Lösungen 7.Übungsblatt - ?· sin(x+y) = sin(x)cos(y) ... cos(2x) = cos(x)2 sin(x)2 = 1 2sin(x)2 =…

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    01-May-2019

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Karlsruher Institut fr Technologie (KIT) WS 2011/2012Institut fr Analysis

Priv.-Doz. Dr. Gerd HerzogDipl.-Math.techn. Rainer Mandel

Lsungen 7.bungsblatt

Aufgabe 25 (K)

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:

a)

n=0

1n+ 5

(x 2)n b)

n=0

n

2nxn

2

c)

n=3

1(4 + (1)n)2n

xn d)

n=0

nn2 xn

Fr welche x R konvergieren die Reihen?

Lsung:

a) Sei an := 1n+5 fr n N. Es gilt

lim supn

n|an| = lim sup

n

1nn+ 5

= 1,

denn1 nn+ 5 n

6n = 61/nn1/n (n N)

und limn 61/nn1/n = 1. Also ist der Konvergenzradius = 11 = 1 und diePotenzreihe konvergiert fr x (1, 3) und divergiert fr x < 1 oder x > 3. Fr x = 1konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium, da (an) monoton fallend ist, frx = 3 divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium, da an 1n+5 =: bn > 0und

n=0 bn divergiert.

b) Sei

an :=

{m2m , falls n = m2 fr ein m N0 , sonst.

Dann gilt

lim supn

n|an| = lim sup

mm2|am2 | = lim sup

m(m2m)

1m2 = lim sup

mm

1m2 2

1m = 1,

denn 1 m1

m2 m1m und die rechte Seite konvergiert nach Vorlesung gegen 1

fr m . Also lautet der Konvergenzradius = 1 und die Reihe konvergiertfr |x| < 1 und divergiert fr |x| > 1. Fr |x| = 1 konvergiert die Reihe nachdem Wurzelkriterium, denn

n=0 |an| =

m=0m2

m und mm2m 12 < 1 fr

m.

c) Sei an := 1(4+(1)n)2n . Es gilt

lim supn

n|an| = lim sup

n

1(4 + (1)n)2

=19,

d.h. der Konvergenzradius ist = 9; daher liegt Konvergenz fr |x| < 9 und Diver-genz fr |x| > 9 vor. Im Falle |x| = 9 ist die Reihe

n=3 anx

n divergent, denn

lim supn

|anxn| = lim supn

|an|9n = lim supn

( 34 + (1)n

)2n = 1 6= 0.d) Sei an := n

n2 . Dann ist die Folge ( n

|an|) = (

n) nach oben unbeschrnkt und es

folgt = 0. Daher liegt Konvergenz ausschlielich im Punkt x = 0 vor.

Aufgabe 26 (K)

a) Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt der Reihen

n=0 2n und

n=0 3

n und be-rechnen Sie dessen Wert.

b) Sei a0 := 0 und an := (1)n+1 1n fr n N. Zeigen Sie, dass die Reihe

n=0 ankonvergiert und das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst divergiert. Warumist der Satz aus der Vorlesung ber die Konvergenz des Cauchy-Produkts nichtanwendbar?

Lsung:

a) Sei an := 2n, bn := 3n fr n N0, sei

cn :=n

k=0

akbnk =n

k=0

2k3kn = 3nn

k=0

(32)k = 3n 1 (32)n+1

1 32=

32n 2

3n.

Da die geometrischen Reihen absolut konvergieren, konvergiert auch ihr Cauchy-Produkt

n=0 cn und der Reihenwert ist

n=0

cn =

n=0

an

n=0

bn =1

1 12 11 13

= 2 32

= 3.

b) Die Folge ( 1n) ist monoton fallend gegen 0, sodass

n=0 an nach dem Leibnizkri-

terium konvergiert. Die Reihe konvergiert nicht absolut, denn |an| 1n fr n 1.Das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst konvergiert nicht, denn

|cn| = |n

k=0

akank|

= n1

k=1

(1)k+1 1k (1)nk+1 1

n k

=n1k=1

1k(n k)

n1k=1

2n

=2(n 1)

n

und dies ist keine Nullfolge. Daher konvergiert das Cauchy-Produkt mit sich selbstnicht.Der Satz aus der Vorlsung ist nicht anwendbar, da

n=0 an nicht absolut konver-

giert.

Aufgabe 27

a) Beweisen Sie mit Hilfe des Cauchy-Produkts die Additionstheoreme:

sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) (x, y R),cos(x+ y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) (x, y R).

b) Beweisen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die folgenden Formeln:

cos(2x) = 1 2 sin2(x) = 2 cos2(x) 1 (x R),

cos(x) + cos(y) = 2 cos(x+ y

2)cos(x y

2)

(x, y R).

Lsung:

a) Wir wenden den Satz ber die Konvergenz des Cauchy-Produkts auf sin, cos an:

sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

=(

n=0

(1)n x2n+1

(2n+ 1)!

