Mekanik og Termodynamik Dispositioner

  • Published on
    10-Jan-2017

  • View
    212

  • Download
    0

Transcript

  • Mekanik og Termodynamik Dispositioner

    Michael Lind Mortensen, illio

    20. januar 2011

  • Indhold

    1 Dynamik og energi for rotationel bevgelse 51.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.1 Rotationel bevgelse - Perspektiv . . . . . . . . . . . 51.2.2 Kinetisk energi af et stift roterende legeme . . . . . . 81.2.3 Inertimomentet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Kraftmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Rotationel analog til Newtons 2. lov . . . . . . . . . . 111.2.6 Kombineret translatorisk og rotationel bevgelse . . . 131.2.7 Arbejde og effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2 Impulsmoment og gyroskopet 192.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2.1 Impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Sammenhng med kraftmoment . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Samlede strrelse af impulsmoment for et legeme . . . 212.2.4 Impulsmomentbevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.5 Gyroskopet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3 Mekanisk ligevgt og elasticitet 283.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.2.1 Ligevgt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3 Elasticitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.4 Begrnsninger ved Hookes lov . . . . . . . . . . . . . 38

    4 Gravitation og planetbevgelse 404.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4.2.1 Newtons Gravitationslov . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.2 Vgt og vgtlshed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.3 Gravitationel Potentiel Energi . . . . . . . . . . . . . . 444.2.4 Sorte huller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.5 Satelitbaner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.6 Keplers love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5 Periodisk bevgelse 525.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    5.2.1 Periodiske bevgelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2

  • 5.2.2 Simpel harmonisk bevgelse . . . . . . . . . . . . . . 545.2.3 Energien i harmonisk bevgelse . . . . . . . . . . . . . 575.2.4 Penduler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.5 Dmpede svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    6 Fluid mekanik 636.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    6.2.1 Densitet og Tryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.2 Dybde og Pascals lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.3 Opdrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.4 Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2.5 Turbulens og viskositet . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.6 Kontinuitetslignignen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2.7 Bernoullis ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.8 Reynolds tal & Poiseuilles lov . . . . . . . . . . . . . . 77

    7 Temperatur, termisk udvidelse, varme og faseovergange 797.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    7.2.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.2 Termisk udvidelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.3 Varme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2.4 Faseovergange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    8 Kinetisk gasteori og tilstandsligninger 928.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    8.2.1 Tilstandsligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2.2 Idealgasligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2.3 Van der Waals gasligning . . . . . . . . . . . . . . . . 958.2.4 pV-diagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.2.5 Kinetisk gasteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2.6 Udledelse af trykformel . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2.7 Energi i kinetisk gasteori . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2.8 Anvendelse: Varmekapacitet . . . . . . . . . . . . . . . 1028.2.9 Krafterne mellem to molekyler . . . . . . . . . . . . . 1048.2.10 Faseovergange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    9 Varmekapacitet for gasser og faste stoffer, CP og CV 1069.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    9.2.1 Varmekapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    3

  • 9.2.2 Estimering af molr varmekapacitet vha. kinetisk ga-steori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    9.2.3 Varmekapacitet af en idealgas . . . . . . . . . . . . . . 117

    10 Termodynamikkens frste hovedstning, termodynamiskeprocesser 12510.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    10.2.1 Termodynamikkens 1. hovedstning . . . . . . . . . . 12510.2.2 Termodynamiske processer . . . . . . . . . . . . . . . 13110.2.3 Termodynamik og idealgasser . . . . . . . . . . . . . . 134

    11 Termodynamikkens anden hovedstning, Carnot-cyklen, en-tropi. 14211.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14211.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    11.2.1 Reversible og irreversible processer . . . . . . . . . . . 14311.2.2 Varmemaskinen og dens effektivitet . . . . . . . . . . 14411.2.3 Otto-cyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14611.2.4 Klemaskinen og dens effektivitet . . . . . . . . . . . . 14911.2.5 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111.2.6 Termodynamikkens 2. hovedstning . . . . . . . . . . 15311.2.7 Carnot-cyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    4

  • 1 Dynamik og energi for rotationel bevgelse

    1.1 Disposition

    1. Rotationel bevgelse - Perspektiv Paralleller til linear mekanik Korte definitioner Stift legeme

    2. Kinetisk energi af et stift roterende legeme Husk def. Inertimoment

    3. Inertimomentet Kan sls op i bogen Parallel-akse Teoremet Kort nvn Vinkelret-akse Teoremet

    4. Kraftmoment Vektordefinition Udregning af kraftmomentet

    5. Rotationel analog til Newtons 2. lov Husk: Glder kun for stift legeme.

    6. Kombineret translatorisk og rotationel bevgelse Kinetisk energi Rullende friktion

    7. Arbejde og effekt

    1.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    1.2.1 Rotationel bevgelse - Perspektiv

    Nu hvor emnet handler om rotationel bevgelse, s lad os starte med at fde mest basale definitioner p plads her.

    5

  • Paralleller til linear mekanikRotationel bevgelse har mange ligheder imellem sig og linear mekanik.Faktisk kan de samme formler fra linear mekanik mere eller mindre brugesher, sfremt man blot laver en simpel variabelomskrivning som flger:

    x v a m I

    Hvor den sidste ovenfor er Inertimomentet I, som jeg kommer ind p senere.

