L'IMPORTANCE PHILOSOPHIQUE DE LA LOGISTIQUE

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<ul><li><p>L'IMPORTANCE PHILOSOPHIQUE DE LA LOGISTIQUEAuthor(s): B. RussellSource: Revue de Mtaphysique et de Morale, T. 19, No. 3 (Mai 1911), pp. 281-291Published by: Presses Universitaires de FranceStable URL: http://www.jstor.org/stable/40894398 .Accessed: 27/01/2014 20:20</p><p>Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms &amp; Conditions of Use, available at .http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp</p><p> .</p><p>JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range ofcontent in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new formsof scholarship. 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Weierstrass et ses successeurs ont arithmtis les math- matiques, c'est--dire qu'ils ont ramen toute l'analyse l'tude des nombres entiers. En accomplissant cette rduction, on avait complt une tape trs importante, la fin de laquelle l'esprit de dissection pouvait bien s'arrter un montent. Cependant la thorie des nombres entiers ne peut se faire d'une manire autonome, surtout quand on tient compte de l'assimilation des nombres finis et des nombres infinis. Donc il a t ncessaire d'aller plus loin/de rduire l'arithmtique, et surtout la dfinition des nombres, la logique. J'appelle donc logique mathmatique tout travail logique qui a pour but l'analyse et la dduction de l'arithmtique, ainsi que de la gomtrie, par le moyen de concepts appartenant visiblement k la logique. C'est cette tendance moderne que je dsire discuter aujourd'hui. </p><p>En examinant l'uvre de la logique mathmatique, on peut con- sidrer : Io les rsultats mathmatiques; 2 la mthode du raison- nement mathmatique telle qu'elle rsulte des travaux modernes; . 1. Confrence faite l'cole des Hautes tudes sociales le 22 mars 1911. </p><p>Rev. Mta. - T. XIX (n 3-1911). D </p><p>This content downloaded from 132.170.219.53 on Mon, 27 Jan 2014 20:20:56 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p></li><li><p>282 REVUE DE MTAPHYSIQUE ET DE MORALE. </p><p>3 la nature intrinsque des propositions mathmatiques d'aprs l'analyse qu'en fait la logique mathmatique. Il est impossible de distinguer exactement ces trois aspects du sujet qui nous occupe, mais la distinction subsiste assez pour servir donner un cajire la discussion. On aurait pu croire que l'ordre inverse serait le meilleur, qu'il faudrait d'abord considrer ce que c'est qu'une proposition mathmatique, ensuite la mthode par laquelle on dmontre de telles propositions, et finalement les rsultats auxquels nous conduit cette mthode. Mais le problme que nous avons rsoudre, comme tout problme vraiment philosophique, est un problme d'analyse, et dans les problmes d'analyse la meilleure mthode est celle qui part des rsultats et aboutit aux prmisses. En logique mathma- tique, ce sont les conclusions qui ont le plus grand degr de certi- tude : plus on recule vers les prmisses ultimes, plus on trouve d'incertitude et de difficult. </p><p>Au point de vue philosophique, les rsultats les plus clatants de la nouvelle mthode sont les thories exactes qu'on a pu former sur l'infini et le continu. On sait que, quand il s'agit de collections infinies, par exemple la collection des nombres entiers finis, il est possible d'tablir une correspondance bi-univoque entre la collection entire et une partie de la collection. Par exemple, une telle correspon- dance existe entre les nombres entiers finis et Jes nombres pairs, puisque la relation d'un nombre fini son double est bi-univoque. Il est donc vident que le nombre d'une collection infinie est gal au nombre d'une partie de cette collection. On a cru autrefois que * c'tait l une contradiction; mme Leibniz, quoi qu'il ft partisan de l'infini actuel, a ni le nombre infini cause de cette prtendue contradiction. Mais en effet, pour dmontrer qu'il y a contradiction, il faut supposer que tous les nombres obissent l'induction com- plte. Pour expliquer l'induction complte, appelons proprit hrditaire d'un nombre une proprit qui appartient w + 1 du moment qu'elle appartient n. Telle est par exemple la proprit d'tre plus grand que 100 : si un nombre est plus grand que 100, son successif est plus grand que 100. Appelons ensuite proprit inductive d'un nombre une proprit hrditaire que possde le nombre zro. Cette proprit doit appartenir 1, puisqu'elle est hrditaire et qu'elle appartient zro; de mme elle doit appartenir 2, puisqu'elle appartient 1, et ainsi de suite. Donc les nombres de la vie quotidienne possdent toute proprit inductive. Or, </p><p>This content downloaded from 132.170.219.53 on Mon, 27 Jan 2014 20:20:56 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p></li><li><p>B. RUSSELL. - L'IMPORTANCE PHILOSOPHIQUE DE LA LOGISTIQUE. 