)( n=0

(1)n y2n

(2n)!

)+(

n=0

(1)n x2n

(2n)!

)( n=0

(1)n y2n+1

(2n+ 1)!

)=

n=0

nk=0

(1)k x2k+1

(2k + 1)! (1)nk y

2n2k

(2n 2k)!

+

n=0

nk=0

(1)k x2k

(2k)! (1)nk y

2n+12k

(2n+ 1 2k)!

=

n=0

(1)nn

k=0

x2k+1y2n2k

(2k + 1)!(2n 2k)!+

n=0

(1)nn

k=0

x2ky2n+12k

(2k)!(2n+ 1 2k)!

=

n=0

(1)nn

k=0

( x2k+1y2n+1(2k+1)(2k + 1)!(2n+ 1 (2k + 1))!

+x2ky2n+12k

(2k)!(2n+ 1 2k)!

)=

n=0

(1)n2n+1k=0

xky2n+1k

k!(2n+ 1 k)!

=

n=0

(1)n 1(2n+ 1)!

2n+1k=0

(2n+ 1k

)xky2n+1k

=

n=0

(1)n (x+ y)2n+1

(2n+ 1)!

= sin(x+ y).

Analog zeigt man die andere Gleichung.Wir haben verwendet, dass aus der Konvergenz von

n=0 an,

n=0 bn die Glei-

chung

n=0(an + bn) =

n=0 an +

n=0 bn folgt (siehe Vorlesung).

b) Aus a) folgt mit cos(x)2 + sin(x)2 = 1 fr x R

cos(2x) = cos(x)2 sin(x)2 = 1 2 sin(x)2 = 2 cos(x)2 1.

Hieraus folgt wiederum

2 cos(x+ y

2)cos(x y

2)

= 2(cos(

x

2) cos(

y

2) sin(x

2) sin(

y

2))(

cos(x

2) cos(

y

2) + sin(

x

2) sin(

y

2))

= 2(cos(

x

2)2 cos(

y

2)2 sin(x

2)2 sin(

y

2)2)

= 2((1 sin(x

2)2) cos(

y

2)2 sin(x

2)2 sin(

y

2)2)

= 2 cos(y

2)2 2 sin(x

2)2

= (cos(y) + 1) (1 cos(x))= cos(y) + cos(x)

Aufgabe 28

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:

a)

n=0

( nn+ 3

)n23n(x+ 3)n b)

n=2

2nxn2

c)

n=10

(n!)2

(2n)!(x+ 1)n d)

n=0

(1 +

12

+ . . .+1n

)xn

Fr welche x R konvergieren die Reihen?

a) Sei an :=(

nn+3

)n23n. Dann

lim supn

n|an| = lim sup

n

( nn+ 3

)n3 = lim supn

(1 3

n+ 3)n+3(1 3

n+ 3)6 = e31 = e3.

Der Konvergenzradius ist daher = e3. Daher liegt Konvergenz fr x (3 e3,3 + e3) vor und Divergenz fr x < 3 e3 oder x > 3 + e3. Im Falle|x+ 3| = e3 divergiert die Reihe, denn fr n N gilt

WAHR (1 +

3n

)n e3=

(1 +

3n

)n ( nn+ 3

)3 e3

( nn+ 3

)n3e3 1

|an(x+ 3)n| 1.

Also ist (an(x+ 3)n) keine Nullfolge, sodass die Reihe

n=0 an(x+ 3)n divergiert.

b) Sei

an :=

{2m , falls n = m2 fr ein m N0 , sonst.

Dannlim sup

nnan = lim sup

mm2am2 = lim sup

m21/m = 1

und der Konvergenzradius ist 1. Da (an) keine Nullfolge ist, erhalten wir Konvergenzder Reihe fr |x| < 1 und Divergenz fr |x| 1.

c) Es gilt (siehe Groe bung Nr. 7)

n

(n!)2

(2n)!=( nn!

2n

(2n)!

)2 = ( nn!n2n

(2n)!

2n

12)2 (e1

e1 12)2 = 1

4.

Der Konvergenzradius ist demnach = 4 und die Reihe konvergiert fr |x +1| < 4 und divergiert fr |x + 1| > 4. Im Fall |x + 1| = 4 divergiert die Reihe

n=10(n!)2

(2n)! (x+ 1)n, denn fr bn :=

(n!)2

(2n)!(x+ 1)n > 0 gilt

bn+1bn

= 2(n+ 1)2n+ 1

1,

sodass (bn) keine Nullfolge sein kann.

d) Es gilt 1 1 + . . .+ 1n n und darum

lim supn

n

1 + . . .+

1n

= 1.

Der Konvergenzradius ist daher = 1. Da (1+ . . .+ 1n) keine Nullfolge ist, erhaltenwir Konvergenz der Reihe fr |x| < 1 und Divergenz fr |x| 1.

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