La Parabola

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LA PARABOLAING. SONIA ZAZUETA LOPEZ CONCEPTOS BASICOS Y APLICACIONES: COSTO INGRESO UTILIDAD PUNTO DE EQUILIBRIO OFERTA Y DEMANDA

LA PARBOLAObjetivo: Aplicar en casos prcticos el concepto de parbola para estimar el punto de equilibrio de la empresa y del mercado.

DEFINICION DE PARBOLA La parbola es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo F y de una recta fija d. As, para cualquier punto M de la curva , se tiene de acuerdo a la grfica, MF = MD

SZL

ELEMENTOS DE LA PARABOLAY M D E

El punto fijo F se llama foco y la recta fija d se llama directriz El segmento MF que une un punto cualquiera de la parbola con el foco se llama radio vector La recta AF que para por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de la parbolaF X

C

A

V

Un punto V, punto medio de AF, donde el eje corta a la parbola es el vrtice La cuerda EE que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado recto (lr) o ancho focal de la parbola

d

E C

El segmento AF, distancia del foco a la directriz, se llama parmetro y se representa por 2p

SZL

ECUACION ORDINARIA DE LA PARABOLA Y CALCULO DE SUS ELEMENTOSEcuacin cartesiana de una parbola cuyo vrtice es el origen y el eje coincide con uno de los ejes coordenados Primer caso. El vrtice (V) es el origen de las coordenadas y el eje que coincide con el X; entonces el foco F est situado en la parte positiva de dicho eje. Por lo tanto el parmetro 2p = FDY

(-p,y)

M(x,y)

Sea M(x,y) un punto cualquiera de la parbola, las coordenadas del foco son (p,0) y la ecuacin de la directriz es x=-p. Por definicin se tiene que MF=MN, expresando analticamente estas distancias son: 2 2 MF = ( x p ) + ( y 0 )

D (-p,0)

V(0,0) X F(p,0)

M =d

(x + p )2 + ( y y )2alSZL

Igualandolos y elevndolos cuadrado tenemos:

(x p )2 + y 2 = (x + p )2

Desarrollandose se tiene: entonces,

x 2 2 px + p 2 + y 2 = x 2 + 2 px + p 2

y 2 = 4 px

Esta es la ecuacin de una parbola con vrtice en el origen y cuyo eje coincide con el eje X y el foco esta en la parte positiva de dicho eje. Analogamente, si el foco se encuentra y 2 =el4lado en px negativo del eje X, la ecuacin de la parbola es:

y 2 = 4 px

(I)

y 2 = 4 px

(II)

SZL

Segundo caso. El vertice (V) es el origen y el eje coincide de la parbola coincide con el eje Y; entonces el foco esta situado en la parte positiva de dicho eje (abre hacia arriba). La ecuacin de la parbola es x 2 = 4 py Analogamente, si el foco se encuentra en el lado negativo del eje Y (abre hacia abajo), la ecuacin de la parbola es x 2 = 4 py

x 2 = 4 py

(III)

x 2 = 4 py

(IV)

SZL

Las Ecuaciones I, II, III y IV se conocen con el nombre de forma ordinaria de la ecuacin de la parbola Considerando p, la distancia del vrtice al foco, como distancia dirigida, entonces las ecuaciones I y II se agrupan en una sola y2 = 4px, que representa una parbola de concavidad hacia la derecha si p>0 y de concavidad a la izquierda si p 0, y de concavidad hacia abajo si p < 0.

SZL

Ejemplo. Calcular los principales elementos de la parbola y2 = 8x Solucin: La ecuacin y2 = 8x, tiene su vrtice en origen y foco sobre la parte positiva del eje X, entonce sel vertice es V(0,0) Al ser de la forma y2 = 4px, entonces:

4p = 8

p=

8 4

p=2

Parmetro = 2p = (2)(2) = 4

La ecuacin de la recta que contiene el eje de la parabola es el eje X, y su ecuacin es y = 0 Foco F(p,0) , por lo tanto F (2,0) Ecuacin de la directriz: x = -p , por lo tanto x = -2 La longitud del lado recto (lr) es: lr = |4p| , por lo tanto lr = 8

SZL

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje X

d

4 3 2 1

V(0,0)-2 -1 -1 -2 -3 1 2

F(2,0) X3 4

lr=8

-4

SZL

ECUACION DE UNA PARABOLA DE VERTICE EN UN PUNTO CUALQUIERA Y EL EJE PARALELO UNO DE LOS COORDENADOS Sea la parbola de vertice V(h,k), parmetro 2p, eje paralelo al eje X y concavidad hacia la parte positiva del eje X:Y d Y

M(x,y) M(x,y)

V(h,k) D X F(p2,0)

B

C

A X

SZL

Entonces: (y k)2 = 4p(x h) Es la ecuacin de una parbola de vrtice (h,k), eje paralelo al eje X y concavidad hacia la parte positiva del eje X Si la concavidad es hacia la parte negativa del eje X, la ecuacin es de la forma: (y k)2 = -4p(x h) Anlogamente obtenemos la cuacin de una parbola de vertice (h,k), eje paralelo al eje Y y concavidad hacia arriba (x h)2 = 4p(y k) Si la concavidad se dirige hacia abajo, la ecuacin es de la forma: (x h)2 = -4p(y k) Todas estas ecuaciones se suelen designar con el nombre de forma ordinaria de la ecuacin de la parbola con vrtice fuera del origenSZL

(y k)2 = 4p(x h)

(y k)2 = -4p(x h)

(x h)2 = 4p(y k)

(x h)2 = -4p(y k)

