m viewPara calcular os coeficientes de Fourier de uma funo par e de uma funo mpar verifiquemos que: I) -π π g(x) dx=2 0 π g x dx . ... existe lim x,y →

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    12-Feb-2018

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SRIES DE FOURIER

Bruno Ern

Engenharia Eltrica

bruno_ern@hotmail.com

Felipe Rodrigues

Engenharia Eltrica

feliperluff@gmail.com

Filipe Belini

Engenharia Mecnica

filipebelini@yahoo.com.br

Italo

Engenharia Mecnica

italovtomaz@gmail.com

Resumo

O presente artigo tem por objetivo discutir Sries de Fourier desde seus conceitos bsicos, passando pelas formas trigonomtricas e complexas, utilizando mudanas de intervalos. Analisamos brevemente o uso das Sries Duplas de Fourier.

Ao longo do trabalho foi possvel comprovar a aplicabilidade da aproximao de funes atravs das Sries de Fourier.

Introduo

Em matemtica, uma srie de Fourier, nomeada em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), a representao de uma funo peridica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo perodo 2) como uma soma de funes peridicas da forma

que so harmnicas de eix. De acordo com a frmula de Euler, as sries podem ser expressas equivalentemente em termos de funes seno e co-seno.

Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais sries infinitas, aps investigaes preliminares de Euler, D'Alembert, e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas sries soluo da equao do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e publicando a sua Thorie analytique de la chaleur em 1822. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier so algo informais, em boa parte devido falta de uma notao concisa de funes e integrais no incio do sculo XIX. Mais tarde, Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande preciso e rigor formal.

Muitas outras transformadas de Fourier foram definidas desde ento, estendendo a outras aplicaes a ideia inicial de representar qualquer funo peridica pela sobreposio de harmnicas. A rea genrica destes estudos hoje por vezes definida como a anlise harmnica.

Sries de Fourier so formas de representar funes como soma de exponenciais ou senides. As sries de Fourier podem ser calculadas pela forma trigonomtrica ou pela forma complexa.

38

1. SRIES DE FOURIER

1.1. FUNES PERIDICAS

Uma funo f(x) dita peridica com um perodo T se f(x+T) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x+nT) = f(x) para n inteiro n=

Exemplo:

1) Se f(x) = tan x, temos que tan(x+) = tan x logo T =.

2) Achar o perodo da funo f(x) = sen nx

Se a funo for peridica

sen n(x+T) = sem nx

sen nx cos NT + sen nT cos nx = sen nx

cos nT = 1 cos nT = cos 2 T =

sen nT = 0 sen nT = cos 2

Logo, T =

OBS: Se as duas funes g(x) e h(x) possuem perodo T ento a funo f(x) = a g(x) + b h(x) peridica com perodo T.

1.2. SRIES TRIGONOMTRICAS

uma srie de funes cujos termos so obtidos multiplicando-se os senos e cossenos dos mltiplos sucessivos da varivel independente x por coeficiente, que no dependem da varivel x e so admitidos reais.

... ...

OU

1

Sendo esta uma srie de funes, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a srie for convergente) ser uma funo da varivel independente e como os termos da srie so funes trigonomtricas, funes peridicas de perodo , a soma S(x) ser uma finco peridica de de perodo . De modo que precisamos estudar a srie trigonomtrica em um intervalo de comportamento , por exemplo: ou (0,).

As funes peridicas de interesse prtico podem sempre ser representadas por uma srie trigonomtrica.

Esta representao possvel se f(x) satisfaz as condies de suficincia de Dirichlet.

1.3. CONDIES DE DIRICHLET

Embora no sejam conhecidas as condies necessrias e suficientes para que uma funo possa ser representada por uma srie trigonomtrica; as condies de suficincia de Direchlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergncia da srie para a funo.

(a) A funo f(x) deve ser contnua e portanto limitada no intervalo , com exceo, talvez, de um nmero finito de pontos de descontinuidade de primeira espcie (finitas).

Exemplo: f(x) = 1 para

0 para

Esta funo apresenta, num perodo, apenas um ponto de descontinuidade finita em x=0.

Contra-exemplo: f(x) = no intervalo

Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto t = 3.