    Det betyder flgende formler for konstant-acceleration fra linear meka-nik:

    x = x0 + v0xt+12axt

    2

    x x0 =12(vx + v0x)t

    vx = v0x + axtv2x = v20x + 2ax(x x0)

    Bliver til flgende i rotationel bevgelse med konstant acceleration:

    = 0 + 0zt+12zt

    2

    0 =12(z + 0z)t

    z = 0z + zt2z = 20z + 2z( 0)

    Herudover glder der samme sammenhng mellem position, hastighedog acceleration som normalt, alts at (om en rotationel akse z):

    z = z

    = ddt

    z = z

    = dzdt

    = d2

    dt2

    6

  • Korte definitionerUdover sammenhngen med linear mekanik, s er der ogs en rkke vigtigegrundlggende definitioner vi lige kort skal opsummere.

    Da alle definitioner i rotationel bevgelse bygger p (9.1):

    = sr

    Hvor s er lngden af en bue p cirklen i cirkelbevgelsen.S skal man vre opmrksom p at alle formler antager vinkler opskri-

    ves i radianer og intet andet. Ellers fs forkerte resultater.

    Moving on..Hastigheden af et givent punkt p et stift legeme der roteres er som

    flgende:

    v = r

    Hvorved punkter ind mod centrum har en lavere linear hastighed end ln-gere ude p legemet. Vr opmrksom p her, at der med menes skalar-vrdien af z. Alts kan aldrig vre negativ.Hastighedsvektoren ~v er altid en tangent til cirklen med retning i rotations-retningen.

    Udover denne definition har vi ogs atan og arad, henholdsvis den tan-gentielle og centripetale acceleration.

    Den tangentielle acceleration atan er altid parallel til hastighedsvekto-ren ~v og bidrager til at ndre magnituden af hastighedsvektoren (i.e. denabsolutte hastighed). atan defineres derfor som ndring i hastighed over tid:

    atan =dv

    dt

    = rddt

    = r

    Hvor vi har indsat udtrkket for v ovenfor.arad, som altid peger ind mod rotationsaksen, er forbundet til ndringer

    af hastighedsvektorens retning og kan udledes til at vre:

    arad =v2

    r(1)

    = 2r (2)

    7

  • Stift legeme

    Et stift legeme er en idealisering af virkelige legemer, hvor man ignorerereffekter af deformering. Sagt p en anden mde betyder det, at afstandenmellem to punkter p legemet er den samme uafhngig af bevgelse.

    Et legeme vil ofte kunne antages at vre et stift legeme, sfremt detbevger sig med en non-relativistisk hastighed (i.e. markant mindre endlysets hastighed).

    Denne idealisering gr visse beregninger nemmere og udledninger, s somberegning af den kinetiske energi.

    1.2.2 Kinetisk energi af et stift roterende legeme

    Et stift legeme er en masse i bevgelse, hvorved den har en kinetisk energi.Denne energi kan udregnes vha. vinkelhastigheden , samt konceptet afInertimomentet I.

    En formel for kinetisk energi bestende af disse komponenter kan findesved at forestille os legemet som bestende af en mngde partikler med mas-ser m1,m2, . . . ,mn og vinkelrette distancer r1, r2, . . . , rn til rotationsaksen.

    Som vi s tidligere, s nr et stift legeme roterer, s er hastigheden afdet ite partikel:

    vi = ri

    Hvor er vinkelhastigheden af det stive legeme. Alle partikler har samme da legemet ellers ikke ville vre stift, men har varierende vi og ri. Vi kans opskrive den kinetiske energi af hver af disse partikler sledes:

    Ki =12miv

    2i

    = 12mir2i

    2

    Hvor vi har indsat formlen for vi ovenfor.Den totale kinetiske energi K for det stive legeme er nu summen af alle

    partiklers kinetiske energi, alts:

    K =i

    Ki

    =i

    12mir

    2i

    2

    = 12(i

    mir2i )2

    Udtrykket i parantes ovenfor er nu det vi kalder Inertimomentet I, altssummen af alle partiklers masse gange deres kvadrerede afstand til rota-tionsaksen.

    8

  • Man kan alts opskrive den kinetiske energi af et stift roterende legemesom:

    K = 12I2

    Hvor I s afhnger af legemets form, samt rotationsaksen.

    1.2.3 Inertimomentet

    Inertimomentet har sledes stor betydning for den kinetiske energi i rota-tionsbevgelsen. Vi ved ogs, at et legemes kinetiske energi svarer til denmngde arbejder skulle til for at stte den i bevgelse. S vi kan se atjo strre inertimoment, jo svrere er det at stte en rotation i gang, menligeledes jo svrere er det at stoppe den igen.

    Vrdier for I kan findes i bogen, men disse er for legemer der er uni-forme - alts hvor densiteten antages at vre den samme overalt i det fastemateriale af legemet. Det gr at man blot kan placere rotationsaksen nedigennem midten af legemet og s bruge en simpel vrdi for I som f.eks.I = 12MR

    2 for en solid cylinder.I virkeligheden vil uniform densitet ofte vre en urealistisk antagelse og

    i virkeligheden har et legeme mangle inertimomenter, alt afhngig af rota-tionsaksen der vlges.

    Parallel-akse TeoremetVlges en anden rotationsakse P end ned gennem massecentrum CM , skan inertimomentet her nemt udregnes vha. Parallel-akse teoremet sledes:

    IP = ICM +Md2

    Hvor M er massen af legemet og d er distancen mellem P og CM .Beviset for dette teorem udelades grundet tilgngelig tid.

