MATEMÁTICAS PROGRESIONES NUMÉRICAS - ecaths1.s3. ?· MATEMÁTICAS PROGRESIONES NUMÉRICAS - 1 - Prof:…

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    19-Sep-2018

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  • MATEMTICAS PROGRESIONES NUMRICAS - 1 -Prof: Gabriel Ivorra

    SUCESIONES NUMRICAS

    Una Sucesin numrica es una relacin entre los nmeros naturales y los nmeros reales, de maneraque, para cualquiera de aquellos obtenemos un nmero real.Los nmeros que forman la sucesin se llaman trminos (a1, a2, a3, ...). El trmino general (an) es aquelque representa a todos los trminos de la sucesin.

    ej: 1 2 2 4 3 6 4 8

    10 20

    n 2n

    En este ejemplo, los trminos de la sucesin son: 2, 4, 6, 8, .....El primero a1=2, el segundo a2=4, el dcimo a10=20, as succesivamente.Al trmino general an=2n, dndole valores enteros a n, obtenemos losdiversos trminos de la sucesin.

    1. Calcula el criterio mediante el cual se han formado cada una de las sucesionesnumricas siguientes, aadiendo tres trminos ms.a) 1, 2, 3, 4, 5, ... b) 2, 4, 6, 8, 10, ... c) 3, 6, 9, 12, 15, ...d) 1, 4, 9, 16, 25, ... e) 1, 8, 27, 64, 125, ... f) 1, 3, 5, 7, 9, ...g) 4, 7, 10, 13, 16, ... h) 2, 1, 6, 13, 22, ... i) 2, 4, 8, 16, 32, ...j) -1/2, -2/3, -3/4, -4/5, ... k) 1/3, 4/6, 9/9, 16/12, ... l) 01, 001, 0001, ...m) -1, 2, -3, 4, -5, ... n) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

    2. A partir de los trminos generales de las siguientes sucesiones numricas, calcula sustres primeros trminos a1, a2, a3, y el que ocupa el dcimo lugar, a10.a) an=(5-3n) b) an=(n2-4) c) an=(-1)n.n3d) an=(2n-1):n e) an=2n+1 f) an=(n2-2):(2n2-1)

    g) an=- imparesnsin

    paresnsi3

    5h) a1=3, a2=5, an=an-1-an-2

    3. Dejamos caer una pelota desde una altura de 2 m y despus de cada rebote, la alturase reduce a la mitad de la anterior. Escribe la sucesin de las alturas alcanzadas, sutrmino general, razona si crece o decrece y su tendencia (lmite).

    4. Alguien puso una pareja de conejos, acabados de nacer, en un corral. Cada parejarecin nacida necesita un mes para hacerse adulta, durante el cual no se reproduce.Cada pareja origina mensualmente una nueva pareja, segn la siguiente tabla:Al comenzar el mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Nmero de parejas 1 1 2 3 5 8

    a) Completa la tabla y obtn el trmino generalb) Cuntas parejas habr despus de un ao y medio de

    comenzar la experiencia?

  • MATEMTICAS PROGRESIONES NUMRICAS - 2 -Prof: Gabriel Ivorra

    PROGRESIONES ARITMTICAS Y GEOMTRICASUna Progresin Aritmtica es una sucesin donde cada trmino se calcula sumndole al anterior unacantidad constante, llamada diferencia (d).

    ej: 5, 8, 11, 14, ... es una progresin aritmtica de diferencia d=3, pues 8-5=11-8=14-11=3

    Como cada trmino se calcula sumndole la diferencia al anterior

    a1 a2 a3 a4 ... a10 ... an +d

    +2d

    +3d

    +9d

    +(n1)d

    a2=a1+d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, ... an=a1+(n1)d que relaciona an con el primero.

    5. Entre las siguientes sucesiones numricas: Identifica las que son progresiones aritmticas. Escribe su trmino general. Obtn los trminos que ocupan las posiciones 10 y 21

    a) 10, 7, 4, 1,... b) 1, 2, 4, 7, ... c) 27, 29, 31, ... d) 2/3, 1, 4/3, 5/3, ...e) 2, 4, 8, 16,... f) 90, 78, 66, ... g) 5, 10, 15, 20,...

