ILMU UKUR SUDUT DAN SEGITIGA (TRIGONOMETRI) ?· 4sin cos sin cos 2cos sin sin ... c. Hitunglah sudut-sudut…

  • Published on
    31-Mar-2019

  • View
    217

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

<p>1 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015 </p> <p>Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah </p> <p>Mengikuti Ujian Sekolah Pada Masa Awal Kemerdekaan </p> <p>UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS </p> <p>TAHUN 1947 </p> <p>ILMU UKUR SUDUT DAN SEGITIGA (TRIGONOMETRI) </p> <p>1. HBS Negeri Belanda (Nederland) 1947 </p> <p>Dari sebuah ABC diberikan ah s a . Buktikanlah </p> <p>a. 1 1 1</p> <p>cos 2cos cos2 2 2 </p> <p>b. 1 1</p> <p>tg tg 22 2 </p> <p>c. 1 1 1</p> <p>sin 2sin 45 sin 452 2 2 </p> <p>d. atau adalah sudut tumpul </p> <p>Bukti: </p> <p>a. ah s a </p> <p>sin1</p> <p>tan2</p> <p>rc </p> <p>1sin tan</p> <p>2c r </p> <p>1 1 1 1sin tan 4 sin sin sin</p> <p>2 2 2 2c R </p> <p>1sin</p> <p>1 1 122 sin sin 4 sin sin sin1 2 2 2</p> <p>cos2</p> <p>R R</p> <p>1 1 1sin sin 2cos sin sin</p> <p>2 2 2 </p> <p>1 1 1sin sin 2cos sin sin</p> <p>2 2 2 </p> <p>1 1 1 1 1 1 14sin cos sin cos 2cos sin sin</p> <p>2 2 2 2 2 2 2 </p> <p>1 1 1cos 2cos cos</p> <p>2 2 2 </p> <p> (qed) </p> <p>b. 180 </p> <p>1 1 190</p> <p>2 2 2 </p> <p>1 1 1cos 2cos cos</p> <p>2 2 2 </p> <p>2 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015 </p> <p>1 1 1 1 1cos 90 2cos cos</p> <p>2 2 2 2 2 </p> <p>1 1 1 1sin 2cos cos</p> <p>2 2 2 2 </p> <p>1 1 1 1 1 1sin cos cos sin 2cos cos</p> <p>2 2 2 2 2 2 </p> <p> 1 1</p> <p>tan tan 22 2 (qed) </p> <p>c. 180 </p> <p>1 1 190</p> <p>2 2 2 </p> <p>1 1tan tan 2</p> <p>2 2 </p> <p>1 1sin sin</p> <p>2 2 21 1</p> <p>cos cos2 2</p> <p>1 1 1 1sin cos cos sin</p> <p>2 2 2 2 21 1</p> <p>cos cos2 2</p> <p>1 1 1 1sin 2cos cos</p> <p>2 2 2 2 </p> <p>1 1 1 1 1 1sin cos cos</p> <p>2 2 2 2 2 2 </p> <p>1 1 1 1 1sin cos 90 cos</p> <p>2 2 2 2 2 </p> <p>1 1 1 1 1sin sin cos</p> <p>2 2 2 2 2 </p> <p>1 1 1 1 1sin cos 90 cos</p> <p>2 2 2 2 2 </p> <p>1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1sin 2sin 90 sin 90</p> <p>2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 </p> <p>1 1 1sin 2sin 45 sin 45</p> <p>2 2 2 </p> <p>(qed) </p> <p>d. Karena 180 dan 1 1 1</p> <p>sin 2sin 45 sin 452 2 2 </p> <p> , maka haruslah </p> <p>atau adalah sudut tumpul, sehingga </p> <p>1sin</p> <p>2 bernilai positif. </p> <p>2. HBS Negeri Belanda (Nederland) 1947 </p> <p>Pada garis alas AB dari ABC terletak sebuah titik D sehingga : :AD DB p q , 1ACD , dan </p> <p>2DCB . </p> <p>3 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015 </p> <p>a. Buktikanlah: 1</p> <p>2</p> <p>sin sin</p> <p>sin sin</p> <p>p</p> <p>q</p> <p> . </p> <p>b. Jika 1R dan 2R berturut-turut jari-jari lingkaran luar dari ACD dan BCD , buktikanlah </p> <p>bahwa 1 2:R R tidak bergantung pada letaknya D pada AB. Hitunglah sudut-sudut 1 dan 2 , </p> <p>jika : 1: 2p q , 70 , dan 36 . </p> <p>Solusi: </p> <p>a. Menurut Aturan Sinus: </p> <p>1sin sin</p> <p>CD p</p> <p>1</p> <p>sin</p> <p>sin</p> <p>pCD</p> <p> .... (1) </p> <p>2sin sin</p> <p>CD