    1.2.4 Kraftmoment

    Nu vi har set p hvordan rotationel bevgelse fungerer statisk med konstantacceleration ved et stift legeme, s lad os nu g videre og kigge p dyna-miken i rotationel bevgelse, startende med konceptet af et kraftmoment,eller Torque, som det kaldes p engelsk.

    Kraftmomentet er i hvor hj grad en given kraft har tendens til at rotereet legeme omkring en akse. Ligesom der i linear mekanik skal bruges en

    9

  • kraft for at skubbe eller hive et legeme i bevglse, s skal der her bruges etkraftmoment for at hive eller skubbe p en lftestangs-arm for at skabe enrotation omkring aksen.

    I den sammenhng er ikke blot strrelsen af kraften og retningen vigtig,men ogs hvor den bliver plagt. Dette illustreres af ovenstende tegning.Her kan vi se 3 forskellige krafter plagt en skruengle, hvor det er tydeligtkraft ~Fb ville vre den mest effektive, hvorimod en kraft som kraft ~Fc villevre helt nyttesls.

    Et kraftmoment skal sledes bruge en lftestangsarm, en retning og enmagnitude af kraften, hvorved vi kan opskrive definitionen af kraftmoment-vektoren sledes:

    ~ = ~r ~F

    Hvor ~F er kraftvektoren, ~r er positionsvektoren til punktet hvorp kraft-vektoren pfres og ~ er det resulterende kraftmoment. Vi kan sledes ogsse, at ~ er vinkelret i forhold til bde ~r og ~F , og dens prcise retning kanfindes vha. hjre-hnds reglen.

    En illustration af kraftmoment konceptet kan ses her:

    10

  • Hvis man s vil udregne magnituden af dette kraftmoment ~ s kan detgres p 3 forskellige mder:

    = Fl = Fr sin() = Ftanr

    Hvor l = r sin() er lftestangsarmen, F er magnituden af kraftvektoren ~Fog Ftan er det tangentielle komponent af F vinkelret p ~r. Her skal man dogfrst beslutte sig for hvilken retning af kraftmoment er positiv (i.e. er meduret eller mod uret den positive retning).

    Enheden for kraftmoment er Newton meter (Nm), hvilket ofte skrivessom Joule (J) nr vi taler om energi eller arbejde. Men da det her hver-ken handler om energi eller arbejde, s noterer man blot kraftmoment somNewton meter.

    1.2.5 Rotationel analog til Newtons 2. lov

    Med definitionen p et kraftmoment p plads, s kan vi nu g videre og ud-lede en af de fundamentale stninger i rotationel dynamik af stive legemer.

    Vi vil vise at vinkelaccelerationen af et roterende stift legeme er direktepropertionel til summen af alle kraftmoment-komponenter langs rotations-aksen. Denne proportionalitetsfaktor er Inertimomentet I. Vi prver altsp at vise flgende:

    z = Iz

    Hvis vi forstiller os vi har et legeme bestende af et stort antal partikler,hver med masse mi og distance ri til rotationsaksen z. S kan vi bruge dissetil at bevise ovenstende.

    Vi tager udgangspunkt i partikel 1 med masse m1 og afstand r1 til rota-tionsaksen. Den resulterende kraft p denne partikel har et komponent F1,rad

    11

  • i den radiale retning, et komponent F1,tan der tangerer cirklen med radiusr1 hvori partiklen bevger sig og et komponent F1z langs rotationsaksen.

    Situationen er illustreret herunder:

    Vi kan se at kun F1,tan bidrager med et kraftmoment mht. z-aksen, hvorvedvi bruger Newtons anden lov herp:

    F1,tan = m1a1,tan

    Vi ved fra tidligere, at vi kan udtrykke den tangentielle acceleration somatan = r, hvorved ovenstende bliver:

    F1,tan = m1r1z

    Vi ganger herefter begge sider med r1, hvorved vi fr:

    F1,tanr1 = m1r21z

    Vi kan nu se, delen ovenfor med m1r21 er det samme som I1, alts inertimo-mentet for den partikel. Derved fr vi:

    1z = I1z= m1r21z

    Denne opstilling kunne vi s lave for alle partikler i legemet og tage summenheraf som flgende:

    iz = (

    mir2i )z

    Den venstre side af ligningen er nu det samlede kraftmoment mht. rota-tionsaksen p alle partikler og den hjre side er I =

    mir

    2i , det samlede

    inertimoment for legemet omkring rotationsaksen, ganget med vinkelacce-lerationen, som er den samme for alle partikler i legemet da det er et stiftlegeme.

    12

  • Alts har vi i sidste ende: z = Iz

    Som er den rotationelle analog af Newtons 2. lov for et stift legeme. Vi kanligeledes se at denne konklusion passer overens med vores initielle kommen-tarer ang. parallelerne til linear mekanik (i.e. det at kunne bytte m om medI og a om med .)

    Her br det nvnes at az skal angives i rad/s2 grundet vi udledte denfra atan = rz, samt at

    z kun indeholder eksterne kraftmomenter, da

    interne kraftmomenter imellem partikler udligner hinanden pga. Newtons 3.lov og antagelsen om et stift legeme. (i.e. Interne krafter som ethvert paraf partikler udver p hinanden i et stift legeme, er lig med hinanden ogmodsatrettede)

    1.2.6 Kombineret translatorisk og rotationel bevgelse

    Indtil videre har vi kun kigget p situationer med en stationr rotationelakse. Men hvad nu hvis rotationsaksen bevger sig? I sdan et tilflde talervi om, at legemet laver en kombineret translatorisk og rotationel bevgelse.

