MEKANIK GRUNDLÄGGANDE, FÖRELÄSNING

  • Published on
    15-Sep-2014

  • View
    229

  • Download
    3

Embed Size (px)

Transcript

<p>12004-03-15 nicst@ikp.liu.se 1TMME 60 del 2Att ge de studerande frtrogenhetmed de grundlggande lagarna inomden klassiska mekaniken och frdighet att sjlvstndigt tillmpa lagarna p konkreta mekaniskaproblem.Kursens ml2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 2TMME 60 del 2 ExempelNational Crash Analysis Center http://www.ncac.gwu.edu/22004-03-15 nicst@ikp.liu.se 3TMME 60 del 2 Exempel2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 4TMME 60 del 2 Exempel32004-03-15 nicst@ikp.liu.se 5TMME 60 del 2 Kursinformation2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 6TMME 60 del 2 Klassisk mekanikPartikel Stel kropp Deformerbar kroppKinematik Kinetik Konstitutiva lagarMekanikStatik DynamikHastighetAccelerationFrilggningNewtons IITjningSpnningElasticitet42004-03-15 nicst@ikp.liu.se 7TMME 60 del 2 Sir Isaac Newton1643-1727Professor i matematik, Cambridge, 1669Spegelteleskop, 1671Philosophi Naturalis Principia Mathematica (Naturvetenskapens matematiska principer, Principia), 1687, kraftbegrepp, rrelselagar, gravitationsteoriChef fr myntverket, 1700Opticks, 1704, ny syn p begreppet frg, utvecklade infinitesimalkalkylenGud r allsmktig, stndigt nrvarande i sin skapelse, och genom studiet av naturen erhller vi kunskap om honom2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 8TMME 60 del 2 Newtons lagarI. En kropp frblir i vila eller likformig rrelse om den ej tvingas av pverkande krafter att ndra detta tillstnd.II. ndringen i en kropps rrelsemngd r proportionell mot kraften och sker i kraftens riktning.III. Tv kroppars msesidiga verkningar p varandra r lika stora och motriktade.52004-03-15 nicst@ikp.liu.se 9TMME 60 del 2 SI - enheter Ett kilogram r lika med massan av den prototyp som frvaras i Pavillon de Breteuil vid Sveres nra Paris. En meter r lngden av den strcka som ljuset tillryggalgger i vakuum under tiden 1/299 792 458 s. En sekund r tiden fr 919 263 1770 perioder av den strlning som fs vid vergngen mellan de tv hyperfinniverna i grundtillstndet hos atomen cesium 133.2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 10TMME 60 del 2 Vad r en kraft?I. Fix vektor vektor med unik angreppspunktII. Glidande vektor vektor med unik angreppslinjeIII. Fri vektor placering saknar betydelseEn kraft r en vektorstorhet som beskriver (mekanisk) vxelverkan mellan kroppar. Exempel p krafter r gravitationen och normaltrycket mellan tv fysikaliska objekt.En kraft r en fysikalisk vektor, dvs dess konsekvenser kan ven bero p dess placering. Det finns tre olika typer av fysikaliska vektorer: 62004-03-15 nicst@ikp.liu.se 11TMME 60 del 2 Skalrprodukt cos b a b a = baz z y y x xz y xz y xz z y y x xz z y y x xb a b a b a b b b a a a b b b a a a+ + = == + + = + + =b aba e e e b e e e a) , , () , , (2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 12TMME 60 del 2 Skalrprodukt-exempelaaaFzExEyEABCEn kloss kan glida lngs en rak stng. En kraft med storlek F och riktning enligt Figuren angriper klossen. Kraftens bidrag utmed stngen kommer att accelerera partikeln. Bestm detta bidrag!72004-03-15 