Matematica Exercicios Numeros Complexos Gabarito

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    14-Dec-2014

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<p> Exerccios de Nmeros Complexos com Gabarito 1) (UNIFESP-2007) Quatro nmeros complexos representam, no plano complexo, vrtices de um paralelogramo. Trs dos nmeros so z1 = 3 3i, z2 = 1 e z3 = 1 + (25)i. O quarto nmero tem as partes real e imaginria positivas. Esse nmero a) 2 + 3i. b) 3 + (11/2)i. c) 3 + 5i. d) 2 + (11/2)i. e) 4 + 5i. 2) (Mack-2008) Sendo i2 = -1, o nmero complexo 21 itgx + , com x no nulo e -2t&lt; x 0, Im(z) &gt; 0 e |z| s 1. b) Re(z) &gt; 0, Im(z) s 0 e |z| s 1. c) Re(z) &gt; 0 e |z| &gt; 1. d) Im(z) &gt; 0 e |z| &gt; 1. e) Re(z) &gt; 0 e |z| s 1. 10) (UFRJ-2005) Um jantar secreto marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relgio forem representadas pelos nmeros complexos z e w a seguir: z = o ((</p> <p>|.|</p> <p>\| t+ |.|</p> <p>\| t2isen2cos, w = z2, sendo o um nmero real fixo, 0 &lt; o&lt; 1 . Determine a hora do jantar. 11) (IBMEC-2005) Considere a equao x2 - 2cos(u)x + 1 = 0, com 0 s u s t. a) Determine os valores de u para os quais esta equao admite razes reais. b) Resolvendo em C a equao dada, determine, em funo de u, suas razes e represente-as no plano Argand-Gauss abaixo. 12) (UERJ-2005) Joo desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, a representao de um nmero complexo z = x + iy , x e IR, y e IR e i2 = 1. Para indicar a posio (x1, y1) e a distncia d do cofre origem, Joo escreveu a seguinte observao no canto do mapa: x1 + iy1 = (1+i)9 Calcule: a) as coordenadas (x1, y1); b) o valor de d. 13) (Vunesp-2005) Considere os nmeros complexos z = 2 - i e w = -3 -i, sendo i a unidade imaginria. a) Determine z . w e |w - z |. b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e determine b e IR, b &gt; 0, de modo que os nmeros complexos z, w e t = bi sejam vrtices de um tringulo, no plano complexo, cuja rea 20. 14) (Vunesp-2005) Seja o nmero complexo z = 10 + 10i, no qual i =1 A forma trigonomtrica que representa este nmero a) 10 |.|</p> <p>\| t+t2isen2cos b) 10 |.|</p> <p>\| t+t4isen4cos c) 1010 |.|</p> <p>\| t+t6isen6cos d) 102 |.|</p> <p>\| t+t2isen2cos e) 102 |.|</p> <p>\| t+t4isen4cos 15) (Mack-2004) As representaes grficas dos complexos 1 + i , (1 + i)2, -1 e (1 - i)2, com i2 = -1, so vrtices de um polgono de rea: a) 2 b) 1 c) 23 d) 3 e) 4 16) (Unifesp-2004) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o tringulo de vrtices z1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i. A rea do tringulo de vrtices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3 : a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 17) (Unicamp-1988) Identifique o lugar geomtrico dos pontos z = x + iy do plano complexo tais que Re(z1) = 41. Determine a equao cartesiana e faa o grfico desse lugar. 18) (Fuvest-1978) O nmero complexo z=0 e seu inverso z1 tm o mesmo mdulo. Conclui-se que: a) z e z1so conjugados b) z + z1= i c) este mdulo 2 d) z e z1so reais e) z2 = 1 19) (Fuvest-1984) Os nmeros complexos z e w tm 125t e 3t como argumentos, respectivamente. Ache u e v reais tais que zw = u + iv, sabendo que | zw | = 10. 