q</p> <p>2</p> <p>sin</p> <p>sin</p> <p>qCD</p> <p> .... (2) </p> <p>Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: </p> <p>1 2</p> <p>sin sin</p> <p>sin sin</p> <p>p q </p> <p> 1</p> <p>2</p> <p>sin sin</p> <p>sin sin</p> <p>p</p> <p>q</p> <p> (qed) </p> <p>b. Menurut Aturan Sinus: </p> <p>Pada ACD : 11</p> <p>2sin sin sin</p> <p>CD b pR</p> <p>ADC </p> <p> 12 sinCD R .... (1) </p> <p>Pada BCD : 22</p> <p>2sin sin sin</p> <p>CD a qR</p> <p>BDC </p> <p> 22 sinCD R .... (2) </p> <p>Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: </p> <p>1 22 sin 2 sinR R </p> <p>1 2: sin :sinR R </p> <p>Dari persamaan terakhir terlihat bahwa 1 2:R R tidak bergantung pada letaknya D pada AB. </p> <p>(qed) </p> <p>c. Hitunglah sudut-sudut 1 dan 2 , jika : 1: 2p q , 70 , dan 36 . </p> <p>1</p> <p>2</p> <p>sin sin</p> <p>sin sin</p> <p>p</p> <p>q</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>sin sin 700,7994</p> <p>sin 2sin36</p> <p> 2 2sin 74 0,7994sin </p> <p>2 2 20,9613cos 0,2756sin 0,7994sin </p> <p>2 20,9613cos 1,075sin </p> <p>2 2 2sin74 cos cos74 sin 0,7994sin </p> <p>1</p> <p>2</p> <p>A B D </p> <p>C </p> <p>a b </p> <p>p q </p> <p>4 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015 </p> <p>2</p> <p>0,9613tan 0,8942</p> <p>1,075 </p> <p>2 41 48' </p> <p>1 74 41 48' 32 12' 3. Gymnassium Negeri Belanda, 1947 </p> <p>Dalam sebuah ABC yang bersudut lancip AD dan BE adalah dua garis tinggi yang saling </p> <p>bertemu di H. Hitunglah sudut-sudut dari segitiga tersebut, jika diketahui bahwa 2CH DE </p> <p>dan 3</p> <p>cos2 cos24</p> <p> . </p> <p>Solusi: </p> <p>Pada AHF diperoleh 1 190H A .... (1) </p> <p>Pada ABD diperoleh 190B A .... (2) </p> <p>Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 1H B . </p> <p>Pada ACF diperoleh cos cosAE</p> <p>AE bb</p> <p> .... (3) </p> <p>Pada CHD diperoleh 2sinCD</p> <p>HCH</p> <p> , sehingga </p> <p>2</p> <p>cos 2 sin cos2 cos</p> <p>sin sin sin</p> <p>CD b RCH R</p> <p>H</p> <p>.... (5) </p> <p>Pada BHE diperoleh 90BHF FBH .... (6) </p> <p>Pada BAE diperoleh 90BAE FBH .... (7) </p> <p>Dari persamaan (6) dan (7) diperoleh BHF BAF . </p> <p> 2 2sin sin 2 cos sin cosCD</p> <p>H CD CH H R bCH</p> <p> .... (8)</p> <p> sin sin 2 cos sin cosCE</p> <p>EHC CE CH EHC R aCH</p> <p> .... (9) </p> <p> Menurut Aturan Kosinus pada CED : </p> <p> 2 2 2 2 cosDE CE CD CE CD </p> <p> 2 22 cos cos 2 cos cos cosDE a a a a </p> <p>2 2cos 2 cosDE a b ab 2cos c cosc </p> <p>Diketahui bahwa 2CH DE , sehingga </p> <p>2CH DE 2 cos 2 cosR c </p> <p>2 sinR c R </p> <p>1sin 30 150</p> <p>2 </p> <p>180 </p> <p>2 2 360 2 </p> <p>3cos2 cos2</p> <p>4 </p> <p> 3</p> <p>2cos2 cos22</p> <p>C </p> <p>A B </p> <p>D </p> <p>H </p> <p>1 </p> <p>1 </p> <p>2 E </p> <p>F </p> <p>5 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015 </p> <p> 3</p> <p>cos 2 2 cos 2 22</p> <p> 3</p> <p>cos 360 2 cos 2 22</p> <p> 3</p> <p>cos2 cos 2 22</p> <p> 3</p> <p>cos 2 2 cos22</p> <p> 3 3 3 1</p> <p>30 cos 2 2 cos2 30 cos60 12 2 2 2</p> <p> 2 2 0 </p> <p> 75 </p> <p> 3 3 3 1</p> <p>150 cos 2 2 cos2 150 cos300 12 2 2 2</p> <p> 2 2 0 </p> <p> 15 </p>