nicst@ikp.liu.se 13TMME 60 del 2 Kryssproduktz y xz y xz y xb b b a a a e e e b a = sin b a b a c b a c= = =abc2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 14TMME 60 del 2 Kryssprodukt-exempela 2aa 2FzExEyEEn stng r fritt ledad map origo. En kraft med storlek F och riktning enligt Figuren angriper i stngens nde. Kraftens moment map origo kommer att bidra till stngens rotation. Bestm detta moment!82004-03-15 nicst@ikp.liu.se 15TMME 60 del 2 Hastighet och accelerationrt ddrv =Hastighet22ddtra =AccelerationGivet att positionen fr en partikel ges av lgesvektorn r=r(t), s defineras hastighet och acceleration som 2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 16TMME 60 del 2 ExempelxEyE2x y =En partikel frdas lngs banan y=x2. Hastigheten i x-led r hela tiden vEx. Bestm partikelns acceleration nr den passerar x=0.92004-03-15 nicst@ikp.liu.se 17TMME 60 del 2 Newtons IIFr en partikel med massan m som pverkas av en kraft F gller att) (ddv F mt=Detta r Newtons 2:a lag. Storheten mv kallas fr rrelsemngd (v betecknar partikelns hastighet). Givet att massan r konstant, s erhlles fljande formuleringa F m =Hr betecknar a partiklens acceleration.2004-03-15 nicst@ikp.liu.se 18TMME 60 del 2 Rrelse i kartesiska koordinaterz y x z y x e e e r + + =z y x z y x e e e v &amp; &amp; &amp; + + =z y x z y x e e e a &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; + + =KinematikKinetik = x x ma F = y y ma F = z z ma F102004-03-15 nicst@ikp.liu.se 19TMME 60 del 2 Exempel1m2mTv partiklar hnger i ett arrangemang av masslsa stela snren och trissor. Bestm partiklarnas acceleration givet att systemet r friktionsfritt. 12004-03-17 nicst@ikp.liu.se 1TMME 60 del 2 RepetitionHastighet:22ddtra = Acceleration:Kinematikz y x z y x e e e r + + =z y x z y x e e e v &amp; &amp; &amp; + + =z y x z y x e e e a &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; + + =Kinetik) (ddv F mt=a F m =Newtons II:z zy yx xma F ma F ma F===Fart: v = v t ddrv = (tangenten)2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 2TMME 60 del 2 Naturliga koordinatersntt t v s v &amp;= =Hastighet Accelerationn t n t a 2 2ssvv &amp;&amp; &amp; &amp; + = + =Visa!22004-03-17 nicst@ikp.liu.se 3TMME 60 del 2 Naturliga koordinaters2van = v at &amp;=vCentripetal accelerationFartndring2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 4TMME 60 del 2 ExempelEn bil med konstant fart kr ver en kulle med konstant krkningsradie. Bestm bilens totala acceleration!m/s 30 = vm 100 = 32004-03-17 nicst@ikp.liu.se 5TMME 60 del 2 Krkningsradie22ddy ,ddy ), (xyxyx y y = = =yxr( )2 / 3222) ( 1dd 1yys + = = r Visa!s2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 6TMME 60 del 2 ExempelxEyE2x y =Bestm krkningsradien vid x=0!42004-03-17 nicst@ikp.liu.se 7TMME 60 del 2 Cirkulr rrelseR &amp; &amp; &amp; ,&amp;&amp; R s v = =&amp; &amp;&amp; R v at = =22&amp;RRvan = =Visa!2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 8TMME 60 del 2 Rrliga enhetsvektorerYEXExeyesystem ref. rrligt - , y x e estem referenssy fixt - , Y X E Ey x e e &amp;&amp; = x y e e &amp;&amp; =Visa!52004-03-17 nicst@ikp.liu.se 9TMME 60 del 2YEXExeyey x e e = x y e e = Rrliga