20) (FGV-1991) Dentre todos os nmeros complexos, z = atisfazem a inequao |z - 21) (Mack-2005) Dados os complexos z e w, tais que 2z + w = 2 e z + w = i2i 1+, i2 = -1, o mdulo de w igual a: a) 5 b) 22 c)3 d) 6 e) 33 22) (ITA-2005) Seja z eC com |z| = 1. Ento, a expresso w aw z 1 assume valor a) maior que 1, para todo w com |w| &gt; 1. b) menor que 1, para todo w com |w| 0, de modo que ni2123(((</p> <p>+seja real positivo, : a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 12 90) (Unicamp-2005) Um nmero complexo z = x + iy, z=0 , pode ser escrito na forma trigonomtrica: z = |z|(cosu+ isenu), onde |z| = 2 2y x +, cosu = x/|z| e senu = y/|z|. Essa forma de representar os nmeros complexos no-nulos muito conveniente, especialmente para o clculo de potncias inteiras de nmeros complexos, em virtude da frmula de De Moivre: [|z|(cosu + isenu)]k = |z|k(cosku + isenku) que vlida para todo keZ . Use essas informaes para: a) Calcular ( )12i 3 + b) Sendo z = 22 + i22, calcular o valor de 1 + z + z2 + z3 + + z15. 91) (Mack-1996) Na figura a seguir, P e Q so, respectivamente, os afixos de dois complexos z1 e z2. Se a distncia OQ 2 2, ento correto afirmar que: a) z2 = 3z1. b) z2 = 2z1. c) z2 = z13. d) z2 = z12. e) z2 = 3z13. 92) (ITA-1995) Seja z um nmero complexo satisfazendo Re(z) &gt; 0 e (z + i)2+|z' + i|2 = 6, onde z' o conjugado de z. Se n o menor natural para o qual zn um imaginrio puro, ento n igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 93) (FEI-1995) O mdulo do nmero complexo (1 + i)-3 : a) 2 b) 1 c) -3 d) 42 e) 0 94) (UFC-1999) Considere o nmero complexo z = (1+i).(3 i). Assinale a opo na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que zn seja um nmero real positivo. a) 6. b) 12. c) 18. d) 24. e) 30. 95) (UFMG-2003) Sejam n um nmero inteiro positivo e z um nmero complexo tal que |z| = 1 e 1 + z2n = 0. CALCULE a parte imaginria de 2nnz 1z+. 96) (AFA-1999) A representao trigonomtrica do conjugado do nmero complexo z = (1 +3 i)5, sendo i a unidade imaginria e k e Z, a) 32cos(t/3 + 2kt) - 32i.sen(t/3 + 2kt). b) 32cos(5t/4 + 10kt) - 32i.sen(5t/4 + 10kt). c) 32cos(5t/6 + 10kt) - 32i.sen(5t/6 + 10kt). d) 32cos(5t/3 + 10kt) - 32i.sen(5t/3 + 10kt). 97) (UECE-2002) O valor de a , no intervalo ((</p> <p> t2, 0, para o qual o nmero complexo x = cosa + i .sena tal que i2321x2+ =, satisfaz: a) 3t&lt; a &lt; 2t b) 6t&lt; a &lt; 3t c) 6t&lt; a &lt; 4t d) 10t&lt; a &lt; 5t 98) (Fuvest-1994) a) Se z1=cosu1+isenu1 e z2=cosu2+isenu2, mostre que o produto z1z2 igual a cos (u1+u2)+isen(u1+u2). b) Mostre que o nmero complexo z=cos48+isen48 raiz da equao z10+z5+1=0. 99) (Fuvest-1996) Dado o nmero complexo z =3+i qual o menor valor do inteiro n &gt; 1 para o qual zn um nmero real? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 100) (VUNESP-2010) As solues da equao z3 = i, onde z um nmero complexo e i2 = -1, so: a) i z2122+ = ou z = -i. b) i z2123 = ou z = -i. c) i z2123+ = ou z = -i. d) i z2122 = ou z = -i. e) i z2321 = ou z = -i. 101) (Vunesp-1990) O diagrama que melhor representa as razes cbicas de -i : a) b) c) d) e) 102) (Mack-1998) Se 3 + 4i raiz cbica de um complexo z, ento o produto das outras razes cbicas de z : a) 24 + 7i b) -24 - 7i c) - 7 - 24i d) - 7 + 24i e) 7 - 24i 103) (ITA-1998) Considere, no plano complexo, um polgono regular cujos vrtices so as solues da equao z6 = 1. A rea deste polgono, em unidades de rea, igual a: a) 3 b) 5 c) t d) 23 3 e) 2t 104) (UFPE-1996) As solues complexas da equao z6 = 1 so vrtices de um polgono regular no plano complexo. Calcule o permetro deste polgono. 