Matematická analýza

  • View
    28

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematick analza. Isaac Newton 1643 - 1727. Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 - 1716. Klasick algebra neum dobe pracovat s nekoneny. Vektorov prostory sice maj nekonen mnoho prvk a mohou mt nekonen dimenze, ale sest nekonen mnoho vektor klasickmi prostedky nelze. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript

  • Matematick analzaV rmci projektu Cesta k vd (veda.gymjs.net) vytvoil V. Pospil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a en dokumentu podlh licenci GNU (www.gnu.org).Klasick algebra neum dobe pracovat s nekoneny. Vektorov prostory sice maj nekonen mnoho prvk a mohou mt nekonen dimenze, ale sest nekonen mnoho vektor klasickmi prostedky nelze.Machrovnm s nekoneny se lid zaali zabvat relativn nedvno cca 400 let. Zklady oboru, dnes nazvanho matematick analza poloili dva vdci G. W. Leibnitz a I. Newton. Z Newtonovy strany analza vznikla v pm souvislosti s fyzikou.

  • Achilles a elvaZeno Elejsk byl ped-sokratovsk eck filozof, len Parmenidovy koly v jin Itlii. Byl oznaen Aristotelem za zakladatele dialektiky, nicmn znmj je dky svm para-doxm, napklad paradoxu o Achillovi a elv.Achilles hon elvu. Protoe je dobr bec, d ji nskok. Ne ovem ubhne tuto vzdlenost, elva se posune o kousek vped. Zatmco Achilles b tuto novou vzdlenost, elva se dle pohybuje a opt se vzdl (nov poloen vzdlenost je sice men, ale nenulov). Na zklad tto pokraujc srie dochz Zeno k tomu, e Achilles elvu nikdy neme dohonit. Mylenka je ale v pkrm rozporu s pozorovnm je to tedy paradox?

  • Achilles a elvatn , snvAvZtn+1 , sn+1vAvZtn+2 , sn+2vAvZas AchillaNov vzdlenost elvyNsledujc as Achillaas pro chycen elvyJe tento souet nekonen geometrick ady konen, nebo ne?

  • Okol boduBu a bod z R, z R+. Oteven intervalnazvme -okolm bodu a a zname Ha(), strunji Ha. Obdobn lze definovat lev a prav okol :-okol nekonena definujeme jakoBu a, b dva body z R. Ha, Hb ozname jejich -okol. Potom plat:Jsou-li a, b navc rzn, platabab

  • Limita posloupnostiPojem limita posloupnosti se tk chovn posloupnosti, pokud sledujeme prvky s indexem neomezen rostoucm tedy v nekonenu. Maj prvky nsledujcch posloupnost pro velmi vysok njakou tendenci?neomezen roste(nekonen limita)stle osciluje(limita neexistuje)bl se k estce(limita je 6)

  • Limita posloupnostiBu an reln posloupnost. ekneme, e posloupnost m konenou limitu a prv tehdy, plat-lizkrcenTj. a si zvolme libovoln mal okol bodu a, vdycky najdeme prvek posloupnosti, od nj vechny dl do okol spadnou. Pak peme, e

  • Limita posloupnostiBu an reln posloupnost. ekneme, e posloupnost m nekonenou limitu (kladnou, resp. zpornou) prv tehdy, plat-lizkrcenPozn. : definice s okolmi bod je univerzln pro konenou i nekonenou limitu:

  • Limita posloupnostiKad posloupnost m nejve jednu limitu.Dkaz provedeme sporem. Kdyby posloupnost mla dv rzn limity, teba a a b, muselo by zrove platitProtoe ale lze zvolit dv okol Ha, Hb tak, aby nemly dn prnik, nelze najt takov n0 = max (n1, n2), aby vechny prvky od nj dle leely jak v Ha, tak v Hb.ab

  • Limita posloupnostiBu an reln posloupnost. Tuto posloupnost nazveme dle limity jakokonvergentndivergentnoscilujcneexistujeBu an konvergentn reln posloupnost s limitou a. Potom plat: an je omezen (shora i zdola)lim |an| = |a|posloupnost anp vybran z an m rovn limitu aBu an divergentn reln posloupnost s limitou plus resp. mnus nekoneno. Potom an je omezen zdola resp. shora.Pozn. : zmnme-li konen poet len posloupnosti jakkoliv, limita posloupnosti se nezmn.

  • Vpoty limit posloupnostiJak limity maj zkladn posloupnosti?Tyto jednoduch limity je teba dokzat z definice.

  • Vpoty limit posloupnostiPro poteby limitnch vraz definujeme :Vrazy vychz pmo z definic limity a plat pro vechny posloupnosti nezvisle na konkrtn podob an.

  • Vpoty limit posloupnostiNsledujc vrazy jsou neurit hodnota limity zvis na konkrtn podob posloupnosti (tvaru an):

  • Bu an , bn dv reln posloupnosti, c reln slo a nech limity obou posloupnost existuj. Za pedpokladu, e vrazy napravo maj smysl, plat:Vpoty limit posloupnosti

  • O dvou policajtech : Bu an , bn a cn ti reln posloupnosti, nech platVpoty limit posloupnosti1)2)Potom plat, e.n0

  • Vpoty limit posloupnostiVypotejte

  • Vpoty limit posloupnostiVypotejte

  • Vpoty limit posloupnostiUkate, eVyuijte pitom tvrzen, e pro posloupnost nenulovch relnch sel platPozn. : z pkladu je vidt, e vraz n! roste nesmrn rychle rychleji, ne libovoln exponencila!

