Matematica Numeros Complexos Exercicios

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    06-Aug-2015

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<p>Exerccios de Matemtica Nmeros Complexos1. (Ita) Sejam a e b nmeros reais com n = 1, 2, ..., 6. Os nmeros complexos z=a+ib so tais que |z|=2 e b0, para todo n=1,2,...,6. Se (a,a,...,a) uma progresso aritmtica de razo -1/5 e soma 9, ento z igual a: a) 2i b) 8/5 + 6i/5 c) 3 + i d) -3(3)/5 + (73)i/5 e) 4(2)/5 + 2(17)i/5 2. (Unioeste) Nas afirmativas abaixo, relativas a diversos contedos, assinale o que for correto. 01. O conjunto do resultado da diviso de 3-i por 2+i 1+i. 02. Se numa progresso aritmtica com um nmero mpar de termos, o termo mdio vale 33 e o ltimo termo vale 63, ento o primeiro termo vale 3. 04. O lugar que o termo 28672 ocupa numa progresso geomtrica de razo 2 e cujo primeiro termo 7 12. 08. A soluo do sistema de equaes x/3 + y/5 = 7 x/3 - y/4 = -1 x=53/5 e y=17/12 16. O valor de x que satisfaz a equao 2logx-log(x16)=2 50. 32. O valor de x que satisfaz a equao 4-3214=0 x=1/2.</p> <p>3. (Unifesp) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o tringulo de vrtices z = 2, z = 5 e z = 6 + 2i.</p> <p>A rea do tringulo de vrtices w = iz, w = iz e w = 2iz : a) 8. b) 6. c) 4. d) 3. e) 2. 4. (Fuvest) a) Se z=cos+isen e z=cos+isen, mostre que o produto zz igual a cos (+)+isen(+). b) Mostre que o nmero complexo z=cos48+isen48 raiz da equao z+z+1=0. 5. (Fuvest) Sabendo que um nmero real e que a parte imaginria do nmero complexo (2+i)/(+2i) zero, ento : a) - 4. b) - 2. c) 1. d) 2. e) 4. 6. (Ita) Seja z um nmero complexo satisfazendo Re(z)&gt;0 e (z+i)+|z'+i|=6, onde z' o conjugado de z. Se n o menor natural para o qual z um imaginrio puro, ento n igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5</p> <p>1|Projeto Medicina www.projetomedicina.com.br</p> <p>7. (Ita) Sejam z e z nmeros complexos com |z|=|z|=4. Se 1 uma raiz da equao zz+zz-8=0 ento a soma das razes reais igual a: a) - 1 b) - 1 + 2 c) 1 - 2 d) 1 + 3 e) - 1 + 3 8. (Unesp) Seja L o afixo do nmero complexo a=8+i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o nmero complexo b, de mdulo igual a 1, cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e tal que o ngulo LOM reto. 9. (Fuvest) a) Determine os nmeros complexos z tais que z+z'=4 e z.z'=13, onde z' o conjugado de z. b) Resolva a equao x-5x+13x-19x+10=0, sabendo que o nmero complexo z=1+2i uma das suas razes. 10. (Unitau) O mdulo de z=1/i : a) 3. b) 1. c) 2. d) 1/36. e) 36. 11. (Unitau) Determine o valor de k, de modo que z=[(1/2)k-(1/2)]+i seja imaginrio puro: a) -1/2. b) -1. c) 0. d) 1/2. e) 1. 12. (Unitau) A expresso i+i igual a: a) 0 b) i. c) - i. d) - 2i. e) 3i. 13. (Unesp) Seja z0 um nmero complexo tal que z igual ao conjugado de z. Determinar o mdulo e o argumento de z.</p> <p>14. (Unesp) Sendo n um nmero natural, provar que o nmero complexo -1/2+(3/2)i raiz da equao algbrica x + x + 1 = 0 15. (Fuvest-gv) Dentre todos os nmeros complexos, z = | z | (cos + isen) , 0 &lt; 2, que satisfazem a inequao | z-25i |15, determinar aquele que tem o menor argumento . 