105) (Mack-1997) As representaes grficas dos complexos z tais que z3 = 8 so os vrtices de um tringulo: a) inscrito numa circunferncia de raio 1. b) que tem somente dois lados iguais. c) eqiltero de lado 2. d) eqiltero de altura 23. e) de rea 33. 106) (UFC-2003) A rea do polgono cujos vrtices so as representaes geomtricas das razes do polinmio p(x) = x6 - 1 : a) 23 3 b) 33 2 c) 22 3 d) 32 2 e) 43 3 107) (Fuvest-2001) No plano complexo, cada ponto representa um nmero complexo. Nesse plano, considere o hexgono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginria, como um de seus vrtices. a) Determine os vrtices do hexgono. b) Determine os coeficientes de um polinmio de grau 6, cujas razes sejam os vrtices do hexgono. 108) (ITA-2002) Seja a equao em C z4 z2 + 1 = 0. Qual dentre as alternativas abaixo igual soma de duas das razes dessa equao? a) 23 b) 23 c)23 d) i e) 2i 109) (Unicamp-1998) a) Qual o valor de na equao z3 5z2 + 8z = 0 de modo que z = 3 seja uma raiz dessa equao? b) Para esse valor de , ache as trs razes z1, z2, z3 dessa equao. c) Ache o volume do slido obtido quando a regio triangular cujos vrtices so os pontos z1, z2, z3 gira em torno da reta de equao x = 1. Gabarito 1) Alternativa: B 2) Alternativa: D 3) Alternativa: E 4) Resposta: 3cm 5) -2i e -2 6) Alternativa: B 7) Alternativa: D 8) Alternativa: A 9) Alternativa: E 10) 21h. Resoluo: z = oi , w = ( oi )2 = -o2. Como o &lt; 1, ento o2 &lt; o de forma que o mdulo de w menor que o mdulo de z, ou seja, w representa a extremidade do ponteiro das horas e z representa a extremidade do ponteiro dos minutos. Sendo jantar, entendemos que o horrio 21h (a mesma posio dos ponteiros tambm representaria 9h, que no condiz com jantar) 11) a) 0 ou t. b) cosu i.senu 12) a) (1+i)9 = 16+16i = (16, 16) b) d = 162 13) a) z . w = -7 + i e |w - z| = 5 b) b = 7. 14) Alternativa: E 15) Alternativa: E 16) Alternativa: B 17) (x-2)2 + y2 = 0 18) Alternativa: A 19) u = -52 e v = 52 20) 12 + 16i 21) Alternativa: B 22) Alternativa: D 23) Alternativa: A 24) Alternativa: C 25) Alternativa: B 26) b = 31 - i38 27) Alternativa: C 28) Alternativa: A 29) Alternativa: E 30) Alternativa: A 31) Alternativa: A 32) Alternativa: A OBS: b) falsa pois a parte imaginria de z 1 e no i. 33) Alternativa: B 34) Alternativa: B 35) a) O lugar geomtrico pedido uma circunferncia de centro (2; 5) e raio 2. b) Os nmeros so i i21235;21235+ 36) Alternativa: E 37) Alternativa: D 38) a) existem duas opes para (x - a)2 + y2 = r2: o ponto de coordenadas (a; 0) se r = 0 ou a circunferncia de centro (a; 0) e raio |r|, se r = 0. b) x2 + y2 = R2 |z| = R2 z.z = R2, onde z = x + iy. 39) Alternativa: A 40) Alternativa: C (a rea pedida metade de uma coroa circular de raios 1 e 2....) 41) Alternativa: C 42) a) -3 +i e -2i b) 23 43) Alternativa: B 44) Alternativa: C 45) Alternativa: C 46) Alternativa: C 47) Alternativa: A 48) Alternativa: A 49) Alternativa: F 50) Alternativa: D 51) Se |/o = i ento | = oi. Substituindo, temos que | - o = oi - o = o(i-1) = i. Ento o = i/(i-1) = (1-i)/2 e | = oi = (1+i)/2 e o + | = 1. 52) Alternativa: E 53) Alternativa: A 54) Alternativa: D 55) Alternativa: A 56) Alternativa: C 57) Alternativa: C 58) Alternativa: D 59) Alternativa: D 60) Soma = 0 61) Alternativa: C 62) Alternativa: D 63) Alternativa: E 64) a) 2i e -4 + 6i b) |z| = 2,|w| = 2 e a seqncia (1, 2 , 2, 22 , 4), que uma progresso geomtrica de razo2 . 