Interval Oe Teste

  • View
    192

  • Download
    2

Embed Size (px)

Transcript

  • Monitora Juliana Dubinski

    LISTA DE INTERVALO DE CONFIANA E TESTE DE HIPTESES

    EXERCCIO 1 (INTERVALO DE CONFIANA PARA MDIA)

    Suponha que X represente a durao da vida de uma pea de equipamento. Admita-se que

    100 peas sejam ensaiadas, fornecendo uma durao de vida mdia de horas.

    Suponha-se que seja conhecido e igual a 4 horas, e que se deseje obter um intervalo de

    confianas de 95 por cento para a mdia .

    Soluo:

    Nesse caso, encontra-se o seguinte intervalo de confiana para :

    , temos

    Ento

    Portanto, os limites do intervalo de confiana so:

    LI= 501,2 0,784 = 500,41

    LS= 501,2 + 0,784 = 501,98

    OBS: Cabe uma observao. Ao afirmar que (500,41 ; 501,98) constitui um intervalo de

    confiana de 95% para , no estaremos dizendo que 95 % das vezes a mdia amostral cair

    naquele intervalo. A prxima vez que tirarmos uma amostra aleatria, presumivelmente ser

    diferente e, por isso, os extremos do intervalo de confiana sero diferentes. Estaremos

    afirmando que 95% das vezes, estar contido no intervalo.

    EXERCCIO 2 (INTERVALO DE CONFIANA PARA MDIA)

    Dez mensuraes so feitas para a resistncia de um certo tipo de fio, fornecendo os valores

    . Suponha-se que ohms e ohms. Vamos

    supor que X tenha distribuio e que desejemos obter um intervalo de confiana para

    , com coeficiente de confiana 0,90. Portanto, .

    Soluo:

    Das tbuas da distribuio t encontraremos que .

    Consequentemente o intervalo de confiana procurado ser:

  • Portanto os limites do intervalo so:

    LI = 10,48 0,8296 = 9,65

    LS = 10,48 + 0,8296 = 11,31

    EXERCCIO 3 (INTERVALO DE CONFIANA PARA DIFERENA DE MDIAS)

    Um processo industrial usa uma ferramenta fabricada de ao tipo A, da qual uma amostra de

    10 unidades apresentou vida mdia de 1400 horas e desvio-padro de 120 horas. A mesma

    ferramenta passou a ser fabricada com ao tipo B e um lote de 20 unidades apresentou vida

    mdia de 1200 horas e desvio-padro de 100 horas. Desde que o processo de fabricao da

    ferramenta no mudou, pode-se supor idnticos os desvios-padro das populaes de cada

    amostra. Determinar o intervalo de confiana a 95% para a diferena entre as mdias das

    populaes de ambos os tipos de ferramenta.

    Soluo:

    Tem-se .

    Para tipo A

    Para tipo B

    Portanto,

    Segundo a tabela da distribuio para e , .

    Calculam-se agora os limites,

  • Limites=

    Assim, para coeficiente de confiana 95%.

    EXERCCIO 4 (INTERVALO DE CONFIANA PARA DIFERENA DE MDIAS)

    Um engenheiro civil tenciona medir a fora compressiva de dois tipos de beto. De duas

    amostras aleatrias independentes de 10 elementos dos dois tipos resultaram:

    Tipo I 3250 3268 4302 3184 3266 3297 3332 3502 3064 3116

    Tipo I I 3094 3268 4302 3184 3266 3124 3316 3212 3380 3018

    Considerando que as amostras provm de populaes normais com desvio padro igual a 353

    e 363, respectivamente, determine um intervalo de conana de 95% para a diferena entre

    os valores esperados das duas populaes.

    Soluo:

    Tem-se .

    Para tipo A

    Para tipo B

    Portanto

  • Segundo a tabela da distribuio para e ,

    Calculam-se agora os limites,

    Limites=

    Assim, para coeficiente de confiana 95%.

  • EXERCCIO 5 (INTERVALO DE CONFIANA PARA PROPORO)

    Examinadas 500 peas de uma produo, encontrou-se 260 defeituosas. Construir um

    intervalo de confiana a 90 % para a verdadeira proporo de peas defeituosas.

    Soluo:

    Temos

    Assim, a proporo na amostra . O valor da abscissa pode ser obtido

    da tabela como sendo 1,645. Substituindo tais valores na frmula encontramos:

    E portanto,

    EXERCCIO 6 (INTERVALO DE CONFIANA PARA PROPORO)

    Um teste realizado com 280 pessoas consistia em adivinhar em qual das mos (ambas

    fechadas) do pesquisador estava uma moeda. Em 44% das tentativas a identificao foi correta

    da mo selecionada.

    Soluo:

    Temos

    Assim, a proporo na amostra . O valor da abcissa pode ser obtido da tabela

    como sendo 1,96. Substituindo tais valores na frmula encontramos:

    E portanto,

  • EXERCCIO 7 (INTERVALO DE CONFIANA PARA VARINCIA)

    O peso de componentes mecnicos produzidos por uma determinada empresa uma varivel

    aleatria que se supe ter distribuio Normal. Pretende-se estudar a variabilidade do peso

    dos referidos componentes. Para isso, uma amostra de tamanho 11 foi obtida,cujos valores em

    grama so:

    98 97 102 100 98 101 102 105 95 102 100

    Construa um intervalo de confiana para a varincia do peso, com um grau de confiana igual a

    95%.