16. (Unesp) Prove que o conjunto dos afixos dos nmeros complexos pertencentes a {(2+cos t)+i sen t|tIR} onde i=-1(unidade imaginria), uma circunferncia de raio 1, com centro no afixo do nmero 2. 17. (Unesp) Considere o nmero complexo u=(3/2) + (1/2)i, onde i=-1. Encontre o nmero complexo v cujo mdulo igual a 2 e cujo argumento principal o triplo do argumento principal de u. 18. (Cesgranrio) O lugar geomtrico das imagens dos complexos z, tais que z real, : a) um par de retas paralelas. b) um par de retas concorrentes. c) uma reta. d) uma circunferncia. e) uma parbola. 19. (Fuvest) Dado o nmero complexo z=3+i qual o menor valor do inteiro n 1 para o qual z um nmero real? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10</p> <p>2|Projeto Medicina www.projetomedicina.com.br</p> <p>20. (Cesgranrio) A figura mostra, no plano complexo, o crculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de cinco nmeros complexos. O complexo 1/z igual a:</p> <p>25. (Ufpe) As solues complexas da equao z=1 so vrtices de um polgono regular no plano complexo. Calcule o permetro deste polgono. 26. (Uel) A forma algbrica do nmero complexo z=(1+3i)/(2-i) a) 1/2 - 3i b) 5/3 + (7i/3) c) -1/5 + (7i/5) d) -1/5 + 7i e) 3/5 + (4i/5) 27. (Uel) Seja o nmero complexo z = x + yi, no qual x, y IR. Se z.(1 - i) = (1 + i), ento a) x = y b) x - y = 2 c) x . y = 1 d) x + y = 0 e) y = 2x 28. (Uel) Se z ={ 2 [cos(/4) + i sen(/4) ] }, ento o conjugado de z igual a a) 2 - i2 b) - 2 - i2 c) - 2 + i2 d) 4 e) - 4i 29. (Unesp) Se z = a + bi com a &gt; b &gt; 0 prove que tg(2 arg z) = 2ab/(a-b) 30. (Unesp) O diagrama que melhor representa as razes cbicas de -i :</p> <p>a) z b) w c) r d) s e) t 21. (Fatec) O conjugado do nmero complexo z=(1i-)- igual a a) 1 + i b) 1 - i c) (1/2) (1 - i) d) (1/2) (1 + i) e) i 22. (Fei) Escrevendo o nmero complexo z=1/(1i)+1/(1+i) na forma algbrica obtemos: a) 1 - i b) i - 1 c) 1 + i d) i e) 1 23. (Fei) O mdulo do nmero complexo (1 + i)- : a) 2 b) 1 c) -3 d) (2)/4 e) 0 24. (Ita) O valor da potncia [2/(1+i)] : a) (-1 + i)/2 b) (1 + i)/2 c) (-1 - i)/2 d) (2)i e) (2) + i</p> <p>3|Projeto Medicina www.projetomedicina.com.br</p> <p>31. (Mackenzie) Na figura a seguir, P e Q so, respectivamente, os afixos de dois complexos z e z. Se a distncia OQ 22, ento correto afirmar que:</p> <p>36. (Fgv) Seja o nmero complexo z=(x-2i), no qual x um nmero real. Se o argumento principal de z 90, ento 1/z igual a a) -i/8 b) -8i c) 4i d) -1 + 4i e) 4 - i 37. (Uel) Seja o nmero complexo z =2.i/(1 - i). A imagem de z no plano complexo um ponto do plano que pertence ao a) eixo imaginrio. b) eixo real. c) 2 quadrante. d) 3 quadrante. e) 4 quadrante. 38. (Uel) Seja z um nmero complexo de mdulo 2 e argumento principal 120. O conjugado de z a) 2 - 2i3 b) 2 + 2i3 c) -1 - i3 d) -1 + i3 e) 1 + i3 39. (Uel) Se o nmero complexo (1 - i) raiz da equao x- 5x+8x-6=0, ento verdade que a raiz real dessa equao pertence ao intervalo a) [-4, 1] b) [-1, 1] c) [1, 2] d) [2, 4] e) [0, 1] 40. (Fuvest) Sendo i a unidade imaginria (i = -1) pergunta-se: quantos nmeros reais a existem para os quais (a+i) um nmero real? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos</p> <p>a) z = 3z. b) z = 2z. c) z = z. d) z = z. e) z = 3z. 32. (Ufsc) Determine o valor de x para que o produto (12-2i)[18+(x-2)i] seja um nmero real. 33. (Mackenzie) A representao grfica dos nmeros complexos z tais que zi - | z | = 0 a) um par de retas paralelas. b) um par de retas perpendiculares. c) uma reta. d) uma circunferncia de raio 1. e) uma circunferncia de raio 2. 34. (Mackenzie) O complexo z = (a + bi) um nmero real estritamente negativo. Ento pode ocorrer: a) a + b = 0. b) a + 2b = 0. c) 2a + b = 0. d) a + 4b = 0. e) 4a + b = 0. 35. (Faap) Seja z = x + yi um nmero complexo qualquer. Ento, a nica proposio falsa, : a) | z | 0 b) | z | = 0 z = 0 c) y 0 d) | z | = x + y e) x 0</p> <p>4|Projeto Medicina www.projetomedicina.com.br</p> <p>41. (Cesgranrio) As razes da equao z+1/z=1 se situam, no plano complexo, nos quadrantes: a) 1 e 2 b) 1 e 3 c) 1 e 4 d) 2 e 3 e) 2 e 4 42. (Fatec) Na figura a seguir, o ponto P o afixo do nmero complexo z = x + yi no plano de ArgandGauss.</p> <p>45. (Mackenzie) Considere todos os complexos z tais que |z|=1. O imaginrio puro w, onde w=1+2z, pode ser: a) 3i b) 2i c) i d) - 2i e) - 3i 46. (Mackenzie) A representao grfica dos complexos x+yi tais que 1|x+yi|2, onde x-y0, define uma regio de rea: a) b) /2 c) 3/2 d) 2 e) 3/4 47. (Fei) O resultado da expresso complexa [1/(2+i)]+3/(1-2i)] : a) 1 - i b) 1 + i c) 2 + i d) 2 - i e) 3 + 3i 48. (Fei) Se 2i/z = 1 + i, ento o nmero complexo z : a) 1 - 2i b) -1 + i c) 1 - i d) 1 + i e) -1 + 2i 49. (Unicamp) Um tringulo eqiltero, inscrito em uma circunferncia de centro na origem, tem como um de seus vrtices o ponto do plano associado ao nmero complexo 3 + i. a) Que nmeros complexos esto associados aos outros dois vrtices do mesmo tringulo? Faa a figura desse tringulo. b) Qual a medida do lado desse tringulo?</p> <p> verdade que a) o argumento principal de z 5/6. b) a parte imaginria de z i. c) o conjugado de z 3 + i. d) a parte real de z 1. e) o mdulo de z 4. 43. (Mackenzie) Se k um nmero real e o argumento de z=(k+2i)/(3-2i) /4, ento |z| pertence ao intervalo: a) [0,1] b) [1,2] c) [2,3] d) [3,4] e) [4,5] 44. (Mackenzie) Um polinmio P(x), de coeficientes reais e menor grau possvel, admite as razes 1 e i. Se P(0)=-1, ento P(-1) vale: a) -4 b) 4 c) -2 d) 2 e) -1</p> <p>5|Projeto Medicina www.projetomedicina.com.br</p> <p>50. (Fei) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e (a/b) + (b/c) = 0 ento o nmero complexo c : a) 2i b) 1 - 2i c) 2 - i d) 1 + 2i e) 3i 51. (Cesgranrio) O complexo [(3/2) - (i/2)] equivale a: a) 6i. b) i. c) -i. d) -6i. e) -1. 52. (Mackenzie) [(1 + i)/(1 - i)], i = -1, igual a: a) i b) -i c) 1 d) 1 + i e) -1 53. (Mackenzie) A soluo da equao | z | + z - 18 + 6i = 0 um complexo z de mdulo: a) 6 b) 8 c) 18 d) 12 e) 10 54. (Mackenzie) As representaes grficas dos complexos z tais que z = -8 so os vrtices de um tringulo: a) inscrito numa circunferncia de raio 1. b) que tem somente dois lados iguais. c) eqiltero de lado 2. d) eqiltero de altura 23. e) de rea 33.