La Curva Normal

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    20-Jul-2016

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  • Jess Reynaga Obregn

    Relacin entre el promedio y la desviacin estndar con la curva normal Cuando se calcula la desviacin estndar para una serie de datos no siempre es evidente el significado del resultado obtenido y menos lo es an si no se compara con la desviacin estndar de otra serie diferente de datos. Para muchas personas podra tener significado que le dijeran que el promedio de peso de un grupo de 300 personas fue de 80 kilos pues, si se acuerda de la definicin del promedio, imaginara que si todos los individuos tuvieran el mismo peso este sera de 80 kilos; sin embargo para quienes no tienen conocimiento de las caractersticas bsicas del modelo de la curva normal podra carecer de significado que le mencionaran que la desviacin estndar del peso de las mismas personas fue de 5 kilos. Interpretar la desviacin estndar y comprender cabalmente lo que ella significa en relacin con los datos que se estn manejando solo es posible a la luz del conocimiento del modelo de la curva normal. PROPIEDADES PRINCIPALES DE LA CURVA NORMAL 1. La curva normal es un polgono de frecuencias en forma de campana para el que estn calculadas sus reas en funcin de los diversos valores del eje horizontal o abscisa.

    2. En la abscisa se encuentran valores de tipo cuantitativo continuo, genricamente denominados valores z, cuyas magnitudes tericamente pueden ir, de izquierda a derecha desde - hasta + ( desde menos infinito hasta mas infinito). 3. El promedio de todos los valores z de la abscisa equivale a cero, pues la mitad son negativos y la mitad son positivos. En el sitio de la abscisa que corresponde al cero, es decir al promedio, se encuentra la parte ms alta de la curva. En este sitio tambin se encuentra la mediana de todos los valores z de la abscisa, pues el 50% de ellos est antes del cero y el 50% restante se encuentra despus. 4. La curva es simtrica alrededor del promedio; esto es, hay una mitad izquierda que es reflejo de la mitad derecha. 5. En la abscisa existen segmentos unitarios de igual longitud y de tamao 1. Los segmentos a la izquierda del promedio tienen signo negativo y los segmentos a la derecha del promedio tienen

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    signo positivo. Tales segmentos, denominados desviaciones estndar pueden dividirse en fracciones infinitamente pequeas y continuas. 6. La curva es asinttica; es decir, sus extremos tericamente nunca tocan a la abscisa. Por ello, la longitud de la abscisa podra ser infinitamente larga; sin embargo se acostumbra graficar solo hasta la distancia de tres segmentos a la izquierda y a la derecha del promedio. 7. Toda el rea bajo la curva vale 1. Por lo anterior el rea a la izquierda del promedio vale .5 y el rea a la derecha del promedio vale tambin .5 8. El rea que se encuentra sobre el segmento de la abscisa que va desde el promedio hasta el valor z de +1 vale .3413; por simetra, el arrea que se encuentra sobre el segmento que va desde el promedio hasta el valor z de -1 de la abscisa tambin vale .3413 Por lo anterior el rea que se encuentra por arriba del amplio segmento que va desde el valor z de -1 hasta el valor z de +1 equivale a .6826; es decir a la suma de .3413 mas .3413 9. El rea que se encuentra sobre el segmento de la abscisa que van ms all del valor z de +1 vale .1587; por simetra, el arrea que se encuentra sobre el segmento que va ms all (hacia menos infinito) del valor z de -1 de la abscisa tambin vale .1587 10. Para cualquier segmento de la abscisa, y an para fracciones de segmento, se encuentran calculadas las reas correspondientes en tablas como la siguiente:

    (A) Valor z

    (B) Area entre el promedio y el

    valor z

    (C) Area ms all

    del valor z

    0.00 .0000 .5000 0.25 .0987 .4013 0.50 .1915 .3085 0.75 .2734 .2266 1.00 .3413 .1587 1.25 .3944 .1056 1.50 .4332 .0668 1.65 .4505 .0495 1.75 .4599 .0401 1.96 .4750 .0250 2.00 .4772 .0228 2.58 .4950 .0050

    . . .