  • ZajmavostiEulerovo slo a dal podobn jsou definovna pomoc limit:Pomoc limit posloupnosti je definovna obecn mocnina:Bu an konvergentn racionln posloupnost, tj. pro kterou platbu x reln slo. Obecnou mocninu xa definujeme jakoPozn. : k tto definici je samozejm teba ukzat, e tato limita existuje a e se neli pro rzn posloupnosti an se stejnou limitou a.

  • Nekonen adyBu an posloupnost relnch sel. Nekonenou adou o lenech an rozumme formln vrazPozn. : nutnost pesn definice stn donekonena je zejm z nsledujcho pkladu. Sette adu selNa problm meme nahldnout rznmi zpsoby:Kter je asi pravdivj ?

  • Souet nekonen adyBu an posloupnost relnch sel. VrazNazveme n-tm stenm soutem pslun ady. {Sn} rovn tvo posloupnost relnch sel. Definujeme, e nekonen ada m souet (konverguje), prv kdyneexistujeDefinujeme, e ada m nekonen souet (diverguje), prv kdyDefinujeme, e ada nem nekonen souet (osciluje), prv kdy

  • Souet geometrick adyPipomeme si, co je geometrick posloupnost:sten souet

  • Souet nekonen adyNutn podmnka konvergence ady : Nech ada konver-guje. PotomJinmi slovy toto je zkladn kritrium konvergence. Na to, abychom vbec mohli uvaovat o tom, e ada m konen souet, mus bt limita jejch len nulov (nutn podmnka). Podmnka ale nen dostaujc je-li limita len nulov, neznamen to automaticky, e ada m konen souet!

  • Bolzanovo-Cauchyovo kritriumBolzanovo-Cauchyovo kritrium konvergence : Bu an seln posloupnost. Plat, e an je konvergentni, prv kdyPozn. : posloupnosti, kter spluje tuto podmnku se k Cauchyovsk. Vta plat pouze na plnch prostorech, napklad Cauchyovsk posloupnost v prostoru racionlnch sel limitu mt nemus.Bolzanovo-Cauchyovo kritrium je nutnou a postaujc podmnkou konvergence relnch (i komplexnch) posloupnost.Kritrium lze samozejm pout i na konvergenci ad. Dosadme-li msto an Sn, pakVta k, e na to, aby posloupnost konvergovala, se mus se leny posloupnosti k sob neomezen blit s rostoucm n. U ad pak plat, e souet libovolnho potu len mus bt neomezen mal s rostoucm n.

  • Souet harmonick adyPomoc B.-C. kritria ukame, e adaje divergentn, a to i pes to, e . Tato dleit ada se nazv harmonick. Dkaz provedeme sporem. Pedpokldejme, e ada B.-C. kritrium spluje, a pro libovoln zvolen absolutn hodnota soutu p len od n0 ve je men ne toto . Zvolme napklad = . Pak existuje n0 takov, e pro vechny n>n0 a pro vechny p platZvolme n = p a zkoumejme, co to udl:n-krtTedy jsme doli ke sporu:

  • DAlambertovo kritriumDAlembertovo kritrium konvergence : Bu an seln posloupnost. Nech existuje limitaPotom je-linelze o konvergenci ady tmto kritriem rozhodnout

  • Raabeovo kritriumRaabeovo kritrium konvergence : Bu an seln posloupnost. Nech existuje limitaPotom je-linelze o konvergenci ady tmto kritriem rozhodnoutPozn. : vimte si, e oproti DAlambertovu kritriu jsou nerovntka obrcen! Toto kritrium ukazuje konvergenci vech ad se leny typu 1/n2, 1/n3, 1/n4,

  • Souty nekonench adPokldejte na stl libovoln poet hracch karet na sebe tak, aby se navzjem pesahovaly. Jak daleko mete doshnout za okraj stolu, ne se cel stavba zt?l = ?

  • Limita funkceBu f reln funkce jedn reln promnn. kme, e funkce f m v bod a limitu c, prv kdy platzname

  • Limita funkceK emu se bl hodnota funkce, lezeme-li po defininm oboru k slu 4?nehled na to, zda je funkce v bod 4 definovna i nikoliv.

  • Limita funkceBu f reln funkce jedn reln promnn. kme, e funkce f m v bod a limitu c, prv kdy platznameLimita vyjaduje chovn funkce v blzkm okol bodu a bez ohledu na to, zda je bod a v defininm oboru i nikoliv!Pozn.: Body a a c mohou klidn bt i nekonena definice okol nekonena je jasn.Pozn.: Stejn jako limita posloupnosti je limita funkce jednoznan bu neexistuje, nebo je prv jedna (pro pevn dan bod).

  • Limita funkce

  • Bu f , g dv reln funkc, c reln slo. Nech v bod x, kter je z defininho oboru f i g existuj limity obou funkc. Za pedpokladu, e vrazy napravo maj smysl, plat:Vpoty limit funkc

  • SpojitostLze funkci nakreslit jednm tahem?Zde funkce nen spojitZde funkce je spojit

  • Heineova vtaBu f reln funkce jedn reln promnn bod a bu z defininho oboru. Pakprv tehdy, kdy pro kadou posloupnost xn s vlastnostmije limitaNajdeme-li by jen jedinou posloupnost ve uvedench vlastnost, pro kterou vraz f(xn) nem limitu c, limita funkce v bod a neexistuje.

  • Vpoty limit funkcUkate, e

  • Shrnut Okol bodu Limita posloupnosti Vpoty limit posloupnost Souty nekonench ad Vpoty sout, kritria Limita funkce Vpoty limit funkc Spojitost funkce Heineova vta