Mathématiques CST

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    10-Feb-2016

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Mathmatiques CST. Gomtrie des FIGURES PLANES. Ralis par : Sbastien Lachance. Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes -. Rvision des principales formules. A) Aires de triangles. A) Aires de triangles. Formule de Hron. (o p est le -primtre du triangle). - PowerPoint PPT Presentation

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  • Mathmatiques CSTGomtrie des FIGURES PLANESRalis par : Sbastien Lachance

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes - Rvision des principales formulesA) Aires de triangles

  • A) Aires de trianglesFormule de Hron(o p est le -primtre du triangle)

  • B) Aires de quadrilatresRectangleCarrAcarr = c2

  • B) Aires de quadrilatresParalllogrammeAparalllogramme = b hTrapzeAtrapze

  • B) Aires de quadrilatresLosangeCerf-volant

  • C) Aires de polygones ( n cts)Apolygone rgulierD) Aires de disques

  • E) Relation de PythagoreLes triangles rectangle se retrouvent aussi lintrieur des pyramides ou des cnes !

  • F) Relations mtriques (dans les triangles rectangles)Hauteur relative lhypothnuse

  • F) Relations mtriques (dans les triangles rectangles)Mesure des cathtes

  • G) Rapports trigonomtriques (dans les triangles rectangles)mesure du ct oppos Amesure de lhypotnusemesure du ct adjacent Amesure de lhypotnusemesure du ct oppos Amesure du ct adjacent A

  • H) Loi des sinus (dans tous les triangles)

  • 2Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes - Figures planes quivalentesDeux figures planes sont quivalentes si elles ont la mme aire.Ex. :3 cm4 cm3 cm2 cmA = b x h 2A = 3 x 4 A = 6 cm2 A = b x h A = 3 x 2 A = 6 cm2 ABCABCD

  • Exercice :Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est quivalent au cerf-volant EFGH ?ABCDEFGH8 cm13 cm13 cm4 cm4 cm15 cm?Figures quivalentesAlosange = Acerf-volantAcerf-volantAEFG + AFGHAcerf-volant =AEFG =p (p a) (p b) (p c)(formule de Hron o p est le -primtre)AEFG =16 (16 4) (16 13) (16 15)AEFG =16 (12) (3) (1)AEFG =24 cm2AEFG = AFGH ,CommeAFGH = 24 cm2alorsDoncAEFG + AFGHAcerf-volant =24 + 24Acerf-volant == 48 cm2

  • Exercice :Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est quivalent au cerf-volant EFGH ?ABCDEFGH8 cm13 cm13 cm4 cm4 cm15 cm?Figures quivalentesAlosange = Acerf-volantDlosangeD x dAlosange =2D x 848 =2D x 896 =D12 =La grande diagonale mesure 12 cm.Rponse :

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes - Proprits des figures planes quivalentesDe tous les polygones quivalents n cts, cest le polygone rgulier qui a le plus petit primtre.Ex. #1 :Parmi ces triangles quivalents, cest le triangle quilatral qui a le plus petit primtre.

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes - Proprits des figures planes quivalentesDe tous les polygones quivalents n cts, cest le polygone rgulier qui a le plus petit primtre.Ex. #2 :Parmi ces quadrilatres quivalents, cest le carr qui a le plus petit primtre.

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes - Proprits des figures planes quivalentesDe tous les polygones rguliers quivalents, cest le polygone qui a le plus petit ct qui a le plus petit primtre. la limite, cest le disque quivalent qui a le plus petit primtre.Ex. :Parmi ces polygones rguliers quivalents, cest lhexagone qui a le plus petit primtre.

