Matematika 3 - Usmeni - Drugi Deo - By Maksa

  • Published on
    09-Jul-2015

  • View
    103

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

1 IV.PARCIJALNE JEDNAINE PRVOG REDA (1) LINEARNEHOMOGENEPARCIJALNEJEDNAINE.OSNOVNETEOREME.OPTE REENJE. -Parcijalna diferencijalna jednaina prvog reda je jednaina oblika: F_x1, ., xn, u,0u0x1, .,0u0xn] = gde je u nepoznata f-ja nezavisno promenljivih x1, ., xn.-F-ja u = u(x1, ., xn) naziva se reenje jednaine na datoj oblasti D ako je identiki zadovoljava na toj oblasti, tj. ako je za (x1, ., xn) e : F _x1, ., xn, u(x1, ., xn),ouox1(x1, ., xn), .,ouoxn(x1, ., xn)_ = u -Linearna homogena parcijalna jedn. prvog reda je jedn. oblika: P1(x1, ., xn),0u0x1++Pn(x1, ., xn)0u0xn= -Kodlinearnihjednaina,primeujemodajeu = Creenje.Dabismodolidodrugih,neoiglednih reenja, ovoj jednaini pridruujemo sistem dif.jedn. u simetrinom obliku: Jx1P1(x1, ., xn)= =JxnPn(x1, ., xn) -Teorema:F-ja(x1, ., xn),neprekidnodiferencijabilnairazliitaodkonstantenaoblasti,je reenje jednaine akko je (x1, ., xn) = C prvi integral pridruenog sistema. -Dokaz: Kako je Pn(x1, ., xn) = u, sistem se moe zapisati: JxJxn=P(x1, ., xn)Pn(x1, ., xn), i = 1, ., n -1 Pretpostavimodaje(x1, ., xn) = Cprviintegralsistema.Naosnovuteoremeopotrebnomi dovoljnom uslovu za prvi integral sistema, je za (x1, ., xn) e : ooxn+P1Pnoox1++Pn-1Pnooxn-1= u = P1oox1++Pnooxn= u odakle se vidi da je f-ja zadovoljava jednainu. -Teorema:Nekasu1= C1, ., k= CkprviintegralisistemainekajeFproizvoljnaneprekidno diferencijabilna f-ja k promenljivih. Tada je f-ja u = F(1, ., k) reenje polazne jednaine. -Dokaz: Na osnovu pravila diferenciranja sloenih f-ja je: ouox1=oFo1o1ox1++oFokokox1.ouoxn=oFo1o1oxn++oFokokoxn 2 odakle sledi da je: P1ouox1++Pnouoxn= P1_oFo1o1ox1++oFokokox1] ++Pn_oFo1o1oxn++oFokokoxn]=oFo1_P1o1ox1++Pnokoxn] ++oFok_P1o1ox1++Pnokoxn] Kako su 1= C1, ., k= Ck prvi integrali sistema, na osnovu predhodne teoreme je: P1oox1++Pnooxn= u = P1ouox1++Pnouoxn= u -Nekasu1(x1, ., xn) = C1, ., n-1(x1, ., xn) = Cn-1nezavisniprviintegalisistema,inekajeF proizvoljnanep.dif.f-jan - 1promenljivih.Tadasefamilijaf-ja:u = F(1, ., n-1)nazivaopte reenje linearne homogene jednaine. -Postupak za nalaenje opteg reenja: (1) linearnoj parcijalnoj jednaini se pridrui sistem (2) odreuje se n -1 nezavisnih prvih integrala sistema: 1= C1, ., n-1= Cn-1 (3) opte reenje je u = F(1, ., n-1), gde je F nep.dif. f-ja. (2) PROBLEM S POETNIM USLOVOM ZA LINEARNU HOMOGENU JEDNAINU.-Neka je data linearna homogena parcijalna jednaina: P1(x1, ., xn)ouox1++Pn(x1, ., xn)ouoxn= u neka su f-je P1, ., Pn nep.dif. na , i neka je npr. Pn(x1, ., xn) = u za (x1, ., xn) e . Pretpostavimo da (x10, ., xn0) e . Koijev problem za ovu jednainu je sledei: nai ono reenje koja zaxn= xn0 zadovoljava uslov: u(x1, ., xn-1, xn0) = (x1, ., xn-1), gde je data nep.dif. f-ja. -Pokaimo da pod navedenim pretpostavkama Koijev problem ima reenja. Na osnovu njih sistem: Jx1P1(x1, ., xn)= =JxnPn(x1, ., xn) iman -1nezavisnihprvihintegraladefinisanihuokolinitake(x10, ., xn0).Nekasu: 1(x1, ., xn) = C1, ., n-1(x1, ., xn) = Cn-1 nezavisni prvi integrali. Za xn= xn0 dobijamo sistem: 1(x1, ., xn-1, xn0) = C1.n-1(x1, ., xn-1, xn0) = Cn-1.Neka je:x1= z1(C1, ., Cn-1).xn-1= zn-1(C1, ., Cn-1) reenje sistema (zbog nezavisnosti prvih integrala reenje postoji). Razmotrimo sloenu f-ju: u = |z1(1(x1, ., xn), ., n-1(x1, ., xn)), ., zn-1(1(x1, ., xn), ., n-1(x1, ., xn))] to predstavlja reenje polazne jednaine. Osim toga, za xn= xn0 je: u(x1, ., xn-1, xn0) = (x1, ., xn-1) pa je sa ovim izrazom zaista dato reenje postavljenog Koijevog problema. 