Kalkylens och analys historia

  • Published on
    14-Jan-2017

  • View
    214

  • Download
    1

Embed Size (px)

Transcript

  • Kalkylens och analys historia

    Vladimir Tkatjev ht2015

  • Ngra motiveringar fr framvxt

    1. Berkning av areor begrnsade av kurvor, volymer

    begrnsade av ytor, tyngdpunkters lge m.m.

    2. Givet en funktion, finn dess maxima och minima.

    3. Givet en kurva, finn i en given punkt p kurvan dess

    tangent.

    4. Givet en kropps acceleration som funktion av tiden,

    finns dess lge och hastighet.

  • Viktigaste etapper in kalkylens utveckling

    Areaberkningar och volymsberkningar (Arkimedes, Eudoxes)

    Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin)

    Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier)

  • Viktigaste etapper in kalkylens utveckling

    Areaberkningar och volymsberkningar (Arkimedes, Eudoxes)

    Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin)

    Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier)

    Astronomiska observationer och lagar (Brahe, Kepler)

    Reella talen som ett begrepp (Stevin, Vite, Napier)

    Matematiska skriftliga sprket utvecklas och frfinas (Vite, Descartes)

    Koordinatsystem (Appolonius, Descartes)

  • Viktigaste etapper in kalkylens utveckling

    Areaberkningar och volymsberkningar (Arkimedes, Eudoxes)

    Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin)

    Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier)

    Astronomiska observationer och lagar (Brahe, Kepler)

    Reella talen som ett begrepp (Stevin, Vite, Napier)

    Matematiska skriftliga sprket utvecklas och frfinas (Vite, Descartes)

    Koordinatsystem (Appolonius, Descartes)

    Areaberkningar (kvadraturer) och volymsberkningar fr godtyckliga kurvor

    och kroppar (Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Wallis)

    Likformigt accelererad rrelse (Galilei)

    Tangenter till kurvor och extremproblem (Fermat, Descartes, Barrow, Roberval)

  • Viktigaste etapper in kalkylens utveckling

    Areaberkningar och volymsberkningar (Arkimedes, Eudoxes)

    Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin)

    Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier)

    Astronomiska observationer och lagar (Brahe, Kepler)

    Reella talen som ett begrepp (Stevin, Vite, Napier)

    Matematiska skriftliga sprket utvecklas och frfinas (Vite, Descartes)

    Koordinatsystem (Appolonius, Descartes)

    Areaberkningar (kvadraturer) och volymsberkningar fr godtyckliga kurvor

    och kroppar (Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Wallis)

    Likformigt accelererad rrelse (Galilei)

    Tangenter till kurvor och extremproblem (Fermat, Descartes, Barrow, Roberval)

    Newtons Philosophi Naturalis Principia Mathematica

    Infinitesimalkalkyl av Newton och Leibniz

    Bernoulli brderna och Euler

  • Demokritos hrledning av pyramidens volym (ca 400 f.Kr.)

    Arkimedes och Evdoxos anvnder infinitesimala metoder och

    uttmningsmetoden fr att bestmma areor och volymer (ca 250 f.Kr.)

    Eudoxus: Om man frn en given storhet tar bort mer an hlften av den, sedan

    frn terstoden tar bort mer an hlften o.s.v., har men efter ndligt mnga steg

    en rest som r mindre n varje annan frut given storhet.

    Arkimedes axiom: givet tv strckor och finns det ett heltal s att >

    Viktigaste etapper in kalkylens utveckling

  • Parabelns kvadratur

    Arkimedes (287 - 212 f.Kr.) bestmde arean av ett parabelsegment genom att

    succesivt fylla ut segmentet med trianglar vars areor han kunde bestmma.

    Sats 24 i Parabolens kvadratur: Parabolbitens area r fyra tredjedelar s stor

    som grundtriangelns area.

    Id: att visa att de tv inskrivna trianglarna och har det samma arean som r en ttondedel av grundtriangelns area, och applicera geometriska summan:

    1 +1

    4+1

    16++

    1

    4 =

    1

    11

    4

    =4

    3

    Motsvarande problem att finna arean under en kurva = () frskte man p 1600-talet lsa genom att finna metoder for att summera rektangelareor

    Viktigaste etapper in kalkylens utveckling

  • Viktigaste etapper in kalkylens utveckling

    Astronomi

    Tycho Brahes observations av planeten Mars (1500-talet): planeter

    rr sig lngs elliptiska planetbanor

    Keplers lagar (1500-talet): solen ligger in ellipsens brnnpunkt samt

    gller det att frhllande 2

    3 ger samma konstant fr alla planeter:

    Varfr just ellipsen?...