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  • Jess Reynaga Obregn

    APROVECHAMIENTO DE LAS PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL PARA LA INTERPRETACION DE LA DESVIACION ESTANDAR Al principio de este documento se coment que sin conocer las caractersticas bsicas del modelo de la curva normal podra carecer de significado que se mencionara que el valor de la desviacin estndar del peso de 300 personas fue de 5 kilos. Una vez que se han comprendido las propiedades principales de la curva normal es posible entender el significado del valor de la desviacin estndar del peso de las 300 personas si se hacen suposiciones como las siguientes: Suponiendo que al graficar el peso de los 300 individuos con un polgono de frecuencias, el grfico resultante fuera muy parecido al modelo de la curva normal como se muestra en la siguiente ilustracin:

    entonces podra decirse que:

    el rea bajo la curva de valores de peso que contiene a los individuos vale 300 de manera semejante a la propiedad del modelo de la curva normal de que su rea vale 1;

    a la izquierda del promedio existen 150 individuos y a la derecha del promedio existen

    los otros 150;

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  • Jess Reynaga Obregn

    as como en la curva normal existe una rea de .3413 sobre el segmento que va desde el valor z de 0 hasta el valor z de + 1 en la curva de valores x (es decir kilos de peso) habr el .3413 de 300 o sea que habr 102 personas sobre el segmento que va desde el valor x de 80 kilos hasta el valor x de 85 kilos;

    de acuerdo al prrafo anterior, habr 204 personas con pesos que van desde 75 hasta

    85 kilos; al igual que en la curva normal existe simetra alrededor del promedio, se puede

    considerar que en la curva de valores de peso habr 102 personas sobre el segmento que va desde 80 kilos hasta 75 kilos de peso;

    en la curva de valores peso habr un .1587 de las 300 personas; es decir 48 personas,

    con pesos de 85 y ms kilos; de manera semejante a la curva normal, por simetra habr un .1587 de las 300

    personas; es decir 48 personas, con pesos de 75 y menos kilos. Como puede apreciarse, una vez que se conocen las caractersticas del modelo de la curva normal, la interpretacin del resultado de la desviacin estndar que se haya calculado para una serie de datos es mucho ms fcil y brinda una gran cantidad de informacin sobre la manera en que se distribuyen los valores. Para confirmar que la comprensin del significado de la desviacin estndar brinda una importante cantidad de informacin obsrvese el siguiente ejemplo: Relato: Se aplic un mismo examen escrito a dos grupos de 90 alumnos cada uno. En un caso se imprimi el examen en hojas de color amarillo paja y en otro caso en hojas de color marrn. Se midi con cronmetro el tiempo, en minutos y fracciones, que tardaron los alumnos en entregar el examen y se calcul el promedio y la desviacin estndar para ambos grupos obtenindose los siguientes resultados:

    Grupo Promedio Desviacin Estndar

    Color Paja 45' 5' Color Marrn 45' 15'

    Algunas interpretaciones a partir de los valores de la desviacin estndar:

    Los alumnos a quienes se aplic el examen impreso en hojas color paja entregaron el examen en tiempos ms homogneos, pues el .6826 de ellos (es decir 61 alumnos) lo entregaron entre 40 y 50 minutos luego de haberlo iniciado.

    Los alumnos a quienes se aplic el examen impreso en hojas color marrn entregaron el

    examen en tiempos ms heterogneos, pues el .6826 de ellos (es decir 61 alumnos) lo entregaron entre 30 y 60 minutos luego de haberlo iniciado.

    En el grupo paja el .1587 ms lento de los alumnos (es decir: 14) entregaron su examen

    luego de 50 minutos, mientras que en el grupo marrn la misma cantidad de alumnos lo hizo luego de 60 minutos.

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  • Jess Reynaga Obregn

    TRANSFORMACIN DE VALORES x A VALORES z; USO DE LA TABLA DE AREAS BAJO LA CURVA En la seccin anterior se ha visto que hay correspondencia entre las reas de la curva normal y las de la serie de datos cuantitativos continuos que se est manejando siempre y cuando se haya comprobado que esta ltima, al ser graficada con un polgono de frecuencias, muestra un parecido razonable con el perfil de la curva normal. Tal correspondencia ha permitido solamente mencionar las reas que se encuentran sobre segmentos completos de la abscisa; es decir, solamente se ha hecho mencin de reas por arriba o ms all de desviaciones estndar enteras. Sin embargo, cmo podra responderse a la pregunta cuantos alumnos de cada grupo tardaron 47 o ms minutos en entregar su examen?. En este caso se aprecia que no hay coincidencia entre el valor z de + 1 y el valor x de 47 minutos y por ello deja de ser til el mtodo de comparacin analgica de los grficos que se utiliz en pginas anteriores. La respuesta estriba en el uso de una frmula para transformar cualquier valor x en su correspondiente valor z y en hacer uso de la tabla de reas bajo la curva normal. Una vez que se han calculado tanto el promedio como la desviacin estndar para una serie de datos cuantitativos continuos, el valor z que, en la abscisa de la curva normal corresponde a un determinado valor x de la abscisa de los datos que se estn manejando, se encuentra con la frmula:

    zx x

    s=

    Para responder a la pregunta recientemente planteada de cuantos alumnos de cada grupo tardaron 47 o ms minutos en entregar su examen? se hacen las siguientes sustituciones: Para el grupo al que se aplic el examen en hojas color paja se tiene que x = 45' y s = 5' ; el valor z que se desea conocer es el correspondiente a un valor x de 47;

    entonces: z47 45

    5= = =2

    54.

    El valor z obtenido, en este caso .4 debe localizarse en la primera columna de la tabla de reas bajo la curva (1) . Una vez localizado tal valor, se busca en la segunda columna cul es el rea que en la curva normal se encuentra ms all de dicho valor z; en este caso es de .3446.

    1 Usar la tabla detallada de reas bajo la curva normal que se encuentra como anexo de este documento. Dicha tabla tiene ligeras diferencias de formato con la de la pgina 2

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  • Jess Reynaga Obregn

    Como el rea encontrada (.3446) es una proporcin del rea total, entonces la misma proporcin se aplica al total de alumnos del grupo para saber cuantos tardaron ms de 47 minutos en entregar el examen. As, luego de efectuar la operacin .3446 X 90 = 31, puede responderse a la pregunta con el sealamiento de que hubo en este grupo 31 alumnos que tardaron 47 o ms minutos en entregar su examen. Desde luego, al conocer las propiedades bsicas de la curva normal, tambin se puede decir que hubo 59 alumnos que tardaron 47 o menos minutos en entregar su examen. Por otra parte, para el grupo al que se aplic el examen en hojas color marrn se tiene que x = 45' y s = 15' ; el valor z que se desea conocer es el correspondiente a un valor x de 47;

    entonces: z47 45

    15= = =2

    1513.

    El valor z obtenido, en este caso .13 debe localizarse en la primera columna de la tabla de reas bajo la curva (2) . Una vez localizado tal valor, se busca en la segunda columna cul es el rea que en la curva normal se encuentra ms all de dicho valor z; en este caso es de .3446. Como el rea encontrada (.4483) es una proporcin del rea total, entonces la misma proporcin se aplica al total de alumnos del grupo para saber cuantos tardaron ms de 47 minutos en entregar el examen. As, luego de efectuar la operacin .4483 X 90 = 40, puede responderse a la pregunta con el sealamiento de que hubo en este grupo 40 alumnos que tardaron 47 o ms minutos en entregar su examen. Desde luego, al conocer las propiedades bsicas de la curva normal, tambin se puede decir que hubo 50 alumnos que tardaron 47 o menos minutos en entregar su examen.

    2 Usar la tabla detallada de reas bajo la curva normal que se encuentra como anexo de este documento. Dicha tabla tiene ligeras diferencias de formato con la de la pgina 2

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  • Jess Reynaga Obregn

    Valor Z

    (A)

    rea desde el extremo

    opuesto hasta el valor Z

    (B)

    rea en el mismo extremo

    ms all del valor Z

    (C)

    rea entre el promedio y el

    valor Z

    (D)

    Z

    Z

    sxxz =

    91 Z

  • Jess Reynaga Obregn

    Valor Z

    (A)

    rea desde el extremo

    opuesto hasta el valor Z

    (B)

    rea en el mismo

    extremo ms all del valor Z

    (C)

    rea entre el promedio y el

    valor Z

    (D)

    Valor Z

    (A)

    rea desde el extremo

    opuesto hasta el valor Z

    (B)

    rea en el mismo

    extremo ms all del valor Z

    (C)

    rea entre el promedio y el

    valor Z

    (D)

