Mathématiques : manuel de cours pour collégiens

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    19-Jun-2015

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Il s'agit d'un manuel de cours essentiellement destin aux lves de troisime.

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Cours de Mathmatiques 3Harold Erbin

Ce texte est publi sous la licence libre Licence Art Libre :http://artlibre.org/licence/lal/

Contact : harold.erbin@gmail.com Version : 29 novembre 2009

SommaireI Nombres et calculs 13 9 15 27 35

1 Rappels 2 Ensembles 3 critures littrales 4 Nombres entiers, relatifs et rationnels 5 quations et inquations

II

Organisation et gestion de donnes, fonctions

4345 49 53

6 Fonctions 7 Statistiques 8 Notions de probabilits

III

Gomtrie

5759 65 71 77 83 91

9 Rappels 10 Les triangles 11 Les cercles 12 Surfaces 13 Volumes 14 Les vecteurs

IV

Grandeurs et mesures

9799 103 iii

15 Transformations 16 Units et mesures

SOMMAIRE

A Biographies

107

AnnexesIndex Bibliographie Table des gures Liste des tableaux Table des matires

107109 113 115 117 119

iv

Premire partie

Nombres et calculs

1

Chapitre 1

Rappels1.11.1.1

SymbolesOprateurs+ / addition soustraction multiplication division

Table 1.1 Oprateurs

1.1.2

Symboles de relationa=b a=b ab ab est est est est est est gal b dirent de b infrieur b infrieur ou gal b suprieur b suprieur ou gal bVoici un tableau des symboles de relations communs et de leur signication : a a a a a aTable 1.2 Symboles de relationDnition 1.1. Une dclaration reprsente la mise en relation de deux expressions au moyen dun des signes prcdents. Elle est soit vraie, soit fausse. Exemples : a) La dclaration 1 < 2 est vraie. b) La dclaration 4 = 7 est fausse.3CHAPITRE 1. RAPPELS1.21.2.1Rgles de calculPriorits des oprateursPour calculer une expression ; il est important de respecter la priorit des oprateurs : 1. les parenthses ; 2. les multiplications et divisions ; 3. les additions et soustractions. En cas de priorit quivalente, les oprations sexcutent de la gauche vers la droite. Exemple : 6 + 3 (7 4) 2 4 6+332 = 4 6 + 18 = 4 24 = 4 =61.2.2SimplicationsCertaines rgles permettent de simplier les parenthses : si une parenthse est prcde par un signe moins +, on garde les mmes signes, par exemple a + (b c + d) = a + b c + d x + (y + z) = x y + z si une parenthse est prcde par un signe moins , on inverse les signes dans la parenthse, par exemple e (f g + h) = e f + g h4CHAPITRE 1. RAPPELS1.31.3.1ExercicesnoncsRemplacer le . . . par lun des symboles suivants =, < ou > : d) 1 . . . 9 e) 6,32 . . . 6,35 f) 3 . . . 2 g) . . . h) 4 . . . 8 i) 2,5 . . . 3,5 j) | 4| . . . 4 k) 5 . . . |5|Exercice 1.1. * a) 2 . . . 4 b) 11 . . . 11 c) 6 . . . 5 Exercice 1.2. * a) 3 < 5 b) 1 = 6 Exercice 1.3. * mathmatique :Dire si les dclarations suivantes sont vraies ou fausses : c) 4,5 = 4,5 d) 13 < 19 e) 1 3 f) 0 > 3 g) 6 6crire les phrases suivantes sous la forme dune dclaration d) 15 est infrieur ou gal 20. e) 4 est suprieur -1.a) 3 est plus petit que 7. b) -2 est plus grand que -5. c) 9 est dirent de 6. Exercice 1.4. ** >: a) | 4| . . . 4 b) | 3| . . . 2 Exercice 1.5. * a) 4 + 7 b) 12 + 5 Exercice 1.6. * a) (+2) Exercice 1.7. * a) 5 6 b) 3 (4) Exercice 1.8. * a)Remplacer le . . . par lun des symboles suivants =, < ou c) 6 . . . | 1| d) 5 . . . |5| 2 2 ... 