Geometri 12 - ?· endimensionell, tvådimensionell, tredimensionell att förklara vad det är för likheter…

  • Published on
    15-Sep-2018

  • View
    214

  • Download
    0

Transcript

  • 22Geometri r ett omrde som brukar uppskattas av elever-na, och p den hr nivn inte upplevas s svrt. En hel del av det som tas upp i kapitlet har eleverna mtt tidiga-re. Huvudsyftet med kapitlet r att eleverna ska f en knsla fr olika dimensioner.

    Kapitlet inleds med ett uppslag som lmpar sig vl fr gemensamma diskussioner om endimensionella, tvdi-mensionella och tredimensionella fi gurer och kroppar samt enheter fr de olika dimensionerna. Sedan behand-las begreppen kring olika tredimensionella kroppar lik-som begrepp kopplade till mnghrningar. En kort genomgng av hur man mter vinklar och berknar vin-kelssummor leder vidare till hur man defi nierar olika tri-anglar och fyrhrningar. Begreppen omkrets och area tas upp och metoder fr att berkna omkrets och area fr mnghrningar och sammansatta fi gurer. Enkel volym-berkning av rtblock och enkel berkning av begrns-ningsarea avslutar kapitlet.

    Vi har valt att ta upp cirkelns omkrets och area, voly-men av cylindern och spetsiga kroppar samt enhetsom-vandlingar i rskurs 8. Hr i rskurs 7 fokuserar vi p de tre dimensionerna s att eleverna kan se likheter och skillnader mellan dessa och inser att det krvs olika enheter fr att beskriva dem.

    Bl kurs r parallell med grn kurs. Avsnitten hur man berknar area av en parallellogram och hur man ritar ett rtblock tas inte upp p bl kurs. Eftersom kurserna r parallella s kan man i Lrarguiden hitta tips och kom-mentarer som rr den bl kursen under motsvarande avsnitt i den grna kursen.

    Rd kurs r parallell med grn kurs. Flera av de moment som tas upp p grn kurs frdjupas i rd kurs. Till exempel fr eleverna hr mjlighet att arbeta med olika mnghrningars vinkelsumma, dra hjder i en trubbvinklig triangel, underska platonska kroppar och berkna volym av prismor och parallellepipeder.

    Centralt innehll

    I det hr kapitlet behandlas det centrala innehllet:

    Geometri Geometriska objekt och deras inbrdes relationer.

    Geometriska egenskaper hos dessa objekt.

    Avbildning och konstruktion av geometriska objekt.

    Metoder fr berkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med detta.

    Motsvarande centralt innehll fr rskurs 46:

    Geometri Grundlggande geometriska objekt dribland polygo-

    ner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rt-block samt deras inbrdes relationer. Grundlggande geometriska egenskaper hos dessa objekt.

    Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess anvndning i vardagliga situationer.

    Metoder fr hur omkrets och area hos olika tvdimen-sionella geometriska fi gurer kan bestmmas och upp-skattas.

    Jmfrelse, uppskattning och mtning av lngd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga mttenhe-ter. Mtningar med anvndning av nutida och ldre metoder.

    Kommentarer och svar Nr en snowboardkare har gjort en sju tjugo s har

    hon snurrat 720.

    720 = 2 360

    Snowboardkaren har allts snurrat 2 varv.

    Nr en Big air-kare har gjort en sexton tjugo har

    han snurrat 1 620. Det motsvarar 1 620

    ______ 360 = 4,5 varv.

    Geometri

    54 55

    Ml

    Begrepp

    1Duktiga snowboard- och skidkare kan gra hopp, dr de snurrar i luften. Nr de gr en tre-sextio, gr de ett hopp och snurrar 360. D har de snurrat ett helt varv. Hur mnga varv har snowboardkaren snurrat om hon gr en sju-tjugo? En Big Jump-kare har just satt rekord med sina tv skidor och gjort en sexton-tjugo. Hur mnga varv r det?

    InnehllNr du arbetar med det hr kapitlet fr du lra dig

    att beskriva olika slags vinklar, mnghrningar och kroppar

    att berkna omkrets och area av mnghrningar

    att berkna volym av prismor

    ngra enheter fr lngd, area och volym

    att berkna arean av begrnsningsytor

    Begreppen-dimensionelllngdstrckametertv-dimensionellareaytakvadratmetertre-dimensionellvolymkroppkubikmeterkantsidoytabasyta

    hrnprismartblockkubpyramidmnghrningsidadiagonalrt vinkelspetsig vinkeltrubbig vinkelrak vinkelvinkelsummalikbent triangelliksidig triangel

    rtvinklig triangelspetsvinklig triangeltrubbvinklig triangelparallellparallell-trapetsparallello-gramrombkvadratrektangelbashjdbegrns-ningsyta

    Geometri2

    En linje har en dimension lngd.

    En yta har tv dimensioner lngd och bredd.

    En kropp har tre dimensioner lngd, bredd och hjd.

    54 55

  • GG

    Slut

    Hr ser du enheterna m, m2 och m3 .

    Skriv ner ngra exempel p nr man kan anvnda dessa enheter.

    Lt grna eleverna skriva ner sina svar p en lapp och lmna in anonymt. Det ger dig som lrare en tydlig bild ver vad eleverna uppfattat och tagit till sig under arbe-tet med avsnittet. Anonymiteten ger ibland en tydligare bild ver elevernas verkliga kunnande genom att eleven trs skriva ngot ven om hon r osker. Starta nsta lek-tion med att eleverna flja upp elevernas svar.

    G vidareBl kurs Mer grundlggande genomgng och uppgifter som behandlar olika dimensioner fi nns p sidan 80.

    Ls mer Parera-Lopez, Juan, Hellblom, Oskar (2006) En leksak

    fr att trna tv- och tredimensionellt tnkande Nmnaren 4, 2006.

    Olika dimensioner Syftet med avsnittet r att eleverna ska bekanta sig med de tre dimensionerna och vilka enheter som ska anvn-das fr de olika dimensionerna. I det centrala innehllet fr k 79 str att eleverna ska mta Geometriska objekt och dess inbrdes relationer. Hr tas de upp samtidigt fr att eleverna ska kunna jmfra och se skillnader mel-lan de olika dimensionerna. Eleverna fr d en bra grund infr kommande avsnitt dr de ska berkna bde omkrets, area och volym.

    Traditionellt anvnds tv olika enhetssystem fr att mta volym, en fr vtskor och en fr fasta kroppar. Vts-kor anges ofta i enheterna liter, deciliter, centiliter och milliliter medan man fr kroppar anvnder enheterna m3, dm3, cm3 och mm3. Eleverna fr hr bekanta sig med enheterna fr fasta kroppar. Enheterna fr vtskor har de mtt under tidigare skolr. Stora mngder vtskor, som till exempel hur mycket vatten som ryms i en simbassng eller hur mycket olja som fi nns i en oljecistern brukar dock anges i kubikmeter, m3.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    att frklara vad som menas med olika dimensioner, endimensionell, tvdimensionell, tredimensionell

    att frklara vad det r fr likheter och olikheter mellan begreppen lngd, area och volym

    anvnda och vlja olika enheter fr olika dimensioner

    begreppen endimensionell, tvdimensionell, tredimensionell, kropp, yta, strcka, lngd, bredd, hjd, area, volym, meter, kvadratmeter, kubikmeter

    Tnk p Det kan underltta fr eleverna att man konkretiserar

    och visar verkliga ytor och kroppar. Anvnd grna mjlkpaket, pastakartonger, kakelplattor, papper och andra vardagliga freml fr att tydliggra vad ytor och kroppar r. Alla freml r tredimensionella men ett fremls yta r tvdimensionell. Till exempel r ett mjlkpakets yta tvdimensionell men sjlva mjlkpa-ketet r tredimensionellt.

    Ppeka att det r en svrighet att visa endimensionella objekt eftersom de blir tvdimensionella s fort man har ritat dem. Ett stt kan vara att man ritar tv punk-ter p tavlan och att man tnker sig att avstndet mel-lan tv punkter blir en endimensionell strcka.

    Bygg grna en kubikmeter s att eleverna fr en knsla fr storleken. Det fi nns byggsatser att kpa med rr som kanter. Visa ven modeller av en kubikdecimeter och en kubikcentimeter. Bertta att en kubikdecime-ter r lika mycket som en liter och kubikcentimeter r lika mycket som en milliliter.

    StartLt eleverna sjlva fundera ver begreppen tredimensio-nell, tvdimensionell och endimensionell genom att frga eller skriv p tavlan:

    Vad menas med att en fi lm r i 3D?

    Hitta exempel i klassrummet p ngot som r tredi-mensionellt, tvdimensionellt och endimensionellt.

    En bra arbetsmetod kan vara att lta eleverna tnka sjl-va frst, sedan diskutera parvis eller i mindre grupper och avslutningsvis alla tillsammans. Lyft fram att en strcka r endimensionell och har en lngd, att en yta r tvdimensionell och har lngd och bredd samt att en kropp r tredimensionell och har lngd, bredd och hjd.Man kan ocks ta hjlp av fi gurerna i uppgift 1 och 2 och diskutera skillnader och likheter mellan dessa fi gurer och kroppar. Uppgift 3 kan vara till hjlp att diskutera svrigheten med att rita ngot som r endimensionellt (se kommentar till uppgift 3).

    Facit 1 a) A och C b) B och D

    2 a) A, C och E b) B och D

    3 Endimensionell

    4 a) T.ex. ett hus eller en kula

    b) T.ex. ytan p ett pap-per

    c) T.ex. ett streck eller avstndet mellan tv punkter

    5 a) m2 b) m3 c) md) m2 e) m f) m3

    6 a) b) c)

    7 a) T.ex. dm, cm, milb) T.ex. dm2, cm2, hektarc) T.ex. dm3, cm3, millili-

    ter

    8 A cm, B m2, C m3, D dm2, E cm, F m, G cm

    Alternativ startStll fljande frgor till eleverna:

    Ungefr hur lngt r det runt om klassrummet?

    Ungefr hur stort r golvet i klassrummet?

    Ungefr hur mycket luft fi nns det i klassrummet?

    Diskutera vilka enheter som anvnds fr olika dimensio-ner och hur man kan mta omkrets, area och volym.

    Kommentarer till uppgifterAlla uppgifter i det hr avsnittet lmpar sig vl till att ha gemensamma diskussioner kring. Uppgifterna behandlar viktiga, grundlggande begrepp i geometri.

    3 Uppgiften kan fungera som utgngspunkt i diskus-sion kring svrigheten att rita en endimensionell fi gur. Nr man ritar en linje kan den uppfattas som tvdimensionell. Ett stt att skdliggra en endi-mensionell strcka r att tnka sig avstndet mellan tv kryss.

    5 Uppgiften r tnkt att ge eleverna en knsla fr vilka typer av enheter som anvnds tillsammans med olika dimensioner. ven om eleverna inte knner till begreppet potens nnu kan man nd lta dem fun-dera ver varfr enheterna m, m2, m3 ser ut som de gr. Anvnd grna klassrummet som utgngspunkt.

    8 Som extrauppgift kan man lta eleverna formulera en liknande uppgift och sedan byta med en kompis.

    56 52 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    5 Vlj den enhet man anvnder nr man ska angea) hur stort golvet i ett rum rb) hur mycket luft som finns i ett rumc) hur lng golvlisten r i ett rumd) hur stor en grsmatta re) hur lngt ett staket rf) hur mycket vatten som fr plats i ett badkar.

    6 Titta dig omkring i det rum du befinner dig. Ge exempel p freml som mts i enheten

    a) meter b) kvadratmeter c) kubikmeter

    7 Nr man ska mta behver man ibland mindre enheter n meter, kvadratmeter och kubikmeter. Ge exempel p ngra andra mindre enheter fr

    a) lngd b) area c) volym

    8 Lisa har skrivit det hr p en lapp: Jag r 158 A lng. Jag bor i en lgenhet som har storleken 75 B. Ibland badar jag i badkaret. Det rymmer 0,5 C. Nr jag mtte arean p mattebokens framsida s var den ungefr 4 D. Lngden p min penna r 12 E. Jag har ftt en ny sng. Den r 2 F lng och 80 G bred.

    Vilka enheter ska det st i stllet fr bokstverna?

    Olika dimensioner

    1 Vilka av figurerna har a) lngd, bredd och hjdb) endast lngd och bredd

    A B C D

    2 Vilka av figurerna ra) tredimensionella b) tvdimensionella

    A B C D E

    3 Vilken dimension har strckan mellan kryssen?

    4 Ge exempel p ngot som ra) tredimensionellt b) tvdimensionellt c) endimensionellt

    Vi lever i en tredimensionell vrld. Allt vi ser runt omkring oss har tre dimensioner. Det har lngd, bredd och hjd.

    En kropp r En yta r En linje r tredimensionell: tvdimensionell: endimensionell:

    Freml som r tredimensionella kallas fr kroppar.

    Lngd

    Lngd

    BreddHjd

    BreddLngd

    Enheter fr olika dimensioner1D Nr vi mter ngot som r

    endimensionellt, s mter vi lngden av en strcka. Enheten kan vara meter. En meter frkortas m.

    2D Nr vi mter ngot som r tvdimensionellt, s mter vi arean av en yta. Enheten kan vara kvadrat-meter. En kvadratmeter frkortas m2.

    3D Nr vi mter ngot som r tredimensionellt, s mter vi volymen av en kropp. Enheten kan vara kubik-meter. En kubikmeter frkortas m3.

    Barnet r en meter lngt, golvet r 4 kvadrat-meter stort och kuben r en kubikmeter stor.

    m m2 m3

    Nr man ritar ngot som

    ska vara en-dimensionellt s blir det

    tvdimensionellt. ven om man anvnder en smal penna s fr strecket

    man ritar en bredd och en lngd.

    G

    572 geometri

    G

    56 2 geometri

    Grundkurs

  • GG SlutVisa bilder eller kroppar av en pyramid med en basyta som r en rektangel, ett rtblock och en prisma med en triangel som basyta (tobleroneprisma). Frga vilken av kropparna som inte passar ihop med de tv vriga och be eleverna skriva ned och motivera sina svar. Det blir d tydligt fr dig som lrare vad eleverna uppfattat om kropparnas egenskaper.

    Pyramiden och ett rtblocket har bda en basyta som r en fyrhrning.

    Pyramiden och prismat har bda sidoytor som har for-men av en triangel.

    Rtblock och prisma r bda raka kroppar till skillnad frn pyramiden som r en spetsig kropp.

    Starta grna nsta lektion med att visa ngra olika pris-mor med olika bottenytor och lt eleverna ange antalet hrn, kanter och sidoytor.

    G vidareBl kursMer grundlggande genomgng och uppgifter om kropp-ar finns p sidan 81.

    Rd kursMer om mnghrningar finns p sidan 9495.Platonska kroppar tas upp p sidan 96.

    Repetition Repetition 6 finns p sidan 279.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:1 Vika kuber

    Aktiviteter

    2:1 Vika kroppar

    Kroppar och MnghrningarSyftet med dessa avsnitt r att eleverna ska lra sig ngra olika geometriska kroppars och mnghrningars namn och egenskaper och att beskriva dem med hjlp av geo-metriska begrepp. Eleverna ska ven inse att flera olika typer av mnghrningar kan bilda kroppar. I det centrala innehllet str det att eleverna ska mta Geometriska objekt och dess inbrdes relationer. Geometriska egen-skaper hos dessa objekt.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    vad olika kroppar och mnghrningar heter och vad som utmrker dem

    att beskriva likheter och skillnader hos tredimensio-nella kroppar och tvdimensionella objekt

    begreppen prisma, rtblock, kub, pyramid, hrn, sidoyta, basyta, sida, hrn, kant, mnghrning, diagonal

    Tnk p I bda dessa avsnitt presenteras ett stort antal geome-

    triska begrepp. Flera av begreppen har eleverna mtt tidigare, men fr en del elever kan mnga av begrep-pen te sig ganska abstrakta. Ett stt att gra geometrin mer begriplig r att anvnda konkret material och p det sttet synliggra matematiska begrepp och sam-band. Om eleverna fr se och ta p de geometriska kropparna s kan de lttare frst vad som r hrn, kant, sidoyta och vilken form de olika sidoytorna har. Anvnd grna de geometriska kropparna i hrdplast som finns p de flesta skolor eller anvnd olika livs-medelsfrpackningar.

    Ett hrn r den punkt dr flera kanter mts, en kant r skrningslinje mellan tv sidoytor och sidoyta r en plan yta som r en del av en kropp. Observera att hrn har tv betydelser beroende p om man pratar om tv eller tre dimensioner.

    StartAnvnd klipparket som finns p aktivitet 2:1.

    Klipp ut en av figurerna och vik lngs de streckade linjerna. Forma en kropp och limma eller tejpa ihop den. Hur mnga kanter, hrn och sidoytor har krop-pen? Vad kallas den?

    Kommentarer till uppgifter10 En uppgift som lyfter fram begreppen hrn, kant och

    sidoyta.

    12 En underskande uppgift dr eleverna ska dra slut-satser utifrn egna figurer.

    13 Resonemangsuppgift som berr begreppen diagonal, sida och hrn. Uppgiften lmpar sig vl till att disku-tera i mindre grupper fljt av gemensam diskussion i hela gruppen.

    15, 16 Bda uppgifterna r av problemlsningskaraktr och trnar elevens frmga att tnka tredimensionellt.

    Facit 9 A Kub, B Rtblock,

    C Prisma, D Pyramid, E Prisma, F Kub, G Rtblock

    10 a) 8 hrn, 12 kanter och 6 sidoytor

    b) 6 hrn, 9 kanter och 5 sido ytor

    c) 10 hrn, 15 kanter och 7 sidoytor

    d) 5 hrn, 8 kanter och 5 sido ytor

    11 a) A Fyrhrning (kvadrat) B Trehrning (triangel) C Sexhrning D Fyrhrning E Fyrhrning (romb) F Femhrning

    b) A 4 hrn och 4 sidor B 3 hrn och 3 sidor C 6 hrn och 6 sidor D 4 hrn och 4 sidor E 4 hrn och 4 sidor F 5 hrn och 5 sidor

    12 a) 2 diagonaler T.ex.

    b) 5 diagonaler T.ex.

    13 Alla hrn i en triangel ligger intill varandra.

    14 a) Prisma, fyrhrning (rektangel) och triangel

    b) Prisma, fyrhrning (rektangel) och sexhrning

    c) Pyramid, triangel och femhrning

    d) Pyramid, triangel och fyrhrning (kvadrat)

    15 C

    16

    58 592 geometri 2 geometri

    Kroppar freml som r tredimensionella

    9 Vilket matematiskt namn har formen p frpackningarna?

    A D GC

    FEB

    10 Hur mnga hrn, kanter och sidoytor har kropparna?a) b) c) d)

    Mnghrningar figurer som r tvdimensionella

    11 a) Vad kallas figurerna?b) Hur mnga sidor och hur mnga

    hrn har de olika figurerna?

