INTEGRACIN “POR INTEGRACIN “POR PARTES”PARTES”PARTES”blog. Clculo de primitivas MATEMTICAS II 1 INTEGRACIN “POR INTEGRACIN “POR PARTES”PARTES”PARTES” 1) ∫∫∫∫xsenxdx

  • Published on
    06-Feb-2018

  • View
    222

  • Download
    6

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 1 </p><p>INTEGRACIN POR INTEGRACIN POR INTEGRACIN POR INTEGRACIN POR PARTESPARTESPARTESPARTES </p><p>1) x senxdx </p><p>Si derivamos x se simplifica y al integrar sen x no se complica la integral. Por tanto, tomamos: </p><p>u x du dx</p><p>dv sen xdx v senxdx cosx</p><p>= =</p><p>= = = </p><p>xsen xdx xcosx cosx dx xcosx senx C= + = + + </p><p>2) x arctgxdx </p><p>Tomamos: </p><p>2</p><p>dxu arctgx du</p><p>1 x</p><p>dv dx v dx x</p><p>= =+</p><p>= = = </p><p>( )22 2</p><p>x 1 2x 1arc tgx dx xarctgx dx xarctgx dx xarctgx ln 1 x C</p><p>2 21 x 1 x= = = + +</p><p>+ + </p><p>3) 4 xx e dx </p><p>Si derivamos x4 se simplifica y al integrar ex no se complica la integral. Por tanto, tomamos: </p><p>4 3u x du 4x dx= = x x xdv e dx v e dx e= = = </p><p>= 4 x 4 x 3 xx e dx x e 4 x e dx Volvemos a aplicar el mismo procedimiento: </p><p>3 2u x du 3x dx= = x x xdv e dx v e dx e= = = </p><p>= 3 x 3 x 2 xx e dx x e 3 x e dx Siguiendo el mismo razonamiento obtenemos: </p><p>= 2 x 2 x xx e dx x e 2 xe dx </p><p>= = + x x x x xxe dx xe e dx xe e C Por tanto, la integral quedara: </p><p>= + 2 x 2 x x xx e dx x e 2xe 2e = + 3 x 3 x 2 x xx e dx x e 3x e 6x 6e </p><p>= + + + 4 x 4 x 3 x 2 x x xx e dx x e 4x e 12x e 24xe 24e C </p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 2 </p><p>4) 2sen xdx </p><p>= =</p><p>= = = </p><p>u senx du cos xdx</p><p>dv sen xdx v senxdx cosx </p><p>= + = + = + 2 2 2 2sen xdx senxcosx cos xdx senxcosx (1 sen x)dx senxcosx x sen xdx = + 22 sen x dx senxcos x x = + 2</p><p>1 1sen xdx senxcosx x</p><p>2 2 </p><p>5) xlnxdx </p><p>Tomamos: </p><p>1u lnx du dx</p><p>x= = 21dv xdx v x dx x</p><p>2= = = </p><p>2 22 2 2 2 21 1 x 1 1 1 1 x 1 1xlnxdx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C</p><p>2 2 x 2 2 2 2 2 2 4= = = + = + </p><p>6) 2xx e dx </p><p>Tomamos: </p><p>u x du dx= = 2x 2x1dv e dx v e2</p><p>= = </p><p>2x 2x 2x 2x 2x 2x 2xx 1 x 1 x 1xe dx e e dx e 2e dx e e2 2 2 4 2 4</p><p>= = = </p><p>7) 3x cos xdx </p><p>Si derivamos x se simplifica y al integrar cos x no se complica la integral. Por tanto, tomamos: </p><p>= =</p><p>= = =</p><p>u x du dx</p><p>dv cosx dx v cos xdx senx </p><p>= = = + + 3xcosx dx 3 xcosx dx 3xsenx 3 senx dx 3xsenx 3cosx C </p><p>8) ln(2x 1)dx </p><p>Tomamos: </p><p>= =</p><p>= = =</p><p>2u ln(2x 1) du dx</p><p>2x 1</p><p>dv