Il mistero dei numeri primi e la sicurezza in ?· dei Greci, ha un ruolo così importante nel sistema…

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    16-Feb-2019

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Il mistero dei numeri primi e la sicurezza informatica

Laura Listanti

Docente di matematica, Liceo scientifico Renato Donatelli, Terni

Premessa

Brian Butterworth, professore di neuropsicologia cognitiva allUniversity College di Londra e

autore del libro Intelligenza matematica, in esso cos si esprime: di tutte le facolt che ci hanno innalzato

dallo stato di cavernicoli e utilizzatori di strumenti in pietra a quello di edificatori di citt grandiose e della

scienza moderna, una delle pi importanti e anche una delle meno comprese quella di usare i numeri

[] forse, se troviamo cos difficile renderci conto di quanto siamo dipendenti dai numeri proprio perch

guardiamo il mondo inforcando lenti numeriche che non ci togliamo mai

In effetti i numeri influenzano quasi tutti gli aspetti pi tipicamente umani della nostra vita. Oggi

usiamo abitualmente i numeri in quasi ogni nostra attivit: per contare oggetti, per dire che ora , per fare

statistiche, per giocare dazzardo, per comprare, per vendere, per classificare beni e servizi, temperature e

quozienti di intelligenza sono espressi in valori numerici.

Ma, se i numeri sono importanti per la loro ovvia utilit, lo sono ancor pi per la maniera in cui essi

hanno foggiato il nostro modo di concepire il mondo.

Quello dei numeri il linguaggio con cui vengono formulate le teorie scientifiche, e tutti coloro che

si sono occupati di scienza, dallantichit a oggi, sono stati affascinati da essi, come si pu evincere dalle

seguenti citazioni, riportate in ordine cronologico.

Proclo (410-485 circa): Ovunque c il numero, c bellezza

Galileo Galilei(1564-1642): questo grandissimo libro (io dico luniverso) [] non si pu intendere

se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne quali scritto. Egli scritto in lingua

matematica.

Albert Einstein (1879-1955): [i numeri sono] la controparte simbolica delluniverso

Carl Friedrich Gauss (1777-1855): se la matematica la regina delle scienze, la teoria dei numeri

la regina della matematica

Piergiorgio Odifreddi, (1950): [la teoria dei numeri] forse la disciplina in cui le connessioni fra il

diacronico e il sincronico, il classico e il moderno, il concreto e lastratto tipiche della matematica

contemporanea si manifestano nella maniera pi spettacolare, anche se non la sola.

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I numeri primi

I numeri, cui ci si riferisce, sono i cosiddetti numeri naturali, quelli cio che servono per contare: 1,

2, 3, 4, Essi hanno, tra le altre, la singolare caratteristica per la quale, rispetto a una propriet, si dividono

in due classi: quelli che ne sono dotati e quelli che ne sono privi. Ad esempio, rispetto alla propriet di

essere pari, si dividono tra quelli che lo sono come 2, 4, 6, 8 ecc., e quelli che non lo sono, cio i dispari

come 1, 3, 5, 7 ecc. Rispetto alla propriet di essere un quadrato perfetto si dividono tra quelli che lo sono

come 1=12, 4=22, 9=32, 16=42, e quelli che non lo sono. Esistono molte altre ripartizioni, ma, di gran lunga

la pi importante, quella che li divide tra numeri che sono primi e quelli che non lo sono.

Un numero naturale si dice primo se diverso da 1 e non il prodotto di altri numeri naturali diversi

da s stesso e da uno, o anche se divisibile esattamente solo per 1 e per s stesso. Per esempio 5 un

numero primo perch non pu essere ottenuto come prodotto di fattori diversi da 1 e da 5, solo 1x5=5; 11

un numero primo perch solo 1x11=11; viceversa un numero che non primo si dice composto, ed esso

allora si pu esprimere come prodotto di due o pi numeri naturali diversi da 1 e da s stesso. Per esempio

15 non un numero primo, quindi composto, perch 15=3x5; 10 non primo perch 10=2x5.

Consideriamo 30, esso non primo perch 30=5x6, ma anche vero che 30= 3x10, come anche 30=2x15,

come anche 30=2x3x5, quindi potremo concludere che esistono diversi modi di esprimere 30 come

prodotto di numeri minori di 30 e diversi da 1 e da 30. Consideriamo 21, esso non primo perch 21=3x7,

e non esistono altri modi di esprimere 21 come prodotto di numeri minori di 21 e diversi da 1 e da 21.