</p> <p>55. (Uff) Considere os nmeros complexos m, n, p e q, vrtices de um quadrado com lados paralelos aos eixos e centro na origem, conforme a figura a seguir.</p> <p>Pode-se afirmar que o nmero m + n + p + q a) um real no nulo. b) igual a zero. c) possui mdulo unitrio. d) um imaginrio puro. e) igual a 1 + i. 56. (Puccamp) Seja o nmero complexo z = [(3-i) . (2+2i)]/(3+i). O conjugado de z igual a a) 4,8 - 6,4i b) 6,4 - 4,8i c) - 4,8 + 6,4i d) - 6,4 - 4,8i e) - 4,8 - 6,4i 57. (Pucsp) Um nmero complexo z e seu conjugado so tais que z somado ao seu conjugado igual a 4 e z menos o seu conjugado igual a -4i. Nessas condies, a forma trigonomtrica de z a) 8.[cos (3/2) + isen (3/2)] b) 8.[cos (/2) + isen (/2)] c) 8.[cos (7/4) + isen (7/4)] d) 4.[cos (/2) + isen (/2)] e) 4.[cos (3/2) + isen (3/2)]</p> <p>6|Projeto Medicina www.projetomedicina.com.br</p> <p>58. (Fuvest) Dentre os nmeros complexos z = a + bi, no nulos, que tm argumento igual a /4, aquele cuja representao geomtrica est sobre a parbola y = x a) 1 + i b) 1 - i c) - 1 + i d) 2 + 2i e) - 2 + 2i 59. (Unicamp) Se z = x + iy um nmero complexo, o nmero real x chamado "parte real de z" e indicado por Re(z), ou seja, Re(x+iy)=x. a) Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem equao Re [(z+2i)/(z-2)]=1/2, ao qual se acrescenta o ponto (2, 0), uma circunferncia. b) Ache a equao da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e tangente quela circunferncia. 60. (Ita) Considere os nmeros complexos z=(2)+i2 e w=1+i3. Se m = | (w + 3z + 4i) / (z + w + 6 - 2i) |, ento m vale a) 34 b) 26 c) 16 d) 4 e) 1 61. (Ita) Considere, no plano complexo, um hexgono regular centrado em z=i. Represente por z,z,...,z, seus vrtices, quando percorridos no sentido antihorrio. Se z=1 ento 2z, igual a a) 2 + 4i b) (3 - 1) + (3 + 3) i c) 6 + (2 + 2) i d) (23 - 1) + (23 + 3) i e) 2 + (6 + 2) i</p> <p>62. (Ita) Seja S o conjunto dos nmeros complexos que satisfazem, simultaneamente, s equaes: |z - 3i| = 3 e |z + i| = |z - 2 - i|. O produto de todos os elementos de S igual a a) - 2 + i3 b) 22 + 3i3 c) 33 - 2i3 d) - 3 + 3i e) - 2 + 2i 63. (Pucmg) Sendo i = -1, o valor de [ (1 + i) / (1 - i) ] - [ 2i / (1 + i) ] : a) -2 b) 1 - 3i c) 1 + 3i d) -1 e) 3i 64. (Ufrs) O nmero Z = (m - 3) + (m - 9)i ser um nmero real no nulo para a) m = -3 b) m &lt; -3 ou m &gt; 3 c) -3 &lt; m &lt; 3 d) m = 3 e) m &gt; 0 65. (Ufrs) Considere z = -3 + 2i e z = 4 + i. A representao trigonomtrica de z somado ao conjugado de z a) cos (/4) + i sen (/4) b) (2) [cos (/4) + i sen (/4)] c) cos (3/4) + i sen (3/4) d) (2) [cos (7/4) + i sen (7/4)] e) cos (7/4) + i sen (7/4) 66. (Cesgranrio) Dados os nmeros complexos z = 1 + i, z = 1 - i e z = z/z, pode-se afirmar que a parte real de z vale: a) +1/2 b) +1/4 c) -1/4 d) -1/2 e) -1</p> <p>7|Projeto Medicina www.projetomedicina.com.br</p> <p>67. (Ita) Considere, no plano complexo, um polgono regular cujos vrtices so as solues da equao z = 1. A rea deste polgono, em unidades de rea, igual