3 (3) KVAZILINEARNEPARCIJALNEJEDNAINE.SVOENJENAHOMOGENU JEDNAINU.-Neka je data kvazilinearna homogena parcijalna jednaina: P1(x1, ., xn),0u0x1++Pn(x1, ., xn)0u0xn= Pn+1(x1, ., xn, u) gde su: P1, .Pn+1 definisane i nep.dif. na n +1 dimenzionoj oblasti i neka je npr. Pn(x1, ., xn) = u za (x1, ., xn) e . Reenje traimo u implicitnom obliku: :(x1, ., xn, u) = u, gde je : nep.dif. f-ja na D i pritom je u= u. -Teorema:Nekajef-ja: = :(x1, ., xn, u)nep.dif.naD,inekaje u= u.Tadajetaf-jareenje pridruene linearne jednaine: P1(x1, ., xn, u)o:ox1++Pn(x1, ., xn, u)o:oxn+Pn+1(x1, ., xn, u)o:ou= u akko je f-ja u(x1, ., xn), implicitno zadata sa :(x1, ., xn, u), reenje poetne jednaine. -Dokaz: Imamo da je f-ja u(x1, ., xn), implicitno zadata sa :(x1, ., xn, u). Sledi: o:ox+o:ououox= u =ouox= -o:oxo:ou Pretpostavimo da je : = :(x1, ., xn, u) reenje pridruene linearne jednaine, tj da je: P1o:ox1++Pno:oxn+Pn+1o:ou= u: _-o:ou] P1_-o:ox1o:ou_++Pn_-o:oxno:ou_-Pn+1= u = P1ouox1++Pnouoxn= Pn+1 to znai da f-ja u zadovoljava jednainu. -Neka je : = F(1, ., n) opte reenje pridruene linearne jednaine, gde su: 1(x1, ., xn, u) = C1, ., n(x1, ., xn, u) = Cn nezavisni prvi integrali pridruenog sistema: Jx1P1= =JxnPn=JuPn+1 Tada je sa:F(1(x1, ., xn, u), ., n(x1, ., xn, u)) = u implicitno zadato opte reenje kvazilinearne jednaine. -Postupak za nalaenje opteg reenja: (1) kvazilinearnoj parcijalnoj jednaini se pridrui sistem (2) odreuje se n nezavisnih prvih integrala sistema: 1= C1, ., n= Cn (3) opte reenje je u = F(1, ., n), gde je F nep.dif. f-ja. 4 (4) PROBLEM SA POETNIM USLOVOM ZA KVAZILINEARNU JEDNAINU. -Neka je data kvazilinearna homogena parcijalna jednaina: P1(x1, ., xn),ouox1++Pn(x1, ., xn)ouoxn= Pn+1(x1, ., xn, u) neka su P1, .Pn+1 definisane i nep.dif. na oblasti , i neka je npr. Pn(x1, ., xn) = u za (x1, ., xn) e. Koijev problem za ovu jednainu je sledei: nai reenje koje za xn= xn0 zadovoljava uslov: u(x1, ., xn-1, xn0) = (x1, ., xn-1) gdejedatanep.dif.f-jaipritomovajuslovvaizasvex1, ., xn-1takveda (x1, ., xn-1, xn0(x1, ., xn-1)) e . -Pokaimo da pod navedenim pretpostavkama Koijev problem ima reenja. Na osnovu njih sistem: Jx1P1(x1, ., xn, u)= =JxnPn(x1, ., xn, u)=JuPn+1(x1, ., xn, u) ima u okolini take (x10, ., xn0) n nezavisnih prvih integrala: 1(x1, ., xn) = C1, ., n(x1, ., xn) =Cn. Za xn= xn0 dobijamo sistem: 1(x1, ., xn-1, xn0, u) = C1.n(x1, ., xn-1, xn0, u) = Cn Neka je: x1= z1(C1, ., Cn).xn-1= zn-1(C1, ., Cn)u = zn(C1, ., Cn) reenjesistema(zbognezavisnostiprvihintegralareenjepostoji).Razmotrimof-juuimplicitno definisanu sa(-): zn(1(x1, ., xn, u), ., n(x1, ., xn, u)) == |z1(1(x1, ., xn, u), ., n(x1, ., xn, u)), ., zn-1(1(x1, ., xn, u), ., n(x1, ., xn, u))] Dalje,imamodaje:: = zn(1, ., n) -(z1(1, ., n), ., zn-1(1, ., n))reenjepridruene linearnejednaine,pa,podpretpostavkomdajeuokolinitake(x10, ., xn0, u0) ddu= u,sledidaje : = u, tj. sa (-) je dato reenje postavljenog Koijevog problema. 