Ley de Poisson

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La distribucin de Poisson

INTEGRANTES: Alexandra Cevallos Danilo Ramn Semestre: Cuarto Sistemas Fecha: 11 de Enero del 2012

Dato histrico

La distribucin de Poisson se llama as en honor a su creador, el francs Simen Dennis Poisson (1781-1840), Esta distribucin de probabilidades fue uno de los mltiples trabajos matemticos que Dennis complet en su productiva trayectoria.

Utilidad La distribucin de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto. Es muy til cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de xitos p es pequea. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, rea, volumen o tiempo definido.

Ejemplos de la utilidad La llegada de un cliente al negocio durante una hora. Las llamadas telefnicas que se reciben en un da. Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido. Los envases llenados fuera de los lmites por cada 100 galones de producto terminado.

La distribucin de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en comn, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.

Propiedades de un proceso de Poisson

1. 2.

La probabilidad de observar exactamente un xito en el segmento o tamao de muestra n es constante. El evento debe considerarse un suceso raro.

3.

El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventosSi repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construccin de la distribucin de Poisson.

La distribucin de Poisson

La distribucin de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribucin de probabilidad discreta. La distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial.

Cuando en una distribucin binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de xito p en cada ensayo es baja, es aqu donde aplica el modelo de distribucin de Poisson.Se tiene que cumplir que: p < 0.10 p * n < 10

La funcin P(x=k)

A continuacin veremos la funcin de probabilidad de la distribucin de Poisson.

Donde:P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k.

= Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, rea, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828 K es el nmero de xitos por unidad

Ejemplo1 de la funcin F (x=k)La probabilidad de que haya un accidente en una compaa de manufactura es de 0.02 por cada da de trabajo. Si se trabajan 300 das al ao, cul es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribucin de Poisson:

Al realizar el cmputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 das de trabajo es de 8.9%.

Ejemplo 2 de la funcin F(x=k)

La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. Cul es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribucin de Poisson:

El resultado es P (x = 5) = 0.04602 Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recin producidos es de 4.6%.

Tablas de probabilidad de Poisson

Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden resolver los ejemplos anteriores. Para esto, usted debe saber los valores X y .

X es el nmero de xitos que buscamos. Este es el valor K. es el nmero promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, rea, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.Del ejemplo 1: Del ejemplo 2:

= 0.02 * 300 = 6 = 0.012 * 800 = 9.6

Tabla de probabilidad de PoissonCmo utilizar la tabla de la distribucin Binomial? Supongamos que lanzamos al aire una moneda trucada. Con esta moneda la probabilidad de obtener cara es del 30%. La probabilidad que salga cruz ser, pues, del 70%. Lanzamos la moneda 10 veces de manera consecutiva. Si queremos calcular la probabilidad de que observemos 6 caras o menos nos fijamos en la tabla: localizamos n=10, x=6, p=0.3 y buscamos la interseccin: 0.9894

Cmo utilizar la tabla de la distribucin Binomial?

La media y la varianza 2

Caractersticas de la distribucin PoissonMedia= E(X) = P(X) .6 .4 .2 0 0

k = 5 = 0.1X 1 2 3 4 5

Varianza = 2

P(X) .6 .4 .2 0 0

k=5

= 0.5X

1

2

3

4

517

En resumen

1. La distribucin de Poisson se forma de una serie de experimentos de Bernoulli. La media 2.

.

o valor esperado en la distribucin de Poisson es igual a

3.

La varianza (2 ) en la distribucin de Poisson tambin es igual a .

4.

La desviacion estndar es la raz de .