    Soluo:

    Temos que , e

    Pela Tabela da Distribuio Qui-Quadrado com 10 graus de liberdade, temos que Q0,025 = 3,25 e

    Q0,975 = 20,48. Assim,

    EXERCCIO 8 (INTERVALO DE CONFIANA PARA VARINCIA)

    Em uma fbrica, uma amostra de 30 parafusos apresentou os seguintes dimetros (em mm):

    10 13 14 11 13 14 11 13 14 15

    12 14 15 13 14 12 12 11 15 16

    13 15 14 14 15 15 16 12 10 15

    Supondo que os dimetros sejam aproximadamente normais, obtenha um intervalo de

    conana para o dimetro mdio de todos os parafusos produzidos nessa fbrica, usando o

    nvel de signicncia de 2%. Para facilitar a soluo do exerccio, voc pode usar os seguintes

    resultados:

    Soluo:

  • Temos que, , . Agora basta calcular .

    Pela tabela Distribuio Qui-Quadrado com 29 graus de liberdade, temos que Q0,01 e

    Q0,99 . Assim,

    EXERCCIO 9 ( TESTE DE HIPTESE PARA MDIA COM VARINCIA CONHECIDA)

    Na indstria cermica, avalia-se sistematicamente a resistncia de amostras de massas

    cermicas, aps o processo de queima. Dessas avaliaes, sabe-se que certo tipo de massa

    tem resistncia mecnica aproximadamente normal, com mdia 53 MPa e varincia 16 MPa.

    Aps a troca de alguns fornecedores de matrias- primas, deseja-se verificar se houve

    alterao na qualidade. Uma amostra de 15 corpos de prova de massa cermica acusou mdia

    igual a 50 MPa. Qual a concluso ao nvel de significncia de 5 %?

    Soluo:

    Realizaremos um teste bilateral, porque antes de a amostra ser observada, no sabamos se a

    resistncia deveria ser maior ou menor que 53. Assim,

    Clculo da estatstica do teste:

    Soluo pela abordagem do p-valor: Usando a tabela normal padro, encontramos rea na

    cauda superior igual a 0,0019. Como o teste bilateral, a probabilidade de significncia o

    dobro deste valor ], que menor do que . Portanto, o

    teste rejeita .

  • Soluo pela abordagem clssica: Encontramos na tabela normal padro, o valor crtico

    . Como a amostra acusou o valor , o qual est na regio de rejeio, o

    teste rejeita .

    Concluso: Como consequncia do resultado de teste estatstico, h evidncia de reduo na

    resistncia mdia da massa cermica.

    EXERCCIO 10 (TESTE DE HIPTESE PARA MDIA COM VARINCIA DESCONHECIDA)

    O tempo para transmitir 10 MB em determinada rede de computadores varia segundo um

    modelo normal, com mdia 7,4 seg e varincia 1,3 seg. Depois de algumas mudanas na rede

    acredita-se numa reduo no tempo de transmisso de dados, alm de uma possvel alterao

    na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB e

    foram anotados os tempos de transmisso, em segundos:

    6,8 7,1 5,9 7,5 6,3 6,9 7,2 7,6 6,6 6,3

    Existe evidncia suficiente de que o tempo mdio de transmisso foi reduzido? Use nvel de

    significncia de 1%.

    Soluo:

    As hipteses so:

    Considerando que a variabilidade possa ter sido alterada, vamos usar a varincia da amostra.

    Fazendo os clculos com as 10 observaes, temos: e . E o clculo da

    estatstica do teste:

    Temos . Como a tabela fornece reas na cauda superior e a distribuio

    simtrica, usaremos o valor absoluto de , ou seja, .

    Soluo pela abordagem do valor p: Atravs da com

    , demos encontrar o valor p. O valor aponta para uma rea na

    cauda superior entre 0,0025 e 0,005. Como o teste unilateral, essa rea o prprio valor p,

    isto , . E como , o teste rejeita em favor de

    Soluo pela abordagem clssica: O teste unilateral e foi adotado o nvel de significncia

    . Assim, encontraremos na tabela da distribuio , o valor crtico . Como a

  • amsotra acusou , o qual est na regio de rejeio, o teste rejeita em favor de

    .

  • EXERCCIO 11 (TESTE DE HIPTESE PARA DIFERENA DE MDIAS)

    As resistncias de dois tipos de concreto, que segue o modelo normal, foram medidas,

    mostrando os resultados da tabela. Fixado um nvel de significncia de 10%, existem

    evidncias de que o concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y?

    TIPO X 54 55 58 50 61

    TIPO Y 51 54 55 52 53

    Soluo:

    Os dados obtidos da tabela so:

    Formulando as hipteses, tem-se:

    A estatstica do teste :

    Com , compara-se o valor calculado com o tabelado pela

    a um nvel de significncia de 10%, temos esse valor igual a E com esse

    resultado aceita-se a hiptese nula.

    Concluso: Com estas amostras, ao nvel de 10% de significncia, no possvel afirmar que

    o concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y.

  • EXERCCIO 12 (TESTE DE HIPTESE PARA DIFERENA DE MDIAS)

    Desejamos verificar se os catalisadores A e B tm efeitos diferentes no rendimento de carta

    reao qumica. Foram realizados dez ensaios com cada catalisador,