INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MULTIDIMENSIONAL ?· INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MULTIDIMENSIONAL NO-METRICO…

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    16-Jul-2018

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  • INTRODUCCIN AL ANLISISMULTIDIMENSIONAL NO-METRICO

    Juan Javier Snchez Carrin

    1. Introduccin

    El modelo de las escalas multidimensionales que vamos a considerar esuna extensin de las ideas subyacentes a los modelos de escalas unidimensio-nales, aplicable a aquellos casos en que la variabilidad de los estmulos anali-zados (por ejemplo, los coches, detergentes, naciones, etc., que juzgan losentrevistados) se produce respecto de varias dimensiones.

    Dado un nmero de estmulos que difieren respecto de una serie depropiedades o dimensiones se trata de ver cul es el nmero mnimo de estasdimensiones que permite explicar la variabilidad de los estmulos y cules sonsus coordenadas (parmetros-) en esas mismas dimensiones. A diferencia de lasescalas unidimensionales, que permiten observar las propiedades de los estmu-los slo en relacin a un valor numrico, susceptible de variar a lo largo deun continuo, el anlisis multidimensional permite analizar la complejidad delos estmulos mediante su representacin en un espacio de dos, tres o msdimensiones.

    En el espacio multidimensional los estmulos estn representados por pun-tos, correspondiendo su posicin al grado o cantidad de atributo complejo

    RS29/65 pp. 167-210

  • JUAN JAVIER SNCHEZ CARRION

    que aqullos posean1; mientras que la distancia entre dos estmulos (entredos puntos en el espacio) est en funcin de su grado de (di)similaridad:cuanto ms semejantes sean, ms prximos estarn en el espacio.

    El inters del anlisis multidimensional no-mtrico, frente al mtrico, ra-dica en el hecho de que en el primero slo es necesario hacer supuestos no-mtricos sobre la naturaleza de los datos (se asume que son de nivel ordinal:el orden de (di)similaridad entre los estmulos),-mientras que en la solucindel anlisis (las distancias entre los estmulos en un espacio r dimensional)se recupera la informacin mtrica subyacente a los mismos. Esto es posible,tal como sealan Coxon y Jones (1984), debido al avance tcnico que supusola demostracin hecha por Shepard de que las constricciones meramente nomtricas (esto es, informacin ordinal en los datos), si se imponen en nmerosuficiente ponen lmites muy estrechos a las posibles soluciones del anlisis(en este contexto se entiende por solucin la proyeccin de los estmulos enun nmero de ejes de referencia: por ejemplo, las latitudes y longitudes delos puntos). Tan rgidos son los lmites impuestos en la solucin por las cons-tricciones ordinales que es posible identificar la mejor solucin mtrica (lasproyecciones de los estmulos en los ejes de referencia definidos a un nivelde intervalos iguales de medida) para datos meramente ordinales. Dada ladificultad de encontrar en las ciencias sociales datos de tipo interval o mtri-co y el inters de las soluciones de esta naturaleza, la bondad del mtodoqueda justificada.

    Segn los diferentes modelos de escalas multidimensionales no-mtricas elproceso de medicin difiere. En el modelo bsico, que es el que vamos a ex-plicar en este artculo, la variabilidad que se observa en las respuestas de losentrevistados a la hora de evaluar los estmulos se adscribe a la propia varia-bilidad de los estmulos 2. Slo se miden los estmulos, tratando de lograrque sea en el menor nmero posible de dimensiones. Se desprecia la singula-ridad de las respuestas de cada uno de los entrevistados y se calcula una eva-luacin media para el conjunto.