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes - Transformations dans le plan cartsienOn note t(a, b) la translation qui applique un dplacement de :a units horizontalementb units verticalementDonc pour chaque point P (x, y) , limage devient P (x + a, y + b) pour une translation t(a, b) .t (a, b) :P (x, y) P (x + a, y + b) A) Translation

  • + 2Exemple #1 :t(2. 5)2 units horizontalement (vers la droite)5 units verticalement (vers le haut)A (-5, -2)+ 5A (-3, 3)+ 2O (0, 0)+ 5O (2, 5)O est limage de O.O (0, 0) O (0 + 2, 0 + 5) O (2, 5) A est limage de A.A (-5, -2) A (-5 + 2, -2 + 5) A (-3, 3)

  • Exemple #2 :O se retrouve le triangle ABC suite la translation t(-3, 2) ?A (-2, 4) A (-2 3, 4 + 2) A (-5, 6) t (-3, 2) :A (-2, 4)B (-2, -2)C (3, -2)B (-2, -2) B (-2 3, -2 + 2) B (-5, 0) C (3, -2) C (3 3, -2 + 2) C (0, 0) - 3+ 2A (-5, 6)- 3+ 2B (-5, 0)- 3+ 2C (0, 0)

  • Exemple #3 :Trouver limage du quadrilatre ABCD si on lui applique une translation t(7, -5) .A (3, 5) A (3 + 7, 5 5) A (10, 0) t (7, -5) :A (3, 5)D (-2, -2)C (3, -4)B (4, 2) B (4 + 7, 2 5) B (11, -3)C (3, -4) C (3 + 7, 4 5) C (10, -9) + 7- 5A (10, 0)B (11, -3)C (10, -9)B (4, 2)D (-2, -2) D (-2 + 7, -2 5) D (5, -7) + 7- 5+ 7- 5+ 7- 5D (5, -7)

  • Exemple #4 :Le triangle ABC a subi une translation t(-3, -2). Quelles taient les coordonnes du triangle ABC ?A (-5, 2) A (-5 + 3, 2 + 2) A (-2, 4) t-1(3, 2) :A (-5, 2)B (-5, -4)C (0, -4)B (-5, -4) B (-5 + 3, -4 + 2) B (-2, -2) C (0, -4) C (0 + 3, -4 + 2) C (3, -2) + 3+ 2A (-2, 4)+ 3+ 2B (-2, -2)+ 3+ 2C (3, -2)

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes -B) Rflexion (ou symtrie)On note sx la rflexion par rapport laxe des abscisses (ou x).Pour chaque point P (x, y) , limage par sx devient P (x, - y).sx :P (x, y) P (x, - y)

  • Exemple :sxA (2, 3) A (2, -3) sx :A (2, 3)A (2, -3)

  • On note sy la rflexion par rapport laxe des ordonnes (ou y).Pour chaque point P (x, y) , limage par sy devient P (- x, y).sy :P (x, y) P (- x, y) Exemple :syA (2, 3) A (-2, 3) sy :A (2, 3)A (-2, 3)

  • Exemple :Trouver limage du quadrilatre ABCD si on lui applique une rflexion sy .A (-2, 6) A (2, 6) sy :ABDCBB (2, 9) B (-2, 9) C (6, 4) C (-6, 4) D (5, 1) D (-5, 1) ACD

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes -C) HomothtieOn note h(O, k) lhomothtie de centre lorigine O et de rapport k.Pour chaque point P (x, y) , limage par h(O, k) devient P (kx, ky).h(O, k) :P (x, y) P (kx, ky)

  • Exemple #1 :A (2, 1) A (2 x 2, 2 x 1) A (4, 2) h(O, 2) :B (2, 5) B (2 x 2, 2 x 5) B (4, 10) C (4, 1) C (2 x 4, 2 x 1) C (8, 2) Trouver limage du triangle ABC si on lui applique une homothtie h(O, 2) .ABCABC

  • Exemple #2 :A (-8, -2) A ( x -8, x -2) A (-4, -1) h(O, ) :B (-2, 10) B ( x -2, x 10) B (-1, 5) C (6, -6) C ( x 6, x -6) C (3, -3) Trouver limage du triangle ABC si on lui applique une homothtie h(O, ) .ABCABC