    12 Rita och undersk hur mnga diagonaler du kan rita i ena) fyrhrning b) femhrning

    13 Varfr kan det inte finnas en diagonal i en trehrning?

    14 Vad heter kroppen och vad heter formen p de olika sidoytorna?a) b) c) d)

    15 Vilken av figurerna kan vikas till en kub?

    A B C D E

    16 Bilden visar en utvikt trning. P en trning r summan av prickarna p tv motstende sidor alltid sju. Rita av bilden och rita prickar s att det blir rtt.

    Trianglar, fyrhrningar och femhrningar r exempel p mnghrningar.

    I femhrningen hr bredvid r en diagonal inritad. En diagonal r en strcka mellan tv hrn som inte ligger intill varandra. Diagonalen kan allts inte vara en sida.

    ArbetsblAd 2:1

    Prisma, rtblock, kub och pyramid r exempel p rymdgeometriska kroppar.

    Lngs en kant mts tv sidoytor.

    En sidoyta kallas ibland fr basyta.

    I ett hrn mts flera kanter.

    PrismaBasytan r en mnghrning och sidoytorna r rektanglar.

    RtblockEtt prisma med en rektangel som basyta.

    KubEtt rtblock dr alla sidoytor r kvadratiska

    PyramidSpetsig kropp med en mnghrning som basyta.

    Ett rtblock har 8 hrn, 12 kanter och 6 sidoytor.

    basytahrn

    kantsidoyta

    hrn

    sida

    diagonal

    A B C D E F

    G G

    58 592 geometri 2 geometri

  • GG Slut1 En trubbig vinkel r 120.

    A sant B falskt

    C sant ibland D vet ej

    2 Ett tredjedels varv r 30.A sant B falskt

    C sant ibland D vet ej

    3 I en triangel r vinkelsumman 180.A sant B falskt

    C sant ibland D vet ej

    G vidareBl kursMer grundlggande genomgng och uppgifter om vink-lar fi nns p sidan 82.

    Rd kursMer om vinklar och vinkelsummor fr olika mnghr-ningar fi nns p sidan 94. Vinklar tas ven upp i samband med avsnittet Platonska kroppar p sidan 96.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:2 Hur stor r vinkeln?

    2:3 Rkna med vinklar

    Aktiviteter

    2:2 Uppskatta vinkeln

    2:3 Konstruera trianglar

    Vinklar och Triangelns vinkelsummaEleverna br frn mellanstadiet knna till hur man ritar vinklar, hur man mter vinklar och att vinklar mts i enheten grader (). Syftet med detta avsnitt r att elever-na ska lra sig olika vinklars namn fr att kunna defi nie-ra mnghrningar utifrn dessa. Eleverna ska ocks lra sig att triangelns vinkelsumma r 180 och kunna lsa problem utifrn det. Fr att kunna rita en triangel utifrn angivna mtt p sidorna mste man anvnda passare. Passare och linjal var de redskap som anvndes fr att gra geometriska konstruktioner fr ett par tusen r sedan. I Aktivitet 2:3, Konstruera trianglar fr eleverna sjlva rita trianglar med hjlp av passare och linjal.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    att mta, uppskatta och namnge vinklar

    att triangelns vinkelsumma r 180 och gra berk-ningar utifrn det

    defi niera och namnge olika trianglar och fyrhrningar

    begreppen spetsig vinkel, trubbig vinkel, rak vinkel, rt vinkel, helt varv, halvt varv, vinkelsumma

    Tnk p Genom att konkretisera begrepp underlttar man

    elevers frstelse. Begreppet vinkel kan konkretiseras genom att man anvnder en sax och visar hur vinkeln mellan skrbladen kar nr man ppnar saxen. Man kan ocks anvnda saxen fr att skdliggra en spet-sig, en trubbig och en rt vinkel.

    En del elever har problem med att lsa av en gradskiva nr de mter vinklar. Pongtera att gradskivan har tv skalor och att gradskivan lggs s att ena vinkelbenet gr genom 0 p den skala som lses av. Ett annat bra rd r att frst avgra om vinkeln r spetsig eller trubbig. P det sttet kan man direkt mrka om man har lst av fel p skalan.

    StartRita 5 olika vinklar p tavlan och lt eleverna upp-skatta storleken. Nr alla elever har gjort en upp-skattning s mter ni vinklarna gemensamt. Elever-na kan sedan f rkna ut hur mnga grader de var frn det rtta vrdet och summerar antalet felgra-der. Den som har minst antal felgrader blir vinna-re. Startuppgiften r samma som Aktivitet 2:2.

    Alternativ start 1Skriv 360, 180, 90 och 45 p tavlan. Vad vet eleverna om dessa vinklar? Lt eleverna tnka sjlva, diskutera i par och sedan i helklass. Be dem ven grna att fundera ver var de hittar dessa vinklar i vardagen.

    Alternativ start 2Gr en genomgng av triangelns vinkelsumma genom att lta eleverna rita en valfri triangel p ett papper och mar-kera vinklarna med en bge. Be dem sedan riva av hr-nen och lgga hrnen som bilden p sidan 61 visar. Elev-erna fr d mjlighet att upptcka att alla trianglars vin-kelsumma r 180 grader, en rak vinkel, oavsett vilken triangel de har ritat.

    0

    10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

    180170160150140

    130120

    110100 80 70

    6050

    4030

    2010

    0

    1020

    3040

    506070

    8090 100 110 120

    130

    140150160

    170180

    32

    11 3

    2

    Facit 17 a) A, C och E

    b) D, F och Gc) B och H

    18

    19 a) A och C b) B

    20 a) 142 b) 296 c) 123

    21 a) Ett halvt varvb) Ett och ett halvt varvc) Tre varv

    22 a) 180 b) 90c) 120 d) 105

    23 a) 80 b) 35c) 70 d) 55

    24 a) x = 130 b) x = 50c) x = 30

    25 a) Nej, summan av tv vinklar i en triangel mste vara mindre n 180

    b) Nej, summan av tv vinklar i en triangel mste vara mindre n 180

    Kommentarer till uppgifter18 Till den hr uppgiften behver eleverna en gradskiva.

    Fler liknande uppgifter fi nns p arbetsblad 2:2.

    19 Kontrollera elevernas svar p den hr uppgiften, den kan avslja en missuppfattning. Om eleven tror att B har strst vinkel s kan eleven ha missuppfattningen att det r lngden p vinkelbenen som avgr storleken.

    20 Hr ska eleverna utg frn ett halvt varv eller ett helt varv fr att berkna de vinklar som r markerade med x.

    21 Uppgiften handlar om snowboardkare som snurrar eller gr volter som namnstts efter hur mnga gra-der som snurren eller volten r. Ett varv heter tre sextio, 360. Det fi nns fl er idrotter som anvnder samma benmningar. Frga grna eleverna.

    24 Genom att uppmana eleverna att frklara hur de berknat de oknda vinklarna s utvecklas deras resonemangsfrmga.

    25 Uppgiften br diskuteras med hela klassen efter att eleverna har gjort uppgiften. Eleverna fr d mjlig-het att utveckla sin resonemangsfrmga utifrn begreppen vinklar och vinkelsumma.

    60 612 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Triangelns vinkelsumma

    23 Rkna ut vinkeln x.a)

    x

    50 50

    b)

    x120

    25

    c) x

    48 62

    d) x

    35

    24 Rkna ut vinklarna markerade med x.a)

    85

    45x

    b) 80

    xx

    c) 120

    x

    25 a) Gr det att rita en triangel som har tv rta vinklar? Motivera ditt svar.

    b) Gr det att rita en triangel som har tv trubbiga vinklar? Motivera ditt svar.

    Vinklar

    17 Vilka av vinklarna ra) spetsiga b) trubbiga c) rta

    18 Rita en trubbig vinkel, en rt vinkel och en spetsig vinkel. Mt vinklarnas storlek med en gradskiva.

    19 Hr ser du tre vinklar.a) Vilka vinklar r lika stora?b) Vilken vinkel r strst?

    20 Rkna ut vinkeln som r markerad med x. Anvnd inte gradskiva.a)

    x38

    b) x

    64

    c) x25 32

    21 Hur mnga varv har en snowboardkare snurrat nr han gjort ena) hundrattio b) fem-fyrtio c) ten-eighty

    22 Hur mnga grader r den minsta vinkeln mellan timvisaren och minutvisaren nr klockan r

    a) 18.00 b) 15.00 c) 16.00 d) 21.30

    A

    B C

    D

    E

    F

    GH

    0

    10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

    180170160150140

    130120

    110100 80 70

    6050

    4030

    2010

    0

    1020

    3040

    506070

    8090 100 110 120

    130

    140150160

    170180

    Fr att kunna beskriva olika mnghrningar behver man kunna namnge olika vinklar.

    En rt vinkel markeras

    med en hake.

    Rt vinkel Spetsig vinkel Trubbig vinkel Rak vinkel 90 mindre n 90 strre n 90 180, ett halvt varv

    Summan av vinklarna i en triangel r alltid 180. Man sger att triangelns vinkelsumma r 180. Det kan man visa genom att riva av hrnen p en papperstriangel och lgga dem intill varandra.

    ExempelBerkna vinkeln v.

    Om man vet tv av triangelns vinklar kan man rkna ut den tredje vinkeln.

    35 + 40 = 75

    v = 180 75 = 105 Vinklarna i triangeln r tillsammans 180.

    Svar: Vinkeln v = 105

    En triangel har tre sidor och tre vinklar. tri = tre, angel = vinkel

    32

    11 3

    2

    ArbetsblAd 2:22:3

    1 __ 2 varv = 180

    1 varv = 360

    1 __ 4 varv = 90

    v

    40 35

    B CA

    G G

    60 612 geometri 2 geometri

  • GG Slut1 I en parallellogram r alla vinklar rta. Det r

    A sant B falskt

    C sant ibland D vet ej

    2 I en romb r alla sidor lika lnga. Det rA sant B falskt

    C sant ibland D vet ej

    3 I en likbent triangel r alla vinklar spetsiga. Det r

    A sant B falskt

    C sant ibland D vet ej

    Frgorna ger dig som lrare en bild ver hur eleverna uppfattat begreppen och var eventuella missuppfatt-ningar fi nns. Starta grna nsta lektion med att flja upp frgorna.

    G vidareBl kursMer grundlggande genomgng och uppgifter om olika typer av trianglar och mnghrningar fi nns p sidan 8384.

    Rd kursMer om vinklar och vinkelsummor fr olika mnghr-ningar fi nns p sidan 94. Vinklar tas ven upp i samband med avsnittet Platonska kroppar p sidan 96.

    Repetition Repetition 7 fi nns p sidan 280.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:4 Vinkelsumman i en triangel

    Aktiviteter

    2:4 Geometriska begrepp med begreppskort och bildkort

    Begreppskarta

    2:1 Trianglar

    2:2 Fyrhrningar

    2:3 Mnghrningar

    Ls mer Laksman, Pesach (2012) Geometri med spagetti,

    Nmnaren 3, 2012.

    Olika typer av trianglar Olika typer av fyrhrningar Huvudsyftet med dessa tv avsnitt r att eleverna ska bli vl frtrogna med olika typer av trianglar och fyrhr-ningar och vad som utmrker dem. Trianglar namnges efter relationen mellan sidorna i triangeln eller efter vinklarna i triangeln. Fyrhrningarna namnstt efter om motstende sidor r parallella, om det r en rt vinkel i alla hrn och efter om sidorna r lika lnga. I rutan p sidan 63 fi nns ett exempel p en begreppskarta. I en begreppskarta r begreppen sammanlnkade med lnkord som visar sambandet mellan begreppen.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    att defi niera och namnge olika trianglar och fyrhrningar

    begreppen oliksidig triangel, likbent triangel, liksidig triangel, rtvinklig triangel, spetsvinklig triangel, trubbvinklig triangel, parallellogram, parallelltrapets, romb, rektangel, kvadrat

    Tnk p I geometriska fi gurer kan de sidor som r lika lnga

    eller de vinklar som r lika stora markeras med lika mnga streck. P samma kan man markera sidor som r lika lnga med samma antal streck.

    Begreppet parallell r ett viktigt begrepp nr man defi -nierar olika fyrhrningar. Det kan drfr vara bra att kolla upp att alla elever har det begreppet klart fr sig.

    StartFlera av begreppen i avsnittet har eleven mtt i tidigare skolr. Genom att lta eleverna beskriva egenskaper hos en triangel och en fyrhrning fr de mjlighet att repete-ra och befsta begrepp och ven lra sig nya. Lt grna eleverna diskutera i par och flj sedan upp i helklass.

    Vilka egenskaper har fi gurerna?

    A B

    Exempel p egenskaper:

    Triangeln: tre sidor varav tv r lika lnga, tre hrn, en trubbig vinkel, tv lika stora spetsiga vinklar. En sdan triangel kallas likbent.

    Fyrhrningen: fyra sidor varav tv parallella, fyra hrn, en trubbig vinkel, en spetsig vinkel, tv rta vinklar.En sdan fyrhrning kallas parallelltrapets.

    Kommentarer till uppgifter29 Hr ska eleven inse att det fi nns tv trianglar som

    uppfyller kriterierna likbent och en vinkel 50. Det kan underltta fr eleven att rita upp trianglarna.

    31 Uppgiften kan med frdel diskuteras i helklass. Begreppskartan i rutan kan tolkas ven frn hger till vnster. En kvadrat r en romb eftersom den har lika lnga sidor, den r ven en rektangel eftersom den har rta vinklar i hrnen. Kvadraten r en parallel-logram eftersom den har motstende parallella sidor och den r ett parallelltrapets eftersom den har minst ett par parallella sidor och den r en fyrhrning efter-som den har fyra hrn.

    32 Gr grna uppgiften tillsammans i klassen. Frga att diskutera: Varfr har en fyrhrning vinkelsumman 360 om triangeln har vinkelsumman 180? Lt elev-erna klippa en fyrhrning lngs en diagonal och p s stt f tv trianglar. Visa att trianglarnas vinklar bild-ar fyrhrningens vinklar. Summan av de tv triang-larnas vinklar r 2 180 = 360. Oavsett fyrhrning s kan man dela den i tv trianglar. Uppgiften kan utvecklas genom att lta eleverna underska femhr-ningar, sexhrningar osv och sedan frska dra en generell slutsats utifrn antalet hrn.

    Facit 26 5 cm

    3 5

    4

    (cm)

    27 a) v = 50, rtvinklig triangel

    b) v = 40, likbent triangel

    c) v = 60, liksidig triangel

    d) v = 140, likbent triangel

    28 60

    29 50 och 80 eller 65 och 65

    30 a) A b) A och Ec) A, B, D, E d) A, B, C, D, E

    31 A sant, B falskt, C falskt, D sant, E sant, F falskt

    32 Vinkelsumman r 360.

    33 Nr man drar en diago-nal i en fyrhrning bild-as tv trianglar. Vinkel-summan r drfr 2 180 = 360.

    34 a) T.ex.

    45

    45

    b) 135

    35 T.ex.

    10 10

    1010

    Vinklarna som bildas r 90

    62 632 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Olika typer av trianglar

    26 Rita en rtvinklig triangel dr de tv korta sidorna r 3 cm och 4 cm. Anvnd en linjal och mt den lngsta sidan. Hur lng r den?

    27 Rkna ut vinkeln som r markerad med v. Mt inte med gradskiva. Skriv ocks vilken typ av triangel det r.

    a) b) c) d)

    28 I en rtvinklig triangel r en vinkel 30. Hur stor r den tredje vinkeln?

    29 I en likbent triangel r en vinkel 50. Hur stora r de andra vinklarna? Det finns tv lsningar.

    v6 cm 6 cm

    6 cmv

    1005 cm 5 cm

    7 cm

    7 cm

    v

    20

    v

    40

    En triangel har tre sidor och tre vinklar. Trianglar fr namn bde efter sidorna och efter vinklarna.

    I en oliksidig triangel En likbent triangel har tv I en liksidig triangel r r sidorna olika lnga. vinklar som r lika stora alla vinklar 60. Alla Alla vinklar r olika stora. och tv sidor som r lika lnga. sidor r lika lnga.

    En rtvinklig triangel I en spetsvinklig triangel I en trubbvinklig triangelhar en rt vinkel. r alla vinklar spetsiga. r en vinkel trubbig.

    Olika typer av fyrhrningar

    30 Vilken eller vilka av fyrhrningarna r ena) kvadrat b) rektangelc) parallellogram d) parallelltrapets

    31 Vilka pstenden r sanna och vilka r falska?A Alla vinklar i en rektangel r 90. B Alla vinklar i en romb r rta.C Alla rektanglar r kvadrater. D Alla kvadrater r rektanglar.E Alla rektanglar r parallellogram. F Alla romber r kvadrater.

    32 Rita en fyrhrning som inte har rta vinklar i hrnen. Mt vinklarna i fyrhrningen och berkna vinkelsumman.

    33 Ta hjlp av Dilans pstende hr intill och frklara varfr alla fyrhrningar har vinkelsumman 360.

    34 a) Rita en parallellogram dr tv av vinklarna r 45.b) Hur stora r de andra vinklarna?

    35 Rita en kvadrat och en annan romb med sidan 10 cm och dra diagonalerna. Vilken slags vinkel bildas dr diagonalerna skr varandra?

    A B C

    D E

    Sidorna och vinklarna bestmmer namnet p en fyrhrning. En fyrhrning kallas

    parallelltrapets, om den har minst tv parallella sidor

    parallellogram, om sidorna r parvis parallella

    romb, om sidorna r parvis parallella och lika lnga

    rektangel, om alla vinklar r rta

    kvadrat, om alla sidor r lika lnga och alla vinklar r rta

    Om jag drar en diagonal i

    fyrhrningen, s kan jag visa att alla

    fyrhrningar har vinkelsumman

    360.

    ArbetsblAd 2:4

    Redan fr 4 000 r sedan odlade egyptierna marken vid Nilens strand. Varje r blev det versvmning och nr vattnet drog sig tillbaka mste krarna mtas upp igen. Fr att varje ker skulle f rta vinklar anvnde de egyptiska lantmtarna rep med knutar. Knutarna var knutna med lika stora mellanrum. Genom att bilda trianglar med sidorna 3, 4 och 5 mellanrum visste de att vinkeln blev rt.

    Egyptisk triangel5 l.e.

    4 l.e.

    3 l.e.

    med rta vinklar mellan sidorna kallas

    med alla sidor lika

    lnga kallas

    med alla sidor lika lnga kallas

    med rta vinklar mellan sidorna kallas

    med minst tv parallella sidor kallas

    med parvis parallella

    sidor kallasfyrhrning parallell-

    trapets kvadratparallello-

    gram

    rektangel

    romb

    G G

    62 632 geometri 2 geometri

  • GG SlutLt eleverna uppskatta hur stor area och hur stor omkrets framsidan av deras lrobok har.