dx v dx x </p><p> = = + = + 2x 1 1</p><p>ln(2x 1)dx xln(2x 1) dx xln(2x 1) 1 dx x ln(2x 1) x ln(2x 1) C2x 1 2x 1 2</p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 3 </p><p>9) xx</p><p>dxe </p><p>Tomamos: </p><p>= =</p><p>= = = = x x</p><p>x x</p><p>u x du dx</p><p>1 1dv dx v e dx e</p><p>e e</p><p>= = + = + xx x x x x xx x x 1 x 1</p><p>dx e dx dx Ce e e e e e</p><p>10) arc tgxdx </p><p>Tomamos: </p><p>2</p><p>dxu arctgx du</p><p>1 x</p><p>dv dx v dx x</p><p>= =+</p><p>= = = </p><p>( )22 2</p><p>x 1 2x 1arc tgx dx xarctgx dx xarctgx dx xarctgx ln 1 x C</p><p>2 21 x 1 x= = = + +</p><p>+ + </p><p>11) arccos xdx </p><p>Tomamos: </p><p>= = </p><p>= = =</p><p>2</p><p>dxu arccosx du</p><p>1 x</p><p>dv dx v dx x</p><p>= + = = + </p><p>2</p><p>2 2</p><p>x 1 2xarccosx dx xarccos x dx xarccosx dx xarccosx 1 x C</p><p>21 x 1 x </p><p>12) 2x lnx dx </p><p>Tomamos: </p><p>= =</p><p>= = =2 2 3</p><p>1u lnx du dx</p><p>x1</p><p>dv x dx v x dx x3</p><p>= = = + = + 3 3</p><p>2 3 3 2 3 3 31 1 x 1 1 1 1 x 1 1x lnx dx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C3 3 x 3 3 3 3 3 3 9</p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 4 </p><p>13) 2x senxdx </p><p>Si derivamos x se simplifica y al integrar sen x no se complica la integral. Por tanto, tomamos: </p><p>= =</p><p>= = = </p><p>2u x du 2xdx</p><p>dv sen xdx v senxdx cosx </p><p>= + 2 2x senx dx x cos x 2 xcosx dx </p><p>Resolvemos la integral xcos xdx por partes. </p><p>Tomamos: </p><p>= =</p><p>= = =</p><p>u x du dx</p><p>dv cosx dx v cos xdx senx </p><p>= = + + xcos xdx xsenx senx dx xsenx cosx C </p><p>Por tanto: </p><p>= + + + 2 2x senx dx x cos x 2xsenx 2cosx C </p><p>14) 2 2xx e dx Tomamos: </p><p>= =</p><p>= =</p><p>2</p><p>2x 2x</p><p>u x du 2xdx</p><p>1dv e dx v e</p><p>2</p><p>= = 2 2</p><p>2 2x 2x 2x 2x 2xx 1 xx e dx e 2xe dx e xe dx2 2 2</p><p>Resolvemos la integral 2xxe dx por partes. Para ello, tomamos: </p><p>u x du dx= = 2x 2x1dv e dx v e2</p><p>= = </p><p>2x 2x 2x 2x 2x 2x 2xx 1 x 1 x 1xe dx e e dx e 2e dx e e2 2 2 4 2 4</p><p>= = = Por tanto: </p><p> = + + = + + </p><p> 2 2</p><p>2 2x 2x 2x 2x 2xx x 1 x x 1x e dx e e e C e C2 2 4 2 2 4</p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 5 </p><p>15) xe senxdx </p><p>Tomamos: </p><p>= =</p><p>= = = </p><p>x xu e du e dx</p><p>dv sen xdx v senxdx cosx </p><p>= + x x xe senxdx e cos x e cosxdx </p><p>Resolvemos la integral xe cosx dx por partes. Tomamos: </p><p>= =</p><p>= = =</p><p>x xu e du e dx</p><p>dv cosx dx v cos xdx senx </p><p>= x x xe cos xdx e senx e senxdx </p><p>Por tanto: </p><p>= + x x x xe sen xdx e cosx e sen x e senxdx = + x x x2 e senx dx e cos x e senx </p><p>( )= + + = + x x x x1 1 1</p><p>e senxdx e cos x e sen x C e sen x cosx C2 2 2</p><p>16) 2 x(x 1) e dx++++ </p><p> Tomamos: </p><p>= + = +</p><p>= = =</p><p>2</p><p>x x x</p><p>u (x 1) du 2(x 1)dx</p><p>dv e dx v e dx e </p><p>+ = + + 2 x 2 x x(x 1) e dx (x 1) e 2 (x 1)e dx </p><p>Resolvemos la integral + x(x 1)e dx por partes. Tomamos: </p><p>= + =</p><p>= = =x x x</p><p>u (x 1) du dx</p><p>dv e dx v e dx e </p><p>+ = + = + = x x x x x x(x 1)e dx (x 1)e e dx (x 1)e e xe Por tanto: </p><p>+ = + + = + + 2 x 2 x x 2 x(x 1) e dx (x 1) e 2xe C (x 1)e C </p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 6 </p><p>17) xx2 dx </p><p>Tomamos: </p><p>x x x</p><p>u x du dx</p><p>1dv 2 dx v 2 dx 2</p><p>ln2 </p><p>= =</p><p>= = = </p><p>( )x</p><p>x x x x2</p><p>x 1 x 2x2 dx 2 2 dx 2 C</p><p>ln2 ln2 ln2 ln2</p><p> = + = + </p><p>18) 3x senxdx 3 2u x du 3x dx</p><p>dv sen xdx v senxdx cosx</p><p>= =</p><p>= = = </p><p>3 3 2x senx dx x cosx 3 x cosx dx= + </p><p>Resolvemos la integral 2x cosxdx por partes. Tomamos: </p><p>2u x du 2xdx</p><p>dv cosx dx v cos xdx senx</p><p>= =</p><p>= = = </p><p>2 2x cosx dx x senx 2 xsenxdx= Tomamos: </p><p>u x du dx</p><p>dv sen xdx v senxdx cosx</p><p>= =</p><p>= = = </p><p>xsen xdx xcosx cosxdx xcos x senx= + = + </p><p>Por tanto: </p><p>2 2x cosxdx x senx 2xcosx 2senx= + </p><p>3 3 2x senx dx x cosx 3x senx 6xcos x 6senx C= + + + </p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 7 </p><p>19) xe cosx dx </p><p>Tomamos: </p><p>x xu e du e dx</p><p>dv cosx dx v cos xdx senx</p><p>= =</p><p>= = = </p><p>x x xe cos xdx e senx e senxdx= </p><p>Resolvemos la integral xe senxdx por partes. Tomamos: </p><p>x xu e du e dx</p><p>dv sen xdx v senxdx cosx</p><p>= =</p><p>= = = </p><p>x x xe senxdx e cos x e cosxdx= + </p><p>Por tanto: </p><p>x x x xe cos xdx e senx e cos x e cosx dx= + x x x2 e cosx dx e senx e cosx= + </p><p>( )x x1e cos xdx e senx cosx C2</p><p>= + + </p><p>20) 35 xx e dx </p><p>Tomamos: </p><p>3 3 3</p><p>3 2</p><p>2 x 2 x x</p><p>u x du 3x dx</p><p>1dv x e dx v x e dx e</p><p>3 </p><p>= =</p><p>= = = </p><p>( )3 3 3 3 3 35 x 3 x 2 x x x x 31 1 1 1x e dx x e x e dx e e C e x 1 C3 3 3 3</p><p> = + = + = + + </p><p>21) ln(x 3)dx </p><p>Tomamos: </p><p>( ) 1u ln x 3 du dxx 3</p><p>dv dx v x</p><p>= =</p><p>= = </p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 8 </p><p> x</p><p>ln(x 3)dx x ln x 3 dxx 3</p><p> = </p><p>Efectuando la divisin: </p><p>x 3dx 1 dx x 3ln x 3</p><p>x 3 x 3 = + = + </p><p>Por tanto: </p><p>ln(x 3)dx x ln x 3 x 3ln x 3 C (x 3)ln x 3 x C = + = + </p><p>22) ln x</p><p>dxx </p><p>Tomamos: </p><p>1 1 1u ln x du dx dx</p><p>2xx 2 x</p><p>1dv dx v 2 x</p><p>x</p><p>= = =</p><p>= = </p><p>ln x 2 x 1dx 2 x ln x dx 2 x ln x dx 2 x ln x 2 x C</p><p>2xx x= = = + </p><p>23) 2(lnx) dx </p><p>Tomamos: </p><p>2 1u (ln x) du 2ln x dxx</p><p>dv dx v x</p><p>= =</p><p>= = </p><p>2 2 2lnx(lnx) dx x(lnx) 2 x dx x(lnx) 2 lnxdxx</p><p>= = Tomamos: </p><p>1u lnx du dx</p><p>xdv dx v x</p><p>= =</p><p>= = </p><p>xlnxdx x ln x dx x ln x x</p><p>x= = </p><p>Por tanto: </p><p>2 2 2lnx(lnx) dx x(lnx) 2 x dx x(lnx) 2x lnx 2x Cx</p><p>= = + + </p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 9 </p><p>24) Encuentra una primitiva de la funcin f (x) = x2 sen x cuyo valor para x = sea 4. </p><p>La funcin que buscamos es F(x) = 2x senx dx tal que F() = 4. </p><p>Integramos por partes: </p><p>= =</p><p>= = = </p><p>2u x du 2xdx</p><p>dv sen xdx v senxdx cosx </p><p>= + 2 2x senx dx x cos x 2 xcosx dx </p><p>Resolvemos la integral xcos xdx por partes. </p><p>Tomamos: </p><p>= =</p><p>= = =</p><p>u x du dx</p><p>dv cosx dx v cos xdx senx </p><p>= = + + xcos xdx xsenx senx dx xsenx cosx C </p><p>Por tanto: </p><p>= + + + 2 2x senx dx x cos x 2xsenx 2cosx C </p><p>Como F() = 4, se verifica: </p><p>F() = 2 cos + 2sen + 2cos + C = 4 2 2 + C = 4 C = 6 2 </p><p>Luego la funcin es: </p><p>2 2F(x) x cosx 2xsenx 2cos x 6= + + + </p><p>25) Determina la funcin f (x) sabiendo que f(x) = x ln x, f(1) = 0 y f(e) =e4</p><p>. </p><p>f(x) = f(x)dx f(x) = x ln xdx </p><p>Tomamos: </p><p>2</p><p>1u lnx du dx</p><p>x1</p><p>dv xdx v x dx x2</p><p>= =</p><p>= = = </p><p>2 22 2 2 2 21 1 x 1 1 1 1 x 1 1xlnxdx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C</p><p>2 2 x 2 2 2 2 2 2 4= = = + = + </p><p>Como f(1) = 0 f(1) = 1 1 1</p><p>ln1 C C2 4 4</p><p> + = + = 0 C = 14</p></li><li><p>Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 10 </p><p>Por tanto: f(x) = 2 2 21 1 1 1 1 1</p><p>x lnx x x lnx2 4 4 2 2 4</p><p> + = + </p><p>f(x) = f(x)dx f(x) = 2 21 1 1 1 1 1x lnx dx x lnx dx x</p><p>2 2 4 2 2 4</p><p> + = + </p><p>Integramos por partes: </p><p>Tomamos: </p><p>2 3</p><p>1 1u lnx du dx</p><p>2 x1</p><p>dv x dx v x3</p><p>= =</p><p>= = </p><p>3 3 3 3 32 21 1 1 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 xx lnx dx ln x dx ln x x dx ln x C</p><p>2 2 2 2 3 2 3 x 6 2 6 6 2 18 = = = + </p><p>Por tanto: </p><p>f(x) = 3 3x 1 x x</p><p>lnx C6 2 18 4 + + </p><p>Como f(e) = e/4 f(e) = 3 3e 1 e e e</p><p>lne C6 2 18 4 4 + + = </p><p> 3 3e e</p><p>C 012 18</p><p> + = C = 3e</p><p>36 </p><p>f(x) = 3 3 3x 1 x x e</p><p>lnx6 2 18 4 36 + </p></li></ul>