    Propiedad: En cualquier p.a., la suma de trminos que equidistan de los extremos es constante ej: 5, 8, 11, 14, 17, 20 si sumamos primero y ltimo trmino = a1+a6=5+20=25 a2+a5= 8+17=25 a3+a4= 11+14=25 ...Suma de los n primeros trminos de una p.a. Llamamos a la suma Sn= a1 + a2 +..... an-1 + anpor la propiedad conmutativa de la suma Sn= an + an-1 +..... a2 + a1 si sumamos ambas expresiones 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an-1+a1)+(an+a1)como todos los parntesis son iguales, por la propiedad anterior, y hay n parntesis

    2Sn=(a1+an)n ( )1

    2n

    n

    a aS n

    +=

    ex: obtener la suma de los 20 trminos de la p.a. 5, 8, 11, 14, 17, 20, .... ya sabamos que la diferncia d=3, falta calcular a20=a1+19d=5+193=62

    Por tanto la suma ( )1 2020(5 62)20 20 640

    2 2a a

    S+ +

    = = =

    6. Calcula el trmino general de una p.a. sabiendo que a7=6 y a15=10, obtn el trminoque ocupa el lugar 51 y la suma de los 51 primeros trminos.

    7. Construye una progresin aritmtica donde el primer trmino sea 26 y el noveno 58.Cunto suman los 30 primeros trminos?

  • MATEMTICAS PROGRESIONES NUMRICAS - 3 -Prof: Gabriel Ivorra

    8. En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 860 m y lasexta 134 m. En qu fila estar alguien si su distancia a la pantalla es de 23 metros?

    9. En una plantacin hay 51 filas de rboles. Cada fila tiene dos rboles ms que laanterior. La fila 26 tiene 57 rboles y se desea saber cuntos rboles hay en la primerafila, en la ltima y el nmero total de rboles.

    Una Progresin Geomtrica es una sucesin donde cada trmino se calcula multiplicndo el anterior poruna cantidad constante, llamada razn (r).

    ej: 3, 6, 12, 24, ... es una progresin geomtrica de razn r=2, pues 6:3=12:6=24:12=2

    Como cada trmino se calcula multiplicndole la razn al anterior

    a1 a2 a3 a4 ... a10 ... an r

    r2

    r3

    r9

    r(n1)

    a2=a1r, a3=a1r2, a4=a1r3, ... an=a1r(n1) que relaciona cualquier trmino con el primero.

    Si la razn r>1 la progresin geomtrica es crecienteSi la razn r

  • MATEMTICAS PROGRESIONES NUMRICAS - 4 -Prof: Gabriel Ivorra

    14. Si en un tablero de ajedrez (64 casillas) colocamos un grano de trigo en la primeracasilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y as sucesivamente, cuntos granos detrigo tendramos en total?

    15. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar el primer ao 480 /mes, y cada ao seaumentar el alquiler en 40 /mes. Cunto se pagar mensualmente al cabo de 10aos? Cunto se habr pagado en total durante esos 10 aos?

    16. Un esquiador comienza la pretemporada de esqu haciendo pesas en un gimnasiodurante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada da. Cuntotiempo entrenar el 15 da? Cunto tiempo habr entrenado en un mes de 30 das?

    Para calcular la suma de los infinitos trminos de una p.g. decreciente (r

  • MATEMTICAS PROGRESIONES NUMRICAS - 5 -Prof: Gabriel Ivorra

    23. A las 8 de la maana lleg a una ciudad de 100.000 habitantes un vecino de lacapital llevando una noticia. En la estacin, el viajero comunic la noticia a 3 personesque no la conocan, eso sucedi en 20 minutos. Conocida la noticia, cada uno de estostres vecinos la comunic a otros tres, tambin en 20 minutos. Si se contina este proceso,cunto tiempo tardaran en enterarse todos los vecinos de la ciudad?

    24. La poblacin de un pas africano era en 1.990 de diez millones de habitantes y suritmo de crecimiento era del 7% anual. Calcula la poblacin que hubo en 1.995, y en2.050.Las posibilidades econmicas de este pas hacen que slo puedan vivir en condiciones 50millones de habitantes, en qu ao se alcanzara esta poblacin?

    25. En una prueba de mecanografa se exigen 250 pulsaciones por minuto. Juan, quenicamente llega a 60 ppm, decide ir a una academia que le garantiza que cada semanaaumentar 8 ppm.a) Cuntas pulsaciones habr alcanzado despus de 15 semanas?b) Cunto tiempo habr de pasar para que llegue a las 250 ppm?