    Nr man skal beskrive sdanne situationer, s ved vi (fra bogen) atman til enhver tid kan beskrive enhver bevgelse af et stift legeme, somen kombination af translatorisk bevgelse af massecentrumet og rotationelbevgelse om en akse igennem massecentrumet.

    Kinetisk energi

    Hvor vi godt nok ikke har tnkt os at forsge et bevis for at ovenstendeglder i alle tilflde af bevgelse, s kan vi dog lave et bevis for at detglder for den kinetiske energi af et stift legeme med bde translatorisk ogrotationel bevgelse.

    I tilflde af kombineret translatorisk og rotationel bevgelse, s vil denkinetiske energi af legemet best af den kinetiske energi for bevgelsen afmassecentrum, samt den kinetiske energi for rotation omkring en akse igen-nem massecentrum. Alts er den samlede kinetiske energi:

    K = 12Mv2cm +

    12Icm

    2

    Dette kan vi bevise:

    For at bevise ovenstende skal vi frst tnke p det stive legeme somvrende bestende en en stor mngde partikler. Hver af disse partikler hars igen en masse mi og en linear hastighedsvektor ~vi.

    13

  • Denne hastighedsvektor ~vi er s vektorsummen af hastighedsvektoren formassecentrumet, samt hastighedsvektoren af partiklen relativ til massecen-trumet, alts:

    ~vi = ~vcm + ~vi

    Den kinetiske energi af denne partikel er s den velkendte 12miv2i , som vi

    ogs kan skrive som:

    Ki =12mi(~vi ~vi)

    Tager vi nu vektorsummen skreven ovenfor, s kan vi omskrive dette til:

    Ki =12mi( ~vcm ~vi

    ) ( ~vcm ~vi)

    = 12mi( ~vcm ~vcm + 2 ~vcm ~i + ~vi ~vi)

    = 12mi(v2cm + 2 ~vcm ~vi + v2i )

    Vi har alts nu et udtryk for den kinetiske energi af en partikel. For at f densamlede kinetiske energi m vi s summere henover alle partikler. Dette grvi ved at udtrykke de enkelte dele af ovenstende udregning som separatesummer og trkke flles faktorer udenfor summerne:

    K =

    Ki

    =

    (12miv2cm) +

    (mi ~vcm ~vi) +

    (12miv

    2i )

    = 12(

    mi)v2cm + ~vcm (

    mi~vi) +

    (12miv

    2i )

    Her kan vi s se atmi bare bliver tilM da det er summen af alle partiklers

    masser. Det midterste term gr helt ud dami~vi

    er M gange hastigheds-vektoren for massecentrum relativt til sig selv, hvilket er 0 pr. definition.Og sidst men ikke mindst har vi det sidste term, som er identisk til det viallerede har vist til at vre den kinetiske energi for et stift roterende legeme,alts:

    (12miv2i ) =

    12Icm

    2

    Vi fr derved i sidste ende, at den samlede kinetiske energi er:

    K = 12Mv2cm +

    12Icm

    2

    14

  • Rolling without slippingEt vigtigt eksempel p kombineret translatorisk og rotationel bevgelse errolling without slipping eller rulning uden at glide p grimt dansk.

    Rolling without slipping gr ud p, at f.eks. et hjul ikke skrider imensdet roteres og frer en bil fremad. For at der er rolling without slipping, sskal der vre jeblikkelig stilstand (i.e. ~v1 = 0 der hvor hjulet er i kontaktmed vejen, sledes den ikke glider.)

    Vi kalder den resulterende hastighedsvektor p dette sted for ~v1, hvor~v1 er i kontakt med vejen relativt i forhold til massecentrum og hvor ~v1 erdet rotationelle komponent, som s derved m have samme magnitude som~vcm, men med omvendt fortegn.

    Hvis hjulets radius er R og vinkelhastigheden er , s er magnituden af~v1 = R, hvorved vi skal have:

    vcm = R

    Situationen er illustreret herunder:

    Rullende friktion

    Et andet problem indenfor rotationelle bevgelser er konceptet af rul-lende friktion.

    Lad os antage vi har en perfekt stiv sfre rullende ned af en perfektstiv hldning. Vi ville her have en situation hvor normalkraften passerer opigennem centrum af sfren og derved ikke skaber noget kraftmoment, oggrundet der ikke er nogen glidning ved kontaktpunktet, s vil friktion ikkeudfre noget arbejde p sfren.

    En mere realistisk situation er dog, at sfren eller hldningen er de-formerbar til en vis grad, s der derved vil dannes et form for pile up

    15

  • foran sfren. Dette pile up resulterer i at kontaktfladen nu ikke blot eret punkt, men nu nrmere et helt omrde, hvor normalkraften og friktio-nen s arbejder imod sfren ved at normalkraften skaber et modsatrettetkraftmoment og friktionen skaber glidning, sledes mekanisk energi gr tabt.Kombinationen af disse effekter er det vi kalder rullende friktion.

