x 3 ! 14/ 7 ! 2 x 2 ! 10 5(x x1 ! 3 2(x3 3

) ! 10 5(2) ! 0

) x 2 ! 3 2(2) 0 ! 1

1 0 0

1 1 2

2 3

3 10 6

2 (R2) R2+R3 1/2 (R2)

1 0 0

1 1 0

2 -7

10 - 14 3

Esta primera parte del mtodo se conoce como Eliminacin Gaussiana. Como se aprecia, el sistema ha sido transformado en uno equivalente cuyas ecuaciones son de 1, 2 y 3 variables. A partir de aqu, con la eliminacin Gaussiana se obtienen los valores de las incgnitas a travs de una sustitucin hacia atrs, como se muestra:

x 3 ! 14/ 7 ! 2 x 2 ! 10 5(x x1 ! 3 2(x3 3

) ! 10 5(2) ! 0

) x 2 ! 3 2(2) 0 ! 1

Un mtodo mas eficiente para obtener los valores de las incgnitas es el de completar la diagonalizacin de la matriz. Esta parte es conocida como eliminacin de Jordan y en conjunto con la eliminacin Gaussiana conforma el mtodo de Gauss-Jordan. Esta continuacin consiste en la escalonacin de la matriz, ahora hacia arriba. Prosiguiendo con el ejemplo tenemos que:

Tomaremos el 3er rengln como pivote, as que primero lo normalizaremos.

Ahora repetimos los pasos anteriores pero hacia arriba. Multiplicamos el pivote por el ltimo elemento del 2do rengln de la Matriz del sistema, con el signo cambiado.

Para comenzar a hacer cero la tercera columna, sumaremos los renglones 3 y 2, sustituyendo este ltimo con el resultado y renormalizando el pivote.

Un mtodo mas eficiente para obtener los valores de las incgnitas es el de completar la diagonalizacin de la matriz. Esta parte es conocida como eliminacin de Jordan y en conjunto con la eliminacin Gaussiana conforma el mtodo de Gauss-Jordan. Esta continuacin consiste en la escalonacin de la matriz, ahora hacia arriba. Prosiguiendo con el ejemplo tenemos que:

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0

2 -5 -7 2 -

3 10 - 14 3 10 10

-1/7 (R3)

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0

2 -5 1 2 0 1

10 2 3 3 0 2

R3+R2 1/5 (R3)

5 (R3)

Terminando con la tercera columna, multiplicaremos el pivote por -2, lo sumamos al 1er rengln, cambiamos este con el resultado y renormalizamos el pivote.

Ahora usamos el 2do rengln como pivote, en este caso ya no hay que normalizarlo. Para hacer ceros la 2da columna seguimos los pasos anteriores.

Una vez que la matriz queda diagonalizada, la solucin del sistema se muestra en la Matriz Aumentada del Sistema

1 0 0

1 1 0

2 0 1

3 0 2

2 (R3) R3+R1 1/2 (R3)

1 0 0

1 1 0

0 0 1

- 1 0 2

-1 (R2) R2+R1 1/-1 (R3)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

- 1 0 2

x1 - 1 x ! 0 2 x 3 2

En ocasiones, al resolver por eliminacin Gaussiana un sistema de ecuaciones nos encontraremos con que no podemos continuar con el mtodo debido a la aparicin de un rengln lleno de ceros en la Matriz Aumentada del Sistema, obteniendo una expresin como la siguiente:

a 0 0

b e 0

c f 0

d g 0

Esta expresin significa que una de las ecuaciones originales es una combinacin lineal de las otras, por lo que el sistema admite infinitas soluciones. A este tipo de sistemas se les conoce como Sistemas Compatibles Indeterminados.

Otras veces, hallaremos que en la eliminacin Gaussiana aparece un rengln de ceros solo en la Matriz del Sistema, obteniendo una expresin como la siguiente:

a 0 0

b e 0

c f 0

d g K

K{0

Esta expresin claramente revela que no hay soluciones para el sistema puesto que no existe un posible valor de Xn tal que multiplicado por cero nos d el valor de K. Este tipo de sistemas son llamados Sistemas Incompatibles.

GAUSS - JORDAN

Este mtodo es uno de las mas tiles y sencillos para encontrar un sistema de ecuaciones lineales. Siendo en principio una variacin del mtodo de eliminacin Gaussina, ste mtodo consiste en obtener sistemas equivalentes, es decir, que tengan el mismo conjunto de soluciones. Basndonos en el principio Por cada variable, se debe plantear una ecuacin El sistema de ecuaciones se necesita pasar a una forma ampliada, es decir, que con los valores de contiene el sistema de ecuaciones, se formar una matriz.

Ahora bien, ya teniendo el sistema en forma ampliada, tendremos que resolverlo para obtener una matriz identidad.

Pero el resolver un sistema matricial en forma correcta se requiere el seguimiento de ciertas reglas.

Solo se pueden intercambiar los renglones y columnas entre s, no as los elementos contenidos por separado.Caso 1: Renglones Forma correcta Forma Incorrecta

Caso 2: Columnas Forma correcta Forma incorrecta

Cuando se hace una suma entre renglones, el resultado se pone en el rengln donde se est sumando.

As tambin, cundo se desee realizar una multiplicacin de un trmino de la matriz, se deber multiplicar todo el rengln que contenga al elemento de inters.

Teniendo en cuenta las reglas anteriores, se proceder a ejemplificar el mtodo Ejemplo 1 Comencemos con uno sencillo

1.Se pasa a forma matricial.

2. Se divide el 1 rengln entre 4.

Los resultados sonx1 = 1

3. Se suma el 1 rengln al 2 rengln

x2 = 1

4. Se divide el 1 rengln entre 3

Ejemplo 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Se resolver el sistema paso a paso: 1. Se necesita escribir el