enhetsvektorer2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 10TMME 60 del 2 Polra koordinaterReeRRRe r =e e e e r v &amp; &amp;&amp;&amp;&amp; R R R R R R R + = + = == + + + + = = e e e e e v a &amp;&amp; &amp; &amp; &amp; &amp;&amp;&amp; &amp; &amp;&amp; R R R R R R R e e ) 2 ( ) (2 &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; R R R R R + + 62004-03-17 nicst@ikp.liu.se 11TMME 60 del 2 Polra koordinaterR vR &amp;= &amp;R v =R e e v v v R R + =2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 12TMME 60 del 2 Polra koordinater2&amp; &amp; &amp; R R aR = &amp; &amp; &amp; &amp; R R a 2 + =R e e a a a R R + = &amp; &amp; &amp; &amp; R R +2&amp;R&amp; &amp;RR&amp; &amp; &amp;R v = R vR &amp;=72004-03-17 nicst@ikp.liu.se 13TMME 60 del 2 Exempelm 5sBestm hastigheten och accelerationen i punkten A givet attA0rad/s 2300m/s 1m 1======&amp; &amp;&amp;&amp; &amp;&amp;osss2004-03-17 nicst@ikp.liu.se 14TMME 60 del 2 Newtons II laga F m =Naturliga koordinater:v mvm&amp; ==t2nF :F :tn) 2 ( F :) ( F :2R &amp; &amp; &amp; &amp;&amp; &amp; &amp;R R m R R mR+ = =eePolra koordinater:82004-03-17 nicst@ikp.liu.se 15TMME 60 del 2 ExempelR mEn partikel ligger p en horisontell skiva. Skivan roterar enligtBestm vid vilken tidpunkt partikeln brjar att glida givet att friktionen r . Gravitationen ges av g.221t =12004-03-22 nicst@ikp.liu.se 1TMME 60 del 2 Repetitionsntt t v s v &amp; = =HastighetAccelerationn t n t a 2 2ssvv &amp;&amp; &amp; &amp; + = + =Naturliga koordinaterReeRPolra koordinaterHastighetAcceleration e e v &amp; &amp; R R R + = e e a ) 2 ( ) (2 &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; R R R R R + + =( )2 / 32) ( 11yy + =2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 2TMME 60 del 2 DynamikHastighet, accelerationFrilggning, Newtons IIINewtons IIKinematik Kinetikt ddrv =22ddtra =Kartesiska koordinaterNaturliga koordinaterPolra koordinaterKinematiska tvng!a F m =ORDINRA DIFFERENTIAL-EKVATIONER!22004-03-22 nicst@ikp.liu.se 3TMME 60 del 2 Statiskt problemEn bil med konstant fart kr ver en kulle med konstant krkningsradie. Bestm normalkraften mellan bil och vg!m/s 30 = vm 100 = 2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 4TMME 60 del 2 PartikelpendelLmgBetrakta en partikel som sitter fast i en stel massls stng. Visa att fljande differentialekvation beskriver rrelsen!0 sin = + Lg&amp; &amp;32004-03-22 nicst@ikp.liu.se 5TMME 60 del 2 Partikelpendel2&amp;L&amp; &amp;LSmgKinematikFrilggning2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 6TMME 60 del 2 Partikelpendel2&amp;L&amp; &amp;LSmg(2) ) cos sin ( cos :(1) ) sin cos ( sin :22 &amp; &amp; &amp;&amp; &amp; &amp;L L m mg S L L m S+ = = &amp; &amp;mL mg = sinNewtons II:(1)cos + (2)sin:Kraft i stngen, -(1)sin + (2)cos:2cos &amp;mL mg S + =42004-03-22 nicst@ikp.liu.se 7TMME 60 del 2 Partikelpendel0 0 , &amp;Givet att partikeln slpps frn ett visst lge med en viss begynnelsehastighet som ges av bestm kraften i stngen S som funktion av rrelsen! Fr att kunna bestmma detta s mste vi brja med att bestmma rrelsen som beskrivs av fljande matematiska problem:0 0 , &amp;00) 0 () 0 (0 sin &amp; &amp;&amp; &amp;=== +Lg2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 