    Konceptet illustreres herunder, omend deformeringen er voldsomt over-drevet (i virkeligheden kan vi oftest ignorere effekter fra rullende friktion):

    1.2.7 Arbejde og effekt

    Sidst men ikke mindst skal vi kigge lidt p det at udve et arbejde p etroterende legeme.

    Lad os forestille os vi har en tangentiel kraft ~Ftan der udves p kantenaf en roterende disk. Denne disk roterer s en infinitesimal vinkel d omkringen fastsat akse i lbet af et infinitesimalt tidsinterval dt.

    Arbejdet dW der udves af ~Ftan nr et punkt p diskens kant bevgersig en distance ds er:

    dW = Ftands

    Hvis d mles i radianer, s bliver ds = Rd og vi fr:

    dW = FtanRd

    Som vi kan se er FtanR nu det kraftmoment z der udves af kraften ~Ftan,s vi fr:

    dW = zd

    Det totale arbejde W udfrt af dette kraftmoment under en vinkelafvigelsefra 1 til 2 er s:

    W = 21

    zd

    16

  • Hvis kraftmomentet er konstant for vinkelafvigelsen = 2 1 s kanflgende formel benyttes i stedet:

    W = z

    Arbejde W har her enheder af Joules.

    Nr man udfrer et arbejde p et roterende stift legeme, s resultererdet i en forgelse af den kinetiske energi, svarende til mngden af arbejdeudfrt.

    Dette kan bevises ret nemt.

    Tager vi z til at vre det resulterende kraftmoment p et legeme, shar vi, at z = Iz jvf. den rotationelle analog af Newtons 2. lov.

    Vi kan s bruge dette til at modificere integralet i formlen for W :

    zd = (Iz)d

    = I dzdt

    d

    = I ddtdz

    = Izdz

    Siden vi bestemte z til at det resulterende kraftmoment, s er integralet iformlen forW det totale arbejde der udfres p det rotationelle stive legeme.Formlen bliver sledes:

    Wtot = 21

    Izdz

    = 12I22

    12I

    21

    ndringen i et roterende stift legemes kinetiske energi svarer alts til detarbejde der udfres herp udefra.

    Ud fra definitionen af arbejde W p roterende legemer, kan man ogsdefinere effekten P . Man tager bare flgende:

    dW = zd

    Og dividerer begge sider med dt sledes man fr:

    dW

    dt= z

    d

    dt

    17

  • Hvor P = dWdt , alts arbejde pr. tid. Og hvor z =ddt , sledes vi fr:

    P = zz

    Alts har vi, at nr et kraftmoment z arbejder p et legeme, der roterermed vinkelhastighed z, s er dets effekt (arbejde pr. tid) lig med produktetaf z og z.

    18

  • 2 Impulsmoment og gyroskopet

    2.1 Disposition

    1. Impulsmoment Definition

    2. Sammenhng med kraftmoment ndring af impulsmoment pr. tid er kvivalent med kraftmo-

    ment

    3. Samlede strrelse af impulsmoment for et legeme Husk: symmetriakse pkrvet ndring af total impulsmoment pr. tid er kvivalent med sum-

    men af kraftmomenter

    4. Impulsmomentbevarelse

    5. Gyroskopet Anvendelser Prcession Prcessions vinkelhastigheden

    2.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    2.2.1 Impulsmoment

    Vi skal til dette emne kigge p konceptet af impulsmoment og gyroskopet.Impulsmoment er den rotationsmssige kvivalent af impuls ~p = m~v i linearmekanik.

    DefinitionFor en partikel med masse m, hastighedsvektor ~v, impuls ~p = m~v og enpositionsvektor ~r for et selvvalgt origo O, s er impulsmomentet ~L defineretsom:

    ~L = ~r ~p= ~r m~v

    Vrdien for impulsmomentet afhnger alts af det valgte origo O og enhe-derne for ~L er kg m2/s. Konceptet illustreres herunder, med impulsmomen-tet vinkelret p xy-planet (fordi m~v er i xy-planet og krydseproduktet giveren vektor vinkelret p planet):

    19

  • Hvilken retning impulsmomentet er i kan findes vha. hjre-hnds reglen.

    Magnituden af et impulsmoment ~L kan nu udregnes som:

    L = mvl= mvr sin()

    Hvor l er den vinkelrette linje fra linjen af ~v til origo O, som vist p illustra-tionen. Dette l fungerer s som lftestangs-arm for impulsvektoren ~p ligesommed kraftmoment, som er defineret som = ~r ~F .

    2.2.2 Sammenhng med kraftmoment

    Denne sammenhng med kraftmoment er ogs yderst relevant her, da vikan vise at ndringstakten (i.e. ndring pr. tid) af impulsmoment af enpartikel er lig med kraftmomentet for den resulterende kraft der udves pden.

    Dette kan vi se ved at differentiere ~L i forhold til tid:

    d~L

    dt=(d~r

    dtm~v

    )+(~r md~v

    dt

    )= (~v m~v) + (~r m~a)

    Det frste led ovenfor bliver 0 da det indeholder vektorproduktet af ~v medsig selv, s det led gr ud. I det andet led derimod kan vi erstatte m~a med~F hvorved vi fr udtrykket for kraftmoment:

    d~L

    dt= ~r ~F

    = ~

    For en partikel arbejdet p af en resulterende kraft ~F .

    20

  • 2.2.3 Samlede strrelse af impulsmoment for et legeme

    Vi kan nu bruge udtrykket for magnituden af impulsmomentet til at bestem-me det totale impulsmoment for et stift legeme roterende omkring z-aksenmed vinkelhastighed .