SZL

INTERSECCION DE PARABOLA CON RECTA Encontrar el punto donde la recta 2y x = 4 corta a la parabola 2y x2 + 2=0 Solucin: De la ecuacin de la recta 2y x = 4 despejamos x y tenemos: x = 2y - 4 ; este valor de x lo sustituimos en la ecuacin de la parbola 2y x2 + 2=0 2y (2y 4)2 + 2=0; desarrollando la ecuacin: 2y 4y2 +16y 16 + 2 = 0 - 4y2 + 18y 14 = 0 4y2 - 18y + 14 = 0 2y2 + 9y + 7 = 0 Resolvemos la ecuacin por la frmula general reduciendo los trminos:

multiplicando toda la ecuacin por (-1): dividiendo toda la ecuacin entre 2:

b b 2 4ac y= 2a

Donde a=2, b=9, c=7SZL

y=

9 81 56 4

y=

9 25 4

95 y= 4

7 y1 = ; 2

y2 = 1

Y1, y2 son las coordenas del eje y de la interseccin de la parbola con la recta, para encontrar las coordenadas de x, sustitumos y1 , y2 en la ecuacin de la recta (con x ya despejada) x = 2y 4 Para y1: x1 = 2(7/2) 4 x1 = 7 4 x1 = 3 Para y2: x2 = 2(1) 4 x2 = 2 4 x2 = -2

Por lo tanto, los puntos donde se intersectan la recta y la parbola son:

7 P 3, 1 2

y

P2 ( 2,1)

SZL

y

4

2y x2 + 2 = 0

3

2y

4 x=

P1 (3, 7/2)

2

P2 (-2,1)

1

x 4 3 2 1 1 2 3 4

F (0, -1/2)1

P3 V(0, -1)y = -3/22

3

SZL4

INTERSECCION ENTRE PARABOLAS Encontrar los puntos donde se intersectan las parbolas: y = x2 x + 1 y = -2x2 + x + 4 Solucin: Igualamos las dos ecuaciones y = y : x2 x + 1 = -2x2 + x + 4 Igualamos a cero para dejar una sola ecuacin: x2 + 2x2 x x + 1 4 = 0 Reduciendo trminos semejantes: 3x2 2x 3 = 0 Esta ecuacin se resuelva usando la frmula general:

b b 2 4ac x= 2a

Donde a=3, b=-2, c=-3SZL

(2) (2) 2 4(3)(3) x= 2(3) 2 40 x= 6

x=

2 4 + 36 6

x=

2 40 6

2 + 6.3245 x1 = 6x2 = 2 6.3245 6

x1 = 1.3874 x2 = 0.72075

x1 y x2 son las coordenadas del eje X de los puntos de interseccin, para encontrar las coordenadas del eje solo basta sustituir ambos valores en cualquiera de las ecuaciones de las parbolas, en este caso, sustituyendo en y = x2 x +1 :

y1 = (1.38474) (1.3874) + 12

y2 = ( 0.72075) ( 0.72075) + 12

y1 = 1.5374

y2 = 2.2402

Por lo tanto los puntos donde se intersectan ambas parbolas son P1 (1.3874, 1.5374) , y P2 (-0.72075, 2.2402)SZL

y

4

y = x2 x + 1

3

P2 (-0.72075, 2.2402)2

P1 (1.3874, 1.5374)1

x 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

y = -2x2 + x + 4

2

3

4

SZL

OFERTA, DEMANDA, PUNTO DE EQUILIBRIO En un mercado competitivo, existe una relacin entre el precio de un artculo y su disponibilidad en el mercado. En general, un incremento en el precio induce al productor a aumentar la oferta del mismo. Recprocamente, un decremento en el precio unitario lleva por lo general a una reduccin de la oferta. La ecuacin que expresa la relacin entre el precio y la cantidad proporcionada es una ecuacin de oferta y su grfica es una curva de oferta. En una economa de libre mercado, la demanda de los consumidores por determinado artculo depende de su precio. La ecuacin de la demanda expresa la relacin entre el precio unitario y la cantidad demandada. La grfica de la ecuacin de la demanda es una curva de demanda. En general , la cantidad demandada decrece cuando el precio unitario aumenta y viceversa.

SZL

Ejemplo: Encuestas de mercado de proveedores de cierto producto han dado lugar a la conclusin de que la funcin de oferta de su producto esta dada por la funcin:q

qs = 0.5 p 2 200

800 700

Cantidad ofrecida en miles

600 500 400 300 200 100

p-100 -200 10 20 30 40

Precio SZL

As mismo tiempo se efecto una encuesta entre los consumidores para determinar la funcin de demanda del mismo producto, la cual esta dada por la funcin:

qd = p 2 100 p + 2500Cabe mencionar que los encuestadores concluyeron que la representacin cuadrtica era vlida para los precios entre $5 y $45 (5 < p < 45)10 20 30 40

q

2400

Cantidad demandada en miles

2100 1800 1500 1200 900 600 300

p

SZL

Se puede estimar el equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda mediante las funciones de oferta y demanda al determinar el precio del mercado que iguala a la cantidad ofrecida con la cantidad demandada

q s = qdIgualamos las dos funciones:

0.5 p 2 200 = p 2 100 p + 2500Reordenando la ecuacin tenemos que:

0.5 p 2 p 2 + 100 p 200 2500 = 0 0.5 p 2 + 100 p 2700 = 0Multiplicando por (-1) ambos lados de la igualdad: 0.5 p 2 100 p + 2700 = 0 Esta ecuacin la resolvemos usando la formula general para ecuaciones de