    En el anlisis de las diferencias individuales y en el anlisis de las prefe-rencias individuales las diferencias que hay en las respuestas de los entrevista-dos tambin se tienen en cuenta, considerando que no slo hay variabilidad enlos estmulos sino tambin en su percepcin por parte de los sujetos, por lo

    1 Algunos atributos o propiedades de los estmulos son unidimensionales, tales el caso de la longitud, la temperatura o el peso, mientras que otros son multi-dimensionales, valga como ejemplo la posicin espacial o el color. La posicinespacial viene determinada por la longitud y la latitud, o la abcisa y la orde-nada, suponiendo un espacio de dos dimensiones; el color viene definido por elbrillo y la saturacin. A estos segundos atributos son a los que nos referimos alhablar de atributos complejos. Para una definicin ms exhaustiva de los con-ceptos estmulo, atributo, dimensin, etc., vase TORGENSON (1958, pp. 247 y ss.).

    2 Los entrevistados podran decir que Espaa y Mxico son dos pases mssemejantes que Espaa y Japn; es decir, que respecto de alguna(s) propiedad(es)o caracterstica(s) de los pases los tres aparecen como diferentes a los ojos delos entrevistados.

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    que ambos (estmulos y sujetos) son objetos de medicin3. En el primer caso(las diferencias individuales) vemos cmo perciben los mismos estmulos dife-rentes sujetos; y en el segundo (anlisis de las preferencias) se estudia culesson las preferencias, frente a un grupo de estmulos, de cada uno de los entre-vistados (vase una ilustracin de ambos modelos en Coxon y Jones, 1984).

    Al margen de las diferencias mencionadas, tal como seala Shepard (1972,pgina 1), las diversas tcnicas de escalas multidimensionales coinciden en que

    a) pretenden mostrar cualquier estructura subyacente a una matriz dedatos, y

    b) tratan de representar esta estructura de forma que sea mucho ms ac-cesible al ojo humano, especialmente en forma de figura geomtrica.

    En el resto de este artculo vamos a desarrollar un ejemplo original si-guiendo en parte la exposicin de Rabinowitz (1975), que permitir ilustrarel fundamento del anlisis multidimensional no mtrico. Explicaremos el mo-delo analtico bsico y abordaremos los problemas que se plantean a la horade interpretar los resultados del anlisis.

    2. Ejemplo ilustrativo

    Supongamos que estamos interesados en conocer la imagen de cinco pa-ses: Egipto, Espaa, Japn, Mxico y Polonia. Obtendramos una informa-cin de inters si pidiramos a los entrevistados que clasificaran a los pasespor parejas, en funcin del grado de semejanza que vieran en ellos. Si el en-trevistado organiza su imagen de los pases segn un criterio de ricos y pobres,podemos esperar que perciba como ms semejantes a los pases de igual renta;si ve los pases segn un criterio de pertenencia a los bloques, igualmentepodemos esperar que site ms prximos los pases que pertenecen a unmismo bloque; y as podra ocurrir con cada una de las dimensiones que elindividuo en cuestin juzgara pertinentes a la hora de clasificar a los pases,influyendo todas ellas en su clasificacin (ordenacin) de los pases.

    Con el fin de proceder a la clasificacin pedimos a los entrevistados quepunten en una escala de 0 a 100 cada pareja posible de pases, entendiendoque dos pases totalmente iguales recibirn la puntacin mnima, mientras queel 100 se reserva para aquella pareja de pases totalmente diferentes. Presen-

    3 El mismo grupo de la nota anterior podra decir que Espaa y Mxico sondos pases ms semejantes que Espaa y Japn, en parte porque los pases son"objetivamente" diferentes, pero tambin en parte porque ellos tienen una visin"particular" de los mismos, con lo cual habra que medir las variabilidades delos estmulos y de los sujetos. Por lo tanto, no basta con hacer una evaluacinmedia de las puntuaciones que dan los entrevistados, sino que hay que conside-rar las respuestas individuales o por grupos homogneos.

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    tamos los resultados obtenidos en forma de matriz triangular, puesto queesta misma matriz ser la que sirva de input para el anlisis de los datosmediante ordenador (tabla 1).