    Situationen er illustreret herunder:

    Vi starter alts med at tage en tynd skive af legemet liggende i xy-planet.Hver partikel heri bevger sig s rundt i en cirkel med centrum i origo ogdens hastighedsvektor ~vi = ~ri er s konstant vinkelret p positionsvektoren~ri. Derved har vi at vinklen = 90, hvorved sin(90) = 1, s udtrykket formagnituden af impulsmomentet for partiklen bliver:

    Li = miviri= mi(ri)ri= mir2i

    Ud fra tegningen kan vi se, at retningen af impulsmomentet s er ud afpapiret (i.e. z+) grundet hjre-hnds reglen.

    Det samlede impulsmoment af denne tynde skive af legemet er nu sum-men af impulsmomenter for alle partikler, alts:

    L =

    Li

    = (

    mir2i )

    21

  • Hvor vi kan se det frste led, nemlig summen ovenfor, er definitionen p detskaldte inertimoment I, sledes vi kan omskrive ovenstende til:

    L = I

    Hvor I er inertimomentet af skiven omkring z-aksen.Alts kan vi udregne det samlede impulsmoment for denne tynde skive

    vha. ovenstende og vil kunne gre det for alle andre tynde skiver parallelletil xy-planet. Men hvad nu hvis et punkt ikke er i xy-planet, sledes ~r fordet punkt har et z-komponent. S vil impulsmomentet herp nemlig have etkomponent der er vinkelret p z-aksen.

    For at lse dette skal vi antage, at z-aksen er en skaldt symmetriakse,alts hvor to punker p hver sin side af aksen med samme distance er iden-tiske. Ved at gre dette sikrer vi, at hvor enkelte partikler p hver side afaksen kan have impulsmomenter der ikke peger i retning af rotationsaksen,s vil deres vektorsum gr det. Dette illustreres herunder:

    Sledes kan vi sige, at har vi et stift legeme der roterer omkring en symme-triakse, s kan vi udregne det totale impulsmoment som:

    ~L = I~

    Analog til fr kan vi igen udregne ndringen af impulsmoment pr. tidfor en mngde partikler, hvilket er summen af alle kraftmomenter p departikler, eller:

    ~ = d

    ~L

    dt

    Hvor summen ovenfor vel og mrke kun indeholder eksterne kraftmomenter,da de interne annulerer hinanden grundet Newtons 3. lov.

    22

  • Hvis dette system af partikler er et stift legeme roterende om en sym-metriakse z, s er Lz = Iz og I er konstant. Derudover hvis aksen har enfast retning, s vil vektorne ~L og ~ kun ndre sig i magnitude, men ikke iretning. I det tilflde fr vi s at:

    ~ = d

    ~Lzdt

    = I d ~zdt

    = Iz

    Hvilket er den rotationelle analog af Newtons 2. lov.

    Hvis vi arbejder med en situation hvor vi har et stift legeme, men ikkehar en symmetriakse. S vil ~L generelt ikke vre paralellel til rotationsaksen.I stedet vil enkelte partiklers impulsmomenter Li forme en kegle omkringrotationsaksen hvorved der skal et eksternt resulterende kraftmoment til atholde rotationen i gang. Denne situation illustreres herunder:

    2.2.4 Impulsmomentbevarelse

    Konceptet af impulsmomentet former basisen for konceptet af impulsmo-mentbevarelse, som er en lov der glder for alle niveaur, helt fra atomartniveau op til bevgelser af galakser.

    Princippet flger direkte af:

    ~ = d

    ~L

    dt

    For hvis~ = 0, s m d~Ldt = 0 og ~L m derved vre konstant. Vi kan

    sledes opskrive dette som:

    23

  • Nr det resulterende eksterne kraftmoment der ud-ves p systemet er 0, s er det totale impulsmoment afsystemet konstant og bevaret.

    Dette resultat kender vi fra ting som en isskjtelber der roterer omkringsig selv (z-aksen), hvor den eneste eksterne kraft p hende er hendes vgt,som ikke udver et kraftmoment i forhold til z-aksen.

    Lad os s antage hun til at starte med har hendes arme og ben ude,hvorved hendes inertimoment Icm = I1 er stort, og s hun pludselig vlger attrkke arme og ben til sig, resulterende i et vsentligt mindre inertimomentIcm = I2.

    Denne ndring sker imens hun stadig intet eksternt kraftmoment har phende, hvorved Lz = Icmz er konstant, s den eneste mulighed er at hendesvinkelhastighed z forges nr hendes inertimoment Icm formindskes, da:

    I11z = I22z

    2.2.5 Gyroskopet

    Sidst men ikke mindst skal vi kigge lidt p gyroskopet, som er en enhed tilat mle og vedligeholde orientering. Vi kender dem fra en rkke forskelligeting i dagligdagen, som f.eks. store ting som i fly (til automatpiloten), menogs i mindre ting som en Wii Remote og visse telefoner som iPhone 4 ogMotorole Droid Pro.

    P illustrationen nedenfor kan ses et simpelt gyroskop:

    Hvis vi i dette tilflde holder aksen med svinghjulet horisontal og s giverslip, s vil vi se at den falder til jorden grundet tyngdekraften p svinghjulet(i.e. ~w). Tager vi i stedet frst og roterer svinghjulet inden vi giver slip, s vilden derimod ikke falde, men i stedet sandsynligvis bevge svinghjulet rundtom z-aksen i en jvn cirkulr bevgelse. Denne ikke-intuitive bevgelsekaldes Precession.

