MACROECONOMÍA- MODELO DE RAMSEY

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    30-Nov-2015

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<ul><li><p>Macroeconoma Avanzada II</p><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Daniela Hauser</p><p>Universitat Autnoma de Barcelona - Programa Universidad - Empresa</p><p>Abril 2013</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 1 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) (1)</p><p>Extensin lgica del modelo de Solow: los agentes econmicos deciden la parte</p><p>de sus ingresos dedicado al consumo en el periodo actual y la parte que</p><p>ahorran para el consumo en periodos ms avanzados. Los supuestos basicos</p><p>del modelo RCK:</p><p>Ilos agentes econmicos trabajan y reciben salarios, prestan capital a las</p><p>empresas y reciben tipo de inters, compran el bien de consumo</p><p>producido por las empresas y ahorran</p><p>Ilos agentes econmicos toman en cuenta el bienestar de las futuras</p><p>generaciones (interaccin intergeneracional) asumimos un horizonteinnito, es decir, asumimos que los agentes econmicos tienen una vida</p><p>nita, pero que la familia extendida tiene una vida eterna y cada</p><p>miembro es altrustico</p><p>Ilos agentes econmicos esperan que el tamao de su familia crezca a una</p><p>tasa constante, n &gt; 0, (crecimiento de la poblacin)</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 2 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) (2)</p><p>En el modelo RCK trabajamos en tiempo continuo, tal que cada</p><p>variable es una funcin del tiempo. Ejemplo: La poblacin, L(t)</p><p>I L(t) crece a una tasa constante, n &gt; 0, normalizando L(0) = 1tenemos</p><p>L(t) = entL(0) = ent</p><p>ILa tasa de crecimiento de la poblacin viene denido por</p><p>n =L(t)</p><p>L(t)</p><p>L(t) =L(t)</p><p>t= nent L(t)</p><p>L(t)=nent</p><p>ent= n</p><p>IEn tiempo discreto:</p><p>Lt+1 LtLt</p><p>= n Lt+1 = (1 + n)Lt</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 3 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) (3)</p><p>IAgregamos todos los agentes econmicos en un agente econmico</p><p>representativo.</p><p>INo hay incertidumbre tal que el agente econmico tiene una</p><p>previsin perfecta del futuro ("perfect foresight" en ingls).</p><p>IProduccin a travs de una tecnologa con rendimientos constantes</p><p>a escala Y (t) = A(t)F [K(t), L(t)] con A(t) = egt</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 4 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Agente econmico (1)</p><p>Los agentes econmicos deciden en cada momento del tiempo como dividir sus</p><p>ingresos entre consumo y ahorro, tal que su utilidad sea mxima. En</p><p>particular, el agente econmico representativo resuelve el problema siguiente:</p><p>maxU0 =</p><p> 0</p><p>etu [c(t)]L(t)dt</p><p>donde U0 es la sume de utilidades instantneas entre 0 y , es la tasa dedescuento, L(t) = ent es el crecimiento de la poblacin y c(t) es el consumoper cpita en t.</p><p>Con u [c(t)] = c(t)1</p><p>1 siendo cncava (agente econmico alisa su consumo a lolargo del tiempo)</p><p>maxU0 =</p><p> 0</p><p>etc(t)1</p><p>1 L(t)dt</p><p>sujeto a la restriccin presupuestara.</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 5 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Agente econmico (2)</p><p>ILos agentes econmicos ofrecen una unidad de trabajo en el</p><p>mercado laboral en cada momento del tiempo. La oferta de trabajo</p><p>es exgena y no tomamos en cuenta el desempleo (cada agente</p><p>econmico siempre trabaja).</p><p>IFuncin de utilidad con aversin al riesgo constante (constant</p><p>relative risk aversion utility function, CRRA, en ingls). Cuando converge a uno la funcin de utilidad converge a una funcin</p><p>logartmica.</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 6 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Agente econmico (3)</p><p>En tiempo discreto tenemos:</p><p>U0 = u(c0) + (1 + n)u(c1) + (1 + n)22u(c2) + ...</p><p>=</p><p>t=0</p><p>t(1 + n)tu(ct)</p><p>con 11+ (relacin entre tasa y factor de descuento)</p><p>U0 = u(c0) +</p><p>(1 + n</p><p>1 + </p><p>)u(c1) +</p><p>(1 + n</p><p>1 + </p><p>)2u(c2) + ...