    Alternativt slutLt eleverna bestmma ytan av en oregelbunden fi gur och sedan skriva ner svaren. Anvnd till exempel Aktivitet 2:9.Starta nsta lektion genom att flja upp aktiviteten.

    G vidareBl kursMer grundlggande genomgngar och uppgifter p omkrets och area fi nns p sidorna 85 och 86.

    Rd kursMer om area fi nns p sidan 97.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:5 Omkrets

    Aktiviteter

    2:6 Area av oregelbundna fi gurer

    Ls mer Holmberg, Britt (2011), Analysera mera i geometri,

    Nmnaren 4, 2011.

    Omkrets och Area I rskurs 46 har eleverna ftt lra sig metoder fr hur omkrets och area hos olika tvdimensionella geometris-ka fi gurer kan bestmmas och uppskattas. Syftet med dessa tv avsnitt r att ge eleverna mjlighet att repetera begreppen omkrets och area och koppla dem till begrep-pen endimensionell och tvdimensionell. I de hr avsnit-ten och efterfljande avsnitt kommer eleverna att arbeta med bde omkrets och area parallellt. Det kan hjlpa eleven att se skillnaden mellan dessa begrepp och att inse skillnaden mellan lngdenheter och areaenheter.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    metoder fr att uppskatta och berkna omkrets och area av mnghrningar och andra tvdimensionella objekt

    att jmfra begreppen omkrets och area och koppla dem till rtt dimension

    begreppen omkrets, area, kvadratmeter, kvadrat-decimeter, kvadratcentimeter

    Tnk p Det hnder att elever berknar omkrets och area utan

    att ha frstelse fr begreppen. Frgar man vad area r kan man f svaret: Area r lngden gnger bredden. Eleven har d lrt sig en metod utantill men frstr inte betydelsen av areabegreppet. Ett stt att strka elevernas frstelse av areabegreppet r att lta dem arbeta med uppgifter dr de fr uppskatta ytor med hjlp av areamallar. Man kan ocks arbeta med upp-gifter dr eleverna fr klippa isr fi gurer och se att den totala arean r lika trots att fi gurens form har ndrats.

    Start Lt eleverna se sig omkring i klassrummet och uppskatta storleken av ngra olika ytor och lngder. Det kan vara golvlisten, listen runt tavlan, tavlans yta, ytan av en bnk eller ett fnster. Frga vilken enhet som r lmplig att anvnda. Tydliggr vilken dimension det handlar om, endimensionell: lngden av en strcka, tvdimensionell: arean av en yta.

    Se dig omkring i klassrummet. Uppskatta storleken av ngra strckor och ngra ytor. Vilka enheter anvnder du?

    Alternativ startRita en oregelbunden sluten kurva p tavlan.

    Hur kan du mta omkrets och area av omrdet som r ritat p tavlan?

    Facit 36 14 cm

    37 T.ex. 7 cm och 5 cm, 8 cm och 4 cm och 9 cm och 3 cm

    38 24 cm

    39 10 cm och 10 cm eller 8 cm och 12 cm

    40 a) x = 3 cm och y = 4 cmb) x = 2 cm och y = 4 cm

    41 Omkretsen frndras inte nr man viker in hrnen.

    42 a) m2 b) cm2

    c) dm2 d) m2

    43 a) 4,5 cm2 b) 6 cm2

    c) ca 12 cm2

    Kommentarer till uppgifter39 Uppgiften liknar uppgift 29 p sidan 62. ven hr ska

    eleven inse att det fi nns tv likbenta trianglar som uppfyller kriterierna.

    40 En del elever har svrt med den hr typen av uppgif-ter. Lt grna eleverna tnka efter sjlva frst och g sedan igenom med hela klassen hur man kan avgra lngden av de strckor som r oknda.

    41 Att fi gurerna har samma omkrets kan vara svrt att se vid en frsta anblick. Hr fr eleverna veta att fi gurer-na har samma omkrets och ska fra ett resonemang som frklarar varfr. Uppgiften r lmplig att flja upp i helklass. Att fi gurerna har olika area r ganska uppenbart men uppgiften kan leda till insikten att fi gurer med samma omkrets kan ha olika area.

    42 Genom att lta eleverna diskutera och motivera sina val av enheter kan deras uppfattning om areaenheter-nas storlek strkas och ven deras frmga att fra resonemang.

    43 Hr ska eleverna uppskatta arean med hjlp av en areamall. Att jmfra en area med en knd enhet (cm2) r en bra vning som ger frstelse fr begrep-pet area och areaenheten kvadratcentimeter.

    44 Hr ska eleverna uppskatta area och omkrets av ett oregelbundet omrde med hjlp av en angiven strcka.

    64 652 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Omkrets

    36 Mt rektangelns sidor och berkna omkretsen.

    37 Rita tre olika rektanglar som har omkretsen 24 cm.

    38 En liksidig triangel har en sida som r 8 cm. Hur lng r triangelns omkrets?

    39 I en likbent triangel r en sida 8 cm. Triangelns omkrets r 28 cm. Hur lnga r de andra sidorna? Det finns tv lsningar.

    40 Hur lnga r sidorna som r markerade med x och y? a) 8

    1

    5

    5

    x

    y

    (cm) b)

    8 10

    12

    x

    y

    (cm)4

    41 De tre figurerna har samma omkrets. Frklara hur man kan veta det.A B C

    Nr man berknar omkretsen rknar man ut hur lngt det r runt om. Rektangelns omkrets r summan av rektangelns sidor. Omkrets frkortas ofta med O.

    ExempelBerkna rektangelns omkrets.

    O = 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm

    Svar: Omkretsen r 12 cm.

    Area

    42 Vilken areaenhet ska st i rutan?a) Golvet i ett klassrum kan ha arean 80 .b) Framsidan p en bok kan ha arean 500 .c) Sitsen p en stol kan ha arean 16 .d) En fotbollsplan kan ha arean 5000 .

    43 Hur stor area har figurerna? Varje ruta r 1 cm2.a) b) c)

    44 Hr ser du en karta ver en .a) Ungefr hur stor area har n? b) Ungefr hur stor omkrets har

    sjn p n?

    Area r ett mtt p hur stort ett omrde eller en yta r.

    En kvadratmeter (1 m2) r en yta som har lika stor area som en kvadrat med sidan en meter.

    En kvadratdecimeter (1 dm2) r ungefr lika stor som en handflata.

    En kvadratcentimeter (1 cm2)r ungefr lika stor som en lillfingernagel.

    4 (cm)

    2

    Alla mtt i rektangeln r i centimeter.

    ArbetsblAd 2:5 1 km

    1 m2

    1 m 1 m

    1 cm2

    1 dm2

    G G

    64 652 geometri 2 geometri

  • GG Rektangelns area och Parallellogrammens area Syftet med avsnitten r att eleverna ska lra sig att berk-na area av fyrhrningar. Hur man berknar arean av en rektangel r ngot eleverna troligtvis sttt p under mel-lanstadietiden men hur man berknar arean av en paral-lellogram r nog inte lika bekant. Metoden att berkna arean r densamma fr rektanglar och parallellogram-mer. En parallellogram med samma bas och hjd som en rektangel har lika stor area. Vi har drfr valt att kalla rektangelns sidor fr bas och hjd istllet fr lngd och bredd. Det gr ven att det blir lttare att frst hur man berknar triangelns area.

    I det centrala innehllet fr rskurs 79 str att elever-na ska mta: Metoder fr berkning av area hos geome-triska objekt.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    metoder fr att berkna rektangelns och parallel-logrammens area

    att gra jmfrelser mellan hur man berknar rektang-elns och parallellogrammens area

    begreppen bas, hjd, lngd, bredd, rektangel, parallellogram

    Tnk p

    Begreppet hjd r svrt fr mnga elever. Varfr kallas det hjd nr objektet ligger ner? Vad r hjd i en paral-lellogram? Om eleverna fr klippa ut en parallellogram och stlla den upp med en sida mot bordet kan de se vad som r bas och hjd. De kan ven vrida parallel-logrammen och se att det fi nns fyra baser med fyra tillhrande hjder.

    En vanlig missuppfattning hos elever r att arean all-tid kar om omkretsen kar, och tvrtom. En annan missuppfattning r att en rektangels area frdubblas om rektangelns lngd och bredd frdubblas, nr den egentligen blir fyra gnger s stor. Ytterligare en miss-uppfattning r att parallellogrammens sida r en hjd.

    StartLt eleverna sjlva upptcka hur man berknar arean av en rektangel och en parallellogram. Anvnd centimeter-papper (se Aktivitet 2:5 A) och lt dem rita upp tre olika rektanglar med given hjd och bredd, alla med samma area. Eleverna kan sedan berkna arean genom att rkna rutor, men kommer ven att inse att det gr att f fram arean p ett enklare stt, genom att multiplicera rektang-elns bredd (bas) med rektangelns hjd.

    Rita 3 rektanglar med fljande mtt:

    Rektangel A Bredd: 12 cm Hjd: 2 cm

    Rektangel B Bredd: 3 cm Hjd: 8 cm

    Rektangel C Bredd: 6 cm Hjd: 4 cm

    Vad har rektanglarna gemensamt?

    Hur berknar man en rektangels area?

    Fortsttning eller alternativ start Hr ska eleverna inse att man kan berkna parallel-logrammens area p samma stt som fr en rektangel, nmligen genom att multiplicera basen med hjden.

    Rita en parallellogram som inte r en rektangel.

    Vlj en sida som bas och rita en hjd mot basen.

    Klipp lngs hjden och lgg den avklippta triangeln s att en rektangel bildas.

    Hur berknar man arean av en parallellogram?

    Slut

    1 En rektangel som har arean 25 cm2 har basen 5 cm.

    A ja B nej

    C stmmer ibland D vet ej

    2 En kvadrat som har arean 25 cm2 har basen 5 cm.

    A ja B nej

    C stmmer ibland D vet ej

    3 En parallellogram som inte r en rektangel har lngden 5 cm och hjden 4 cm. Omkretsen r

    A 20 cm B 18 cm

    C gr ej att berkna

    Hr kan man f reda p om eleverna har frsttt att rek-tanglar som har olika bas och hjd nd kan ha samma area, om eleverna anvnder parallellogrammens hjd som sida eller tror att en rektangel inte kan ha formen av en kvadrat.

    G vidareBl kurs Mer grundlggande genomgngar och uppgifter p rek-tangelns och parallellogrammens area fi nns p sidan 87.

    Repetition Repetition 8 fi nns p sidan 281.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:6 Area och omkrets

    Facit 45 a) 12 cm2 b) 5,5 cm2

    46 a) b) 15 cm2

    47 a) Kvadrat med sidan 2 cm

    b) Kvadrat med sidan 3 cm

    c) Kvadrat med sidan 5 cm

    48

    49

    50 a) Rektangel med arean 16 cm2

    b) 4 gnger strrec) 9 gnger strre

    51 a) 6 cm2 b) 8 cm2

    c) 10 cm2

    52 a) Dilan har rknat rtt.b) Anna har berknat

    omkretsen. Benjamin har berknat arean av en annan parallel-logram med basen 5 cm och hjden 4 cm.

    53 a) b) 15 cm2

    54

    Kommentarer till uppgifter48, 49 Uppgifter dr eleverna har mjlighet att upptcka att

    rektanglar med lika lng omkrets kan ha olika area. De fr ocks upptcka att rektanglar med lika stor area kan ha olika lng omkrets. Diskutera dessa upp-gifter med eleverna s att de blir uppmrksammade p syftet med uppgifterna.

    50 En uppgift som visar att arean av en rektangel kar fyra gnger om bde lngden och bredden frdubblas och att arean kar med 9 gnger om sidorna tredubb-las. Lt grna eleverna jmfra sina rektanglar med varandra och se att dessa samband gller oavsett vilka ursprungsmtten r. Du kan ven utmana eleverna frklara varfr det r s och sedan flja upp i helklass. Eleverna fr d mjlighet utveckla sin frmga att flja och fra matematiska resonemang. Under rskurs 9 kommer eleverna att f arbeta med areaskala.

    53, 54 Om eleverna inte tidigare ritat parallellogram s kan det vara bra att tillsammans g igenom hur man gr det.

    66 62 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Parallellogrammens area

    51 Mt bas och hjd och berkna parallellogrammens areor.a) b) c)

    52 Anna, Benjamin och Dilan har rknat ut parallellogrammens area.

    Hr ser du deras berkningar.

    5 + 4 + 5 + 4 = = 18

    Anna

    5 4 = 20

    Benjamin

    5 3 = 15

    Dilana) Vem har rtt?b) Vad har de andra rknat ut?

    53 a) Rita en parallellogram med basen 5 cm och hjden 3 cm.b) Berkna arean.

    54 Rita tv olika parallellogrammer (som inte r rektanglar) som har arean 20 cm2.

    5 cm

    3 cm4 cm

    Rektangelns area

    45 Mt i figuren och berkna arean.a) b)

    46 a) Rita en rektangel med bredden 2,5 cm och lngden 6 cm. b) Berkna rektangelns area.

    47 Rita en kvadrat som har areana) 4 cm2 b) 9 cm2 c) 25 cm2

    48 Rita tv olika rektanglar som har omkretsen 12 cm. Berkna arean av varje rektangel.

    49 Rita tv olika rektanglar som har arean 12 cm2. Berkna omkretsen av varje rektangel.

    50 a) Rita en rektangel med dubbelt s stor area som rektangeln hr bredvid.

    b) Hur mnga gnger strre blir arean av en rektangel om du frdubblar bde lngden och bredden?

    c) Hur mnga gnger strre blir arean om du gr bde lngden och bredden tre gnger strre?

    Lngden och bredden av en rektangel kallas ofta fr bas och hjd. Hjden r alltid vinkelrt mot basen.

    I en rektangel dr sidorna r 4 cm och 3 cm fr det plats 4 3 = 12 hela rutor med arean 1 cm2. Rektangelns area r 12 cm2.

    Arean = 4 cm 3 cm = 12 cm2

    1 cm2

    Arean = basen hjden

    A = b h

    Arean av en parallellogram berknar man p samma stt som arean av en rektangel.

    Arean = basen hjden

    Figuren visar att alla parallellogrammer kan gras om till en rektangel.

    Arean = basen hjden

    A = b h

    hjd

    bas

    Hjden r alltid vinkelrt mot basen.

    3 cm

    4 cm

    hjd

    bas bas

    ArbetsblAd 2:6

    G G

    66 672 geometri 2 geometri

  • GG SlutRita en triangel p tavlan och skriv mtten 4 cm p basen och 3 cm p hjden.

    Hur stor r triangelns area?

    A 12 cm2 B 6 cm2

    C 7 cm2 D vet ej

    Lraren fr en snabb koll p om eleverna har frsttt och kan berkna arean av en triangel. Eventuella missupp-fattningar (t.ex. glmt att dividera med tv) kommer ocks fram.

    Alternativt slutBe eleverna rita en triangel och rita alla hjderna i triang-eln. Be dem sedan rkna ut omkretsen och arean.

    G vidareBl kurs Mer grundlggande genomgngar och uppgifter om tri-angelns area finns p sidorna 88 89.

    Rd kursHur man berknar arean av trubbvinkliga trianglar finns p sidan 97.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:7 Triangel bas, hjd och area

    Aktiviteter

    2:6 Triangeln r en halv fyrhrning

    Begreppskarta

    2:4 Area

    Triangelns area Metoden fr att berkna area av trianglar har eleverna redan mtt i rskurs 46. Syftet med detta avsnitt r att befsta metoden samt att va eleverna p att mta och bestmma hjden i en triangel oavsett vilken sida som anges som bas. I det centrala innehllet fr rskurs 79 str det att eleverna ska mta: Metoder fr berkning av area hos geometriska objekt.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    att bestmma och mta olika baser och hjder i trianglar

    en metod fr att berkna area av trianglar

    begreppen bas, hjd, triangel

    Tnk p En del elever lr sig formeln fr triangelns area utan

    att ha frstelse fr vad den innebr. Att utg frn en rektangel och visa att en triangel r en halv rektangel kan hjlpa eleverna att inse varfr man ska dividera

    med tv nr man berknar triangelns area, b h

    ____ 2 .

    Det r ocks viktigt att eleverna fr va p att dra hj-den vinkelrt mot den sida som man kallar fr bas. Anvnd grna Arbetsblad 2:7.

    Elever som alltid ser trianglar dr basen r den sida som triangeln vilar p, kan tro att trianglar alltid mste vara placerade s fr att kallas triangel. En triangel som har ett hrn nederst kan uppfattas som en triangel som r upp och ned. Eleverna br f arbeta med trianglar dr vilken sida som helst kan vljas som bas. Om elever-na fr klippa ut en triangel och stlla den upp med en sida mot bordet kan de lttare se vad som r bas och hjd. De kan ven vrida triangeln och se att det finns tre baser och tre till dem tillhrande hjder.

    StartLt eleverna rita och klippa ut en rektangel/parallel-logram av papper och sedan mta och berkna figurens area. Drefter ska eleverna klippa itu rektangeln/parallel-logrammen lngs diagonalen s att det bildas tv triang-lar. Steget r nu inte lngt fr eleverna att inse att man kan berkna triangelns area genom att dividera rektang-elns/parallellogrammens area med tv.

    Rita en parallellogram.

    Mt och berkna parallellogrammens area.

    Klipp itu parallellogrammen lngs diagonalen s att det bildas tv lika stora trianglar.

    Bestm arean av varje triangel.

    Kommentarer till uppgifter57 Uppgiften kan gras gemensamt med hela klassen.

    Uppmana eleverna att rita stora trianglar och tipsa om att de kan ha anvndning av en genomskinlig plastlinjal nr de ska rita hjden mot basen. Visa grna elevernas trianglar med dokumentkamera. Det r vanligt att hjden inte ritas vinkelrt mot basen trots upprepad undervisning.

    59 Uppgiften kan utvecklas genom att lta eleverna mta alla tre baserna och alla tre hjderna i varje triangel och upptcka att det alltid blir lika stora area.

    60 Den hr uppgiften kan utvecklas till en resonemangs- och problemlsningsuppgift om eleverna uppmanas att hitta flera olika trianglar med en given area.

    61 Den hr uppgiften r baserad p ett tangrampussel. I b-uppgiften r det inte meningen att eleverna ska mta och gra berkningar utan att de ska utg frn helheten. De ska se hur stor del av hela pusslet som de olika mnghrningarna upptar.