7 7e)Eectuer les calculs suivants : c) 3 (7) d) 2 7 Simplier les expressions suivantes : b) (3) c) +(6) d) +(+8) e) 8 3Eectuer les calculs suivants : c) (7) 8 d) (3) (2) Quel est le signe des expressions suivantes : c) 3 4 (7) 8 d) 2 (4) 9 (3)(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) b) (1) (1) 5CHAPITRE 1. RAPPELSExercice 1.9. ** a) 3 4 + 5 2Calculer les expressions suivantes : c) 2 3 + 7 (3) d) (4) (8) + (5) (9)b) 7 (2) + (3) 4 Exercice 1.10. ** a) 2 (7 3) + 9 b) (1 5) 3 6 Exercice 1.11. *** a) 3 (7 2 (3 8)) 2 Exercice 1.12. * soient vraies : a) 2 4 3 = 6Calculer les expressions suivantes : c) 4 8 (6 + 2)Calculer les expressions suivantes : b) (10 + 2 (2)) 2 + 6 3 2Placer des parenthses de sorte que les galits suivantes b) 5 2 4 3 = 18 c) 12 3 + 4 = 131.3.2Conseils1.5 Pensez remplacer deux signes moins qui se suivent par un signe plus +. 1.7 Pour dterminer le signe du rsultat dune multiplication, la rgle est la suivante : le rsultat sera positif si les deux signes identiques (ex. : 2 3 > 0 ou encore 2 3 > 0) ; le rsultat sera ngatif si les deux signes sont dirents (ex. : 3 5 < 0). 1.8 Dans cet exercice, seul le signe est demand (il ne faut donc surtout pas chercher calculer la valeur de lexpression). Pour trouver le signe, il sut dune multiplication comportant plusieurs signes, il sut de compter le nombre de signes moins (ou encore de chires ngatifs), et : si le nombre de signes moins est pair, le rsultat sera positif ; si le nombre de signes moins est impair, le rsultat sera ngatif. 1.10 Le plus simple ici est de procder par tape, en faisant attention lordre de priorit des oprateurs : dabord les expressions entre parenthses, puis les multiplications/divisions, et enn les additions/soustractions.1.3.3CorrectionsExercice 1.1 a) 2 < 4 b) 11 = 11 c) 6 > 5 d) 1 < 9 e) 6,32 < 6,35 f) 3 < 2 6 g) = h) 4 > 8 i) 2,5 < 3,5 j) | 4| = 4 k) 5 < |5|CHAPITRE 1. RAPPELSExercice 1.2 a) Vrai. b) Faux. Exercice 1.3 a) 3 < 7. b) 2 > 5. Exercice 1.4 a) | 4| = 4 Exercice 1.5 a) 4 + 7 = 3 b) 12 + 5 = 7 Exercice 1.6 a) (+2) = 2 b) (3) = 3 Exercice 1.7 a) 5 6 = 30 b) 3 (4) = 12 Exercice 1.8 (1) (1) (1) (1) 0 (3) c) (7) 8 = 56 d) (3) (2) = 6 c) +(6) = 6 d) +(+8) = 8 c) 3 (7) = 4 d) 2 7 = 5 e) 8 3 = 11 b) 5 < |5| c) 9 = 6. d) 15 20. e) 4 > 1. c) Vrai. d) Vrai. e) Faux. f) Vrai. g) Vrai.CHAPITRE 1. RAPPELSExercice 1.10 a) 2 (7 3) + 9 =24+9 =8+9 = 17 b) 2(1 5) 3 6 = (4) 3 6 = 12 6 = 18 Exercice 1.11 a) 3 (7 2 (3 8)) 2 3 (7 + 10) = 2 = 4, 5 b) (10 + 2 (2)) 2 + 6 3 2 (10 4) 2 + 6 = 6 18 = 6 = 3 c) 4 8 (6 + 2) = 4 8 (4) = 4 + 32 = 288Chapitre 2Ensembles2.1 DnitionsDnition 2.1. Un ensemble est une liste non ordonne et sans rptitions dobjets. Ces objets sont appels lments de lensemble. On note les lments dun ensemble entre accolades. Remarques : 1. non ordonne signie que lon a {a, b} = {b, a} ; 2. sans rptitions signie que lon a {a, a} = {a}. Exemples : a) Lensemble des jours de la semaine est {lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche} b) Voici un ensemble de nombres : {3, 1, 7, 4}. Dnition 2.2. Si a est un lment de E, alors on dit que a appartient E et on note a E. Dans le cas contraire, on dit que a nappartient pas E et on note a E. / Remarque : On peut dire