    24

  • PrcessionFor at forst prcession skal vi huske konceptet af impulsmomentbevarelsemed formlen:

    z =d~L

    dt

    Lad os starte med at bruge denne til at undersge situationen hvor sving-hjulet ikke bevger sig p forhnd.

    Vi tager origo O til at vre pivoten og antager af svinghjulet er symme-trisk, med masse M og inertimoment I omkring svinghjulets akse. Sving-hjulets akse er initielt x-aksen. De eneste eksterne krafter p gyroskopet ernormalkraften ~n der udves p pivoten (som vi forresten antager er frik-tionsls) og vgten ~w p svinghjulet der udves ved dets massecentrum i enafstand p r fra pivoten.

    Normalkraften udver intet kraftmoment p pivoten og vgten udveret kraftmoment ~ i y-retningen. Initielt er der ingen rotation og det initielleimpulsmoment ~Li er 0. Fra formlen for impulsmomentbevarelse har vi, at iet kort tidsinterval dt efter dette, er ndringen d~L af impulsmomentet:

    d~L = ~dt

    Denne ndring er i y-retningen, da er i y-retningen. For hvert yderligeretidsinterval dt vil impulsmomentet ndre sig med yderligere d~L i y-retningenfordi kraftmomentet er konstant. Dette konstant stigende horisontale im-pulsmoment betyder, at gyroskopet roterer ned ad hurtigere og hurtigererundt om y-aksen indtil den rammer standen eller bordet den str p. n-dringen af impulsmomentet kan illustreres sledes for x og y:

    Hvis vi nu i stedet kigger p hvad der vil ske hvis svinghjulet oprindeligtvar i bevgelse, s har vi et initielt impulsmoment ~Li der ikke er 0 og sidensvinghjulet roterer omkring dens symmetriakse, s flger ~Li ogs denne akse.Men hver ndring af impulsmomentet d~L er vinkelret p denne akse, da~ = ~r ~w er vinkelret p denne akse. Dette resulterer i en ndring af ~L,men ikke i dens magnitude.

    Resultatet er derved, at aksen ikke falder og at aksen med svinghjuletroterer rundt om z-aksen. Dette kan ses herunder:

    25

  • Som vi ogs kan se er ndringen af ~Li for hver iteration sledes, at den nyeLi+1 = ~Li + d~L, som er en infinitesimal ndring, hvorved kun retning ogikke magnitude ndres.

    Derved vil gyroskopet prcessisere rundt, teoretisk set for evigt underantagelsen af en friktionsls pivot.

    Prcessions vinkelhastigheden

    Den infinitesimale ndring d~L = ~dt resulterer alts blot i at svinghju-lets akse roteres en lille vinkel d som vist herunder:

    Denne vinkel d kan s skrives som d = |d~L||~L|

    , og ndringsraten med hvilken

    aksen bevger sig er s ddt , som vi kalder prcessions vinkelhastigheden og skriver som:

    = ddt

    =|d~L||~L|dt

    = zLz

    = wrI

    26

  • Alts er prcessions vinkelhastigheden omvendt proportional til vinkelha-stigheden af spinnet omkring aksen, sledes et hurtigt spindende svinghjulresulterer i et gyroskop der prcissere langsomt og det at formindske spin-net fr prcisseringen til at g hurtigere. Vi kan desuden se, at forger vivgten af svinghjulet, s skulle prcessionen gerne vre hurtigere.

    En antagelse vi har lavet ved gennemgangen er gyroskopet er dog, at ~Lkun er associeret med spinnet af svinghjulet, hvilket egentlig ikke er sandtda der ogs vil vre et vertikalt komponent af impulsmomentet ved prces-sionen. Vi kan dog ignorere dette faktum sfremt prcessions vinkelhastig-heden er markant mindre end vinkelhastigheden p svinghjulet , hvilketvi fint kan antage da store vrdier af resulterer i sm vrdier af .

    Var det ikke tilfldet ville vi dog opleve effekter heraf som en hoppenop og ned, hvor den jvne cirkelbevgelse ikke lngere ville vre tilstede.

    Et komplet schematic p et gyroskop kan ses herunder:

    27

  • 3 Mekanisk ligevgt og elasticitet

    3.1 Disposition

    1. Ligevgt 1. betingelse

    ~F = ~0 2. betingelse

    ~ = ~0 for ethvert punkt

    Statisk ligevgt

    2. Tyngdepunkt Reminder: Massecentrum udledning Bevis: Massecentrum lig med Tyngdepunkt Find tyngdepunktet og Sttteomrde

    3. Elasticitet Stress, Strain og Elastisitetsmodulus Tensile stress Bulk stress Shear stress

    4. Begrnsninger ved Hookes Lov Proportionalitetsgrnsen Elastiskse grnse Plastik deformation, Plastik adfrd og Permanent st. Fracture Point/Breaking Point Elastisks Hysterese

    3.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    3.2.1 Ligevgt

    Vi har i mange emner brugt meget tid p at diskutere hvordan legemerbevger sig i respons til de krafter der arbejder p dem. Men ofte vil vihellere have et legeme er stabilt og bliver stende hvor det skal uden ataccelerere.