    Newtons gravitationslagen (1687): nya matematiken krvdes!

    Mercury Venus Jorden Mars Jupiter Saturnus

    Period

    (jordens dagar) 88 224 365 687 4332 10760

    Radie (106 km) 58 108 150 228 778 1429

    2

    3

    0,0398 0,0400 0,0395 0,0398 0,0398

    0,0397

  • Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

    Italiensk matematiker, verksam i Bolonga

    Geometria Indivisibilibus(1635):

    Cavalieri princip: Alla plana figurer som konstrueras mellan samma

    parallella linjer, inuti vilka godtyckliga linjer som r dragna p

    konstant avstnd frn de parallella linjerna r lika stora i de delar

    som innesluts av figurerna, kommer att vara lika stora.

    Samma princip gller volymer:

  • Grupparbete

    Visa att halvklotets volym r lika med volymen

    av konens komplementet inuti omskrivna

    cylinder:

  • Kvadraturer

    Evangelista Torricelli (1608-1647) visade att en ondligt lng

    kropp vid rotation kunde generera en ndlig volym. Exempel:

    rotera =1

    fr > 1 kring -axeln.

    Gilles de Roberval (1602-1675): kvadraturen av cykloid (en

    kurva som bildas av en punkt p en rullande cirkel) m.m.

    en cykloid:

    Rene Descartes (1596-1650): lste geometriska problem med

    algebra och omvnt, lste algebraiska ekvationer geometriskt.

    Lste bl.a. tangent och subnormalproblem

  • Vi sker det strsta vrdet av uttrycket 2. Fermat visste frn Euklides att det strsta

    vrdet r 2

    4. Allts finns det exakt tv rtter till ekvationen fr alla vrde som mindre n

    2

    4,

    se bilden. Idn gr tillbaka till Vite: antar att 1 och 2 r rtter

    av andragradsekvationen 2 = , d.v.s. 1 1

    2 = 2 22

    Konjugatregeln ger

    1 2 = 22 1

    2 = 2 1 2 + 1

    och efterfljande division med 2 1 ger 2 + 1 = .

    Nr nrmar sig det strsta vrde, de tv rtterna sammanfaller, d.v.s. 2 = 1 = /2

    vilket ger det strsta vrdet 2

    4.

    Det gav Fermat en metod fr att studera enklaste extremproblem. I den moderna

    formuleringen handlar det om kritiska punkter, dvs derivatornas nollstlle.

    Rkna med Fermat (adaequalitas)

  • Metoden byggs p att man likstller () och ( + ). Fermat anvnder ett latinskt ord adequate (to equal). Till exempel, vi sker extrempunkter hus kurvan = 2 2. Adequate:

    2 2 = 2( + ) ( + )2 2 2 2 = 0 2 2 = 0

    vilket ger = 1.

    Med hjlp av samma metod bestmmer Fermat ven tangentens ekvation.

    Men det orsakade ett klurigt metodologiskt problem om division med noll.

    Rkna med Fermat (adaequalitas)

  • Kvadratur (areaberkningar): Rkna arean under kurvan = 3 dr = 0.

    Den moderna beteckningen 3

    0.

    Fermat delar intervallet med hjlp av en geometrisk talfljd:

    0 < < 3 < 2 < <

    dr 1 ger arean (se figuren).

    Rektanglarnas area ver kurvan rknas d som

    3 + 3( 2) + 2 3(2 3) +

    = 4 1 1 + 4 + 8 +

    =4(1 )

    1 4=

    4

    1 + + 2 + 34

    4

    Rkna med Fermat: kvadraturer

  • Det mest produktiva perioden 1665-1666 nr han vistades p landet (Woolsthorpe)

    Lrare: Isaac Barrow

    Halleys komet 1684

    Philosophi Naturalis Principia Mathematica (1687)

    Binomialteoremet fr 1

    ondliga serier

    differentialkalkylen (fluxionsmetod)

    gravitationslagen

    Bl.a.