8TMME 60 del 2 Partikelpendel &amp; &amp; &amp; &amp;d d =Utnyttja! = &amp;&amp;&amp; &amp;0 0d d sinLg-20 02) cos (cos2 &amp; &amp; + =Lg20 0cos 2 cos 3 &amp;mL mg mg S + = = = = dddddddd &amp;&amp; &amp; &amp;&amp; &amp;t t52004-03-22 nicst@ikp.liu.se 9TMME 60 del 2 PartikelpendelAntag som vinkelutslag, dvs. linjarisera vrt problem genom attutnytta1 cos , sin Vrt matematiska problem blir0 0) 0 ( , ) 0 (0 &amp; &amp;&amp; &amp;= == +Lg2&amp;mL mg S + =Detta problem tillhr klassen problem som kallas fr linjra svngningar. Vi kommer att titta nrmare p denna klass av problem i slutet av kursen. Vi kan lsa detta problem enligt tidigare eller genom att utnyttja den homogena lsningen till problemet.2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 10TMME 60 del 2 Partikelpendel( )20 0cos sin t t mL mg S n n n L &amp;+ + =Den homogena lsningen rLgt t n nnn = + = , sin cos00&amp;Snrkraften blir:62004-03-22 nicst@ikp.liu.se 11TMME 60 del 2 Partikelpendel1:a ordningens problem kan lsas numeriskt i Matlab, dvs. ett problem av typen 0) 0 () , (x x x x== t f &amp;Vrt 2:a ordningens problem kan transformeras till ett 1:a ordningens problem genom att infra &amp;= =2 1 , x xSambandet mellan x1och x2beskrivs av2 1 x x = &amp;2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 12TMME 60 del 2 Partikelpendel0 2 0 11 22 1) 0 ( , ) 0 () sin( &amp;&amp;&amp;= = ==x xxLgxx x0 0 , &amp;Sledes genom denna transform kan vrt ursprungliga problem beskrivas som fljande 1:a ordningens problem:22 1cos mLx x mg SN + = Kraften fs via72004-03-22 nicst@ikp.liu.se 13TMME 60 del 2 Partikelpendel0 , 1790 0 = = &amp;o2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 14TMME 60 del 2 Partikelpendel0 , 300 0 = = &amp;o82004-03-22 nicst@ikp.liu.se 15TMME 60 del 2 Matlabuppgift (obligatorisk)xeyeL0, L k0L L + m g2004-03-22 nicst@ikp.liu.se 16TMME 60 del 2 Linjr, massls, fjderFAB0L Lkhet fjderstyv - klngd ospnd -0LB AL/r =) (0L L k F =LL L k B A/0) ( rF =F0L L = k92004-03-22 nicst@ikp.liu.se 17TMME 60 del 2 Matlabintroduktion12004-04-01 nicst@ikp.liu.se 1TMME 60 del 2 Repetitione e v &amp; &amp; R R R + = e e a ) 2 ( ) (2 &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; R R R R R + + =( )2 / 32) ( 11yy + =n t n t a 2 2ssvv &amp;&amp; &amp; &amp; + = + = t t v s v &amp; = =z y x z y x e e e v &amp; &amp; &amp; + + =z y x z y x e e e a &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; + + =t ddrv =22ddtra =KinematikKinematiska tvng!FrilggningStelt snreLinjr fjderMassls stnga F m =Analys statisk eller dynamiskDifferentialekv. (2:a ordningens)Begynnelsevillkor) , , ( x x t f x &amp; &amp; &amp; =0 0) 0 ( , ) 0 ( v x x x = = &amp;v v s a d d =Kinetik2004-04-01 nicst@ikp.liu.se 2TMME 60 del 2 Effekt och arbeteFysikalisk storhet som anger den energimngd som per tid verfrs frn ett avgivande till ett mottagande system. Effekten mts ienheten watt, W; 1 W=1 J/s (joule/sekund). Om den verfrda energin r i form av mekaniskt arbete anvnds ven enheten Nm/s (newtonmeter/s=joule/s). En ldre enhet r hstkraft, hk; 1 hk= 75kpm/s (kilopondmeter/sekund)=735,50 W.Den frn solen utstrlande effekten r 3,921026W. Ett krnkraftverk kan leverera en effekt om ca 109W, dvs. 1 000 MW (megawatt,miljoner watt); en kraftig bilmotor utvecklar en effekt om ca 100 kW (kilowatt, tusen watt); en 60 Wgldlampa utstrlar effekten 60 W i form av vrme och ljus; ett batteridrivet armbandsur drar en effekt av ngra W(mikrowatt, miljondels watt). En vuxen mnniska avger en vrmeeffekt om ca 75 W.