65) a) o43&lt; e o21= b) 66) Alternativa: C 67) a) (2x - 2) + (x + 4)i b) x s 6 68) a) i5354+ b) So os complexos de mdulo 1, exceto z = i, ou seja, os complexos da forma z = a + bi, com a2+b2 = 1 (seus afixos pertencem circunferncia de centro na origem e raio 1). 69) Alternativa: A 70) Alternativa: D 71) Alternativa: A 72) Alternativa: E 73) a) S1 = {z e C | z=x+yi e x2+y2 = 4, x, y e R } e S2 = {z e C | z = o ou z = oi, oeR } b) S = { -2, 2, -2i, 2i } OBS: Note que S1 uma circunferncia de raio 2 centrada na origem (complexos com mdulo 2) e S2 so os eixos coordenados (abscissa e ordenada) 74) a) Se z = x+iy, ento z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy. Ento, dividindo 2 z2i z+ encontramos | |2 2y 2) (xxy 2) 2)(y (x i 2) y(y 2) x(x+ + + + + +e assim a parte real 2 2y 2) (x2) y(y 2) x(x+ + + +. Fazendo 2 2y 2) (x2) y(y 2) x(x+ + + + =21 de onde se chega em x2+(y+2)2 = 8 para x=2 e y=0. Note que x2+(y+2)2 = 8 seria a equao da circunferncia de centro (0,-2) e raio 22se no tivssemos x=2 e y=0. Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a circunferncia. b) y = x+2 75) Alternativa: A 76) a) (x-y) + (x+y)i b) x = 1 e y = -1 77) Alternativa: D 78) Alternativa: A 79) a) 0, i, i2123 , i2123 b) 80) a) Sendo z = x + yi e w = 2z i + z tem-se: w = 2(x + yi) - i + (x yi) = 3x + (y 1)i Ento: Re(w) = 3x e Im(w) = (y - 1)i b) 2z i + z = 0 3x + (y 1)i 3x = 0 e y 1 = 0 x = 0 e y = 1. Ento: z =0 + 1i = i 81) a) S = { 1, 1, i, i } b) 1 2i 82) Alternativa: C 83) a) Z = 2+3i ou Z = 2-3i b) { 1, 2, 1+2i, 1-2i } 84) Alternativa: B 85) Resposta: -72 +72 3 i 86) a) Re( e-1) = 21 e Im(e-1) =23 ; Re(e3) = 1 e Im(e3) = 0 b) c) 1; i2321 + ; i2321 87) Alternativa: D 88) a) z = 2 |.|</p> <p>\| +4 4cos t t isene z3 = 22 |.|</p> <p>\| +4343cos t t isen b) x3 - 4x2 + 6x - 4 89) Alternativa: E 90) a) 4096 b) 0 91) Alternativa: C 92) Alternativa: B 93) Alternativa: D 94) Alternativa: D 95) A parte imaginria zero. 96) Alternativa: D 97) Alternativa: D 98) a) z1.z2 = (cosu1+isenu1) (cosu2+isenu2) = cosu1.cosu2 + isenu1.cosu2 + isenu2.cosu1 -senu1.senu2 = cos(u1+u2) + isen(u1+u2) b) se z= cos48o+isen48o ento z10 = cos480o+isen480o = cos120o+isen120o = - cos60o+isen60o z5 = cos240o+isen240o = - cos60o-isen60o da, z10+z5+1 = - cos60o+isen60o- cos60o-isen60o + 1 = -21 -21 +1 = 0. Como z verificou a equao, ento ele raiz. 99) Alternativa: C 100) Alternativa: C 101) Alternativa: B 102) Alternativa: D 103) Alternativa: D 104) Permetro = 6 105) Alternativa: E 106) Alternativa: A As razes do polinmio p(x) = x6 - 1 so as razes sextas da unidade. As razes sextas da unidade so nmeros complexos cujo mdulo igual a 1 e, portanto, suas representaes geomtricas so pontos eqidistantes sobre a circunferncia de raio 1 e centro na origem. Como 1 uma destas razes, a representao geomtrica destas razes coincide com os vrtices do hexgono regular (veja figura abaixo) inscrito na circunferncia de raio 1 e centro na origem. A rea de um hexgono regular inscrito em uma circunferncia de raio r 6.43 r2. Como neste caso r =1, a rea deste hexgono 23 3 . 107) a) (0,1), (0,-1), (3/2, 1/2), (-3 /2, 1/2), (3 /2, -1/2), (-3 /2, -1/2) b) qualquer k(x6+1) serve portanto os coeficientes so do tipo k,0,0,0,0,0,k com k=0. 108) Alternativa: E 109) a) = 6 b) z1 = 3, z2 = 1 + i, z3 = 1 i c) V = 38t </p>