    26. Un inversor coloca 4.000 al 8% anual, cunto dinero podr retirar al cuarto aode hacer la inversin?

    27. Observa cmo se construye esta estructura y cuenta cuntos palos y cuntas bolastiene: Cuntos palos y cuntas bolas hacen falta para hacer una fila de 10 cuadrados? Y para hacer una fila de n cuadrados?

    EJERCICIOS DE REPASO

    1. He comprado una bicicleta a plazos. El primer mes he pagado 15,60 , el segundo mes 18,60 , el tercero 21,60 ,y as sucesivamente, y el ltimo mes pagu 42,60 .a) Cuntos meses he tenido que pagar?b) Cunto me ha costado la bicicleta?

    2. Una mquina cost inicialmente 5240 . Al cabo de unos aos se vendi a la mitad de su precio. Pasados unosaos volvi a venderse por la mitad, y as sucesivamente.a) Forma la sucesin de precios de la mquina y escribe el trmino general.b) Cunto le cost al quinto propietario?c) Cul es la suma total pagada por esa mquina, suponiendo que no dejara de venderse indefinidamente?

    3. Hemos comprado una lavadora a plazos. El primer mes hemos pagado 24,40, el segundo mes 28,60, el tercero32,80, y as sucesivamente. El ltimo mes pagamos 62,20.a) Cuntos meses hemos tenido que pagar?b) Cunto nos ha costado la lavadora?

    4. Un tratante de ganado te vende un caballo pura sangre a condicin de que le pagues 10 cntimos por el primerclavo de la herradura, 20 cntimos por el segundo, 40 por el tercero, 80 por el cuarto, hasta llegar al clavo nmero20, que es el ltimo. Cunto vale el caballo?

  • MATEMTICAS PROGRESIONES NUMRICAS - 6 -Prof: Gabriel Ivorra

    5. Una tienda de productos informticos ofrece la siguiente forma de pagar un ordenador a plazos: el primer mes25,80 , el segundo 29,40 , el tercer mes 33 , y as sucesivamente hasta las 94,20 del ltimo mes. Sin calcularlos pagos intermedios, halla:a) Cuntos meses se tarda en pagar dicho ordenador.b) Cul es el precio total del ordenador.

    6. Las amplitudes de las sucesivas oscilaciones de un pndulo forman una progresin geomtrica: 16, 12, 9, ... cm.Halla la distancia total recorrida por la esferilla del pndulo hasta alcanzar el reposo.

    7. Ana y Javier deciden comprarse un piso que irn pagando mediante 100 plazos que forman una progresinaritmtica. Sabiendo que el plazo 26 es de 600 y el plazo 38 es de 816 , obtn:a) Cul es la diferencia de la progresin y lo que pagarn inicialmente.b) Cunto pagarn en el ltimo plazo y lo que les cost el piso.

    8. Una mquina excavadora de pozos, profundiza cada da las dos terceras partes de lo excavado el da anterior. Sifuncionara indefinidamente sera capaz de excavar un total de 24 metros.a) Cuntos metros es capaz de excavar el primer da?b) Cunto excavara el 15 da?

    9. Los 2.080 alumnos de un colegio se disponen en el patio a formar una gran figura triangular, de manera que elnmero de alumnos que hay en cada fila forman una progresin aritmtica. Sabiendo que en la primera fila hay 3alumnos y que se han necesitado 32 filas, averigua:a) Cuntos alumnos hay en la ltima fila? Cul es la diferencia de la progresin?b) Cuntos alumnos hay en la fila 10? Cuntos hay entre las 10 primeras filas?

    10. La audiencia de un programa semanal de T.V. es cada semana las tres quintas partes que la de la anterior. Si elprograma se hubiera emitido indefinidamente habra sido visto en total por 500.000 personas.a) Cuntas personas vieron el programa la primera semana de emisin?b) Cuntas personas vieron en total el programa durante las 6 primeras semanas?

    11. En unas excavaciones arqueolgicas se encuentran un total de 1.064 piedrecitas agrupadas de la siguientemanera: en un primer montn 2 piedras, en un segundo montn 8 piedras, en un tercer montn 14 piedras, y assucesivamente. Sin hallar las piedras que haba en cada montn, calcula:a) Cuntos montones de piedrecitas se encontraron? b) Cuntas piedras haba en el ltimo de ellos?