    TABLA 1

    Matriz de datos. Cada nmero es la media de los valores asignadospor los entrevistados a cada pareja

    Egipto Espaa Japn Mxico Polonia1 2 3 4 5

    -H 1 1 1 1

    EgiptoEspaa

    Japn

    Mxico

    Polonia

    1 -

    2 -

    3 -

    4 -

    5 -

    70

    - 95

    - 40

    - 75

    89

    50

    80

    80

    90 70

    Segn estos datos, Egipto y Mxico son los pases ms semejantes, mien-tras que Japn y Egipto son los ms diferentes; entre medias quedan las ochorestantes parejas. De la informacin contenida en la matriz slo vamos aretener la ordenacin de las parejas de pases, olvidndonos de las diferenciasnumricas entre ellas.

    La ordenacin de pases por parejas nos dice poco sobre su clasificaciny los criterios subyacentes a esta clasificacin. Sin embargo, si utilizamos estaordenacin para representar los cinco pases en un espacio, la estructurasubyacente a la percepcin de los pases por parte de los individuos quedarams clara. Esta representacin tendra en cuenta la similaridad de los pasesen orden a su colocacin: cuanto ms similares sean dos naciones ms prxi-mas estarn en el espacio, y su localizacin vendr dada por una serie de pa-rmetros tantos como dimensiones tuviera el espacio representacional.

    Segn estos criterios, es posible construir una escala con tales datossobre una sola dimensin? Habra que colocar los nombres de los pases en uncontinuo, respetando el principio de que cuanto ms similares sean dos pa-ses, ms prximos estarn en el espacio.

    Como los pases ms diferentes son Japn y Egipto, stos estarn en losextremos de la escala. A continuacin colocaramos el par ms similar, Mxico-Egipto; por tanto, ambos debern de aparecer uno junto a otro en la escala(vase grfico 1). Consideremos ahora la colocacin del punto correspondientea Espaa: nuestro pas aparece como ms semejante a Mxico y Egipto, por

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    este orden; por tanto, colocndolo en el lugar en que aparece en el grfico 1satisface esta condicin y al mismo tiempo se mantiene que Mxico y Egiptosean los pases ms prximos de todos.

    GRFICO 1

    Representacin de los puntos en una dimensin

    Egipto Mxico Espaa1 4 2

    -H 1 1

    Japn

    3

    p3 p, p>

    Hasta ahora vemos que los cuatro primeros puntos se pueden colocar enun eje (una sola dimensin). Veamos qu pasa cuando intentamos sita aPolonia. Este pas aparece como ms cercano a Mxico, por ello habr quecolocarlo ms cerca de Mxico que de ningn otro pas. Supongamos que locolocamos en P\. En esta situacin cumple la condicin mencionada perorompe la condicin de que Mxico y Egipto sean los dos pases ms seme-jantes, ya que ahora la distancia que les separa es mayor que la existenteentre Mxico y P\. Si lo colocamos en P2 se respeta la condicin de que Egip-to y Mxico sean los pases ms semejantes pero se incumple la condicin deque Mxico sea el pas ms semejante a Polonia, por cuanto que ahora Es-paa aparece ms prxima a Pi que Mxico. Podramos tratar de situar aPolonia en P3. En este caso lo que pasa es que se rompe la condicin de queMxico y Egipto sean los pases ms semejantes. Vemos, pues, que no haysolucin a la representacin grfica de los puntos en una sola dimensin; sehace necesario recurrir a un espacio de ms dimensiones. Cuntas? Probe-mos una nueva solucin tratando de situar los pases en un espacio de dosdimensiones.

    En el grfico 2 colocamos los cinco puntos en un espacio bidimensional,distribuidos de forma arbitraria. En este caso tampoco la configuracin res-ponde al orden de las respuestas. Japn y Espaa aparecen como los pasesms lejanos, mientras que en la ordenacin de los entrevistados los ms dife-rentes son Japn y Egipto. Tendramos, pues, que ir moviendo los puntos deforma tal que fueran satisfaciendo el criterio de la escala. Para ello podemosejecutar los desplazamientos de forma intuitiva o bien encontrar un procedi-miento analtico que nos ayude en estos movimientos. Segn el primero de losmtodos tendramos que ir moviendo cada punto, teniendo en cuenta que