    62 Uppgiften testar om eleverna ven tar med triangelns hjd nr de berknar omkretsen. Var uppmrksam p det.

    Facit 55 a) 10 dm2 b) 3 m2

    c) 320 m2

    56 a) Hjden r 3 cm och arean r 7,5 cm2.

    b) Hjden r 3,5 cm och arean r 5,25 cm2.

    c) Hjden r 4 cm och arean r 16 cm2.

    57 a) b) T.ex.

    58 Arean r 10 cm2

    59 a) 3,5 cm2 b) 6 cm2

    c) 10,5 cm2

    60 a) b) c)

    61 a) Rtvinklig och likbent triangel, kvadrat och parallellogram.

    b) Trianglar: 4 cm2, 2 cm2 och 1 cm2

    Kvadrat: 2 cm2

    Parallellogram: 2 cm2

    62 a) 9 cm b) 3 cm2

    68 692 geometri 2 geometri

    Triangelns area

    55 Berkna arean av den frgade triangeln.a) b) c)

    20 m

    32 m

    56 Mt hjden mot den sida som kallas bas och berkna triangelns area. Kom ihg att hjden r vinkelrt mot basen.

    a) b)

    c) bas

    4 dm

    5 dm

    2 m

    3 m

    bas

    bas

    Triangelns area r hlften av en parallellograms area, om deras bas och hjd r lika.

    Arean = 4 cm 3 cm

    __________ 2 = 6 cm2

    Arean av en triangel = basen hjden

    _____________ 2

    Arean = basen hjden _____________ 2

    A = b h ____ 2

    Dividera med 2, eftersom en triangel r en halv parallellogram.

    bas

    hjd

    A

    C B

    bas hjd

    A

    C B

    bas

    A

    C B

    hjd

    57 a) Rita tv trianglar i ditt rknehfte. De ska ha ungefr samma form som trianglarna A och B, men rita dem grna lite strre.

    b) Rita hjder frn alla tre hrnen i varje triangel. Om du har ritat noggrant, mts alla tre hjderna i en punkt.

    A B

    58 Rita tre olika trianglar som alla har basen 5 cm och hjden 4 cm. Berkna arean.

    59 Mt bas och hjd och berkna arean av trianglarna. Vlj sjlv vilken hjd och bas du mter.

    a) b) c)

    60 Rita en triangel som har areana) 12 cm2 b) 9 cm2 c) 15 cm2

    61 Hr intill har vi ritat ett s kallat tangrampussel. a) Vad heter mnghrningarna i tangrampusslet?b) Bestm hur stor area de olika figurerna har.

    62 Berkna triangelnsa) omkrets b) area

    (cm)

    2 3

    4

    1,5

    ArbetsblAd 2:7

    3 cm

    4 cm

    hjd

    bas

    G G

    68 692 geometri 2 geometri

  • GG SlutDen hr r en ritning av ett rum.

    Du renoverar och ska lgga in nytt golv och kpa nya lister.

    a) Hur mycket golv mste du minst kpa?

    b) Hur mnga meter golvlist behver du minst kpa?

    Alternativt slutRita upp en skiss av en grsmatta med ngra uteplatser p och mtt utsatta. Frga eleverna hur stor area grs-mattan har.

    G vidareBl kurs Mer grundlggande genomgng och uppgifter om sammansatta fi gurer fi nns p sidan 90.

    RepetitionRepetition 9 fi nns p sidan 282.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:8 Sammansatta fi gurer

    2:9 Renovera lgenheten

    Sammansatta fi gurer I det hr avsnittet fr eleverna mjlighet att tillmpa den kunskap de inhmtat i tidigare avsnitt. Att kunna tillm-pa metoder i nya situationer r ett bra stt att befsta de metoder man tidigare vat p och visa att man frsttt. Hr fr eleverna ocks mjlighet att va p hur samman-satta fi gurer kan delas in fr att underltta vid berkning av arean. Det ger eleverna en frfrstelse infr nsta avsnitt dr de ska berkna arean av kroppars begrns-ningsyta.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    metoder fr att berkna area p sammansatta fi gurer

    att kunna tolka en ritning och gra enkla vardagsnra berkningar

    Tnk p Mnga elever har svrt att dela in en sammansatt fi gur

    i delar som r mjliga att berkna arean av. Det kan underltta fr eleverna att vi ger dem en tydlig arbets-gng. En sdan arbetsgng kan vara:

    1 Rita av fi guren

    2 Skriv ut alla mtt. Vilka mtt saknas? Kan du berkna dem?

    3 Dela in fi guren i delar som r mjliga att berkna arean av.

    4 Berkna arean av de olika delarna och addera.

    5 r svaret rimligt?

    StartRita upp en husgavel och en ram p tavlan och frga hur man kan g till vga fr att berkna arean. Syftet med den hr vningen r att eleverna sjlva fr fundera ver hur man kan g till vga fr att bestmma arean av en sammansatt fi gur. Tanken r inte att de ska berkna ett svar utan att de ska hitta ett tillvgagngsstt fr att kunna berkna arean.

    Hur gr man fr att berkna arean av husgaveln och ramen?

    Flj upp i helklass. Stt sedan ut mtt p husgaveln och ramen och lt eleverna berkna arean.

    Kommentarer till uppgifter65 Hr ska spegelglasets area tas bort frn den totala

    arean. Det kan fi nnas elever som inte inser det. Upp-giften kan drfr med frdel diskuteras i helklass. Fler liknande uppgifter fi nns p arbetsblad 2:8.

    66 Hr ska eleverna utg ifrn en ritning och anvnda skala fr att gra areaberkningar.

    Man kan gra liknande uppgifter genom att lta elev-erna arbeta utifrn en katalog eller ett reklamblad frn ett byggvaruhus och samtidigt ha tillgng till en ritning ver ett hus eller lgenhet.

    Facit 63 a) 15 m2 b) 5 m2

    c) 20 m2

    64 a) 30 m2 b) 34 m2

    c) 31,5 m2

    65 a) 36 dm2 b) 16 dm2

    c) 20 dm2

    66 a) 3,5 m b) 6 m c) 21 m2

    d) ca 6 000 kr (5 985 kr)

    67 a) 6,1 m b) 17 m

    68 a) 4 st b) 16 stc) 25 st d) 100 st

    69 a) 28 st b) 112 st

    (m)4

    3

    2

    7

    4

    4

    6

    7

    8

    15

    70 12 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Sammansatta figurer

    63 Husets kortsida har formen av en rektangel och en triangel. Berkna

    a) rektangelns areab) triangelns areac) hela arean av husets kortsida

    64 Hur stor area har kortsidorna p husen?a) b) c)

    65 Emelie stter in en kvadratisk spegel i en kvadratisk ram. Berkna arean av

    a) hela kvadraten (spegelglas och ram)b) spegelglasetc) ramen kring spegelglaset.

    2 m

    6 m

    4 m 5 m

    8 m

    3,5 m

    7 m

    4 m5 m

    Nr man ska berkna arean av en sammansatt figur kan man dela in den i mindre figurer som r lttare att berkna arean av.

    Man kan dela in husvggen i en rektangel och en triangel.

    Rektangelns area: 6 m 3 m = 18 m2

    Triangelns area: 6 m 2,5 m

    __________ 2 = 15

    ___ 2 m2 = 7,5 m2

    Vggens area: 18 m2 + 7,5 m2 = 25,5 m2

    2 m

    3 m

    5 m

    Titta p ritningen och mt med linjal.

    66 a) Hur brett r vardagsrummet i verkligheten?b) Hur lngt r vardagsrummet i verkligheten?c) Berkna vardagsrummets area.d) Hur mycket skulle det kosta att lgga in

    parkettgolv i vardagsrummet?

    Skala 1:100

    Sovrum

    HallTM

    K/F

    Kk

    Uteplats

    Kld-kam-mare

    Vardagsrum

    67 a) Berkna hur mycket golvlist som behvs i kldkammaren. Tnk p att inte rkna med drren.

    b) Hur lng golvlist behvs i vardagsrummet?

    68 Du ska lgga stenplattor p en yta som r 1 m2. Hur mnga plattor behver du om de r kvadratiska och har sidlngden

    a) 50 cm b) 25 cmc) 20 cm d) 10 cm

    69 Du ska lgga stenplattor p uteplatsen. Hur mnga plattor behvs det om en platta har mtten

    a) 50 cm 50 cm b) 25 cm 25 cm

    Ritningar r ofta ritade i

    skala 1:100. Det betyder att

    1 centimeter p ritningen r 1 meter

    i verkligheten.

    Triangelns hjd r

    5,5 m 3 m = = 2,5 m.

    6 m

    5,5 m

    3 m

    6

    4

    4

    6

    (dm)

    ArbetsblAd 2:8

    ArbetsblAd 2:9

    Parkettgolv

    285 kr/m2

    50 cm 50 cm betyder att plattans bredd r 50 cm och att plattans lngd r

    50 cm.

    G G

    70 712 geometri 2 geometri

  • GG Slut

    Hr

    Ange rimlig volym av

    a) en hink b) en kopp c) ett badkar

    d) en tegelsten e) en limpa f) lroboken

    har lraren en mjlighet att se hur vl eleverna har frsttt och kan uppskatta en volym av en kropp. Vid uppfljning av svaren kan man jmfra de strsta och minsta mtten som eleverna freslog p kropparna. r svaren rimliga? Vad borde rtt svar vara?

    G vidareBl kurs Mer grundlggande genomgngar och uppgifter om volym fi nns p sidan 91.

    Extramaterial

    Aktiviteter

    2:8 Rita rtblock

    Volym och Rtblock Syftet med det frsta avsnittet r att eleverna ska f en knsla fr begreppet volym. Att kroppar r tredimensio-nella och att volymen anger hur stor en kropp r eller hur mycket ngot innehller r centralt. Eleverna fr ven mta tv stt att ange enhet fr volym, litersystemet och metersystemet.

    Det andra avsnittet handlar om rtblock. Det r bra om eleverna lr sig att rita ett rtblock med std av rutn-tet i rknehftet. Det gr att de inte behver fundera p hur de ska g till vga nr de senare behver gra en skiss av ett rtblock. Eleverna brukar dessutom tycka att det r roligt. Att inte kunna rita fi nt, att inte veta hur man ska gra, brukar dremot uppfattas som mycket frustreran-de. I det centrala innehllet fr rkurs 79 str att elever-na ska mta Avbildning och konstruktion av geometris-ka objekt.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig:

    att kunna frklara vad volym r fr ngot

    anvnda och vlja olika enheter fr volym

    en metod fr att rita ett rtblock

    begreppen volym, liter, deciliter, centiliter, milliliter, kubikmeter, kubikdecimeter, kubikcentimeter

    Tnk p

    Att uttrycka volym i metersystemet kan vara nytt fr eleverna. Eleverna kan behva f se p, ta p och bygga med centikuber (kuber med volymen 1 cm3) och kuber med volymen 1 dm3 fr att f en knsla fr storleken av de olika enheterna.

    Bygg grna en kubikmeter (byggsats fi nns att kpa) och resonera kring hur mnga kuber med sidan 1 dm den kan rymma. Vi har inte s mnga uppgifter med enhets-omvandlingar hr i k 7 men eleverna br nd f en storleksuppfattning av de olika enheterna. Mer om enhetsomvandlingar fr volym kommer i rskurs 8.

    StartUppmana eleverna att bygga rtblock av ett bestmt antal centikuber p s mnga olika stt de kan. Hr ska eleverna f en knsla fr volym och enheten kubikcentimeter och ven inse att olika rtblock kan ha samma volym.

    Bygg ett rtblock av 12 centikuber.

    Finns det andra rtblock som ocks bestr 12 cen-tikuber? Om ja, bygg p s mnga olika stt du kan komma p.

    Jmfr med en kompis.

    Alternativ startGr uppgift 73 tillsammans steg fr steg. Kontrollera att alla elever

    anvnder rutntet som std

    frstr att alla hrnen fr ett rtblock r 90 ven om det bildas en vinkel som r 45 nr man ritar diagona-len i en ruta i rutntet och att man ritar s fr att per-spektivet ska stmma.

    frstr att man ska rita rtblockets bredd hlften s lng som det angivna mttet fr att gat ska uppfatta proportionerna korrekt.

    Facit 70 a) cm3

    b) liter eller dm3

    c) m3

    71 a) 24 cm3 b) 16 cm3

    c) 18 cm3

    72 10 900 kr

    73 a) b) c) d) 60, 96 och 8 st

    74 a) b) c)

    75 27, 64 och 125 st

    76 a) T.ex. 1 cm 1 cm 1 cm

    b) T.ex. 1 cm 2 cm 2 cm

    c) T.ex. 2 cm 2 cm 3 cm

    77 T.ex. 1 dm 2 dm 0,5 dm och 2 dm 2 dm 0,25 dm

    Kommentarer till uppgifter70 Fr att utveckla resonemangsfrmgan och begrepps-

    frstelsen ytterligare kan man gra en liknande upp-gift gemensamt i klassen. Lt eleverna frst tnka sjlva och skriva ned frslag p freml som har voly-men i storleksordningen m3, dm3 och cm3. De kan sedan jmfra sina frslag med en klasskompis och drefter har man en gemensam diskussion i helklass.

    71 Hr kan man lta de elever som behver anvnda centikuber och bygga rtblocken.

    72 Resultatet p uppgiften kan vara frvnande fr elev-erna. Hr r det bra att ha en kubikmeter i naturlig storlek och en frpackning med en liter mjlk.

    77 Det fi nns troligtvis elever i klassen som tnker att det bara fi nns en kub med mtten 1 dm x 1 dm x 1 dm och inte kommer vidare. Det kan drfr vara bra att flja upp uppgiften med en diskussion i klassen. Vilka olika mtt har eleverna anvnt och vilken metod anvnde de fr att lsa problemet?

    72 32 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Rtblock

    73 Rita ett rtblock meda) lngden 4 cm, bredden 3 cm och hjden 5 cmb) lngden 6 cm, bredden 4 cm och hjden 4 cm c) lngden 2 cm, bredden 2 cm och hjden 2 cm d) Hur mnga kuber med kantlngden 1 cm fr

    plats i vart och ett av de rtblock du ritade?

    74 Rita en kub som har kantlngdena) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm

    75 Hur mnga kuber med kantlngden 1 cm fr plats i de kuber du ritat?

    76 Rita ett rtblock som har volymen a) 1 cm3 b) 4 cm3 c) 12 cm3

    77 Rita tv olika rtblock som bda har volymen 1 dm3.

    Volym

    70 Vlj rtt enhet.a) En lskburk kan innehlla 330 .b) Ett badkar kan rymma 450 .c) En bassng kan rymma 500 vatten.

    71 Hur stor volym har figuren? Varje kub r 1 cm3.a) b) c)

    72 Hur mycket kostar det att fylla en kubikmeter med mjlk? En liter mjlk kostar 10,90 kr.

    liter

    cm3

    dm3

    m3

    Volym r ett mtt p hur stor en kropp r. Volym kan ocks vara ett mtt p hur mycket till exempel en lskburk kan innehlla.

    Stenen har volymen 975 cm3.

    Burken har volymen 0,33 dm3.

    liter

    liter 1m3

    1 m10 dm

    1 m10 dm

    1 m10 dm

    1 dm3 mjlk

    Rita ett rtblock

    Rita ett rtblock dr basytan r en rektangel med lngden 3 cm och bredden 2 cm. Hjden ska vara 1,5 cm. Flj beskrivningen.

    1. Rita frst framsidan av rtblocket som en rektangel med lngden 3 cm och hjden 1,5 cm.

    2. Rita sedan bredden frn varje hrn som en strcka snett uppt hger, lngs rutans diagonal. Lt den vara hlften s lng som det angivna mttet. Hr ska den allts ritas 1 cm.

    3. Rita de strckor som saknas p rtblockets baksida. Strecka de kantlinjer som man inte ser.

    1 dm10 cm

    1 dm3

    1 cm3

    1 dm10 cm

    1 dm10 cm

    En kubikdecimeter =

    = 1 liter

    1.

    2.

    3.

    G G

    72 732 geometri 2 geometri

  • GG SlutVisa ett rtblock, t.ex. en lda av ngot slag. Ange mtten och lt eleverna parvis berkna ldans volym och begrnsningsarea.

    Att eleverna arbetar parvis gr att de fr trna p att kommunicera och att fra ett matematiskt resonemang.

    Alternativ Lt eleverna i par beskriva skillnaden mellan volym och begrsningsyta av ett rtblock.

    Hr blir det tydligt om eleverna frsttt skillnaden mellan dessa begrepp.

    Vid uppfljning av uppgiften kan man presentera de vanligaste felsvaren. Att utg frn vanliga felsvar och resonera sig fram r ofta givande och belyser vanliga missuppfattningar som eleverna kan ha.

    G vidareBl kursMer grundlggande genomgngar och uppgifter om volym och begrnsningsyta fi nns p sidorna 9192.

    Rd kursHur man berknar volymen av en prisma och av en parallellepiped fi nns p sidorna 98 och 99. Fler uppgifter om begrnsningsyta och volym fi nns p sidan 100.

    RepetitionRepetition 10 fi nns p sidan 283.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:10 Rtblockets volym

    2:11 Berkna begrnsningsytans area

    Rtblockets volym och Begrnsningsyta Syftet med detta uppslag r att eleverna ska lra sig att berkna volym och begrsningsytans area fr ett rt-block. Avsnittet rtblockets volym r en fortsttning p fregende avsnitt dr eleverna fi ck lra sig att rita ett rtblock. Begreppet begrnsningsyta r troligtvis helt nytt fr de fl esta eleverna. De har tidigare berknat area av rektanglar och fr hr mjlighet att tillmpa dessa kunskaper genom att dela upp en kropp i dess sidoytor och drefter berkna summan av alla sidoytors area.

    Lrandeml

    Hr ska eleverna lra sig

    en metod fr att rkna volym p ett rtblock

    frklara vad begrnsningsyta r

    en metod fr att berkna begrnsningsytans area p ett rtblock

    redogra fr skillnaden mellan volym och begrs-ningsytans area

    begreppen basyta, begrnsningsyta, sidoyta

    Tnk p Det kan vara bra att lyfta fram skillnaden p beteck-

    ningarna b och B. Basen i en tv dimensionell kropp frkortas ofta med b, medan basytan i en tredimensio-nell kropp ofta frkortas med B.

    Det r ltt att glmma ngon sidoyta nr man berk-nar en kropps begrnsningsyta. Det kan underltta fr eleverna om de ritar ut alla sidoytor och skriver mtt-ten de har innan de rknar ut begrsningsytans area.

    Start

    Bygg med centikuber ett rtblock med mtten 3 cm 2 cm 4 cm.

    Hur stor volym har rtblocket?

    Skrivsttet med mellan lngderna kan behva frkla-ras. Flj upp i helklass och diskutera hur man kan berk-na att volymen r 24 cm3 utan att rkna kuberna var och en fr sig.

    Formulera formeln fr volymen av ett rtblock: Volymen = Basytans area hjden.