(NE, 2004)22004-04-01 nicst@ikp.liu.se 3TMME 60 del 2 Effekt och arbeterFvEffekten P av kraften F definieras somv F = Pdr v r hastigheten hos F:s angreppspunkt.2004-04-01 nicst@ikp.liu.se 4TMME 60 del 2 Effekt och arbeterFr dArbetet dU som kraften F utrttar p en partikel under tiden dt definieras somr F v F d d d d = = = t t P U32004-04-01 nicst@ikp.liu.se 5TMME 60 del 2 ExempelskRmEn konstant kraft R drar via ett stelt snre partikeln m strckan s. Bestm arbetet som Rutrttar!gL2004-04-01 nicst@ikp.liu.se 6TMME 60 del 2 Tyngdkraftens arbeter mg12xeyegV y y mg y mg U = = = = ) ( d d1yy22121rrr Fmgy V g=kallas fr tyngdkraftens potentiella energi42004-04-01 nicst@ikp.liu.se 7TMME 60 del 2 ExempelskRmBestm tyngdkraftens arbete, samt ndring i potentiell energi!g2004-04-01 nicst@ikp.liu.se 8TMME 60 del 2 Fjderkraftens arbeter120LF ReR R L e e r d ) ( d d0 + + =Rk e F =RL e r ) (0 + =eV k k U = = = = ) (21d d21222121 rrr F221 k V e= kallas fr fjderns elastiska energi52004-04-01 nicst@ikp.liu.se 9TMME 60 del 2 ExempelskRmGivet att partikeln startar frn sitt statiska jmviktslge, bestm fjderkraftens arbete, samt ndring i elastisk energi!g2004-04-01 nicst@ikp.liu.se 10TMME 60 del 2 Kinetisk energir12xeyevv v = m T21En partikels kinetiska energi definieras som m62004-04-01 nicst@ikp.liu.se 11TMME 60 del 2 Principen om mekanisk energibalansPrincipen om effektverfring fr en partikel pstr att ndringen i kinetiks energi balanserar krafternas arbete, dvs.U T = 2004-04-01 nicst@ikp.liu.se 12TMME 60 del 2g e restV V T U + + = r F = drest restU2| |21v m T =221 k V e= mgy V g=Om man delar upp kraften F i tyngdkraft Fg, fjderkrafter Feoch resterande krafter Frest: s kan principen om effekt verfring uttryckas p fljande visrest e gF F F F + + =Principen om mekanisk energibalans72004-04-01 nicst@ikp.liu.se 13TMME 60 del 2 ExempelskPmPartikeln startar i vila frn sitt statiska jmviktslge. Bestm farten nr partikeln passerar den streckade positionen!g2004-04-01 nicst@ikp.liu.se 14TMME 60 del 2 Konservativa krafterTyngdkraften och fjderkraften r konservativa krafter. En kraft sgs vara konservativ om dess genererade arbete r vgoberoende, dvs.12FF2C1C = =2 1d dC CU r F r F82004-04-01 nicst@ikp.liu.se 15TMME 60 del 2 Konservativa krafterkonstant godtycklig - ) () ( d ) (000rr r F r rrVV V + = Givet en konservativ kraft F s finns en tillhrande potential som defineras avr12xeyeFKraften ges av = =zVyVxVV ) (r F2004-04-01 nicst@ikp.liu.se 16TMME 60 del 2 Konservativa krafterOm alla krafter r konservativa, s frblir den totala energin E=T(t)+V(t) konstant.. konst ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d1 11 1 1 1= + = + = = t V t T t V t TV T U T tttttttt92004-04-01 nicst@ikp.liu.se 17TMME 60 del 2 VerkningsgradVerkningsgraden r frhllandet mellan nyttiggjord effekt Putoch tillfrd effekt Pini ett system, dvsinutPP= Vid omvandling mellan oli...</p>