que E possde (respectivement ne possde pas) a, et on notera E a (resp. E a). Proposition 2.1. Deux ensembles E et F sont gaux si et seulement sils ont les mmes lments, cest dire x E x F On notera E = F . Remarque : On dnira, pour chaque ensemble E, une version toile E : cela revient simplement retirer 0 de cet ensemble. Proposition 2.2. Tout ensemble E est stable par addition et multiplication par un nombre positif. Cest dire 1. a, b E = a + b E 2. a E, n > 0 = n a E 9CHAPITRE 2. ENSEMBLES2.2Ensembles courantsDnition 2.3. Lensemble des entiers naturels, not N, correspond lensemble des nombres entiers positifs. On a donc N = {0, 1, 2, 3, . . . } (2.1)Dnition 2.4. Lensemble des entiers relatifs, not Z, correspond lensemble des nombres entiers positifs et ngatifs. On a donc Z = {. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . } (2.2)Dnition 2.5. Lensemble des nombres rationnels, not Q, correspond lensemble des nombres qui sont le quotient de deux entiers, cest dire Q = {a/b | a Z, b Z } (2.3)Remarque : En base 10, le nombre de chires aprs la virgule est ni ou, sil est inni, priodique. Exemples : 1 = 0, 5 Q 2 1 b) = 0, 333 Q 3 a) Mais certains nombres ne peuvent scrire sous la forme dun quotient de deux rels. Exemples : a) 2 1, 4142136 . . . b) 3, 14159 . . .Dnition 2.6. Lensemble des nombres rels, not R, correspond lensemble des nombres ayant une reprsentation dcimale nie ou innie. Remarque : On parle aussi de corps des rels pour dsigner R. Cest dailleurs cette dnomination qui sera choisie dans la suite. Dnition 2.7. Lensemble des rationnels, not R Q est lensemble des nombres rels mais non rationnels, cest dire R Q = {x R | x Q} / Proposition 2.3. On a NZQR 10 (2.5) (2.4)CHAPITRE 2. ENSEMBLES2.3Les rationnels1 . aDnition 2.8. On appelle inverse de a le nombre qui vaut On le note aussi a1 . Exemples : 1 1. = 31 est linverse de 3. 3 2. De la mme manire, 4 est linverse de1 , car 41 =4 1/4 Proposition 2.4. Diviser a par b revient multiplier a par linverse de b, cest dire a 1 = a = a b1 (2.6) b b Exemple : 2 1 = 2 = 2 31 3 3Dnition 2.9. On dnit loppos de a comme tant a.2.4Les relsOn dnit deux oprations dans lensemble des rels R : laddition + ; la multiplication . Proposition 2.5. Soit une opration 1 dans lensemble R. Alors on a les proprits suivantes : 1. stabilit : a, b R abR (2.7) 2. commutativit : a, b R 3. associativit : a, b, c R (a b) c = a (b c) (2.9) ab=ba (2.8) admet un lment neutre, not e, tel que a R ae=ea=a (2.10) Remarques : 1. Pour laddition, e = 0 car a + 0 = 0 + a = a. 2. Pour la multiplication, e = 1 car a 1 = 1 a = a. Exemples :1. Cest dire que peut dsigner soit laddition, soit la multiplication.11CHAPITRE 2. ENSEMBLESa) 3 1 = 1 3 = 3b) 4 + 0 = 0 + 4 = 4Remarque : On tend de plus les notions dinverse et doppos tudies dans Q R: on dnit loppos de a par a. On a a + (a) = 0. on dnit linverse, not a1 par : a R et on a a1 = 1 aa a1 = 1Proposition 2.6. La multiplication est distributive sur laddition, cest dire a, b, c R a (b + c) = a b + a c (2.11)Dnition 2.10. La valeur absolue reprsente la distance dun nombre lorigine. Soit x R, alors sa valeur absolue est note |x| et on a |x| 0. Remarque : Si x < 0, alors on a |x| = x (dune certaine manire, il "sut" de retirer le signe moins). Exemples : a) |4| = 4 b) | 9| = 9