    Visa ven hur formeln kan skrivas med beteckningar som V = B h.

    Man anvnder oftast beteckningen B fr basyta istllet fr b fr att inte frvxla med begreppet bas.

    Alternativ startAnvnd klipparken som fi nns till Aktivitet 2:12 A och lt eleverna berkna arean av varje sidoyta. Be dem sedan bygga ihop kropparna och berkna begrnsningsytans area.

    Kommentarer till uppgifter7880 Om ngon elev har svrt att frst hur volymen av ett

    rtblock berknas kan man inledningsvis lta eleven anvnda centikuber som std och bygga de aktuella rtblocken.

    82 Uppgiften uppmrksammar att olika rtblock kan ha samma volym.

    83 Uppgiften r av problemlsande karaktr och visar en metod att berkna volymen av oregelbundna freml. Utfr en liknande uppgift praktiskt med eleverna.

    87 Den hr uppgiften lmpar sig vl till att lta eleverna arbeta med enskilt fr att sedan diskutera i grupp. Titta gemensamt p ngra elevlsningar, grna med hjlp av dokumentkamera. Diskutera olika metoder att lsa uppgiften. Hur vl har eleverna ritat fi gurer och mttsatt dem? Vilken metod anvnde man fr att berkna den sammanlagda arean? Vilken lsning visar p tydlig kommunikation?

    Facit 78 a) 12 cm3 b) 27 cm3

    c) 24 cm3

    79 a) b) 24 cm2

    c) 72 cm3

    80 a) b) 64 cm3

    81 a) 40 cm2 b) 5 cm

    82 T.ex. 2 cm 2 cm 6 cm eller 2 cm 3 cm 4 cm

    83 A 576 cm3 B 1 152 cm3

    84 a) 150 cm2 b) 600 cm2

    c) 94 cm2

    85 520 cm2

    86 448 cm2

    87 a) 5 st b) c) 156 cm2

    74 52 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    2,6 cm3 cm

    3 cm

    3 cm

    16,5 cm

    Begrnsningsyta

    84 Berkna arean av begrsningsytan av kropparna.a)

    5 cm

    5 cm5 cm

    b)

    10 cm

    10 cm

    10 cm

    c)

    4 dm5 dm

    3 dm

    85 Berkna arean av chokladkartongens begrnsningsyta.

    86 Berkna arean av glasspaketets begrnsningsyta.

    87 a) Hur mnga sidoytor har chokladfrpackningen?

    b) Gr en skiss av hur sidorna ser ut och stt ut mtten.

    c) Berkna arean av frpackningens begrnsningsyta. Avrunda till hela kvadratcentimeter.

    8 dm2

    4 dm

    2 dm 4 dm

    8 dm2

    2 cm

    10 cm

    20 cm

    12 dm2 12 dm2 3 dm6 dm2 6 dm2

    3 dm

    4 dm

    2 dm

    15,5 cm

    8 cm

    4 cmGLASS

    78 Berkna volymen a) b) c)

    79 a) Rita ett rtblock med lngden 6 cm, bredden 4 cm och hjden 3 cm.b) Berkna basytans area. c) Berkna rtblockets volym.

    80 a) Rita en kub med sidan 4 cm. b) Berkna kubens volym.

    81 Ett rtblock har lngden 8 cm och bredden 5 cm. Volymen r 200 cm3. Berkna

    a) bottenytans area b) hjden

    82 Rita tv olika rtblock som bda har volymen 24 cm3.

    83 Max och sa har hittat tv stenar p stranden. De tar reda p hur stora stenarna r med hjlp av en genomskinlig plastlda, en linjal och vatten. Hur stor volym har varje sten, A och B?

    3 cm2 cm

    2 cm

    3 cm

    3 cm

    3 cm

    2 cm

    6 cm

    2 cm

    Rtblockets volym

    Bottenlagret rymmer 3 2 kuber = 6 kuber. Hela rtblocket rymmer 6 4 = 24 kuber. Om varje kub r 1 cm3 s r hela rtblockets volym 24 cm3.

    Volymen av ett rtblock:

    Volymen = basytan hjden

    Volymen = 3 cm 2 cm 4 cm = 24 cm3

    basyta hjd Volymen = basytan hjden

    V = B h

    12 cm

    14 cm

    10 cm

    18 cm 16 cm

    Begrnsningsytan av en kropp r den sammanlagda arean av sidoytorna.

    ExempelBerkna arean av ldans begrnsningsyta.

    Om man viker ut ldan som i figuren ser man att begrnsningsytan bestr av sex sidoytor. mttstt sidorna och berkna arean av varje sidoyta.

    2 8 dm2 + 2 12 dm2 + 2 6 dm2 = = 16 dm2 + 24 dm2 + 12 dm2 = 52 dm2

    Svar: Begrnsningsytans area r 52 dm2.

    8 dm2

    4 dm

    2 dm 4 dm

    8 dm2

    2 cm

    10 cm

    20 cm

    12 dm2 12 dm2 3 dm6 dm2 6 dm2

    3 dm

    4 dm

    2 dm

    15,5 cm

    8 cm

    4 cmGLASS

    ArbetsblAd 2:10

    ArbetsblAd 2:11

    3 cm2 cm

    4 cm

    12 cm

    14 cm

    10 cm

    18 cm 16 cm

    A

    12 cm

    14 cm

    10 cm

    18 cm 16 cm

    B

    3 dm

    2 dm

    4 dm

    4 dm

    8 dm2

    12 dm26 dm2 6 dm2 12 dm2

    8 dm2

    4 dm

    3 dm

    2 dm2 dm

    2 dm

    G G

    74 752 geometri 2 geometri

  • ProblemlsningLsningar och kommentarerBde A och B uppgiften kan lsas genom att rita en bild och gra en tabell.

    A Hr r det lmpligt att brja rita en bild. (cm)

    40 40 40

    30 30 osv.

    En slutsats r att det alltid ska vara en platta mer n antalet mellanrum.

    Sedan kan man prva i tabell

    Platta Mellanrum Totalt

    7 40 cm = = 280 cm

    6 30 cm = = 180 cm

    280 cm + 180 cm = = 460 cm

    11 40 cm = = 440 cm

    10 30 cm = = 300 cm

    440 cm + 300 cm = = 740 cm

    9 40 cm = = 360 cm

    8 30 cm = = 240 cm

    360 cm + 240 cm = = 600 cm

    Svar: Basim behver 9 plattor.

    B Brja med att rita en bild.

    Kaninhage

    Vgg

    Gr sedan en tabell.

    Vi frutstter att hagen ska ha formen av en rektangel. Om bredden till exempel r 3 meter s kommer lngden att vara 14 meter eftersom 20 meter 2 3 meter = 14 meter.

    Bredd Lngd Area

    2 m 16 m 32 m2

    3 m 14 m 42 m2

    4 m 12m 48 m2

    5 m 10 m 50 m2

    6 m 8 m 48 m2

    7 m 6 m 42 m2

    Svar: Hagens sidor ska vara 5 meter och 10 meter om man vill att arean ska vara s stor som mjligt.

    Fler problem som kan lsas med strategierna Rita en bild och Rita en tabell fi nns p sidorna 266 och 269.

    Begrepp och resonemangVem eller vilka har rtt?Uppgiften frdjupar frstelsen av begreppen omkrets och area och trnar eleven p att fra ett matematiskt resonemang. Gr vningen parvis eller i helklass.

    Bde Clara och Dilan har rtt. Utveckla grna uppgiften med att be eleverna ge exempel p nr Clara har rtt och nr Dilan har rtt.

    BegreppDen hr vningen lmpar sig bra att gra parvis eller i grupp. Lt eleverna tillsammans anvnda begreppen i rutan fr att beskriva fi gurerna. Man kan ocks lta en elev beskriva fr ngon annan s kan den gissa vilken fi gur som beskrivs. Uppgiften kan utvecklas genom att eleverna ritar egna fi gurer som de beskriver fr en kom-pis som i sin tur ska rita den utifrn beskrivningen. Se aktivitet 2:8.

    Uppgiften utvecklar bde elevernas begrepps- och resonemangsfrmga.

    Begreppskarta

    I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter fi nns fl er begreppskartor som passar till kapitlet.

    likbent triangel

    rt-vinklig triangel

    liksidig triangel

    lika stora (60)

    Triangel

    som har lika lnga sidor kallas

    och i den r alla vinklar

    som har tv lika lnga sidor och

    tv lika stora vinklar

    som har en vinkel som r 90

    Sant eller falsktPstendena handlar mycket om begrepp och metoder. Om vningen anvnds gemensamt dr eleverna fr dis-kutera tillsammans s trnas bde resonemang och kom-munikation. Bra frgor att stlla

    om svaret r sant. Hur visar du att pstendet r sant? Hur visar du att pstendet alltid gller?

    om svaret r falskt. Hur visar du att pstendet r falskt? Hur kan du ndra pstendet s att det blir sant?

    Facit

    1 sant

    2 falskt

    3 sant

    4 falskt

    5 falskt

    6 falskt

    7 sant

    8 falskt

    9 sant

    10 sant

    11 falskt

    12 sant

    Arbeta tillsammansSyftet med vningen r att eleverna ska upptcka att arean kan vara olika hos tv fi gurer trots att omkretsen r densamma. Den fi gur som ger strst area r cirkeln och cirkelns area tar vi upp frst i k 8. Om eleverna vill ha en rknemetod fr att berkna cirkelns area kan du frsts visa dem den, men hr r det annars tnkt att eleverna ska uppskatta arean genom att rkna rutor, vilket ger en bra frstelse fr areabegreppet.

    76 2 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Vem eller vilka har rtt? Finns det ngot samband mellan omkretsen och arean av en rektangel?

    Anna

    Nr omkretsen kar i en

    rektangel, s kar alltid arean.

    Nr omkretsen kar i en rektangel,

    s minskar alltid arean.

    Bemjamin

    Nr omkretsen kar i en

    rektangel, s kan arean ka.

    Clara

    Nr omkretsen kar i en

    rektangel, s kan arean minska.

    Dilan

    BegreppBeskriv figurerna med hjlp av ngra av begreppen i rutan.

    Rt vinkel hjd basyta kant hrn sida sidoyta bas area volym

    omkrets endimensionell tvdimensionell tredimensionell

    BegreppskartaRita av begreppskartan och fyll i det som saknas.

    1 Golvet i ett rum kan ha arean 15 m2. 2 Volym mts i meter. 3 Det finns fyra rta vinklar i en

    rektangel.

    4 Nr man berknar arean tar man reda p hur lngt det r runt om en figur.

    5 En kropp som har volymen en kubikmeter r alltid en kub.

    6 Du rknar ut triangelns area genom att multiplicera basen med hjden.

    7 I en triangel kan man dra tre hjder. 8 Det spelar ingen roll vilken vinkel som

    hjden har mot basen.

    9 Det r alltid rt vinkel mellan sidoytorna i ett rtblock.

    10 Kvadratcentimeter r en enhet fr area.

    11 En kvadratdecimeter r ungefr lika stor som en fingernagel.

    12 Ett rtblock har 8 kanter.

    Sant eller falskt?

    Arbeta tillsammans

    Rita ett rutnt som r 15 cm 15 cm i ditt rknehfte. Rutorna ska ha arean 1 cm2.

    Klipp av en bit snre eller metalltrd som r 30 cm lng.

    Lgg snret p rutntet s att snret stnger in ett omrde. Hur stor area har omrdet?

    Gr omrdet s litet som mjligt. Hur ser omrdet ut? Hur stor area har omrdet?

    Gr omrdet s stort som mjligt. Hur ser omrdet ut nu? Hur stor area har omrdet?

    Begrepp och resonemang

    likbent triangel

    rt- vinklig

    triangel?

    ?

    Triangel

    som har lika lnga sidor kallas

    och i den r alla vinklar

    ? ?

    A Basim lgger en gng med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 40 cm. Det r 30 cm mellan varje platta. Gngen r 6 meter och ska brja och sluta med en platta. Hur mnga plattor behver han?

    B Hans ska stta staket runt en kaninha-ge som ligger mot en vgg. Hagen behver allts bara ha staket p tre sidor. Sidorna skall vara i hela meter. Staketet r 20 meter lngt. Hur lnga ska sidorna vara fr att arean ska bli s stor som mjligt?

    Problemlsning

    A B

    Uppslaget Uppslaget

    76 772 geometri 2 geometri

    G GG G

    Uppslaget

  • I tabellen hr nedanfr hittar du facit och frslag p var eleven kan trna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Dr fi nns ven en alternativ diagnos, som du som lrare kan anvnda om eleven behver genomfra ytterligare en diagnos.

    Begrepp och metod

    FACIT AVSNITT SIDA K

    URS

    SIDA K

    URS

    ARBE

    TS

    BLAD

    1 a) A och Db) B och C

    Olika dimensioner

    50 80 2:1

    2 a) kubikmeter, m3b) kvadratmeter, m2c) meter, m

    Enheter fr olika dimensioner

    57 80 2:1

    3 a) Omkrets: 12 cm, area: 9 cm2

    b) Omkrets: 13,4 cm, area: 10 cm2

    c) Omkrets: 13 cm, area: 7,5 cm2

    Omkrets och Area

    64 6667

    85 87

    2:5 2:6

    4 a) T.ex.

    b) T.ex.

    Omkrets och Area

    64 66

    85 87

    2:5 2:6

    5 T.ex. Triangelns area

    68 89 2:7

    6 10,5 dm2 Samman-satta fi gurer

    70 90 2:8

    7 12 dm2 (1200 cm2) Samman-satta fi gurer

    70 90 2:8

    8 En sida r avstndet mellan tv nrliggan-de hrn i en mng-hrning och en sidoyta r ytan mel-lan kanterna i en kropp. I en kant mts tv sidoytor.

    Kroppar freml som r tredimen-sionella

    58 81

    9 a) 24 cm3b) 12 cm3c) 40 cm3

    Rtblockets volym

    74 91 2:10

    10 24 cm3 Begrns-ningsyta

    75 92 2:11

    (cm)

    5

    3

    6

    2

    (cm)

    (cm)

    6

    4

    Resonemang och kommunikation

    FACIT AVSNITT SIDA K

    URS

    SIDA K

    URS

    ARBE

    TS

    BLAD

    11 Andrea har fel. En rektangel med str-re omkrets kan ha strre area, men det behver inte alltid vara s. Till exempel om jag har en rek-tangel med sidorna 4 cm och 5 cm. D r omkretsen 18 cm och arean 20 cm2. En annan rektangel har sidorna 2 cm och 9 cm. D r omkretsen 22 cm och arean r 18 cm2. Omkretsen r lngre men arean r min-dre.

    Omkrets och Area

    64 66

    85 87

    2:5 2:6

    12 Rtblockets volym

    74 91 2:10

    Problemlsning

    13 Gr en tabell och prva dig fram.

    Bredd Lngd Area10 m 45 m 450 m2

    20 m 35 m 700 m2

    30 m 25 m 750 m2

    40 m 15 m 600 m2

    31 m 24 m 744 m2

    28 m 27 m 756 m2

    29 m 26 m 754 m2

    27,5 m 27,5 m 756,25 m2

    Svar: En kvadratisk hage med sidorna 27,5 m ger den strsta arean.

    Kommentar: Eleverna behver en rknare nr de lser problemls-ningsuppgiften. Ett godtagbart svar r 756 m2 om elever-na kan motivera sin underskning.

    Fler problem som kan lsas med strategin Prva i tabell fi nns p sidan 269.

    BedmningsuppgiftLsningar och kommentarer:

    a) Det fi nns tre mjliga varianter: 3 cm, 6 cm och 8 cm

    6 cm, 8 cm och 11 cm

    8 cm, 11 cm och 18 cm

    b) Man kan skriva villkoret med ord. Till exempel: De tv kortare sidorna mste tillsammans vara lngre n den lngsta sidan. Man kan ven anvnda matema-tiska symboler eller variabler. Till exempel: Kalla de korta sidorna fr a och b och den lngsta sidan fr c. Summan av a och b skrivs som a + b. Villkoret att a + b mste vara strre n c kan beskrivas matema-tiskt som a + b c.

    Kommentar: Om man ska beskriva ngot matematiskt villkor r det bra att kunna anvnda ord men man visar en hgre matematisk niv genom att uttrycka sig med hjlp av symboler och algebraiska uttryck.

    P sidan xxx fi nns en bedmningsmatris kopplad till denna uppgift.

    78 92 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Begrepp och metod 1 Vilka av figurerna har

    a) lngd, bredd och hjd b) endast lngd och bredd

    A B C D

    2 Vilken enhet anvnder man nr man ska ange hur a) mycket vatten det finns i en simbassngb) stort klassrummet rc) lngt det r runt fotbollsplanen

    3 Mt och berkna figurens omkrets och area.a) b) c)

    4 a) Rita tv olika rektanglar som har omkretsen 16 cm. b) Rkna ut rektanglarnas area.

    5 Rita en triangel som har arean 12 cm2.

    6 Hur stor area har klubbmrket i Jack Russel-klubben?

    7 Rkna ut ramens area.

    80 cm

    60 cm50 cm

    70 cm

    8 Vad r det fr skillnad p begreppen sida och sidoyta? Vad r det fr skillnad p sida och kant?

    3 dm

    5 dm

    2 dm

    9 Hur stor volym har figurerna?a)

    3 cm2 cm

    4 cm

    b)

    2 cm2 cm

    4 cm

    c)

    4 cm

    4 cm

    2 cm

    2 cm

    2 cm

    10 Berkna rtblocketsa) volymb) begrnsningsarea

    Resonemang och kommunikation 11 Andrea sger: Om en rektangel har strre omkrets n en annan rektangel s

    har den ocks alltid strre area. Har Andrea rtt eller fel? Skriv ned hur du resonerar.

    12 Visa hur du rknar ut volymen av ett rtblock.

    Problemlsning 13 Petter har 110 meter stngsel att stta

    upp fr att skydda sina fr. Han vill att fren ska f s mycket yta att beta p som mjligt och att frhagen ska vara en fyrhrning. Vilka mtt har den fyrhrning som ger mest yta till Petters fr?

    4 cm2 cm

    3 cm

    Du har 5 spagettibitar i lngderna 3 cm, 6 cm, 8 cm, 11 cm och 18 cm.

    a) P vilka stt kan du vlja tre bitar och lgga dem i form av en triangel? b) Beskriv vad som mste glla fr de kortare sidorna jmfrt med den

    lnga sidan om det ska vara mjligt att bilda en triangel.

    Bedmningsuppgift

    D D

    Diagnos

    78 792 geometri 2 geometri

    D DDiagnos

  • B B

    Kommentarer till uppgifter7 Hr kan man uppmana eleverna att ven motivera

    varfr de namngett vinklarna p det stt de gjort, dvs. vad som utmrker en spetsig, rt respektive trubbig vinkel.