</p><p>=</p><p>t=0</p><p>(1 + n</p><p>1 + </p><p>)tu(ct) =</p><p>t=0</p><p>t (1 + n)t u(ct)</p><p>Fijarse, que</p><p>et=(</p><p>1</p><p>1 + </p><p>)t= t</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 7 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Agente econmico (4)</p><p>Activos nancieros:</p><p>B(t) &gt; 0 activo (prstamo a otro)</p><p>B(t) &lt; 0 pasivo (deuda)</p><p>con Bt siendo la variacin al largo del tiempo, es decir B(t) =B(t)t que</p><p>en tiempo discreto sera 4Bt = Bt Bt1 por cada periodo t Larestriccin presupuestara:</p><p>B(t) = W (t)L(t) + r(t)B(t) C(t)</p><p>El agente econmico es competitivo, es decir toma como dado el tipo de</p><p>inters, r(t), y el salario, W (t). Para simplicar la notacin nosabstraemos de la dependencia de las variables del tiempo (t):</p><p>B = WL+ rB C</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 8 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Agente econmico (5)</p><p>Queremos expresar la restriccin presupuestaria en terminos per cpita</p><p>tal que b(t) = B(t)L(t)</p><p>b =b</p><p>t=BLt</p><p>=BLBL</p><p>L2</p><p>=B</p><p>L BL</p><p>L</p><p>L=B</p><p>L nb</p><p>con lo que</p><p>B = WL+ rB Cen trminos per cpita es</p><p>b = w + rb c nb</p><p>Los activos nancieros per cpita aumentan con el ingreso per cpita,</p><p>w + rb, disminuyen con el consumo per cpita, c, y disminuyen por elcrecimiento de la poblacin, nb.Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 9 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Agente econmico (6)</p><p>El agente econmico resuelve el problema siguiente:</p><p>maxU0 =</p><p> 0</p><p>e(n)tc1</p><p>1 dt</p><p>sujeto a</p><p>b = w + rb c nb (1)= w + (r n) b casumimos que &gt; n</p><p>Denicin:</p><p>Ivariable de estado (informacin que tenemos en t, variable conun b): activos nancieros b</p><p>Ivariable de control (variable que se elige de manera ptima):</p><p>consumo c</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 10 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>CPO del Hamiltoniano (1)</p><p>Para resolver este problema por el mtodo del Hamiltoniano simplemente hay que seguir las instrucciones</p><p>siguientes:</p><p>1. Denir la funcin hamiltoniania al aadir a la funcin de utilidad (funcin objetivo) un</p><p>multiplicador de Lagrange () multiplicando la parte derecha de la funcin de transicin (1):</p><p>H = e(n)tc1</p><p>1 + [w + (r n) b c]2. Derivar la funcin hamiltoniana respecto a la variable de control (la que queremos maximizar, es</p><p>decir c) e igualando esta derivada a cero:</p><p>H</p><p>c= e(n)tc = 0 (2)Interpretacin econmica: valor marginal del consumo es igual al valor marginal de la inversin</p><p>3. Derivar la funcin hamiltoniana respecto a la variable de estado (variable que aparece con b en lafuncin de transicin) e igualando esta derivada al valor negativo de la derivada del multiplicador</p><p> respecto al tiempo:</p><p>H</p><p>b= (r n) = </p><p>t= (3)Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 11 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>CPO del Hamiltoniano (2)</p><p>Condicin de transversalidad:</p><p>limt(t)b(t) = 0</p><p>Interpretacin econmica:</p><p>Los agentes econmicos no quieren dejar nada que tenga valor positivo</p><p>para despus de su muerte, ya que dejaran de obtener rendimiento por</p><p>ello. Si dejasen algo de valor para el nal, podran haberlo consumido</p><p>antes y obtener utilidad. Si pudiesen haber obtenido ms utilidad</p><p>antes, la solucin no era la ptima.</p><p>O dicho de otra maera: En el caso que b(t) se queda positivo en ellimite, entonces su precio, (t), tiene que converger a cero.</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 12 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>CPO del Hamiltoniano (3)</p><p>Para analizar las CPO en ms detalle, seguimos las siguientes</p><p>instrucciones (para combinar (2) y (3) y eliminar el multiplicador ):</p><p>1. Tomamos logaritmos de la CPO respecto al consumo (2):</p><p>( n)t log c(t) = log (t)</p><p>2. Derivamos respecto al tiempo:</p><p>( n) cc</p><p>=</p><p>3. Sustituimos esta expresin en la CPO de los activos nancieros (3):</p><p>c =c</p><p>c=r </p><p>Y ya tenemos la ecuacin de Euler!