a: a) 3 b) 5 c) d) (33) / 2 e) 2 68. (Ita) Sejam x e y nmeros reais tais que: x - 3xy = 1 3xy - y = 1 Ento, o nmero complexo z = x + iy tal que z e |z| valem, respectivamente: a) 1 - i e 2 b) 1 + i e 2 c) i e 1 d) - i e 1 e) 1 + i e 2 69. (Mackenzie) Sabe-se que dentre os complexos Z tais que |Z-(1+i)|=K, o de maior mdulo Z = 5i. Ento o de menor mdulo : a) Z = -i b) Z = i c) Z = 2i d) Z = - 2i e) Z = i / 2 70. (Unb) Considere P o pentgono regular cujos vrtices so determinados pelas razes complexas z do polinmio z - 1, com x = 0,1,2,3 e 4 e P o pentgono regular cujos vrtices so determinados pelas razes complexas w do polinmio w - 3, com x = 0,1,2,3 e 4, nos quais se supe que as razes estejam ordenadas por ordem crescente de seus argumentos. Julgue os seguintes itens.</p> <p>(0) O nmero complexo w/z tem parte imaginria no-nula. (1) Para x = 0,1,2 e 3, tem-se w = wz. (2) Se D o decgono determinado pelas razes complexas do polinmio z - 3, ento todos os cincos vrtices de P coincidem com vrtices de D. (3) P e P so polgonos regulares semelhantes. 71. (Unirio)</p> <p>Se z e z so nmeros complexos representados pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss acima, ento z = z . z escrito na forma trigonomtrica : a) 2 (cis 225) b) 2 (cis 315) c) 22 (cis 45) d) 22 (cis 135) e) 22 (cis 225) 72. (Unesp) Considere o nmero complexo z = i, onde i a unidade imaginria. O valor de z+z+z+z+(1/z) a) -1 b) 0 c) 1 d) i e) - i</p> <p>8|Projeto Medicina www.projetomedicina.com.br</p> <p>73. (Unesp) Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade x de horas por semana e ganhava R$ 60,00 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por semana. Trabalha, porm, 4 horas a mais por semana e recebe R$4,00 a menos por hora trabalhada. O valor de x a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 14. 74. (Ufpr) Considerando o nmero complexo z=a+bi, em que a e b so nmeros reais e i=(-1), define-se z=a-bi e |z|=(a+b). Assim, correto afirmar: (01) Se z nmero real, ento z = z. (02) Se z = i, ento (z) = z. (04) Se z = 1 + i, ento z = (1 + i)-. (08) Se z = cos + i sen, ento z . z = 1, qualquer que seja o nmero real . (16) Se z + 2z = 9 - 4i, |z| = 5. Soma ( )</p> <p>77. (Mackenzie) Se 3 + 4i raiz cbica de um complexo z, ento o produto das outras razes cbicas de z : a) -7 + 24 i b) 7 - 24 i c) 24 + 7 i d) -24 - 7 i e) -7 - 24 i 78. (Unirio)</p> <p>75. (Ufrj) A representao trigonomtrica de um nmero complexo z dada por z = (cos + i sen ). Se z um nmero complexo e z' seu conjugado, resolva a equao: z = z' 76. (Fatec) Seja a equao x + 4 = 0 no conjunto Universo U=C, onde C o conjunto dos nmeros complexos . Sobre as sentenas I. A soma das razes dessa equao zero. II. O produto das razes dessa equao 4. III. O conjunto soluo dessa equao {-2,2} verdade que a) somente a I falsa. b) somente a II falsa. c) somente a III falsa. d) todas so verdadeiras. e) todas so falsas.</p> <p>Sejam z e z nmeros complexos representados pelos seus afixos na figura anterior. Ento, o produto de z pelo conjugado de z : a) 19 + 10i b) 11 + 17i c) 10...</p>