    0.00 0.5000 0.5000 0.0000 0.50 0.6915 0.3085 0.1915 0.01 0.5040 0.4960 0.0040 0.51 0.6950 0.3050 0.1950 0.02 0.5080 0.4920 0.0080 0.52 0.6985 0.3015 0.1985 0.03 0.5120 0.4880 0.0120 0.53 0.7019 0.2981 0.2019 0.04 0.5160 0.4840 0.0160 0.54 0.7054 0.2946 0.2054 0.05 0.5199 0.4801 0.0199 0.55 0.7088 0.2912 0.2088 0.06 0.5239 0.4761 0.0239 0.56 0.7123 0.2877 0.2123 0.07 0.5279 0.4721 0.0279 0.57 0.7157 0.2843 0.2157 0.08 0.5319 0.4681 0.0319 0.58 0.7190 0.2810 0.2190 0.09 0.5359 0.4641 0.0359 0.59 0.7224 0.2776 0.2224 0.10 0.5398 0.4602 0.0398 0.60 0.7257 0.2743 0.2257 0.11 0.5438 0.4562 0.0438 0.61 0.7291 0.2709 0.2291 0.12 0.5478 0.4522 0.0478 0.62 0.7324 0.2676 0.2324 0.13 0.5517 0.4483 0.0517 0.63 0.7357 0.2643 0.2357 0.14 0.5557 0.4443 0.0557 0.64 0.7389 0.2611 0.2389 0.15 0.5596 0.4404 0.0596 0.65 0.7422 0.2578 0.2422 0.16 0.5636 0.4364 0.0636 0.66 0.7454 0.2546 0.2454 0.17 0.5675 0.4325 0.0675 0.67 0.7486 0.2514 0.2486 0.18 0.5714 0.4286 0.0714 0.68 0.7517 0.2483 0.2517 0.19 0.5753 0.4247 0.0753 0.69 0.7549 0.2451 0.2549 0.20 0.5793 0.4207 0.0793 0.70 0.7580 0.2420 0.2580 0.21 0.5832 0.4168 0.0832 0.71 0.7611 0.2389 0.2611 0.22 0.5871 0.4129 0.0871 0.72 0.7642 0.2358 0.2642 0.23 0.5910 0.4090 0.0910 0.73 0.7673 0.2327 0.2673 0.24 0.5948 0.4052 0.0948 0.74 0.7704 0.2296 0.2704 0.25 0.5987 0.4013 0.0987 0.75 0.7734 0.2266 0.2734 0.26 0.6026 0.3974 0.1026 0.76 0.7764 0.2236 0.2764 0.27 0.6064 0.3936 0.1064 0.77 0.7794 0.2206 0.2794 0.28 0.6103 0.3897 0.1103 0.78 0.7823 0.2177 0.2823 0.29 0.6141 0.3859 0.1141 0.79 0.7852 0.2148 0.2852 0.30 0.6179 0.3821 0.1179 0.80 0.7881 0.2119 0.2881 0.31 0.6217 0.3783 0.1217 0.81 0.7910 0.2090 0.2910 0.32 0.6255 0.3745 0.1255 0.82 0.7939 0.2061 0.2939 0.33 0.6293 0.3707 0.1293 0.83 0.7967 0.2033 0.2967 0.34 0.6331 0.3669 0.1331 0.84 0.7995 0.2005 0.2995 0.35 0.6368 0.3632 0.1368 0.85 0.8023 0.1977 0.3023 0.36 0.6406 0.3594 0.1406 0.86 0.8051 0.1949 0.3051 0.37 0.6443 0.3557 0.1443 0.87 0.8078 0.1922 0.3078 0.38 0.6480 0.3520 0.1480 0.88 0.8106 0.1894 0.3106 0.39 0.6517 0.3483 0.1517 0.89 0.8133 0.1867 0.3133 0.40 0.6554 0.3446 0.1554 0.90 0.8159 0.1841 0.3159 0.41 0.6591 0.3409 0.1591 0.91 0.8186 0.1814 0.3186 0.42 0.6628 0.3372 0.1628 0.92 0.8212 0.1788 0.3212 0.43 0.6664 0.3336 0.1664 0.93 0.8238 0.1762 0.3238 0.44 0.6700 0.3300 0.1700 0.94 0.8264 0.1736 0.3264 0.45 0.6736 0.3264 0.1736 0.95 0.8289 0.1711 0.3289 0.46 0.6772 0.3228 0.1772 0.96 0.8315 0.1685 0.3315 0.47 0.6808 0.3192 0.1808 0.97 0.8340 0.166...

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