</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 13 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Ecuacin de Euler (1)</p><p>Interpretacin de la ecuacin de Euler:</p><p>c =c</p><p>c=r La ecuacin de Euler dene la decisin ptima del consumo a lo largo del</p><p>tiempo, donde</p><p>I es el aumento en la utilidad por consumir en el presente y no en elfuturo</p><p>I r es el tipo de inters asociado a los activos nancieros, es decir elrendimiento neto del ahorro (precio del mercado de consumir en el</p><p>presente y no en el futuro)</p><p>Ipor = r tenemos cc = 0 tal que no hay alisamiento en el consumo (seconsume la misma cantidad en cada periodo)</p><p>Ipor &gt; 0 el consumidor desea avanzar el (acordarse que 1 denota laelasticidad de sustitucin intertemporal tal que ms bajo el valor de ,</p><p>menos el consumidor quiere alisar su consumo y ms se trasladen</p><p>cambios en r en cambios en c). consumo</p><p>Quera el agente econmico bajar su consumo hoy para aumentar su</p><p>consumo de maana?</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 14 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Ecuacin de Euler (2)</p><p>Quera el agente econmico bajar su consumo hay para aumentar su</p><p>consumo de maana? Depende de r...</p><p>IDisminuir el consumo hoy implica que</p><p>cc aumenta y por lo tanto el</p><p>ahorro aumenta</p><p>IEl agente econmico solo har esto si la compensacin por el ahorro</p><p>adicional es suciente</p><p>+ c</p><p>c= r</p><p>Para que la ecuacin se siga cumpliendo r debe aumentarIel aumento en r depende del parmetro (aversin al riesgo del agenteeconmico, inversa de la elasticidad de sustitucin intertemporal):</p><p>4 cc</p><p>= 4rcuanto mayor sea mayor ser el aumento requerido de r, es decir, elagente econmico quiere alisar ms su consumo y menos lo quiere</p><p>sustituir a lo largo del tiempo.</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 15 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Empresas (1)</p><p>Las empresas alquilan trabajo y capital a precios w(t) y r(t) y vendensu produccin a precio p(t) = 1. Las empresas son perfectamentecompetititivas (toman todos los precios como dados) y producen con</p><p>una funcin de produccin que:</p><p>Itiene rendimientos constantes a escala tal que el tamao de las</p><p>empresas no importa y podemos agregar todas las empresas en una</p><p>sola (empresa representativa)</p><p>Itiene una productividad marginal positiva y decreciente de todos</p><p>los factores de produccin</p><p>Isatisface la condicin de Inada</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 16 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Empresas (2)</p><p>Las empresas eligen la cantidad ptima de todos los factores de</p><p>produccin (tal que maximizan sus benecios, (t)):</p><p>max = maxF (K,L) (r + )K wLcon F (K,L) = AKL1 las condiciones de primer orden son:</p><p>[K] : AK1L1 = r + [L] : (1 )AKL = wen trminos per cpita:</p><p>f (k) = r + (4)f(k) kf (k) = w (5)Fijaros que en el problema de las empresas no hay ningn elemento</p><p>intertemporal, dado que el problema de maximizar el valor presente</p><p>de todos los futuros benecios se reduce a un problema de maximizar</p><p>benecios en cada periodo.</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 17 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Equilibrio competitivo (1)</p><p>ILos precios deben ser iguales para los agentes econmicos y para</p><p>las empresas, es decir:</p><p>Isalario pagado por las empresas = salario recibido por los agentes</p><p>econmicos</p><p>Itipo de inters pagado por las empresas = tipo de inters recibido</p><p>por los agentes econmicos</p><p>Iprecio pagado por los agentes econmicos = precio recibido por las</p><p>empresas</p><p>ITodos los mercados se vacan:</p><p>Itrabajo ofrecido de los agentes econmicos = trabajo demandado</p><p>por las empresas</p><p>Iproduccin de las empresas = consumo de los agentes econmicos</p><p>IComo la economa es cerrada y no hay gobierno, todo lo prestado</p><p>tiene que ser igual a lo que reciben los prestatarios, es decir lo que</p><p>prestan los agentes econmicos es igual al capital que las empresas</p><p>utilicen en su produccin: b = k (en equilibrio, r se ajusta para quese cumpla esta igualdad)</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 18 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Equilibrio competitivo (2)</p><p>Analizamos en ms detalle el comportamiento de b y k en equilibrio. Sustituirla restriccin presupuestara y (4) en (5):</p><p>w = f(k) k(r + )b rb+ nb+ c = f(k) k(r + )sabiendo que b = k en equilibrio:</p><p>k = f(k) c ( + n)kque nos indica el comportamiento dinmico de k (capital per cpita) que es lamisma ecuacin que en el modelo Solow. Sustituir (4) en la ecuacin de Euler:</p><p>c</p><p>c=</p><p>1</p><p>[f (k) ] (6)Para que el agente econmico tome una senda de consumo creciente,</p><p>cc &gt; 0, sele ha de recompensar con un producto marginal mayor, f (k) Fijaros que en el modelo Solow (6) est sustituido por el supuesto de una tasa</p><p>de ahorro constante, c = (1 s)f(k)Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 19 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Equilibrio competitivo (3)</p><p>El equilibrio competitivo del modelo RCK est denido por las dos</p><p>ecuaciones:</p><p>k = f(k) c ( + n)kc</p><p>c=</p><p>1</p><p>[f (k) ]Es decir, dada una condicin inicial k(0) y junto con la condicin detransversalidad, estas dos ecuaciones denen la senda al largo del</p><p>tiempo de k y c.</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 20 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Asignacin ptima: El problema del planicador social (1)</p><p>El planicador social maximiza el bienestar social, medido por la</p><p>funcin de utilidad de los agentes, tomando en cuenta todas las</p><p>restricciones denidas el equilibrio.</p><p>IEl planicador es como una institucin retomando el rol de los</p><p>mercados, asignando</p><p>Ia todos los agentes el consumo y las horas trabajadas que</p><p>maximizan su bienestar</p><p>Ia todas las empresas los factores de produccin que maximizan sus</p><p>benecios</p><p>IEn el mundo del planicador no existen ni mercados, ni precios.</p><p>IEl problema del planicador social es un caso interesante y un</p><p>punto de partida en el anlisis de distintas polticas y para</p><p>comparar el equilibrio de mercados competitivos con el caso</p><p>ptimo ("rst-best")</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 21 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Asignacin ptima: El problema del planicador social (2)</p><p>Como eligera un planicador social consumo y ahorro a lo largo del</p><p>tiempo?</p><p>max</p><p> 0</p><p>e(n)tc(t)1</p><p>1 dt</p><p>sujeto a</p><p>K(t) = F [K(t), L(t)] C(t) K(t) (7)La produccin se usa para consumo e inversin. Expresar (7) en per</p><p>cpita:</p><p>K</p><p>L= f(k) c k</p><p>k = f(k) c ( + n)k</p><p>Anota: k = KL k = KLLKL2 = KL nk KL = k + nk</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 22 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Asignacin ptima: El problema del planicador social (3)</p><p>Resolvemos el problema del planicador social segn el Hamiltoniano:</p><p>HP = e(n)t c1</p><p>1 + [f(k) c ( + n)k]Condiciones de primer orden (CPO):</p><p>[c] : HP,c = e(n)tc = </p><p>[k] : HP,k = = (f (k) n)De la condicin de primer orden con respecto al capital, podemos</p><p>expresar el stock de capital ptimo de la economa (stock de capital de</p><p>la regla de oro):</p><p>HP,k = = (f (k) n)f (k) n = 0</p><p>f (k) = + n</p><p>donde la ltima ecuacin dene el stock de capital per capita en el</p><p>estado estacionario que maximiza el consumo per capita.</p><p>Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 23 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Asignacin ptima: El problema del planicador social (4)</p><p>En el caso de una funcin de produccin Cobb-Douglas, el stock de capital</p><p>ptimo, es decir el stock de capital segn la regla de oro, est denido por:</p><p>kRO =</p><p>(A</p><p> + n</p><p>) 11</p><p>Combinando las dos CPO:</p><p>tomando log en [c] :</p><p>( n)t log c(t) = log (t)derivando respecto al tiempo:</p><p>( n) cc</p><p>=</p><p>sustituyendo en [k] :c</p><p>c=</p><p>1</p><p>[f (k) ]Daniela Hauser (UAB) Macroeconoma Avanzada II Abril 2013 24 / 26</p></li><li><p>Modelo Ramsey-Cass-Koopmans</p><p>Asignacin ptima: El problema del planicador social (5)</p><p>Asumiendo una funcin de produccin tipo Cobb-Douglas, podemos</p><p>comparar el stock de capital ptimo (stock de capital de la regla de oro,</p><p>es decir el stock de capital que maximiza el consumo per capita)</p><p>kRO =</p><p>(A</p><p> + n</p><p>) 11</p><p>con el stock de capital que escoge el planicador social</p><p>kPLAN =</p><p>(A</p><p> + </p><p>) 11</p><p>Acordar, que asumimos &gt; n, tal que kOPT &gt;...</p></li></ul>