    9 Om eleven tror att vinkel B r strst s kan eleven ha missuppfattningen att det r lngden p vinkelbe-nen som avgr storleken.

    10 En del elever kan uppfatta den hr uppgiften som svrare n vad den r eftersom uppgiften innehller det oknda talet x. Hr kan man frklara att det lika grna kunde ha sttt att man ska berkna den tredje vinkeln men att det r vanligt inom matematiken att anvnda x fr ngot man nnu inte knner till storleken av.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:2 Mta vinklar

    2:3 Berkna vinklar

    2:4 Vinkelsumman i en triangel

    Aktiviteter

    2:2 Uppskatta vinkeln

    2:3 Konstruera trianglar

    2:3 Begreppskarta trianglar

    Kommentarer till uppgifter1 Uppgiften behandlar olika dimensioner och vad

    som utmrker dem. Hr kan man lyfta fram att alla freml r tredimensionella medan ett fremls yta r tvdimensionell. Till exempel r ett mjlkpakets yta tvdimensionell men sjlva mjlkpaketet r tre-dimensionellt. Strckan mellan tv hrn p mjlk-paketet r endimensionell. Nr det gller tecknade freml r det hr inte lika ltt att se. Det underlt-tar fr eleven om man konkretiserar t.ex. genom att ta med ett mjlkpaket. Man kan ven lta eleverna se sig runt i klassrummet och ge exempel p ngot som r endimensionellt, tvdimensionellt respekti-ve tredimensionellt.

    2 Elever kan ha svrt att hlla isr vilken enhet som hr till vilken dimension. Utmana grna eleven att ge egna frslag p sammanhang dr enheterna m, m2 och m3 passar in.

    3 Om eleverna f se och ta p de geometriska kroppar-na s kan de lttare frst vad som r hrn, och sidoytor. Anvnd grna de geometriska kropparna i hrdplast som fi nns p de fl esta skolor eller anvnd olika livsmedelsfrpackningar.

    4, 5 Bda uppgifterna r av problemlsningskaraktr och trnar elevens frmga att tnka tredimensio-nellt.

    Facit

    1 a) B och D b) A c) C

    2 a) m2 b) m3 c) m d) m3

    3 a) A rtblock, B Kub, C Pyramid, D Prisma

    b) A 8, B 8, C 5, D 12

    c) A 6, B 6, C 5, D 8

    4 a) A b) C c) B

    5 A

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:1 Vika kuber

    Aktiviteter

    2:1 Vika kroppar

    Repetition Repetition 6 fi nns p sidan 279.

    Facit

    6 a) A och D b) Bc) C

    7 a) A och Db) C c) B

    8 a)

    b)

    b)

    c)

    9 Benjamin har rtt. Vink-larna r lika stora.

    10 a) x = 70 b) x = 30c) x = 60 d) x = 45

    11 a) likbent b) rtvinkligc) liksidigd) rtvinklig och likbent

    12 a) 1 rd likbent, 2 grna rtvinkliga

    b) 1 rd likbent, 1 bl rtvinklig, 1 grn rtvinklig

    c) 2 svarta likbenta, 2 grna likbenta

    80 812 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Vinklar

    6 Vilken eller vilka av figurerna visar en vinkel som ra) rt b) spetsig c) trubbig

    A B C D

    7 Vilka av vinklarna ra) spetsigab) trubbigac) rta

    8 Rita en vinkel som ra) 90 b) strre n 90 c) mindre n 90 d) 180

    9 Vem har rtt? Motivera ditt svar.

    A B

    Vinkel A r strre n vinkel B.

    Anna

    Vinklarna r lika stora.

    Benjamin

    Vinkel B r strre n vinkel A.

    Dilan

    En rt vinkel markeras

    med en hake.

    Rt vinkel Spetsig vinkel Trubbig vinkel Rak vinkel 90 mindre n 90 strre n 90 180, ett halvt varv

    Trianglar

    10 Berkna den vinkel som r markerad med x.a)

    x 70

    40

    b)

    x

    60 c)

    x 60

    60

    d)

    x

    45

    11 Vad kallas trianglarna i uppgift 10?

    12 P flaggorna syns olika trianglar. Vilka olika trianglar hittar du och vilka frger har de i

    a) Guyanas flagga b) Eritreas flagga c) Jamaicas flagga

    90 grader skrivs 90

    En triangel har tre sidor och tre vinklar. Om man adderar en triangels vinklar blir summan alltid 180. Man sger att vinkelsumman r 180.

    I en rtvinklig triangel r en vinkel rt.

    En likbent triangel r tv vinklar lika stora och tv sidor lika lnga.

    I en liksidig triangel r alla vinklar 60 och alla sidor r lika lnga.

    ExempelBerkna vinkeln som r markerad med x.

    Om man vet tv av triangelns vinklar kan man rkna ut den tredje.

    60 + 40 = 100

    180 100 = 80

    Svar: Vinkeln x r 80.

    60

    40 xVinklarna i triangeln r tillsammans 180.

    ArbetsblAd 2:22:3

    ArbetsblAd 2:4

    1 __ 2 varv = 180

    1 varv = 360

    1 __ 4 varv = 90

    A B C D

    B B

    82 832 geometri 2 geometri

    Olika dimensioner

    1 Vilka bilder visar ngot som harA B C D

    a) lngd, bredd och hjdb) endast bredd och lngdc) endast lngd

    2 Vlj i rutan vilken enhet man anvnder nr man ska ange

    a) hur stort ett golv r b) hur mycket en tunna rymmer c) lngden p en flaggstngd) hur mycket vatten som ryms i en bassng

    Vi lever i en tredimensionell vrld. Om ngot har tre dimensioner s har det lngd, bredd och hjd.

    Tredimensionell Rummet har lngd, bredd och hjd.

    TvdimensionellGolvet har lngd och bredd.

    2,5 m

    3 m

    EndimensionellGolvlisten under fnstret brukar man endast mta lngden av.

    3 m

    Kroppar freml som har lngd, bredd och hjd

    3 a) Vad kallas formen p kropparna?b) Hur mnga hrn har de?c) Hur mnga sidoytor har de?

    4 Bilderna visar hur det ser ut nr vi har vikt ut sidoytorna p fremlen i rutan. Vilken av bilderna hr till

    a) kuben b) pyramiden c) rtblocket

    5 Du viker ihop den utvikta figuren till en kub. Vilken av kuberna AD visar resultatet?

    A B C D

    A B C D

    A B C

    Ett freml som har lngd, bredd och hjd kallas fr kropp.

    PrismaBasytan r en mnghrning.

    RtblockBasytan r en rektangel.

    KubBasytan r en kvadrat.

    PyramidSpetsig kropp. Basytan r en mnghrning.

    Basytan till de hr

    kropparna har formen av en mnghrning.

    2,5 m

    3 m

    2,4 m

    ArbetsblAd 2:1

    kubikmeter kvadratmeter meter

    1 m3 1 m2 1 m

    basyta

    hrnkant

    sidoyta

    B B

    Bl kurs

    80 812 geometri2 geometri

  • B B

    Kommentarer till uppgifter13 Hr kan det vara bra att lyfta fram att fyrhrningar-

    na kan ha olika namn. Till exempel r en kvadrat ven en rektangel, en parallellogram och en paral-lelltrapets. Vi har i facit valt att ange det namn som anger fyrhrningens egenskaper mest noggrant. Att sga att alla fem fyrhrningar r parallelltrapetser r ju i och fr sig sant, men sger inget om hur fyr-hrningarna skiljer sig t.

    18 Hr kan man utvidga uppgiften och trna elevernas frmga att fra resonemang genom att stlla frgor och lta eleverna motivera sina svar. Till exempel:

    Finns det fl er kvadrater med omkretsen 20 cm?

    Finns det fl er rektanglar n de du ritat som har omkretsen 22 cm och dr alla sidors lngd r heltal? Om nej, varfr? Om ja, rita dem.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:5 Omkrets

    Repetition Repetition 7 fi nns p sidan 280.

    Facit

    21 a) 9 cm2 b) 10 cm2c) 7 cm2

    22 a) cm2 b) dm2 c) m2 d) dm2

    e) cm2 f) m2

    23 a) 12 cm2 b) 6 cm2c) 10 cm2

    24 a) 54 cm2 b) 7,5 cm2c) 5 dm2

    25 a) Kvadrat med sidan 2 cm

    b) Kvadrat med sidan 3 cm

    c) Kvadrat med sidan 4 cm

    26 T.ex. med sidorna 3 cm och 4 cm eller 2 cm och 6 cm

    27 a) 3,5 m b) 4 m c) 14 m2

    Facit

    13 A rektangelB parallellogramC rombD kvadratE parallelltrapets

    14 a) b)

    15 a) b) 5 cm

    16 a) kvadratb) rektangel och kvadratc) triangel och kvadratd) triangele) triangel och rektangelf) parallelltrapets och

    rektangel

    17 a) A 7 cm, B 6 cm, C 6 cm, D 7,5 cm

    b) A rektangelB parallellogram C rtvinklig triangel D liksidig triangel

    18 a) Kvadrat med sidan 5 cm

    b) T.ex. med sidorna 5 cm och 6 cm eller 4 cm och 7 cm

    19 a) x = 3 cm, y = 5 cmb) 26 cm

    20 a) 52 dm b) 52 dm

    Kommentarer till uppgifter21 Hr ska eleverna uppskatta arean med hjlp av en

    areamall. Att jmfra en area med en knd enhet (cm2) kan ge frstelse fr begreppet area och area-enheten kvadratcentimeter.

    22 Genom att kombinera olika fremls ytor med olika areaenheter strks elevernas uppfattning av storle-ken p enheterna. Uppmana grna eleverna att ge ytterligare exempel p ytor som kan kopplas till enheterna cm2, dm2 och m3.

    26 Uppgiften leder till insikten att tv rektanglar med olika bas och hjd kan ha samma area. Utmana grna eleverna att rita ytterligare en rektangel med arean 12 cm2. Fr att trna elevernas resonemangs-frmga kan man ven terkoppla till uppgift 25 och frga varfr det bara fi nns en kvadrat som har arean 4 cm2, 9 cm2 respektive 16 cm2.

    27 Hr ska eleverna utg frn en ritning och anvnda skala fr att och ta reda p ett rums lngd, bredd och area. Begreppet skala tas upp frst i rskurs 9, men skala har eleverna arbetat med i k 46 och i uppgiften fr eleverna tillrckligt med information fr att de ska kunna klara av att lsa den.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:6 Area och omkrets

    Repetition Repetition 8 fi nns p sidan 281.

    82 832 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Area

    21 Varje ruta har arean 1 cm2. Hur stor area har figurerna?a) b) c)

    22 Vilken areaenhet ska st i rutorna? Vlj i rutan till hger.a) b) c)

    78 96 6

    d) e) f)

    4,5 21 5 000

    Fr att beskriva hur stort ett omrde r anvnder man ordet area.

    Ett rum kan ha arean 15 kvadratmeter (m2). Det betyder att 15 kvadrater med sidan 1 meter fr plats p golvet.

    En mindre enhet r kvadratcentimeter (cm2). Frimrket har arean 12 cm2.

    Rektangelns area

    23 Mt i figuren och berkna rektangelns area.a) b) c)

    24 Berkna areana)

    9 cm

    6 cm

    b)

    2,5 cm

    3 cm

    c)

    2 dm

    2,5 dm

    25 Rita en kvadrat som har arean a) 4 cm2 b) 9 cm2 c) 16 cm2

    26 Rita tv olika rektanglar som har arean 12 cm2.

    27 Rummet r ritat i skala 1:100. Det betyder att 1 cm p ritningen r 100 cm i verkligheten.

    a) Hur brett r rummet? b) Hur lngt r rummet?c) Vilken area har rummet?

    Nr du ska berkna arean av en rektangel multiplicerar du lngden med bredden. Ofta anvnder man orden bas och hjd i stllet fr lngd och bredd.

    Arean = 4 cm 2 cm = 8 cm2

    Arean = basen hjden A = b h

    Skala 1:100

    cm2

    dm2

    m2

    Varje ruta har arean 1 cm2.

    ArbetsblAd 2:6

    1 m 1 m

    1 cm2

    hjden2 cm

    basen 4 cm

    B B

    86 872 geometri 2 geometri

    Fyrhrningar

    13 Vad heter fyrhrningarna?

    A B C D E

    14 a) Rita en kvadrat dr sidorna r 4 cm.b) Dra diagonalerna i kvadraten.

    15 a) Rita en rektangel dr sidorna r 3 cm och 4 cm.b) Rita en diagonal i rektangeln. Hur lng r diagonalen?

    16 Vilket namn har formen p de olika sidoytorna? a) b) c)

    d) e) f)

    Alla fyrhrningar har fyra hrn och fyra sidor. Hrn

    Sida

    Parallellogram Romb Parallelltrapets Sidorna som r mittemot En parallellogram med Minst tv sidor r parallella. varandra r parallella. alla sidor lika lnga.

    Rektangel Kvadrat Alla vinklar r rta. En rektangel med alla sidor lika lnga.

    En strcka som gr mellan tv hrn som inte ligger intill varandra kallas fr en diagonal.

    diagonal

    Omkrets

    17 a) Mt i figurerna och rkna ut omkretsen.

    A B C D

    b) Vad heter mnghrningarna?

    18 a) Rita en kvadrat som har omkretsen 20 cm.b) Rita tv olika rektanglar som har omkretsen 22 cm.

    19 a) Bestm strckorna markerade med x och y.b) Berkna figurens omkrets.

    20 En svensk flagga fr inte se ut hur som helst. En flagga med rtt mtt ser du hr intill.

    a) Berkna flaggans omkrets.b) Berkna omkretsen av det gula korset.

    5 dm 2 dm 9 dm

    4 dm

    2 dm

    4 dm

    Med omkrets menar man hur lngt det r runt om en figur.

    ExempelRkna ut rektangelns omkrets.

    Omkretsen = 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm = 10 cm

    Svar: Omkretsen r 10 cm. 3 cm

    2 cm

    En mnghrning

    r en figur som har flera hrn.

    Omkrets frkortas ofta med O. Hr r O = 10 cm.

    (cm)

    8

    5

    3

    2

    xy

    Parallella linjer kan

    aldrig mtas.

    ArbetsblAd 2:5

    B B

    84 852 geometri 2 geometri

  • B B

    Facit

    34 a) 8 cm2 b) 18 dm2c) 20 m2

    35 a) 44 m2 b) 28 cm2c) 24 dm2

    36 a) 32 cm2 b) 15 cm2

    37 a) 12 cm3 b) 24 cm3c) 27 cm3

    38 4 4 4

    39 a) 240 cm3 b) 140 dm3

    40 a) 60 dm3 b) 60 liter

    Facit

    28 a) bas 4 cm, hjd 2 cmb) bas 5 cm, hjd 3 cmc) bas 2 cm, hjd 4 cm

    29 a) 3 cm b) 2,7 cm c) 4 cm

    30 a) 5,5 dm b) 5 dm

    31 a) 6 cm2 b) 4,5 cm2c) 4 cm2

    32 a) 5 cm2 b) 7,5 cm2 c) 6 cm2

    33 44 dm2

    Kommentarer till uppgifter29 Det r viktigt att eleverna, som i den hr uppgiften,

    fr mta trianglar dr basen inte alltid r den sida som triangeln vilar p. Hr fr eleven p egen hand mta hjden vinkelrt mot den sida som man kallar fr bas. I arbetsblad 2:7 fi nns fl er liknande vningar dr eleven sjlv ska rita och mta en hjd mot en bas.

    30 Hr ska eleverna utg frn en bild, mta och anvnda skala fr att ta reda p varningstriangelns verkliga mtt. Begreppet skala tas upp frst i rskurs 9, men eleverna har arbetat med lngdskala p mellanstadiet s de br kunna lsa uppgiften.

    31 En del elever lr sig formeln fr triangelns area utan att ha frstelsen fr vad den innebr. Att utg frn en rektangel och visa att en triangel r en halv rek-tangel kan hjlpa eleverna att inse varfr man ska dividera med tv nr man rknar ut triangelns area.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:7 Triangel bas, hjd och area

    Aktiviteter

    2:6 Triangeln r en halv fyrhrning

    Repetition Repetition 9 fi nns p sidan 282.

    Kommentarer till uppgifter35 En del elever kan tycka att uppgiften r svr att

    tyda. Man ser inte vilka fi gurer som hela fi guren kan delas upp i. Hr kan eleven behva hjlp att avlsa i fi gurerna. 35 c) skiljer sig frn vriga uppgifter genom att man hr drar ifrn en yta istllet fr att lgga ihop ytor.

    37 Hr kan man lta de elever som behver anvnda centikuber fr att bygga rtblocken. Det gr det ven tydligare att det r volymsenheten kubikcenti-meter man anvnder.

    40 Att en liter r lika mycket som 1 dm3 r inte knt av alla elever. Konkretisera grna genom att visa ett mjlkpaket och en plastmodell av en kub som r 1 dm3. Anvnd ris, vatten eller liknande fr att visa att det r lika mycket.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:8 Sammansatta fi gurer

    2:10 Rtblockets volym

    Repetition Repetition 10 fi nns p sidan 283.

    84 852 GEOMETRI 2 GEOMETRI

    Sammansatta figurer

    Berkna arean av figurerna.

    34 a) (cm)32

    2

    b) (dm)

    24

    3 3

    c) (m)

    5

    3

    2

    35 a) (m)

    47

    8

    b) 5 2

    2

    3

    (cm) c) (cm)

    5

    6

    3

    2

    36 Mt i figuren och berkna arean.a)

    b)

    ExempelBerkna arean av figuren.

    Figuren bestr av en rektangel och en triangel.

    Rektangelns area: 5 cm 3 cm = 15 cm2

    Triangelns area: 3 cm 2 cm

    __________ 2 = 6 cm2

    ______ 2 = 3 cm2

    Svar: Hela figurens area r 15 cm2 + 3 cm2 = 18 cm2

    Rkna frst ut arean av varje

    del. Addera sedan areorna.

    Volym

    37 Hur stor volym har rtblocken? Varje liten kub r 1 cm3.a) b) c)

    38 Vilket uttryck visar hur man rknar ut volymen av en kub? Vlj i rutan.

    4 + 4 + 4 3 4 4 4 4

    39 Berkna volymen.a)

    8 cm5 cm

    6 cm

    b)

    7 dm4 dm

    5 dm

    40 Rkna ut akvariets volym. Svara i

    a) kubikdecimeterb) liter

    Varje liten kub har kantlngden 1 cm och volymen 1 cm3.

    P botten av rtblocket fr det plats

    4 2 = 8 kuber

    Det fr plats 3 rader ovanp varandra. Det fr plats 3 8 = 24 kuber i rtblocket.

