Hamilton Sistemler Hamilton Systems

  • Published on
    19-Jul-2015

  • View
    350

  • Download
    4

Embed Size (px)

Transcript

HAMILTON S STEMLER

Gamze CABAR

Eyll 2006 DEN ZL

HAMILTON S STEMLERPamukkale niversitesi Fen Bilimleri Enstits Yksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dal

Gamze CABAR Danman: Y. Do. Dr. Mehmet TEKKOYUN

Eyll 2006 DEN ZL

iii

YKSEK L SANS TEZ ONAY FORMU

Gamze CABAR tarafndan Y. Do. Dr. Mehmet TEKKOYUN ynetiminde hazrlanan Hamilton Sistemler balkl tez tarafmzdan okunmu, kapsam ve nitelii asndan bir Yksek Lisans Tezi olarak kabul edilmitir.

Pamukkale niversitesi Fen Bilimleri Enstits Ynetim Kurulunun ...../...../2006 tarih ve ................ sayl kararyla onaylanmtr.

Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGL Mdr

iv TEEKKR

Bu almann hazrlanmasnda bana destek olan aileme, gerekli btn imkanlar salayarak benden her zaman yakn ilgi ve yardmlarn esirgemeyen deerli hocam Y. Do. Dr. Mehmet TEKKOYUNa , Fizik Blm retim yesi Sayn Y. Do. Dr. Muzaffer ADAKa ve tezin yazlmasnda emei geen Hseyin Alper BOZa teekkrlerimi sunmay bir bor bilirim. Gamze CABAR

v

Bu tezin tasarm, hazrlanmas, yrtlmesi, aratrmalarnn yaplmas ve bulgularnn analizlerinde bilimsel etie ve akademik kurallara zenle riayet edildiini; bu almann dorudan birincil rn olmayan bulgularn, verilerin ve materyallerin bilimsel etie uygun olarak kaynak gsterildiini ve alnt yaplan almalara atfedildiini beyan ederim. mza :

renci Ad Soyad: Gamze CABAR

vi

ZET HAMILTON S STEMLER Cabar, Gamze Yksek Lisans Tezi, Matematik ABD Tez Yneticisi: Y. Do. Dr. Mehmet TEKKOYUN Eyll 2006, 42 Sayfa Bu almada reel ve kompleks Hamilton sistemler incelendi. Bu balamda mekanik sistemlerden bahsedildi. Reel uzayda Lagrange ve Hamilton denklemleri ile ilgili rnekler ele alnd. Maple program yardmyla kompleks Lagrange ve Hamilton denklemlerine zgn rnekler verildi. Anahtar kelimeler: Hamilton fonksiyonu, Lagrange fonksiyonu, Hamilton denklemi, Lagrange denklemi

Y. Do. Dr. Mehmet Tekkoyun Y.Do. Dr. Muzaffer Adak Y. Do. Dr. Murat Sar

vii

ABSTRACT

HAMILTONIAN SYSTEMS Cabar, Gamze M. Sc. Thesis in Mathematics Supervisor: Y. Do. Dr. Mehmet TEKKOYUN September 2006, 42 Pages In this study real and complex Hamilton systems have been examined. Within the context mechanical systems have been mentioned. In real space, related examples on Lagrange and Hamilton equations have been dealt with. Original examples have also been given to the complex Lagrange and Hamilton equations with the help of Maple program. Keywords: Hamilton functions, Lagrange functions Hamilton equation Lagrange equation.

Assist. Prof. Dr. Mehmet Tekkoyun Assist. Prof. Dr. Muzaffer Adak Assist. Prof. Dr. Murat Sar

viii

NDEK LER

Sayfa Yksek Lisans Tezi Onay Formu..................................................................................iii Teekkr.........................................................................................................................iv Bilimsel Etik Sayfas.......................................................................................................v zet................................................................................................................................vi Abstract.........................................................................................................................vii indekiler....................................................................................................................viii ekiller Dizinix Tablolar Dizinix 1.Reel Hamilton Sistemler...1 1.1. Giri.................................................................................1 1.2. Lagrange fonksiyonu ve denklemleri..3 1.3. Hamilton fonksiyonu ve denklemleri..4 1.4 Uygulamalar.5 1.5 Sonu..28 2.Kompleks Hamilton sistemler29 2.1 Sonu..39 3.Sonu ve neriler...40 KAYNAKLAR..............................................................................................................41 ZGEM ......42