    Differentialen (momenta)

    Lemma 2 ger produktregeln fr derivata

    Isaac Newton (1642-1727)

  • Binomialsatsen:

    + =

    =0

    ven fr reella , t.ex.

    Newtons rrelselagar

    =

    =

    Isaac Newton (1642-1727)

    kk

    xk

    xx

    0

    2/1 2/111

  • Se ven Newtons manuskript

    Isaac Newton (1642-1727)

    http://cudl.lib.cam.ac.uk/collections/newton

  • Gottfrid Wilhelm Leibniz (1646-1716)

    Tysk matematiker, filosof

    Leibniz r den som anvnde de beteckningar i analys vi anvnder idag

    , , ,

    ,2

    2,

    Karakteristiska triangel (sidor , , )

    r 1675: fr frsta gngen skrivet , kallad summa.

    Partiell integration som vi skriver i dag

    Leibniz hade inte den dynamiska syn som Newton, som betraktade fluenter

    som varierade med tiden. Dr Newton sg hastigheter och strckor sg Leibniz

    differenser och summor. Kalkylen upptcktes oberoende av dem, de var lika

    lite rigorsa och en del missuppfattningar kom att orsaka en dispyt med

    lngvariga efterdyningar.

  • Analys efter Newton och Leibniz

    Bernoulli: Schweizisk familj som producerat flera framstende matematiker. Bl.a.

    Jakob Bernoulli (grundarna till matematisk analys, isoperimetriskt problem, sannolikhetslra,

    kombinatorik, Bernoullifrdelning, Bernoullital)

    Johann Bernoulli (tillmpad matematik, en ekvation fr kedjekurvan, partialbrksuppdelning)

    Daniel Bernoulli ( svngande strngen med hjlp av trigonometriska serier, hydrodynamik,

    Bernoullis princip, sannolikhetslra)

  • Analys efter Newton och Leibniz

    Leonhard Euler (1707-1783), schweizisk matematiker som var verksam i Berlin och

    Sankt Petersburg. En elev till Johann Bernoulli.

    De frsta verken som anvnde kalkylen fr att studera funktioner som allmnt begrepp

    (och inte kurvor) skrevs av Euler, tidernas mest produktive matematiker och

    problemlsare (under 60 r skrev 800(!) sidor om ret).

    Fr Euler var integration det invers till derivering, inte att rkna ut en area.

    Introductio in analysin infinitorum (1748) och Institutiones calculi differentialis (1755)

    Komplexa tal och deras betydelse fr analys

    Eulers formel

    1769 presenterar Euler begreppet dubbelintegral och gr variabelbyten.

    -funktionen, bl.a. ett bermt samband (Baselproblemet) 2 = 1 +1

    22+1

    32+1

    42 =

    2

    6

    Elliptiska funktioner m.m.

    topologi: ett frhllande som gller fr alla konvexa polyedrar: + = 2, dr str fr antalet hrn, K antalet kanter och S antalet sidor.

  • Analys efter Newton och Leibniz

    Rigorsa definitioner

    Bernhard Bolzano (1781-1848) och Augustine Cauchy (1789-1857) gav goda

    definitioner av de svra begreppen grnsvrde, kontinuitet, derivata och integral.

    Att de inte r vad vi har i dag beror p att man inte hade ngon definition av

    begreppet reellt tal. Konvergens och likformig konvergens var lnge problematiska

    och mnga misstag gjordes vid grnsvergngar och omsummeringar.

    Frst 1858 kunde Richard Dedekind (1831-1916) definiera reella tal med s k snitt.

    Komplex analys

    Cauchy och C.F. Gauss (1777-1855)

    Frn ca 1820 utvecklades analysen med komplexvrda funktioner av komplexa

    variabler av bl. a. Cauchy och Gauss. Den senares doktorsavhandling 1799 r ett

    bevis fr algebrans fundamentalsats som sger att varje polynom har ett

    nollstlle.

  • Referenser

    T. Hall, Matematikens utveckling, Gleerups, 1970

    B.G. Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004

    J. Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996

    S. Kaijser, Den kurviga vgen till kalkylen, 2010

    B. Sjberg, Frn Euklides till Hilbert, bo Akademi, 2001

    O. Axling, Analysens och kalkylens historia, frelsningsanteckningar

    Wikipedia

    http://www2.math.uu.se/~sten/mhd/normkalq.pdf

Recommended

View more >