5 V.ELEMENTI TEORIJE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE (1) ELEMENTARNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. -Neka je dat skup c C. Ako je zadato pravilo kojim se svakom z e dodeljuje odreeni kompleksan broj w, kaemo da je na D zadata kompleksna funkcija kompleksne promenljive i piemo: w = (z). -Potojesvakikompleksnibrojodreenparomrealnihbrojeva(realnimiimaginarnimdelom), zadavanje funkcionalne veze izmeu w = u +i: i z = x +iy je ekvivalentno zadavanju dve realne f-je u i : od dve realne promenljive x i y. Dakle: w = u(x, y) -i:(x, y). -Neka jeF skup vrednosti f-je w = (z) kada z prolazi skupom . F-ja uspostavlja korespodenciju izmeutaakaskupaFtakotosvakojtakiz e dodeljujetakuw = (z) e .Samimtim uspostavljenajeiinverznakorespodencija,kojatakamaskupaFdodeljujetakeskupa.Dakle, inverzna korespodencija predstavlja: -1(w) = {z e | (z) = w ] -U optem sluaju inverzna korespodencija moe jednoj taki skupa F dodeljivati vie taaka skuipa D- Tada kaemo da je -1(w) vieznana inverzna korespodencija. -Elementarne f-je kompleksne promenljive: (1) Polinom stepena n: w = P(z) definie se sa: P(z) = o0zn+o1zn-1++on-1z +on (2) Racionalna f-ja: w = R(z) definie se sa: R(z) =P(z)(z), gde su P i stepena n i m. (3) Eksponencijalna f-ja: w = cz definie se sa: cz= cx+= cx(cos y +i siny). Vai: cz1cz2= cz1+z2 icz1cz2= cz1-z2 (4) Trigonometrijske f-je: w = sin ziw = cos z definiu se sa: sin z =cz-c-z2i; cos z =cz+c-z2 Vai i: sin2z +cos2z = 1; sin (-z) = -sin z ;sin ( z1_z2) = sinz1cos z2_cos z1sinz2; cos ( z1_z2) = cos z1cos z2+sinz1sinz2; cz= cos z +i sinz (5)Inverznaf-jaf-jez = wnoznaavasezninazivasen-tikoren.Kakojep = |z|, = aig z tada: w = zn= |z|n_cos _aig z +2knn] +i sin_aig z +2knn]] , k = 1, .n -1 6 Ova f-ja je vieznana. Sledee jednoznane f-je se nazivaju grane vieznane f-jezn: wk= |z|n_cos _aig z +2knn] +i sin_aig z +2knn]] , k = 1, .n -1 (6)Inverznaf-jaeksponencijalnef-jez = cwnazivaselogaritamskaf-jaioznaavasaLnz. Ukoliko u jednainu z = cw stavimo: z = |z|c arg z, w = u +i:: |z|c arg z= cu+= cuc; za z = u=cu= |z|, : = aig z +2kn = u = ln|z| , : = Aig|z| Prema tome, imamo da je w = Lnz = ln|z| +i Aig z (f-ja Lnz je takoe vieznana). (7) Opta stepena f-ja w = zu, gde a moe biti kompleksan broj, definie se sa: zu= cu Lnz. (8) Opta eksponencijalna f-ja w = oz, ako je a kompleksan broj = u,1, c, definie se: oz= c (2) GRANINE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE.-Nekajef-jaw = (z)definisananaskupuinekajez0datataka.Pretpostavimodausvakoj okolini take z0 postoji bar jedna taka iz D razliita od samog z0. -Brojw0jegraninavrednostf-je(z)utakiz0akkozasvakoe > upostoji o(e) > u,takodaza svako z e :|z -z0| < o(e)= |(z) -w0| < e. Za graninu vrednost se koristi oznaka: limz-z0 (z) =w0 =lim(x,)-(x0,0)u(x, y) = u0lim(x,)-(x0,0):(x, y) = :0 -Geometrijska interpretacija: za svaku e okolinu take w0 moe se nai o okolina take z0 tako da se sve take iz o okoline u kojima je definisana preslikavaju u datu e okolinu. -Broj w0 je granina vrednost f-je (z) u taki z0 akko za svaki niz (zn) taaka iz koji konvergira ka z0 odgovarajui niz vrednosti f-je ((zn)) konvergira ka w0. Iz ovoga, i gornjih tvrdnji izvodi se: limz-z0 (z) = lim(x,)-(x0,0)u(x, y) +i lim(x,)-(x0,0):(x, y) -F-ja (z) je neprekidna u taki ze D akko je: limz-z0 (z) =(z0) -Zarazlikuodgraninevrednost,neprekidnostsedefiniesamoutakamaskupa.Akojef-ja neprekidna u svim takama skupa kae se da je ona neprekidna na . -Teorema: F-ja (z) = (x +iy) = u(x, y) +i:(x, y) je neprekidna u taki z0 akko su f-je u(x, y) i :(x, y) neprekidne u taki (x0, y0). -Teorema: Ako su 1 i 2 neprekidne f-je, onda su: 1_ 2; 1 2; 12