ix

EK LLER D Z N Sayfa ekil 1.1.1 Ktlesi m olan cisim ve zerine etki eden kuvvetler....6 ekil 1.2.1 Balant noktas yukarya doru sabit bir a ivmesi ile hareket eden basit sarka ....9 ekil1.3.1 Eik dzlemin yatayla asn yapt an as sabit bir sratle artrlyor.....12 ekil 1.4.1 Bir yayn ucuna m ktleli kk bir top aslarak oluturulan sarka. Kk topun hareketi srasnda hem hem de deiir...........16 ekil 1.5.1 Ask ipi sabit bir ekilde tavana tutturulmu, diskin en st noktasna balanan sarkacn salnmas srasnda farkl anlardaki grnm ....................................20 ekil 1.6.1 Eik dzlem zerinde yuvarlanan diskin merkezine aslm basit sarka. Sarka ipinin boyu hareket sresince deimiyor...24 ekil 2.1.1 Ktlesi m olan cisim ve zerine etki eden kuvvetler .30 ekil 2.2.1 Balant noktas yukarya doru sabit bir a ivmesi ile hareket eden basit sarka...35

x

TABLOLAR D Z N

Sayfa Tablo:3.1 Lagrange ve Hamilton fonksiyonlarnn kyaslanmas.......5

1 REEL HAM LTON S STEMLER 1.1 Giri Mekanik; gnlk hayatta karlatmz cisimlerin konumlarnn zamanla deimesi veya durum ve yaplarnn bozulmadan kalabilmesiyle ilgili problemleri inceler ve gnlk olaylar erevesinde olduka kesin sonular elde edilmesini salar. Ancak k hzna yakn hzlarda hareket eden sistemler iin rlativistik mekanik, ok kk uzaklk leklerindeki sistemler iin kuantum mekanii ve her iki zellie sahip sistemler iin de rlativistik kuantum alan teorisi kullanlmaktadr. Mekanik; kinematik, dinamik ve statik olmak zere ana blmden oluur (Zengin vd 1999). Kinematik: Cisimlerin konumlarnn zamanla deimesini yani hareketlerini ele alr. Harekete neden olan kuvvetlerle ilgilenmez ve bu ynyle dinamikten ayrlr. rnein, deniz yzeyinden h kadar ykseklikten atlan bir ta kinematiin konusudur. Dinamik: Cisimlerin konumlarnn deimesine yol aan nedenler bilindiinde cisimlerin hareketlerinin, zelliklerinin nasl bulunacan gsterir. rnek olarak, eik dzlem zerindeki bir bloun hareketi verilebilir. Statik: Cisimlerin durum ve yaplarnn bozulmadan kalabilmesi, dier bir ifadeyle, dengede olabilmeleri iin gerekli koullar saptar. Denge halindeki bir sistem ya hareketsizdir ya da sabit bir hzla hareket etmektedir. Bu durumda Newtonun nc yasasna gre, sistem zerine etki eden net kuvvet ve net tork sfrdr, tavana iple tutturulmu m ktleli basit sarka buna rnektir. ok iyi bilinen temel yasas zerine kurulan Mekanik; XIX. yzylda pek ok aratrmacnn katklaryla neredeyse kusursuz bir sistematik yapya kavuturulmutur. Newton yasalar zerine kurulan btn yap, bugn Klasik Mekanik veya Newton Mekanii olarak; XIX. yzylda gelitirilen sistematik yapysa Analitik Mekanik veya Analitik Dinamik olarak isimlendirilmektedir (Rzaolu 2002).

