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Integrales Superficie

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Problemas resueltos

1. Calcule el rea de la porcin del paraboloide z = x2 + y2 que est comprendida entre los planos z = 0 y z = 1.

Solucin:

La interseccin del paraboloide con el plano z = 0 es el punto (0, 0) y con el plano z = 1 es la circunferencia x2 + y2 = 1. La regin limitada por la proyeccin de dicha circunferencia sobre el plano XY esD = {(x, y) R2 :x2 + y2 1 .

Podemos considerar la siguiente parametrizacin:

r(x, y) = (x, y, x2 + y2),(x, y) D.

De esta manera S = r(D), siendo S la superficie descrita en el enunciado. Su producto vectorial fundamental es:N (x, y) = (2x, 2y, 1),yIN (x, y)I = j4x2 + 4y2 + 1.

Problemas resueltos

La integral de superficie

El rea solicitada ser:r ra(S) =D

IN (x, y)Idxdy =

jr r 4x2 + 4y2 + 1 dxdy.D

Esta integral la haremos mediante un cambio de variable a coordenadas polares.

x = cos ly = sen

con

0 < 1 0 < < 2

yJT (, ) = > 0.

a(S) =

r r

j4x2 + 4y2 + 1 dxdy =

r 1 rr 2l

j42 + 1 d

d =

1Dr 1 22

3/2l

00

= 2

(48 3

+ 1)

=(506

5 1).

2. Parametrize la superficie plana cuyo borde es la curva( x2 + y2 = z2/2C :z = y + 1

Solucin:

La curva C es la interseccin del cono x2 + y2 = z2/2 con el plano z = y + 1 :

x2 + y2 = 1 (y + 1)2 = 1 (y2 + 2y + 1)

x2 + 1 y22y1 = 0

22

x2 +

2 2

(y1)2= 12

Es una elipse en el plano z = y + 1. Su proyeccin sobre el plano XY es2

la curva de ecuacin x2 + (y 1)2

= 1 (una elipse, tambin). Sea S la

superficie del plano z = y + 1 limitada por C; se puede parametrizar como

r(x, y) = (x, y, y + 1),(x, y) D =

((x, y) R2 :x2 +

(y 1)22

1 .

3. Calcule la integral

rx2z dS ,S

siendo S la superficie externa de x2 + y2 = a2 comprendida entre z = 2 yz = 2.

Solucin:

La superficie es un cilindro circular recto. Puesto que x2 + y2 = a2 y z est entre 2 y 2 consideraremos la siguiente parametrizacin:

x = a cos u

y = a senuz = v

r(u, v) = (a cos u, a senu, v), (u, v) D = [0, 2][2, 2]

Calculemos el producto vectorial fundamental:

r (u, v) = (a senu, a cos u, 0),r (u, v) = (0, 0, 1)uv

N (u, v) = r (u, v) r (u, v) =

ka senu a cos u0

= (a cos u, a senu, 0);

uv

001

rr rx2zdS =

IN I = a

a3v cos2 u dudv = a3

r 2 rr 2

lv cos2 u dv

du =

S

= a3

Dr 2

cos2 u

r v2 l2

02

du = 0.

02 2

4. Calcule el rea de la porcin de superficie cnica x2 + y2 = z2 situada por encima del plano z = 0 y limitada por la esfera x2 + y2 + z2 = 2ax.

Solucin:

Hemos de parametrizar la superficie de la cual hay que hallar el rea, esto es, la hoja superior (pues z 0) del cono x2 + y2 = z2. Como S es la grfica de la funcin z = jx2 + y2 = f (x, y) sobre la regin D (que queda definida porla interseccin del cono y la esfera)

x2 + y2 = z2lx2 + y2 + z2 = 2ax

2(x2

+ y2

2) = 2ax(x a )2

2+ y2 = a4

(2 D =(x, y) R2 : (x a )2 + y2 a24

entonces S = r(D) siendo r la parametrizacin:r(x, y) = (x, y, jx2 + y2),(x, y) D.

El producto vectorial fundamental es:

ff

( x

y \

N (x, y) = ( x (x, y), y (x, y), 1) =

jx2 + y2 , jx2 + y2 , 1,

IN (x, y)I = 2.

y el rea pedida vale:r r

r r

a2

a(S) =

IN (x, y)Idxdy =D

2 dxdy =D

2 (D) =2 4 .

5. Dado el recinto limitado por los planos z = y, z = 0 y el cilindro x2 + y2 = a2. Calcule el rea de la porcin de superficie cilndrica comprendida entre los dos planos.

Solucin:

En el cilindro x2 + y2 = a2 podemos tomar la parametrizacin:

x = a cos u

y = a senuz = v

r(u, v) = (a cos u, a senu, v),(u, v) D

siendo

D = {(u, v) R2 : 0 u , 0 v asenu

De esta manera S = r(D) es la mitad de la superficie que se describe en el enunciado porque slo consideramos la porcin del cilindro con z 0. Elproducto vectorial fundamental es (vase el problema 1)

N (u, v) = (a cos u, a senu, 0),IN I = a

y el rea de Sr ra(S) =D

adudv =

r (r a senu=

\adv

du =

r a2senudu = a2 cos u

= 2a2.

0000

Por tanto, el rea que nos piden, que es el doble que la de S, vale: 4a2.

6. Un flujo de fluido tiene como vector densidad de flujo

F (x, y, z) = x (2x + y) + z k.Designemos con S el hemisferio x2 + y2 + z2 = 1, z 0, siendo n la normal unitaria orientada hacia el exterior de la esfera. Calcule la masa de fluido que atraviesa S en la unidad de tiempo en el sentido de la normal n.