2&amp;3 </p><p>parmi es proprits inductives des nombres se trouve celle-ci : si une collection quelconque a le nombre n, aucune partie de cette collection ne peut avoir le mme nombre n. Donc, si tous les nombres possdent toutes les proprits inductives, il se trouve en contradiction avec cet autre rsultat qu'il y a des collections qui ont mme nombre qu'une partie d'elles-mmes. Cette contradiction, cependant, cesse d'exister du moment qu'on admet qu'il y a des nombres qui ne possdent pas toutes les proprits inductives. Et alors il se trouve qu'il n'existe aucune contradiction dans le nombre infini. Cantor a mme cr toute une arithmtique des nombres infinis, et par le moyen de cette arithmtique il a rsolu compl- tement les vieux problmes sur la nature de l'infini qui ont troubl la philosophie depuis les temps anciens. </p><p>Les problmes du continu sont intimement lis aux problmes de l'infini, et leur rsolution s'est effectue par les mmes, moyens. Les paradoxes de Zenon d'le, et les difficults dans l'analyse de l'espace, du temps et du mouvement, se trouvent toutes compl- tement expliques par le moyen de la thorie moderne de la con- tinuit. C'est qu'on a trouv une thorie non contradictoire, d'aprs laquelle le continu se compose d'lments distincts en nombre, infini, ce qui paraissait impossible autrefois. Ces lments, on ne peut les atteindre par le moyen de la dichotomie continuelle ; mais il ne s'ensuit pas que les lments n'existent pas. </p><p>De l s'ensuit toute une rvolution dans la philosophie de l'espace et du temps. Les thories ralistes, qu'on croyait contradictoires,, ne le sont plus, et les thories idalistes ont perdu leur raison d'tre. Le flux, qu'on croyait incapable d'analyse en lments indivisibles, se montre capable d'analyse mathmatique, et la raison se montre capable de donner une explication du monde physique ainsi que du monde sensible, sans supposer des sauts l o se trouve la conti- nuit, mais aussi sans renoncer l'analyse en lments spars et indivisibles. </p><p>Outre la thorie du nombre infini et de la nature du continu, la thorie mathmatique du mouvement et des autres changements continus emploie deux notions corrlatives, celle de fonction et celle de variable. L'importance et la nature de ces ides peut se dmon- trer d'aprs un exemple. On trouve encore dans les livres de philo- sophie un nonc de la loi de la causalit sous la forme : Quand la mme cause se reproduit, le mme effet se rptera . Mai&amp; on </p><p>This content downloaded from 132.170.219.53 on Mon, 27 Jan 2014 20:20:56 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p></li><li><p>284 REVUE DE MTAPHYSIQUE ET D MORALE. </p><p>remarque trs justement que la mme cause ne se reproduit jamais. Ce qui a lieu en effet c'est qu'il y a un rapport constant entre des causes d'une certaine espce et les effets qui en rsultent. L o il y a un tel rapport constant, l'effet est une fonction de la cause. Par le moyen du rapport constant, on rsume sous une seule formule une infinit de causes et d'effets, et on vite l'hypothse banale de la rptition d'une mme cause. C'est l'ide de fonction, c'est--dire Tide de rapport constant, qui donne le. secret du pouvoir des mathmatiques de traiter simultanment d'une infinit de don- nes. </p><p>Pour comprendre le rle de l'ide de fonction en mathmatiques, il faut d'abord comprendre la mthode de la dduction mathma- tique. On conviendra que les dmonstrations mathmatiques, mme celles qui s'accomplissent par ce qu'on appelle l'induction complte, sont toujours dductives. Or, dans une dduction, il arrive presque toujours que la validit de la dduction ne dpend pas du sujet dont on parle, mais uniquement de la forme de ce qu'on en dit. Prenons par exemple l'argument classique : Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel. Ici il est vident que ce qu'on dit reste vrai si l'on substitue Platon ou Aristote ou n'importe qui la place de Socrate. On peut donc dire : Si tous les hommes sont mortels, et si x est un homme, alors x est mortel. On a l une premire gnralisation de la proposition de laquelle nous sommes partis. Mais il est facile d'aller plus loin. Dans la dduction que nous venons d'noncer, rien ne dpend de ce que ce sont les hommes et les mortels qui nous occupent. Si tous les membres d'une classe a quelconque sont membres d'une classe , et si x est un membre de la classe a, alors a? est un membre de la classe . Dans cet nonc, on a la forme logique pure qui rsume toutes les dductions de la mme forme que celle qui prouve que Socrate est mortel. Pour obtenir une proposition de mathmatique pure (ou de logique mathmatique, ce qui est la mme chose), il faut soumettre n'importe quelle dduction un procd analogue celui que nous venons d'excuter, c'est--dire, du moment qu'un argument reste valable quand on change un de ses termes, il faut remplacer ce terme par une variable, c'est--dire par un objet indtermin. On arrivera par l finalement une proposition de logique pure, c'est--dire une proposition qui ne contient d'autres cons- tantes que les constantes logiques. La dfinition des constantes logi- </p><p>This content downloaded from 132.170.219.53 on Mon, 27 Jan 2014 20:20:56 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p></li><li><p>B. RUSSELL. - LIMPORTANCE PHILOSOPHIQUE DE LA LOGISTIQUE. 