2 Newton denklemlerinin vektrel bir yapda olmas toplam kuvvetin bilinmesine gereksinim duyulmas en byk glktr. Bu nedenle daha yaln skaler byklklerin kullanld ve kuvvet vektrnn iinde dorudan yer almad, ilke ve yntemlerin bulunmasna allmtr. Bulunan ve zamanla daha da gelitirilen bu ilke ve yntemlerin tm bugn Analitik Dinamik olarak bilinmektedir. Analitik dinamiin verdii sonular Newton denklemlerinin verdii sonularn aynsdr. Analitik Dinamik; Lagrange ve Hamilton denklemlerinden olumaktadr. Lagrange yntemi mekaniin skaler byklkler kullanarak yeniden kurulmas asndan nemlidir. Lagrange yntemi mekanik problemlerin zmnde baarldr, ancak bu yntemin en byk nemi Hamiltonsal yntemlerin kna yol amasdr (Rzaolu 2002). Lagrange yntemi mekanik sistemlerin hareket denklemlerinin elde edilmesini sradan duruma getirir. Fakat bu denklemlerin zlmesinde sistematik bir yol gstermez. Hamilton yntemleriyle elde edilen denklemlerin dorudan zlebilmeleri asndan, Lagrange yntemiyle elde edilen denklemlere herhangi bir stnl yoktur. Hamilton denklemlerinin fizikteki nemi, kolay integre edilebilmelerini salayan yntemlerin gelitirilmesine ak olmalar ve mekaniin dnda rnein mikroskopik cisimlerin arasndan sratleri n sratiyle kyaslanamayacak kadar kk olan cisimlerin davranlarn aklayan Kuantum mekanii alannda da baaryla uygulanabilmesidir (Rzaolu 2002). Klasik Mekanik her problemin zmnde kullanlan bir yntem olmasa da gnmzde gkdelenlerden uaklara kadar pek ok sistemin yklmadan, paralanmadan kalabilmesi iin gerekli koullarn bulunmasnda, dnya etrafnda dolanan uydularn yerletirilmesinde, gezegenlere ve daha telere uzay gemilerinin gnderilmesinde kullanlan bilgiler arasnda Klasik Mekaniin verdii sonular nemli bir yer tutar. Bu nedenle Klasik Mekanik hayatmzda nemli bir yere sahiptir. Ayrca Klasik Mekanik matematik becerilerimizin ve fiziksel dnme yeteneimizin artmasnda da nemli rol oynar (Kibble 1999 ; Rzaolu 2002).

3 Kuantum mekaniinde ve klasik mekanikte ska rastlanan Hamilton Sistemler, uygulamal bilimlerde nemli bir yere sahiptir. Bu konuda literatrde olduka ok alma yaplmtr. Son zamanlarda yaplan almalar; Chang ve vd. (1981) HenonHeiles Hamiltonunun sonularn kompleks zaman dzleminde aratrmlardr. zer (1994) arpm-skalas metodunu eitli integrallenebilir sistemlerin (KdV, CKdV, integrallenebilir Klein-Gordon denklemleri) integrallenebilir NLS tip denklemlerini karmak iin uygulam, Henon-Heiles sistemi olarak aklad bu metodun sonlu boyutlu Hamilton sistemler iin uygulanabilir oldugunu gstermitir. Civelek (1996) geniletilmi vektr demetleri zerinde Lagrange ve Hamilton denklemlerinin dey ve tam liftlerini ele almtr. De Leon vd. (2001) klasik alan teorilerini gz nnde bulundurarak simplektik ve kosimplektik manifoldlar zerindeki Hamilton atsn geniletmilerdir. Tekkoyun (2002) Hamilton denklemlerini lift teoriyi kullanarak geniletmi Kahler manifoldlara genelletirmitir ve yksek mertebeden trevleri ieren Hamilton denklemlerinin geometrik zelliklerini sonularn vermitir. Zabzine (2005) genelletirilmi kompleks yap ile geniletilmi world-sheet spersimetrisi arasndaki ilikiyi aklayarak bu analizin sigma modellerinin geni snfnn faz uzay tanmna dayal olduunu belirtmitir. Bu almada ise; Tekkoyunun (2002) temellendirdii kompleks Lagrange ve Hamilton denklemlerine zgn uygulamalar verilecektir.

1.2 Lagrange Fonksiyonu