    Rtblockets volym r allts: 4 2 3 = 24 cm3

    Basytan r 8 cm2.

    Hjden r 3 cm.

    3 dm5 dm

    4 dm

    1 dm3 r lika med 1 liter.

    4

    ArbetsblAd 2:8

    ArbetsblAd 2:10

    Alla mtt r i centimeter

    3

    5 2

    (cm) 3 cm

    2 cm4 cm

    4

    44

    B B

    90 912 geometri 2 geometri

    7 dm

    4 dm

    4 dm

    Hjder i trianglar

    28 Mt de markerade hjderna och baserna i trianglarna.

    a) b) c)

    29 Mt hjden mot den sida som r markerad som bas.a) b) c)

    30 Bilden r i skala 1:10. I verkligheten r varningstriangelns bas och hjd tio gnger lngre. Mt och berkna lngden av

    a) basenb) hjden

    En hjd i en triangel gr frn ett av hrnen vinkelrtt mot den sida som r mittemot hrnet. Den sidan kallas fr triangelns bas.

    hjd

    bas

    hjd

    bas

    hjd

    bas

    hjd

    bas

    bas

    hjd

    bas

    hjd

    bas

    bas

    bas

    En hjd kan ritas frn alla

    hrn i triangeln.

    Triangelns area

    31 Berkna arean av den frgade triangeln.a) b)

    3 cm

    3 cm

    c)

    32 Mt hjden och basen i trianglarna och berkna arean.a) b) c)

    33 Berkna drakens area.

    3 cm

    4 cm

    4 cm

    2 cm

    bas

    hjd

    bas

    hjdhj

    d

    bas

    En triangel r en halv rektangel. Arean av en triangel = basen hjden

    _____________ 2

    ExempelBerkna arean av de frgade trianglarna.

    Arean = b h

    ____ 2 = 6 cm 4 cm

    __________ 2 = 24 cm2

    _______ 2 = 12 cm2

    4 cm

    6 cm

    4 cm

    6 cm

    4 cm

    6 cm

    Svar: Bda trianglarna har arean 12 cm2.

    A = b h ____ 2

    Trianglarna har samma

    area.

    ArbetsblAd 2:7

    B B

    88 892 geometri 2 geometri

  • RB

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:11 Begrnsningsytans area

    ProblemlsningA Man kan brja med att rita en bild. En slutsats r d

    att det alltid ska vara en platta mer n antalet mellanrum.

    Uppgiften kan ven lsas genom att man prvar i tabell:

    Platta Mellanrum Totalt6 50 cm = = 300 cm

    5 25 cm = = 125 cm

    350 cm + 150 cm = = 425 cm

    7 50 cm = = 350 cm

    6 25 cm = = 150 cm

    350 cm + 150 cm = = 500 cm

    Svar: Leyla behver 7 plattor.

    I detta avsnitt fr eleverna bekanta sig med regelbundna mnghrningar och underska deras egenskaper. Ett annat namn fr mnghrning r det grekiska ordet polygon (poly = mnga och gon = hrn). Hr kan eleverna lra sig de grekiska namnen p ngra vanliga regelbund-na mnghrningar: tetragon, pentagon, hexagon, hepta-gon och oktagon. Prefi xen terkommer i nsta avsnitt i samband med de platonska kropparna och anvnds ven i organisk kemi dr de namnger olika kolvten efter antal kolatomer i molekylen; pentan, hexan, heptan osv.

    Kommentarer till uppgifter2, 3 Dessa uppgifter hr ihop och utmynnar i att elever-

    na ska kunna se ett samband mellan vinkelsumman och antalet hrn i en mnghrning.

    7 Hr fr eleverna bekanta sig med begreppet tessele-ra, underska om ngra olika mnghrningar tesse-lerar och fundera ver vad det beror p. Anledning-en till att vissa polygoner tesselerar r att vinkel-summan av de hrn som mts mste vara 360.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:12 Mnghrningar klippark

    Facit 1 A pentagon, B okta-

    gon, C hexagon, D heptagon, E tetragon (kvadrat)

    2 a) b) Vinkelsumman r

    180 i varje triangel.c) 360 d) 3 e) 540

    3 Namn Antal

    hrnVinkel-summa

    Triangel 3 180

    Fyr-hrning 4

    2 180 = = 360

    Fem-hrning 5

    3 180 = = 540

    Sex-hrning 6

    4 180 = = 720

    Sju-hrning 7

    5 180 = = 900

    tta-hrning 8

    6 180 = = 1 080

    4 a) 1 440b) Vinkelsumman =

    = 180 (antalet hrn i polygonen 2)

    v = 180(n 2) v = vinkelsumma,

    n = antal hrn i polygonen

    c) 17 640

    5 C, D och E

    6 a) b) en femuddig stjrna

    (ett pentagram)

    7 a) A, B, C och Db) Summan av vinklarna

    i hrnen mste vara 360.

    c) Nr oktagoner lggs intill varandra bildas ett kvadratiskt mellan-rum.

    Summan av vinklarna blir 135 + 135 + 90 = = 360

    Facit

    41 a) 24 cm2 b) 96 cm2c) 150 cm2

    42 40 cm2

    43 a) 62 dm2 b) 108 dm2c) 78 cm2

    B Vi frutstter att hagen ska ha formen av en rektangel. Om omkretsen r 12 m s r rektangelns lngd och bredd tillsammans 6 m.

    Prvning i tabell: Bredd Lngd Area1 m 5m 5 m2

    2 m 4 m 8 m2

    3 m 3 m 9 m2

    Svar: Bde lngd och bredd ska vara 3 m fr att arean ska bli s stor som mjligt. En kvadratisk hage ger den strsta ytan.

    Fler problem som kan lsas med strategin Prva i tabell fi nns p sidan 269.

    Resonemang och kommunikationA Andra rektanglar med arean 12 cm2 r:

    och

    B Andra rektanglar med omkretsen 14 cm frutom den som visas r:

    och

    Begreppvre cirkel: parallellogram, vnster cirkel: rektangel, hger cirkel: romb, nedre cirkel: kvadrat.

    5 cm

    2 cm6 cm

    1 cm

    6 cm

    2 cm12 cm

    1 cm

    82 GEOMETRI86 2 GEOMETRI

    5 I en regelbunden mnghrning r alla sidor lika lnga och alla vinklar lika stora. Vilka av figurerna r regelbundna mnghrningar?

    A B C D E

    6 En femhrning har vinkelsumman 540. I en regelbunden femhrning r varje vinkel

    540

    _____ 5 = 108

    a) Rita en regelbunden femhrning med sidan 5 cm. b) Dra alla diagonaler frn samtliga hrn i femhrningen.

    Vad kallas figuren som diagonalerna bildar?

    7 Man sger att kvadrater tessellerar. Det betyder att man kan tcka en ondligt stor yta med ett ondligt antal kvadrater utan att det blir ngot mellanrum mellan dem eller att de ligger ver varandra.

    a) Undersk vilka av figurerna hr nedanfr som tessellerar.A B C D E

    b) Frklara varfr en kvadrat tessellerar men inte en femhrning.

    c) Oktagonen tessellerar tillsammans med en kvadrat. Varfr r det s?

    Mer om mnghrningar

    1 Vilket grekiskt namn har de olika figurerna?A B C D E

    2 a) Rita frst en fyrhrning ungefr s stor som en halv sida i rknehftet. Rita sedan en diagonal i fyrhrningen. Nu har det bildats tv trianglar i fyrhrningen.

    b) Mt vinklarna i varje triangel och rkna ut varje triangels vinkelsumma.

    c) Rkna ut vinkelsumman i fyrhrningen.d) Rita en femhrning. Dra alla diagonaler frn ett hrn.

    Hur mnga trianglar har du delat in femhrningen i?

    e) Rkna ut vinkelsumman i femhrningen.

    3 Undersk hur stora vinkelsummorna r hos olika mnghrningar. Rita av och fyll i tabellen.

    4 a) Hur stor r vinkelsumman i en tiohrning?b) Beskriv sambandet mellan antalet hrn i en polygon och

    vinkelsumman i polygonen.

    c) Hur stor r vinkelsumman i en hundrahrning?

    Namn Antal hrn VinkelsummaTriangel 3 180Fyrhrning 4 2 180 = 360Femhrning 5

    678

    En mnghrning dr alla sidorna r lika lnga kallas en regelbunden mngrning. En regelbunden mnghrning har grekiska namn efter hur mnga hrn den har. Till exempel kallas en regelbunden femhrning fr pentagon eftersom penta betyder fem och gon betyder hrn.

    De regelbundna mnghr-ningarna har namn efter de grekiska rkneorden.fyrhrning tetragonfemhrning pentagonsexhrning hexagonsjuhrning heptagonttahrning oktagon

    Fem-hrningar tessellerar

    inte

    108 108

    108108

    108

    Tips! Rkna ut summan av vinklarna dr figurernas hrn mts.

    ArbetsblAd 2:12

    R R

    Rd kurs

    94 952 geometri 2 geometri

    Begrnsningsyta

    41 Berkna arean av kubernas begrnsningsyta.a)

    2 cm

    2 cm2 cm

    b)

    4 cm

    4 cm4 cm

    c) 5 cm

    5 cm

    5 cm

    42 S hr ser det ut nr man viker ut rtblockets sidoytor. Berkna arean av rtblockets begrnsningsyta.

    2 cm

    4 cm

    2 cm

    2 cm4 cm

    43 Berkna arean av rtblockens begrnsningsytor.a)

    5 dm

    3 dm2 dm

    b) 4 dm

    3 dm6 dm

    c)

    4 cm 1,5 cm

    6 cm

    En kub har 6 sidoytor. Varje sidoyta r en kvadrat. Nr man rknar ut begrnsningsytans storlek s adderar man arean av alla sidoytor.

    3 cm

    3 cm

    3 cm

    3 cm3 cm

    Varje kvadrat har arean: 3 cm 3 cm = 9 cm2

    All kvadrater tillsammans har arean 6 9 cm2 = 54 cm2

    ArbetsblAd 2:11

    A Leyla lgger en gng med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 50 cm. Det r 25 cm mellan varje platta. Gngen r 5 meter och ska brja och sluta med en platta. Hur mnga plattor behver hon?

    B Anna ska stta staket runt en kaninhage. Sidorna ska vara i hela meter. Staketet r 12 meter lngt. Hur lnga ska sidorna vara fr att arean ska bli s stor som mjligt? Ta hjlp av tabellen.

    Problemlsning

    Bredd Lngd Area1 m 5 m 5 m2

    Lisa sger att det bara finns en rektangel med arean 12 cm2.

    a) Visa med ett exempel att det finns flera rektanglar som har arean 12 cm2.

    b) Visa med exempel att det finns flera rektanglar med omkretsen 14 cm.

    Resonemang och kommunikation

    4 cm

    3 cm

    Rita av och gr klart begreppskartan genom att fylla i rtt begrepp i cirklarna.

    Begrepp

    kvadrat

    rektangel

    parallellogram

    romb

    som har parvis parallella sidor kallas

    som har rt vinkel i hrnen kallas

    som har lika lnga sidor kallas

    som har lika lnga sidor kallas

    som har rt vinkel i hrnen kallas

    Fyr- hrning

    ?

    ?

    ??

    Uppslaget

    932 geometri

    BB

    92 2 geometri

  • RR

    Facit 8

    Nam

    nFo

    rm p

    si

    doyt

    aSt

    orle

    k p

    vi

    nkla

    r hos

    si

    doyt

    an

    Ant

    al s

    ido-

    yt

    or s

    om

    bild

    ar h

    rn

    Vin

    kels

    umm

    a av

    si

    doyt

    orna

    som

    bi

    ldar

    hr

    n

    Tetr

    aede

    rTr

    iang

    el60

    3

    3 6

    0 =

    180

    Hex

    aede

    rKv

    adra

    t90

    3

    3 9

    0 =

    270

    Okt

    aede

    rTr

    iang

    el60

    4

    4 6

    0 =

    240

    Dod

    ekae

    -de

    rPe

    ntag

    on10

    83

    3 1

    08 =

    324

    Ikos

    aede

    rTr

    iang

    el60

    5

    5 6

    0 =

    300

    9 a) Summan av vinklarna blir 4 90 = 360. Det betyder att man fr en plan eller platt figur, som inte kan bli ngon tredimensionell kropp.

    b) Summan av vinklarna blir 6 60 = 360

    c) Summan av vinklarna blir 3 120 = 360

    10 Summan av vinklarna i ett hrn mste vara min-dre n 360. De fem pla-tonska kropparna r de enda som uppfyller det kravet.

    11 a) 2,5 cm2 b) 5,6 cm2c) 4,2 cm2

    12 a) och b)

    c)

    13 a) 0,13 m2 b) 0,10 m2c) 0,12 m2 d) 0,25 m2

    14 Trianglarna har gemen-sam bas (strckan BC) och hjderna r lika lnga.

    Hr fr eleverna mta och bekanta sig med de platonska kropparna. De r alla regelbundna polyedrar dvs. kropp-ar dr alla sidoytor r likadana regelbundna mnghr-ningar.

    Platon (430249 f.Kr.) var en grekisk filosof och lr-junge till Aristoteles. Han ansg att de styrande skulle gna sig t matematikstudier. Genom att tnka logiskt skulle de bli bttre ledare. Platon grundade en akademi som blev ett grekiskt matematikcentrum. Ovanfr Pla-tons Akademia stod skrivet: ATEMETRPHTO MHEI EIZIT, M ingen okunnig i geometri hr intrda (Ols-son, Matematiska nedslag i historien 1999).

    Tidigare har eleverna bara mtt trianglar dr hjden faller innanfr triangeln. I avsnittet Mer om area fr elev-erna lra sig att markera hjden i en trubbvinklig triangel och sedan berkna triangelns area.

    Kommentarer till uppgifter11 En del elever har svrt att se hur de ska markera hj-

    den utanfr triangeln. Betona vikten av att hjden mste vara vinkelrt mot den frlngda basen.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:13 A Platonska kroppar, klippark

    2:13 B Platonska kroppar, tabell

    2:14 Trubbvinkliga trianglar

    Detta uppslag r en utvidgning av omrdet volym. Hr fr eleverna mta prismats och parallellepipedens volym. I egentlig mening r det mnga kroppar som r prismor eftersom definitionen av en prisma r en kropp som har sidoytor som r parallellogrammer och en bas-yta som har formen av en polygon. Parallellepipeden r en prisma dr sidorna som str mot varandra r parallel-la. Sidoytorna r parallellogrammer.

    Kommentarer till uppgifter15 Bottenytan kan berknas med hjlp av Pythagoras

    sats, men eftersom eleverna nnu inte lrt sig den metoden s fr eleverna istllet rita, mta och gra en uppskattning.

    16 Hr kan en del elever missta sig p vilken av sidoytorna som r Tobleroneaskens basyta eftersom asken ligger ner.

    Facit 15 a)

    b) 16,5 cm2 ( 6 2,5 2,2 _______ 2 ) Mt i figur.

    c) 297 cm3

    16,5 18 = 297

    16 a) 3,9 cm2

    3 2,6

    ______ 2 = 3,9

    b) 64 cm2

    3,9 16,5 = 64,35

    17 a) 1 266 cm2 2(23 5) + 2(18,5 5) + + 2(23 18,5) = 1 266

    b) 156 cm2 (156,3)3(16,5 3) + 2 3,9 = = 156,3

    c) 303 cm2

    6(2,5 18) + 2 16,5 = = 303

    18 a) 27 cm3

    4,5 3

    ______ 2 4 = 27

    b) 55 cm3

    (4 2 5) + 5 3

    ____ 2 2 = 55

    19 a) 24 cm3 4 3 2 = 24

    b) 78 m3

    4 3 6,5 = 78c) 78,72 dm3 79 dm3

    6 4,1 3,2 = 78,72

    20 a) 8 b) 12 c) 6

    21 a) parallellogrammer, rektanglar och kvadra-ter

    b) 75 cm2

    2(2,5 2,5) + + 2(2,5 6) + + 2(2,5 6,5) = 75

    c) 37,5 cm3

    2,5 2,5 6 = 37,5

    88 892 geometri 2 geometri

    2,6 cm3 cm

    3 cm

    3 cm

    16,5 cm

    19 Berkna volymen av parallellepipederna.a)

    43

    2

    (cm) b) (m)

    46,5

    3

    c)

    6,04,1

    3,2

    (dm)

    Bilden visar en parallellepiped. Hur mnga 20 a) hrn har den

    b) kanter har denc) sidoytor har den

    21 a) Vilken form har sidoytorna?b) Berkna begrnsningsytans area.c) Berkna volymen.

    Mer om volym

    15 a) Rita av Drosteaskens bottenyta i rtt mtt.

    b) Uppskatta arean av bottenytan med hjlp av din figur.

    c) Uppskatta Drosteaskens volym.

    16 a) Berkna arean av bottenytan p Tobleroneasken.

    b) Berkna askens volym.

    17 Hur stor area har alla sidoytorna tillsammans p

    a) Alladinaskenb) Tobleroneaskenc) Drosteasken

    18 Berkna volymen p kropparna.a)

    43

    4,5

    (cm) b)5

    4

    3

    2

    (cm)

    Prismats volymEn kropp som har sidoytor som r rektanglar och en basyta som r en mnghrning kallas prisma.

    De hr frpackningarna r exempel p prismor.

    Basytan r en rektangel Basytan r en triangel Basytan r en sexhrning.

    Nr man berknar volymen av ett prisma s rknar man p samma stt som nr man rknar ut volymen av ett rtblock. Man rknar frst ut basytans area och multiplicerar sedan med hjden.

    Parallellepipedens volym

    En parallellepiped r en prisma dr sidoytor som str mot varandra r parallella.

    Vi berknar allts volymen av en parallellepiped p samma stt som ett rtblock.

    ExempelBerkna volymen av parallellepipederna.

    V = 5 cm 2 cm 4 cm = 40 cm3

    Svar: Bda parallellepipederna har volymen 40 cm3 eftersom de har samma basyta och hjd. 5 cm

    2 cm

    4 cm

    5 cm2 cm

    4 cm

    Volymen = Basytans area hjdenV = B h

    18,5 cm

    23 cm

    5 cm

    18 cm

    2,5 cm

    2,5 cm

    6,5

    2,52,5

    6

    (cm)

    Kropparna har samma volym. De har samma bottenyta och samma hjd.