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    GRFICO 2Representacin (arbitraria) de los puntos en dos dimensiones

    JapnX

    PoloniaX

    . Mjico* Espaax x

    XEgipto

    est interrelacionado con todos los dems y que por tanto la variacin de unpunto (pas) afecta a las distancias que mantiene con el resto. Mientras elnmero de estmulos sea pequeo, el mtodo es viable; pero a partir de trespuntos resulta prcticamente imposible encontrar la solucin de forma intuiti-tiva. El mtodo correcto sera crear una serie de valores que nos guiasen enlos movimientos. A estos valores les vamos a llamar las disparidades (dispa-rities). A

    Kruskal (1964) define las disparidades, da, como una secuencia monto-na de nmeros, elegidos tan prximos a las distancias entre los estmulos, da,como sea posible, y que se utilizan como referencia para medir la no-monoto-na de estos valores. Se trata de un conjunto de valores que han de ser mo-ntonos respecto de los datos y que al mismo tiempo minimicen la suma decuadrados %(d^ - da)2 Dicho de otra manera, las disparidades son una trans-

    formacin montona de los datos que al mismo tiempo han de asemejarse alas distancias entre los n estmulos en un sentido mnimo cuadrtico.

    Segn la definicin de las disparidades vemos que para su clculo es ne-cesario conocer la distancia entre los puntos y explicar qu es la no-monoto-na de las distancias. Las distancias entre los puntos son fcilmente calcula-bles. En el modelo Euclideo 4 la distancia entre dos puntos en un espacio de rdimensiones es igual a:

    / r \1/2

    ij= 2 (aim-ajm)2 )

    \m = )

    * Existen otros modelos espaciales, como por ejemplo el de Attneave, peronosotros slo vamos a referirnos en este artculo al espacio Euclideo. Sobre losmodelos espaciales vase TORGENSON (1958, pp. 251-259).

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  • m

    INTRODUCCIN AL ANLISIS MULTIDIMENSIONAL NO-METRICO

    es la distancia entre los estmulos i y j (i, ; = 1 , ..., n)es un subndice para los ejes ortogonales del espacio (m=l, ..., r)es la proyeccin del estmulo / en el eje m

    Sabiendo las coordenadas de los puntos en el espacio del grfico 2 bastautilizar esta frmula para calcular sus distancias. Por ejemplo, siendo las coor-denadas de Polonia (2.7,1-6) y las de Japn (4.0, .5), la distancia entre am-bos pases es

    Cuando tenemos un espacio de dos dimensiones se puede resolver el pro-blema simplemente utilizando una regla. Si medimos la distancia que hay en-tre Polonia y Japn en la figura 2 vemos que coincide con la distancia queacabamos de calcular. Procediendo de esta manera construimos el grfico 3,donde cada punto del grfico representa una pareja de pases.

    GRFICO 3

    Distancias entre los puntos en funcin de las (di)similaridades

    Mx.-Egip. -Mx.-Esp.

    Esp.-Egip.Mx.-Pol.Egip.-Pol.Pol.-Esp.

    Mx.-Jap.Jap.-Esp.

    Pol.-Jap.Jap.-Egip.

    (di)simi-laridades

    Distancias

    En la ordenada aparecen las parejas por orden de semejanza, mientras queen la abcisa se muestran las distancias entre las parejas.

    El otro concepto al que se haca referencia en la definicin que hace Krus-kal de las disparidades es el de monotona de las distancias. Ello quieredecir que la lnea que une los puntos del grfico 3 ha de ser montona; esdecir, que siempre se ha de mover de arriba abajo y de izquierda a dere-

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    cha. Este es un requisito del anlisis multidimensional no-mtrico: las distan-cias en la solucin han de ser una transformacin montona de las relacionesde (di)similaridad entre los estmulos (a mayor disimilaridad entre los estmu-los mayor distancia entre los mismos).

    La exigencia de monotona en las distancias entre los estmulos es unade las diferencias bsicas entre el anlisis no-mtrico y el mtrico, donde sehace necesario que las distancias entre los estmul...

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