Solucin:

La masa de fluido que atraviesa la superficie en el sentido de la normal n es lar

integral

F n ds. Para calcularla parametrizamos la semiesfera:S

r(u, v) = (sen u cos v, sen u sen v, cos u),(u, v) [0, 2 ] [0, 2] = D

El producto vectorial fundamental es

k

N (u, v) =

cos u cos vcos u sen vsen u =

sen u sen vsen u cos v0

= (sen2u cos v, sen2u sen v, sen u cos u).

Para ver la orientacin de N podemos, por ejemplo, calcular dicho vector en algn punto concreto de la superficie y en todos los dems puntos la orientacin ser la misma. Veamos qu pasa en el punto (0, 1, 0), es decir, si tomamosu = v = : aqu es N ( , ) = (0, 1, 0) y es hacia el exterior de la esfera. La22 2parametrizacin que hemos considerado en este caso es la adecuada. As:

F (r(u, v)) N (u, v) == (sen u cos v, (2 cos v sen v) sen u, cos u) (sen2u cos v, sen2u sen v, sen u cos u) == sen3u cos2 v 2sen3u cos v sen v sen3u sen2v + cos2 u sen u == sen3u (cos 2v sen2v) + cos2 u sen u.

rF n dS =S

rF dS =S

r rF (r(u, v)) N (u, v) =D

2r rr 2=

l(sen3u (cos 2v sen2v) + cos2 u senu)dv

du =

00r (\

=2sen3u 1 rsen 2v + cos 2v 2 + 2 cos2 u senu

du =

020

r= 2

cos3 u l 23 0

2= 3 .

7. Calcule, aplicando el teorema de Stokes, la integral

r(y 1)dx + z2dy + ydz ,dondeC :C

( x2 + y2 = z2/2z = y + 1

Solucin:Sea F (x, y, z) = (y 1, z2, y), que es un campo vectorial de clase C1. Por el teorema de StokesrrF =rotF dSCS

siendo S = r(D) una superficie simple y regular cuyo borde C es la imagenr() de una curva de Jordan C1 a trozos orientada positivamente.

Sea S la superficie del plano z = y + 1 limitada por C; se puede parametrizar como (vease el problema 2)

r(x, y) = (x, y, y + 1),(x, y) D =

((x, y) R2 :x2 +

(y 1)22

1 .

rotF (x, y, z) = (1 2z, 0, 1);N (x, y) = (0, 1, 1)

As la integral de lnea que se pide vale:

rrF =rotF dS =CS

r r(1 2(y + 1), 0, 1).(0, 1, 1)dxdy =Dr r

2=dxdy = (D) = .D

8. Halle el flujo del campo F (x, y, z) = (x3, y3, z3) a travs de la super- ficie del cono x2 + y2 = z2, con 0 z H.

a) Directamente.

b) Aplicando el teorema de Gauss.

Solucin:

El flujo del campo se calcula mediante la integral de superficie de parametrizar el cono x2 + y2 = z2 , con 0 z H.

rF dS. HemosS

x = u cos vy = u sin v

r(u, v) = (u cos v, u sin v, u),(u, v) D

z = jx2 + y2 = u

siendo

D = {(u, v) R2 : 0 u H, 0 v 2

que es el crculo x2 + y2 H2 en el plano XY (en coordenadas polares).

N (u, v) =

k

= (u cos v, u sin v, u) cos vsin v1

u sin vu cos v0

rF dS =S

=

=

r r(u3 cos3 v, u3 sin3 v, u3).(u cos v, u sin v, u)dudv =Dr ru4( cos4 v sin4 v + 1)dudv =D

2r rr r=u4(2 sin2 v cos2 v)dudv =

u4 sin

2vdudv =

D1 r H (r 2=

\u4(1 cos 4v)dv

D

du =

21 r u5 lH

r. v

sin 4v l2=

4 00= 1 H5.10

45 040

b) Sea V el slido limitado por el cono y el plano z = H. La superficie cerrada que limita V es la unin, S S1, donde S1 es la superficie paramtrica quedescribe el crculo x2 + y2 = H2 en el plano z = H. Aplicando el teorema deGauss:

r r r

V

divF dxdydz =

rrF n dS +SS1

F n dS1

y podemos calcular la integral de superficie que nos piden como

rF n dS =S

r r r

V

rdivF dxdydz S1

F n dS1

siendo n la normal exterior.

divF = 3x2 + 3y2 + 3z2

r r rV

divF dxdydz = 3

r r r

V

(x2 + y2 + z2)dxdydz

Para calcular esta integral haremos un cambio a coordenadas cilndricas:

x = cos y = sen z = z

con

0 < H 0 < < 2 z H

(teniendo en cuenta que sobre el cono es z2 = x2 + y2 z = ). De donde:r r r

divF dxdydz =Vr H r 2 r H= 3

(2 + z2)dzdd = 6

r H r

3z + z

3 lH

d =

00

03

= 6

r H (

H3 + H

4 \

4

d =

303r42 4

3

5lH9

0= 6

H + H3 46

15

=H5.10

Nos falta calcular la integral de F sobre S1. Parametrizamos la superficie:r1(x, y) = (x, y, H),(x, y) Q = /(x, y) R2 : x2 + y2 H2 1 .

El producto vectorial fundamental es N (x, y) = (0, 0, 1) (normal exterior). Entonces:rF n dS =S1r rr r

=(x3, y3, H3).(0, 0, 1)dxdy = H3Q

dxdy = H3(Q) = H5.Q

De donde:rF n dS =S

r r r

V