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes -D) Rotations (autour de lorigine O)Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O, 90o) devient P (- y, x).r(O, 90o) :P (x, y) P (- y, x) Rotation de 90oPour chaque point P (x, y) , limage par r(O, 180o) devient P (- x, - y).r(O, 180o) :P (x, y) P (- x, - y) Rotation de 180oPour chaque point P (x, y) , limage par r(O, 270o) devient P (y, - x).r(O, 270o) :P (x, y) P (y, - x) Rotation de 270o

  • Exemple :ABCAA (3, 2) A (-2, 3) B (3, 10) B (-10, 3) C (7, 2) C (-2, 7) r(O, 90o)Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O, 90o) devient P (- y, x).r(O, 90o) :P (x, y) P (- y, x) Rotation de 90or(O, 90o) :BC90o

  • AExemple :ABCr(O, 180o)Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O, 180o) devient P (- x, - y).r(O, 180o) :P (x, y) P (- x, - y) Rotation de 180oBCA (3, 2) A (-3, -2) B (3, 10) B (-3, -10) C (7, 2) C (-7, -2) r(O, 180o) :ACB180o

  • AExemple :ABCr(O, 270o)Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O, 270o) devient P (y, - x).r(O, 270o) :P (x, y) P (y, - x) Rotation de 270oBCA (3, 2) A (2, -3) B (3, 10) B (10, -3) C (7, 2) C (2, -7) r(O, 270o) :ACB270o ACB

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes -E) Dilatation ou contractionDilatation : Figure tire horizontalement ou verticalement.Pour chaque point P (x, y) , limage par une contraction ou une dilatation devient P (ax, by).P (x, y) P (ax, by) Contraction : Figure rtrcie horizontalement ou verticalement.o a 0 et b 0.Si a = b, alors on a une homothtie.

  • Exemple #1 :Trouver limage du quadrilatre ABCD si on lui applique la rgle de transformation suivante :ABDCBACD(x, y)(x, 2y)A (-4, 1) A (-4, 2 x 1) A (-4, 2) B (0, 4) B (0, 2 x 4) B (0, 8) C (4, -1) C (4, 2 x -1) C (4, -2) D (3, -4) D (3, 2 x -4) D (3, -8) Cest une dilatation verticale !

  • A (-8, -2) A ( x -8, -2) A (-4, -2) B (-2, 10) B ( x -2, 10) B (-1, 10) C (6, -6) C ( x 6, -6) C (3, -6) ACABCExemple #2 :Trouver limage du triangle ABC si on lui applique la rgle de transformation suivante :(x, y)( x , y)BCest une contraction horizontale !

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes -F) Compositions de transformationsOn utilise le symbole , qui se lit rond, pour lier une srie de transformations conscutives.On lit les transformations de DROITE GAUCHE.Ex. :sx h(O, 2) t(2, -5) lobjet initial, on applique : t(2, -5) h(O, 2) sx

  • ACExemple :Trouver limage du triangle ABC suite la composition de transformations suivante :Bh(O, ) sy t(4, -7)A (-10, 16) A (-10 + 4, 16 7) A (-6, 9) t (4, -7) :B (-7, 22) B (-7 + 4, 22 7) B (-3, 15)C (-4, 19) C (-4 + 4, 19 7) C (0, 12) A (-6, 9) A (6, 9) sy :B (-3, 15) B (3, 15) C (0, 12) C (0, 12) A (6, 9) A( x 6, x 9) A (2, 3) h(O, ) :B (3, 15) B ( x 3, x 15) B (1, 5) C (0, 12) C ( x 0, x 12) C (0, 4) ACB

  • Mathmatiques CST - Gomtrie des figures planes -G) Isomtries et similitudesISOMTRIESConserve les distances. La figure reste inchange (angles et segments).Translations, rflexions, rotations.SIMILITUDESLa figure change de dimension. Seulement les angles restent inchangs.Homothties

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