    12. A la proyeccin de una pelcula de cine acude cada semana el 50% del nmero de espectadores de la semanaanterior. Si a lo largo de la octava semana ven la pelcula 800 personas:a) Cuntas personas vieron la pelcula la primera semana de proyeccin?b) Cuntas en total vieron la pelcula en las ocho semanas?c) Si se proyectara indefinidamente, cuntos seran en total los espectadores que la habran visto?

    13. Un nadador comienza una serie de entrenamientos nadando el primer da 600 metros, el segundo da 650 metros,700 metros el tercero, y as sucesivamente.a) Cuntos metros nadar el 30 da de entrenamiento?b) Cuntos metros habr nadado en total al finalizar esos 30 primeros das?

    14. Una entidad bancaria nos hace un prstamo en las siguientes condiciones: cada ao que pasa le habremos depagar el 20% de lo pagado el ao anterior, de manera que si no dejramos de pagar nunca, recaudara 12.500 a) Cunto habremos de pagar el primer ao?. Y el quinto ao?b) Cunto se habr devuelto al cabo de cinco aos?

    15. Un club de ftbol se fund con 620 socios. Al cumplir ahora sus bodas de plata tiene 3020 socios. Si cada ao haobtenido el mismo nmero de altas y ninguna baja,a) Cuntas altas hubo cada ao?b) Cuntos socios tena hace 10 aos?

    16. El nmero de bacterias en un cultivo apropiado se duplica cada mes. Si al comienzo del experimento hay 1.000bacterias:a) Cuntas habr dentro de dos aos?b) Cunto tiempo habr de transcurrir para obtener 8.112.000 bacterias?

    17. Queremos hacer un pozo para buscar agua con el siguiente presupuesto: 1r metro 350 , 2 metro 400 , 3r metro450 , y as sucesivamente. Hemos excavado 17 metros y no aparece agua, cunto nos cuesta el 18 metro?,cunto nos cuesta hacer un pozo de 18 metros?

    18. En 1990, en el Ocano Pacfico, vivan 65.000 ballenas, pero su nmero va disminuyendo de forma preocupante,de manera que cada ao hay dos ballenas menos por cada cinco del ao anterior.

    a) Cuntas ballenas viven actualmente en el Ocano Pacfico?

  • MATEMTICAS PROGRESIONES NUMRICAS - 7 -Prof: Gabriel Ivorra

    b) En qu ao vivirn menos de 100 ejemplares de estos cetceos?c) Si cada ao, por cada ballena viva se consiguiera una ayuda de 8 euros, cuntos euros se podran recoger

    hasta la desaparicin de este sorprendente mamfero?

    19. Un buen estudiante de matemticas decide presentarse a una Olimpiada Matemtica. Para ello, debe incrementarpaulatinamente el nmero de problemas a resolver cada semana, de manera que el nmero de problemas resueltospor semana es una progresin aritmtica. Si la quinta semana resuelve 27 problemas, y la trigsima semanaresuelve 102, obtener:a) El nmero de problemas que incrementa cada semana.b) El nmero de problemas que resolvi la primera semana.c) La cantidad total de problemas que lleva resueltos despus de 41 semanas.

    20. Un flamenco emigra desde las costas de Marruecos hacia las salinas de Santa Pola. La distancia recorrida cada dade su aventurado viaje disminuye debido al cansancio. As, el primer da recorre 300 km el segundo da vuela 225km, y cada da vuela las partes de los recorrido el da anterior. Obtener:

    a) La distancia recorrida durante el dcimo da de viaje.b) La distancia total recorrida al cabo de diez das.c) Cuntos kilmetros habr recorrido en total al final de su viaje?d) Qu ocurrira si la distancia entre el punto de las costas de Marruecos desde el que sali y las salinas de

    Santa Pola fuera de 1500 km?

    21. Este sbado, en el Museo del Prado, los visitantes fueron llegando de manera bastante peculiar: los dos primerosllegaron a las 9:00h, a las 9:05h llegaron 5, a las 9:10h, 8 personas, a las 9:15, 11 ms, y as sucesivamente.a) Cuntos visitantes llegan a las 11:00h?b) Suponiendo que nadie haya abandonado el museo a las 11:00h, cuntos visitantes hay en el interior del

    museo a dicha hora?c) En un determinado momento, hay un total de 2072 personas en el museo, y todava no ha salido ninguna

    desde su apertura. Qu hora es?

    22. Un mendigo pide hospitalidad a un avaro, el cual le propone cobrarle 1 por la primera noche, 2 por la segunda,3 por la tercera noche, y a...

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