    R R

    98 992 geometri 2 geometri

    Platonska kroppar

    8 Rita av tabellen och gr den klar.Namn Form p

    sidoytanStorlek p vinklarna hos sidoytan

    Antal sidoytor som bildar ett hrn

    Summan av vinklarna i hrnet

    Tetraeder Triangel 60 3 3 60 = 180HexaederOktaederDodekaeder 108Ikosaeder

    9 Frklara varfr det inte gr att gra en platonsk kropp a) dr fyra kvadrater mts i ett hrnb) dr sex liksidiga trianglar mts i ett hrnc) av regelbundna sexhrningar

    10 Ta hjlp av det du kommit fram till p den hr sidan och frklara varfr det endast kan finnas 5 platonska kroppar.

    Det hr r de fem platonska kropparna. I en platonsk kropp r sidoytorna likadana regelbundna mng- hrningar. De platonska kropparna har namn efter hur mnga sidoytor de har.

    tetraeder hexaeder oktaeder dodekaeder ikosaedertetra = 4 hexa = 6 okta = 8 dodeka = 12 ikosa = 20

    Ordet eder kommer frn det grekiska ordet heder och som betyder sidoyta. En tetraeder har allts fyra sidoytor.

    Mer om area

    11 Mt frst hjden mot den markerade basen. Berkna sedan arean.

    a) b) c)

    12 a) Rita triangeln i ditt rknehfte. Triangeln ska ha ungefr samma form som triangeln till hger, men rita den grna strre.

    b) Rita hjder frn alla tre hrnen.c) Berkna arean.

    13 Bilden visar flagga. Berkna arean av det

    a) bl fltet b) gula fltet c) vita fltetd) rda fltetSvara i kvadratmeter med tv decimaler.

    14 Frklara varfr de bda trianglarna ABC och BCD har samma area.

    I alla trianglar kan man rita tre hjder, en frn varje hrn. I spetsvinkliga trianglar r alla hjder innanfr triangeln. I en trubbvinklig triangel r tv hjder utanfr triangeln.

    Fr att kunna rita en hjd i den trubbvinkliga triangeln ABC mot sidan BC, mste basen frlngas s som figuren visar.

    A

    CB bas

    hjd

    bas

    bas

    bas

    3 sidoytor bildar ett hrn. Summan av

    vinklarna i hrnet r 3 60.

    ArbetsblAd 2:13A och 2:13b

    ArbetsblAd 2:14

    Pythagoreerna var ett sllskap som bildades av den grekiska matematikern Pythagoras. De platonska kropparna har ftt sitt namn frn den grekiska matematikern Platon. Fr Pythagoreerna symboliserade de platonska kropparna de fyra elementen jord, luft, eld, och vatten samt universum.

    Historik

    0,43 m 0,34 m 0,43 m

    0,2 m

    0,2 m

    0,2 m

    h1 h2

    h1 = h2

    A

    B C

    D

    R R

    96 972 geometri 2 geometri

  • 912 geometri

    RR

    90 2 geometri

    Mer om begrnsningsyta och volym 22 Vilka av figurerna r

    a) parallellepipederb) rtblockc) kuberd) pyramider

    23 Prismornas basyta r regelbundna mnghrningar. Berknaa) volymen av prismornab) arean av prismornas begrnsningsyta

    3,5 m

    2 m

    2,2 m

    B

    5 dm

    4,3 dm 5 dm

    C

    5 cm21,7 cm

    2,5 cm

    A

    24 Vilka mtt har en kub som har volymena) 1 dm3 b) 8 dm3 c) 64 dm3

    25 Tnk dig att du ska gra en frpackning som har volymen en liter. Frpackningen ska vara en parallellepiped och du vill att begrnsningsytan ska vara s liten som mjligt.

    a) Vilken form kommer din frpackning att ha? Vilken lngd, bredd och hjd kommer din frpackning att ha?

    b) Nr vi kper mjlk i frpackningar s har de inte en form som gr att det gr t s lite material som mjligt till frpackningen. Varfr r det s?

    A B C

    F

    D

    GE

    A Undersk vilken av figurerna som har strst area. Alla figurer har omkretsen 24 cm.

    En rektangel dr lngden r dubbelt s lng som bredden.

    En kvadrat.

    En liksidig triangel

    B Rkna ut vinklarna som r markerade med u och v.a) b)

    C Berkna volymen av prismat.

    Problemlsning, resonemang och kommunikation

    u v

    132

    32

    47 u

    v

    45

    30

    8

    6

    4

    4

    Rita av och gr klart begreppskartan genom att fylla i lnkord i rektangeln och begrepp i cirklarna.

    Begrepp

    kub ? ? ??

    dr alla sidoytor r rektanglar kallas? dr alla sidoytor r likadana r t.ex.

    Geome-trisk kropp

    ArbetsblAd 2:15

    5 dm

    Uppslaget

    1012 geometri

    RR

    100 2 geometri

    Syftet med avsnittet r att elevernas ska f praktisera de kunskaper de inhmtat frn tidigare avsnitt. Eleverna fr hr va mer p att berkna volym och begrsningsarea.

    Kommentarer till uppgifter24 Fr att ka frstelsen kan eleverna grna rita en

    skiss av kuberna och stta ut mtten.

    Extramaterial

    Arbetsblad

    2:15 Volym och begrnsningsarea

    Facit

    22 a) A, C, D, E, G b) A, C, E, Gc) A, Gd) B, F

    23 a) A 12,5 cm3 B 7,7 m3 C 54 dm3 (53,75)

    b) A 31,25 cm2 B 27,5 m2 C 96,5 dm3

    24 a) 1 dm 1 dm 1 dm b) 2 dm 2 dm 2 dmc) 4 dm 4 dm 4 dm

    25 a) En kub med sidan 1 dm ger den minsta begrnsningsytan.

    b) En kub r opraktisk att hantera, framfrallt att hlla ur. Den blir ven ganska ostadig nr den r fylld med vtska.

    Begrepp

    kub tetra- ederokta- eder

    dode-ka-

    ederrtblock

    dr alla sidoytor r rektanglar kallas

    dr alla sidoytor r kvadrater

    dr alla sidoytor r likadana r t.ex.

    Geome-trisk kropp

    Lsningsfrslag uppslaget

    A

    8 cm

    4 cm

    Rektangelns area: 4 cm 8 cm = 32 cm2.

    6 cm

    6 cm

    Kvadratens area: 6 cm 6 cm = 36 cm2.

    8 cm

    8 cm 8 cmh

    Uppmrksamma eleverna p att triangelns hjd mste vara vinkelrt mot basen. Rita och mt i figuren. Triangelns area

    r ungefr 8 cm 6,9 cm

    ____________ 2 27,7 cm2.

    Kvadraten har allts strst area och triangeln har minst area om omkretsen r lika.

    B a)

    u v

    132

    32

    47

    180 132 = 48

    v = 180 48 58 = 74

    180 90 32 = 58

    u = 180 47 48 = 75

    b)

    u

    v

    45

    30

    180 90 45 = 45

    180 45 90= 45

    u = 180 45 = 135

    180 135 = 45

    180 30 45 = 105

    v = 180 105 = 75

    C Bottenytan = 4 6 ____ 2 + 8 6

    _____ 2 = 12 + 24 = 36 cm2.

    Volymen = 36 cm2 4 cm = 144 cm3.

  • SS

    92 932 geometri 2 geometri

    1 En kvadrat med sidan 10 centimeter r snderklippt som bilden visar. Alla vinklar r rta. Berkna figurens omkrets.

    2 Hur mnga kvadrater gr det att hitta i figuren?

    3 Figuren r byggd av 7 st kuber med kantlngden 1 cm. Hur mnga kuber behvs ytterligare fr att bygga en kub med kantlngden 3 cm?

    4 Tre identiska trningar har limmats ihop som p bilden. Summan av prickarna p trningens motstende sidor r alltid 7. Vilken r summan av prickarna p de sidor som limmats ihop?

    5 En kub har kantlngden 1 meter. Kubens volym r 1 m3 och arean av begrnsningsytan r 6 m2.

    a) Kuben delas i 8 mindre kuber. Berkna volymen och arean av begrnsningsytan av en liten kub.

    b) Berkna volymen och arean av begrnsningsytan av alla smkuber tillsammans.

    c) Kuben delas i 64 mindre kuber. Berkna volymen och arean av begrnsningsytan av en liten kub.

    d) Berkna volymen och arean av begrnsningsytan av alla smkuber tillsammans.

    e) Vad blir resultatet om du upprepar delningen en gng till?

    6 En trdgrd har formen av en rektangel. P tomten finns en grsmatta med en gng runt. Gngen har lika stor area som grsmattan. Hur bred r gngen?

    7 En 2 km lng vg ska belggas med asfalt. Vgbanan, som r 7 meter bred ska tckas med ett 5 cm tjockt asfaltlager. Ungefr hur mnga lastbilslass asfalt behvs det till vgbelggningen om varje lastbil lastar 8 m3 asfalt?

    8 En rektangel r uppdelad i fem mindre rektanglar som p bilden. Omkretsen av var och en av de fyra bruna rektanglarna r 6, 11, 12 och 13 lngdenheter. Berkna omkretsen av den stora rektangeln.

    9 Du ska bygga en kub. Till din hjlp har du ett antal rtblock som har lngden 3 dm, bredden 2 dm och hjden 1 dm. Hur mnga rtblock gr det minst t fr att bygga kuben. Motivera ditt svar.

    1 dm2 dm

    3 dm

    10 a) I figuren r arean av rektangeln ABCD 72 cm2 och omrdet DFG 15 cm2.

    A E B

    H

    D G C5 4

    F

    (cm)

    Hur stor r arean av det vita omrdet? Motivera.

    b) Till vilka av figurens omrden finns det inte tillrckligt med information om fr att man ska kunna berkna deras area? Motivera.

    11 I triangeln har vi markerat tre yttervinklar. Summan av yttervinklarna r 360 grader. Varfr r det alltid s? Motivera ditt svar.

    12 Hur mnga diagonaler kan du som mest dra i ena) triangel b) fyrhrning c) femhrning d) sexhrning e) ttahrning f) hundrahrning

    24

    18

    10

    10

    (cm)

    S S

    Svarta sidorna

    102 1032 geometri 2 geometri

    Svarta sidornaDe svarta sidorna r avsedda fr de elever som r klara med rd kurs och som behver mer utmaningar. Hr mter eleverna uppgifter som kan ligga utanfr kapitlets egentliga innehll. Fr att underltta fr dig som lrare finns hr facit med lsningsfrslag till alla uppgifter.

    Kommentarer och lsningar till uppgifter

    1 40 centimeterSumman av de vgrta sidorna r 20 centimeter. Det gller ven summan av de lodrta sidorna.

    2 30 kvadrater16 st med sidan 1 lngdenhet (l.e.). 9 st med sidan 2 l.e. 4 st med sidan 3 l.e. 1 st med sidan 4 l.e. (Rita p mot-svarande stt en kvadrat med 10 l.e. Hur mnga kvadrater finns i en sdan? 385)

    3 20 kuberEn kub med kantngden 3 cm innehller 3 3 3 = 27 kuber. Eller: I versta och understa lagret sak-nas 8 kuber och i det mellersta saknas 4 kuber.

    4 Summan r 14Vi vet att summan av prickarna p sidorna p den mitters-ta trningen r 7. De tv yttersta trningarna ligger iden-tiskt s vi kan dra slutsatsen att de hoplimmade sidorna har 2 respektive 5 prickar.

    5 a) Volymen r 1 __ 8 m3 = 0,125 m3.

    Arean av begrnsningsytan r 1,5 m2 (6 0,5 0,5)b) Totala volymen r 1 m3. Totala arean av begrns-

    ningsytan r 12 m2 (8 1,5)

    c) Volymen r 1 ___ 64 m3 0,016 m3. Arean av begrnsnings-

    ytan r 0,375 m2 (6 0,25 0,25)d) Totala volymen r 1 m3. Totala arean av begrns-

    ningsytan r 24 m2 (64 0,375)e) Volymen av en liten kub r

    1 ____ 512 m

    3 0,00195 m3 1,95 dm3

    ( 1 __ 8 1

    __ 8 1

    __ 8 ) Arean av begrnsningsytan r 0,09375 m2 9,4 dm2

    (6 0, 125 0,125) Totala volymen r 1 m3. Totala arean av begrnsningsy-

    tan r 48 m2 (512 0,09375)

    6 3 meterGrsmattans area r 216 m2 ( 24 18 ______ 2 ) . Kortsidan av grsmattan mste vara mindre n 18 m och lngsidan mste vara mindre n 24 m. Prvning ger enda alternativet 18 m 12 m. Det ger bredden 3 m fr gngen.

    7 Ett tips till de elever som behver kan vara att gra enhets-byten innan de brjar med sina berkningar.Volymen av asfalten i m3 = 2 000 7 0,05 = 700 m3 88.

    Antal lass 700

    ____ 8 = 87,5.

    8 21 lngdenheterOmkretsen av den stora rektangeln r hlften av de fyra frgade sm rektanglarna och har lngden

    6 + 11 + 12 +13

    ______________ 2 = 21

    9 36 rtblockVolymen av ett byggblock r 6 dm3. Av sex rtblock kan man bygga en kvadratisk bottenplatta och sedan lgga sex sdana vningar ovanp varandra.

    10 a) 9 cm2Arean av ABCD r 72 cm2 och strckan DC r 9 cm. D r bde BC och AD 8 cm. Triangeln DFG har arean 15 cm2. D r hjden FG 6 cm. Strckan EF r 8 6 = 2 cm. Det vita omrdet kan delas upp i tv trianglar med basen 2 cm hjden 5 cm respektive 4 cm.

    Arean = 2 5

    ____ 2 + 2 4

    ____ 2 = 9 cm2

    b) Omrdena FHCG och EBH. Vi vet inte var punkten H r belgen mellan hrnen B och C.

    11 Varje yttervinkel bildar tillsammans med vinkeln i triang-eln en rak vinkel som r 180. Det betyder att det i de tre hrnen totalt finns 3 raka vinklar, 180 3 = 540. Eftersom triangelns vinkelsumma r 180 blir summan av yttervink-larna 540 180 = 360

    12 a) 0 b) 2 c) 5d) 9 e) 20f) 4 850 diagonaler

    Frn varje hrn kan man dra lika mnga diagonaler som antalet hrn minus 3. Man kan inte dra en diagonal till det egna hrnet och till de tv nrliggande hrnen. Man delar sedan med 2 eftersom varje diagonal annars rk-nas 2 gnger. Om antalet sidor r n kan man skriva

    antalet diagonaler som n(n 3)

    _______ 2 .

  • SS

    94 952 geometri 2 geometri

    SammanfattningSammanfattningen tar upp viktiga begrepp och metoder som behandlas i kapitlet. Den ger en bra verblick av kapitlet och r drfr en god hjlp fr eleverna nr de ska repetera.

    BegreppskartorEtt bra stt att repetera de begrepp och metoder som pre-senterats i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas reso-nemangsfrmga, r att lta eleverna arbeta med begreppskartor. Att arbeta med begreppskartor gr att eleverna blir uppmrksammade p sina egna kunskaper. I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns ett arbetsmaterial som underlttar elevernas arbete med begreppskartor.

    Begreppskarta 2:1 Trianglar

    Begreppskarta 2:2 Fyrhrningar

    Begreppskarta 2:3 Mnghrningar

    Begreppskarta 2:4 Area

    BedmningEfter ett kapitel kan det vara lmpligt att utvrdera hur vl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det r nskvart att eleverna fr visa sina kunskaper p olika satt.

    I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns fr-slag till kapitelprov p E- till A-niv, kapitelprov p E-ni-v och ven frslag till muntligt prov. Till proven finns dessutom bedmningsmallar och bedmningsmatriser.

    Till varje kapitel finns ocks en sjlvskattningsmatris dr eleven sjlv fr bedma sina kunskaper mot kapitlets lrandeml. Den kan hjlpa eleven att reflektera over sitt eget lrande men kan ocks ge dig som lrare en bild av elevens kunskapsniv.

    Att lta eleverna arbeta med begreppskartor kan, fr-utom att ge eleverna insikt om sitt eget lrande, aven fungera som ett stt fr eleverna att visa sina kunskaper.

    Mer om bedmning, prov och hur de kan anvndas finns att lsa om i lrarguidens inledande text.

    Sammanfattning

    S S

    MnghrningFigurer med tre eller flera hrn.

    Det hr r en femhrning.

    hrn

    sida

    diagonal

    VinklarEn rt vinkel

    markeras med en hake.

    Rt vinkel90

    Rak vinkel180, ett halvt varv

    Spetsig vinkelmindre n 90

    Trubbig vinkelstrre n 90

    Triangelns vinkelsummaEn triangels vinkelsumma r alltid 180

    Exempel180 40 35 = 180 75 = 105

    Vinkeln v = 105

    v

    40 35

    Olika dimensioner

    Lngd

    Bredd

    Hjd

    BreddLngdLngd

    En strcka r endimensionell. Enheten kan vara meter, m.

    En yta r tvdimensionell. Enheten kan vara kvadratmeter, m2.

    En kropp r tredimensionell. Enheten kan vara kubikmeter, m3.

    AreaStorleken av en ytaRektangelns area

    2 cm

    4 cmA = basen hjden = 4 cm 2 cm = 8 cm2

    Arean r 8 kvadratcentimeter

    Parallellogrammens area

    4 cm

    2 cm

    A = basen hjden = 4 cm 2 cm = 8 cm2

    Arean r 8 kvadratcentimeter

    Triangelns area

    4 cm

    2 cm

    A = basen hjden _____________ 2 = 4 cm 2 cm __________ 2 =

    8 cm2 _____ 2 =

    = 4 cm2

    Arean r 4 kvadratcentimeter

    Kroppar

    basyta

    hrn

    kant

    sidoyta

    PrismaBasytan r en mnghrning och sidoytorna r rektanglar.

    RtblockEtt prisma med en rektangel som basyta.

    KubEtt rtblock dr alla sidoytor r kvadratiska.

    PyramidSpetsig kropp med en mnghrning som basyta.

    Trianglar

    hjd

    basOliksidig triangelAlla sidor r olika lnga och alla vinklar r olika stora.

    Likbent triangelTv sidor r lika lnga och tv vinklar r lika stora.

    Liksidig triangelAlla sidor r lika lnga och alla vinklar r lika stora.

    Rtvinklig triangelEn vinkel r rt.

    BegrnsningsytaArean av rektangelns begrnsningsyta r

    2 4 cm 2 cm + 2 4 cm 3 cm + 2 3 cm 2 cm = = 2 8 cm2 + 2 12 cm2 + 2 6 cm2 = = 16 cm2 + 24 cm2 + 12 cm2 = 52 cm2

    3 cm

    2 cm

    4 cm4 cm 4 cm 3 cm

    3 cm 2 cm

    4 cm

    Fyrhrningar

    Parallelltrapets Parallellogram

    Romb Rektangel Kvadrat

    VolymStorleken av en kropp

    Volym = Basytan hjden

    V = B h = 3 cm 2 cm 4 cm = = 6 cm2 4 cm = 24 cm3

    Volymen r 24 kubikcentimeter.

    3 cm2 cm

    4 cm

    104 1052 geometri 2 geometri