(b) Efetuando-se uma partio no intervalo em um nmero finito de sub-intervalos, a funo f(x) em cada um deles ser montona. A funo f(x) tem somente um nmero finito de mximos e mnimos em um perodo.

Exemplo:

Podemos considerar 3 sub-intervalos:

no 1 f(x) crescente

no 2 f(x) decrescente

no 3 f(x) crescente

Apresenta no perodo um ponto de mximo e um de mnimo

Contra-exemplo:

Esta funo apresenta um nmero infinito de mximo e mnimo na vizinhana de t = 0.

1.4. ORTOGONALIDADE Integrais de EULER

Os termos na srie so ditos ortogonais com relao ao perodo T = , isto , a integral em um perodo do produto de quaisquer dois termos diferentes nula.

INTEGRAIS DE EULER

1) n = 1,2,3,...

2) n = 0,1,2,...

3) (p q) inteiros

4) p = 1,2,

5) (p q) inteiros

6) p = q 0

7) p = q

P q

Demonstrando:

1) n = 1,2,3,...

2) n = 0,1,2,...

3) (p q)

1

2

Somando membro a membro 1 + 2

4) q = p = 1,2,...

1

2

Somando 1 + 2

5) (p q)

6) p = q 0

7) p = q

P q

1

2

1 + 2

1.5. DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE FOURIER

Usando propriedades elementares das funes trigonomtricas podemos facilmente determinar e em termos de f(x) de maneira que no intervalo a srie trigonomtrica 1 seja igual funo f(x), isto ,

1

Integrando os dois membros de 1 entre

( = 0 = 0 1 I.E. 2 I.E.)

Clculo de

Multiplicando 1 por cos px, sendo p, nmero fixo dado e integremos entre os limites .

= 0 = 0 = 0

1 I.E. 3 I.E. 7 I.E.

Se n = p

Clculo de :

Multiplique 1 por sem px e integremos entre .

= 0 = 0 se n p

Se n = p

Exemplo:

Determinar a srie de Fourier de funo f(x) que supomos possuir o perodo 2 e fazer esboos grficos de f(x) e das primeiras trs somas parciais.

As somas parciais so:

Vimos que para a srie de Fourier representa

Vamos determinar a srie de Fourier para:

A funo a deslocada unidades para baixo, logo

A funo a mesma , exceto por uma alterao na escala do tempo.

EXERCCIOS

1.6. Verificar se as funes abaixo satisfazem as condies de Dirichlet.

1.

2.

3.

4.

5.

1.7 Desenvolver em srie de Fourier as funes supostas peridicas de perodo 2.

1.

2. ,

3. ,

4. , onde k constante

PARA CONFERIR

1.6.1 Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminao, a descontinuidade de 1 espcie.

Para t = 2 ,

2 No, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t = -2.

3 No, descontinuidade infinita na vizinhana de x = 1.

4 Sim, as duas condies so satisfeitas.

5 No, pois na vizinhana de z = 1 temos um nmero infinito de mximos mnimos.

1.7.1

A satisfaz as condies de Dirichlet.

CLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER:

Fazendo a integrao por partes:

u

A f(t) satisfaz as condies de Dirichlet.

CLCULO DOS COEFICIENTES:

Multiplicando por n

De modo anlogo calculamos bn

Logo,

1.8 FUNES PARES E MPARES

Sejam g(x) e h(x) funes definidas no intervalo

g(x) par se g(-x) = g(x), para todo x

h(x) mpar se h(-x) = -h(x), para todo x

Observaes: O grfico da funo par g(x) simtrico em relao ao eixo das ordenadas.

O valor da funo mpar no ponto zero: h(0) = 0

Para calcular os coeficientes de Fourier de uma funo par e de uma funo mpar verifiquemos que:

Ento:

Ento:

III) O produto de uma funo par g(x) por uma funo mpar h(x) mpar.

q(x) = g(x).h(x)

q(-x) = g(-x).h(-x)

q(-x) = g(x).-h(x)

q(-x) = -g(x).h(x)

q(-x) = -q(x)

IV) O produto de uma funo par x funo par funo par.

q(x) = g(x).g(x)

q(-x) = g(-x).g(-x)

q(-x) = g(x).g(x)

q(-x) = q(x)

V) O produto de uma funo mpar x funo

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