Sembrerebbe esserci allora una diversit di comportamento tra i numeri composti, alcuni come 30

ammettono diverse scomposizioni in fattori, altri come 21 ne ammettono una sola. Non cos. Infatti

quando scriviamo 30=5x6, il fattore 5 primo, mentre 6 non primo, pertanto 6=2x3 e di conseguenza

30=5x2x3; quando scriviamo 30=3x10, il fattore 3 primo, mentre 10 non lo , e pertanto 10=2x5 e di

conseguenza 30=3x2x5; allo stesso modo, quando scriviamo 30=2x15, 2 primo, mentre 15=3x5 e di

conseguenza 30=2x3x5. In ogni caso si giunge allunica scomposizione: 30=2x3x5 in cui i fattori 2, 3 e 5

sono tutti primi, e, nella quale, pu essere cambiato solo lordine dei fattori, in base alla propriet

commutativa della moltiplicazione.

Concludendo, un numero naturale o primo o composto, e ogni numero composto si pu

esprimere in un solo modo come prodotto di numeri primi. Questultima affermazione, nota gi ai tempi

dei Greci, ha un ruolo cos importante nel sistema dei numeri, da meritare il nome di teorema fondamentale

dellaritmetica ed evidenzia il ruolo essenziale che assumono i numeri primi in tutto il sistema dei numeri.

Essi sono i veri e propri atomi dellaritmetica. Come ogni molecola esistente nel mondo fisico pu essere

costruita utilizzando gli atomi della tavola periodica degli elementi chimici, ogni intero che non sia primo

pu essere costruito moltiplicando questi elementi di base che sono i numeri primi, e che quindi sono la

tavola periodica del matematico.

Padroneggiare questi elementi di base offre al matematico la speranza di poter scoprire nuovi

metodi per costruire la mappa di un percorso che attraversi le smisurate complessit del mondo

matematico.

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Ma, a dispetto della loro natura fondamentale e della semplicit con cui sono formulati, essi sono

considerati gli oggetti di studio pi misteriosi, essendo generosi di moltissimi problemi di facile

formulazione ma molto difficili da risolvere.

Nonostante i numeri primi siano studiati da migliaia di anni, sono pi i problemi ancora aperti che

quelli risolti.

Si pu ben dire che il problema dei numeri primi costituisce lossessione per eccellenza della

comunit dei matematici. Quasi tutti, tra i pi grandi, hanno dedicato le loro ricerche alla teoria dei numeri.

Proviamo quindi a ripercorrere la trama di questa ossessione, attraverso i suoi risultati pi

significativi, per giungere alle applicazioni che essa trova oggi nella progettazione di quei sistemi che

garantiscono la riservatezza delle comunicazioni elettroniche.

Mi preme per prima sottolineare tre aspetti singolari che emergeranno da questo percorso.

Tutti i matematici che si sono occupati di teoria dei numeri, lo hanno fatto perch il suo studio ha

sempre avuto il fascino di una forma di pura contemplazione senza il peso di possibili conseguenze

pratiche, e proprio per questo, essa stata sempre considerata la vera matematica. Valgano, a questo

proposito le parole di Henri Poincar: lo scienziato non studia la Natura perch utile farlo; la studia

perch ne trae diletto, e ne trae diletto perch la Natura bella. Se non fosse bella, non varrebbe la pena di

conoscerla, e se non valesse la pena di conoscere la natura, la vita non sarebbe degna di essere vissuta, e

quelle di Godfrey H. Hardy: la vera matematica dei veri matematici, quella di Fermat, di Eulero, di

Gauss, di Abel e di Riemann, quasi totalmente inutile [] Non possibile giustificare la vita di nessun

vero matematico professionista sulla base dellutilit del suo lavoro.

Oggi invece i numeri primi sono diventati lo strumento fondamentale per il mondo del commercio

elettronico, che dipende interamente dalla loro comprensione. Questa che pu sembrare una

contraddizione, in realt non lo , in quanto ci che distingue la vera matematica non lutilit dei suoi

risultati, ma daltro canto, se essa tale, i suoi risultati dovranno, prima o poi, trovare utili applicazioni,

comunque vada. E la teoria dei numeri ne una prova.

Laltro aspetto che lattuale applicazione si fonda sulle scoperte relative ai numeri primi compiute

da Pierre Fermat nel XVII secolo, ma la sua validit dipende da un problema che non si stati ancora in

grado di risolvere.

Infine, solo con metodi non elementari stato possibile dimostrare molti dei teoremi sui numeri

primi, dove la parola elementare non significa facile, ma estraneo alla teoria di cui lenunciato del teorema

fa parte. La dimostrazione di un teorema di una certa teoria con metodi elementari, usando cio solo metodi

inerenti alla teoria stessa, pu essere, a volte molto pi complicata, se non impossibile. questo il caso per

esempio, come vedremo pi avanti, del teorema fondamentale sui numeri primi, che necessita del ricorso

alla funzione logaritmica, e dellultimo teorema di Fermat, dimostrato nel 1995, che fa ricorso a teorie di

matematica superiore.

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La distribuzione dei numeri primi

Una delle prime e pi naturali domande che ci si posti riguardo ai numeri primi stata quanti

sono?

La risposta fu