285 </p><p>ques n'est pas facile, mais on en peut dire ceci : Une constante est logique si les propositions dans lesquelles elle se trouve la contien- nent encore quand on essaie de la remplacer par une variable. Plus exactement, on peut peut-tre caractriser les constantes logiques de la manire suivante : En prenant une dduction quelconque, et en remplaant ses termes par des variables, il arrivera, aprs un cer- tain nombre d'tapes, que les constantes qui restent encore dans la dduction appartiennent un certain groupe, et que si l'on essaie de poursuivre plus loin la gnralisation, il restera toujours des cons- tantes appartenant ce mme groupe; ce groupe, ce sera le groupe des constantes' logiques. Les constantes logiques sont celles qui cons- tituent la pure forme; une proposition formelle est une proposition qui ne contient d'autres constantes que les constantes logiques. Nous venons de rduire la dduction qui prouve que Socrate est mortel la forme suivante : Si x est un a, alors si tous les a sont des , il s'ensuit que x est un . Les constantes ici sont : est-un , tous1 et si-alor$. Ce sont l des constantes logiques, et visiblement ce sont des concepts purement formels. </p><p>Or je dis : tant donne une dduction valable quelconque, sa validit dpend de sa forme, et sa forme s'obtient en remplaant les termes de la dduction par des variables jusqu' ce qu'il ne reste d'autres constantes que celles de la logique. Et rciproquement : Toute dduction valable peut s'obtenir en partant d'une dduction qui opre sur des variables parle moyen des constantes logiques, en attribuant aux variables des valeurs dtermines avec lesquelles i 'hypothse devient vraie. </p><p>Par le moyen de cette opration de gnralisation, on spare l'l- ment strictement dductif dans un argument de l'lment qui dpend de la particularit de ce dont on parle. La mathmatique pure doit s'occuper exclusivement de l'lment dductif. On obtient les propo- sitions de la mathmatique pure par un procd de purification. Si je dis : Voici deux choses, et voici deux autres choses, donc voici quatre choses en tout , je n'nonce pas une proposition de la math- matique pure, parce qu'il s'agit de choses particulires donnes. La proposition que j'ai nonce est une application de la proposition gnrale : tant donnes deux choses quelconques, et deux autres choes quelconques, il y a en tout quatre choses . Celle-ci est bien une proposition de la mathmatique pure, tandis que l'autre tait- une- proposition de la mathmatique applique. </p><p>This content downloaded from 132.170.219.53 on Mon, 27 Jan 2014 20:20:56 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions</p></li><li><p>286 REVUE DE MTAPHYSIQUE ET DE MORALE. </p><p>Il est vident que ce qui dpend de la particularit du sujet, c'est la vrification de l'hypothse, qui permet d'affirmer, non pas seule- ment que l'hypothse implique la thse, mais que puisque l'hypo- thse est vraie, la thse est vraie aussi. Celte affirmation, on ne la fait pas en mathmatique pure. On se contente de la forme hypoth- tique : Si un sujet quelconque vrifie telle hypothse, il vrifiera aussi telle thse. C'est ainsi que la mathmatique pure devient toute entire hypothtique, et qu'elle est amene s'occuper exclusivement d'un sujet indtermin quelconque, c'est--dire de la variable. Toute dduction valable trouve sa forme dans une proposition hypothtique appartenant la mathmatique pure; mais dans la mathmatique pure elle-mme on n'affirme ni l'hypothse ni la thse, moins que toutes deux puissent s'exprimer en termes de constantes logi- ques. </p><p>Si Ton demande pourquoi il vaut la peine de rduire les dduc- tions une telle forme, je rponds qu'il y a deux raisons associes pour le faire, Io qu'il est bon de gnraliser toute vrit autant que possible, 2 qu'on effectue une conomie de travail en faisant la dduction avec un x indtermin. Quand on raisonne sur Socrate, on obtient des rsultats qui ne s'appliquent qu' Socrate, de sorte que, si l'on veut savoir quelque chose sur Platon, on a le raisonne- ment refaire. Mais q...</p></li></ul>

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