    Et legeme der gr det siger vi er i ligevgt. For at et legeme er i ligevgter der 2 betingelser der skal glde.

    28

  • 1. betingelse

    Den frste betingelse siger at vektorsummen af alle eksterne krafter ud-frt p legemet skal vre ~0. Dette kan skrives sledes i vektorform:

    ~F = ~0

    Eller sledes for de enkelte komponenterFx = 0Fy = 0Fz = 0

    2. betingelse

    Den anden betingelse siger, at legemet ikke m have nogen tendens tilat ville rotere. Dette kommer af, at et stift legeme der ikke roterer om-kring et givent punkt har intet impulsmoment omkring det punkt, alts at~L = ~0. Hvis legemet ikke skal begynde at rotere, s skal ndringsraten afimpulsmomentet, d~Ldt ogs vre 0.

    Det betyder alts at~ = ~0 for ethvert punkt, ellers er der ikke ligevgt.

    Statisk ligevgtFor at der er ligevgt skal bde betingelse 1 og 2 vre opfyldt. Men derkan sagtens vre ligevgt selvom legemet er i bevgelse. F.eks. er et fly iligevgt sfremt det flyver fremad med konstant hastighed, retning og hjde.

    Hvis et legeme str helt stille og opfylder betingelse 1 og 2, s siger videt er i statisk ligevgt. Flyet er derved ikke i statisk ligevgt.

    3.2.2 Tyngdepunkt

    I mange ligevgtsproblemer er den primre kraft der udves p et objectsdens vgt. Vgten kommer selvflgelig af tyngdekraften, som ~w = m~g, oger distribueret udover hele legemet. S hvordan udregner vi et kraftmomentaf vgten?

    Jo, det gr vi ved at antage, at alt vgten er placeret i et punkt, kaldettyngdepunktet.

    Tyngdeaccelerationen ~g falder med hjden, men hvis vi kan ignoreredette fald (grundet hjden af legemet), s kan vi antage at et legemes tyng-depunkt er det samme som dens massecentrum.

    29

  • Reminder: Massecentrum udledningBlot lige for at f det p plads inden vi gr videre, s kan vi lige udlede hvadvrdien for massecentrum er.

    For en mngde n af partikler med masser m1,m2, . . . ,mn og koordina-ter (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), . . . , (xn, yn, zn), s kan vi udregne koordinater formassecentrum som:

    xcm =m1x1 +m2x2 + . . .+mnxn

    m1 +m2 + . . .+mn=imixiimi

    ycm =m1y1 +m2y2 + . . .+mnyn

    m1 +m2 + . . .+mn=imiyiimi

    zcm =m1z1 +m2z2 + . . .+mnzn

    m1 +m2 + . . .+mn=imiziimi

    Hvilket til sammen laver en positionsvektor ~rcm, som s er vores massecen-trum:

    ~rcm =imi~riimi

    Bevis: Massecentrum lig med TyngdepunktHvis vi s nu forestiller os kraftmomentet fra tyngdekraften p et arbitrrtlegeme som set herunder:

    30

  • Vi antager tyngdeaccelerationen ~g er den samme ved ethvert punkt af lege-met. Hver partikel i legemet oplever nu en gravitationelt kraft og den totalevgt af legemet er summen af alle disse partiklers vgt.

    En typisk partikel i legemet har masse mi og vgt ~wi = mi~g. Hvis ~ri erpositionsvektoren for denne partikel i forhold til et arbitrrt origo O, s erkraftmoment vektoren ~i af vgten ~wi i forhold til O flgende:

    ~i = ~ri ~wi= ~ri mi~g

    Det totale kraftmoment for alle partikler er s:

    ~ =ni

    i

    = ~r1 m1~g + ~r2 m2~g + . . .+ ~ri mi~g= (m1 ~r1 +m2 ~r2 + . . .+mn ~rn) ~g

    =(

    ni

    mi~ri

    ) ~g

    Tager vi nu det her og dividerer medni mi, samt ganger med M , s fr vi:n

    i mi~rini mi

    M~g

    Ser vi p resultatet her, s kan vi se at den frste del blot er positionsvek-toren rcm og anden del er vgten af hele legemet ~w = M~g. Derved fr vi atovenstende bliver:

    ~ =ni mi~rini mi

    M~g

    = rcm ~w

    Det totale gravitationelle kraftmoment er alts det samme som havde altvgten vret placeret i massecentrum, som vi kalder tyngepunktet.

    Vi fr derved flgende stning:

    Hvis ~g har samme vrdi p alle punkter af et legeme,s er dets tyngdepunkt lig med dets massecentrum.

    31

  • Find tyngdepunktet og SttteomrdeHvis vi ikke arbejder med en simpel form, s kan det ofte vre ndvendigtat bruge andre midler end massecentrum til at vurdere tyngdepunktet. Ennem eksperimentiel fremgangsmde er at hnge et objekt op fra en fingere.lign. Her tegner man s en streg ned fra ophngningspunktet, vender ob-jektet om og gr det for et andet punkt ogs. Derved fr man 2 linjer dermdes et givent sted. Der hvor de mdes er der hvor tyngdepunktet er.

    En anden mde at gre det p er hvis et givent objekt har flere stt-tepunkter, som f.eks. 2 snore det hnger i eller 2 hjul p en vej. Her ertyngepunktet s et sted imellem disse stttepunkter hvis legemet er i lige-vgt. Er det ikke dette vil det pgldende legeme vlte, som f.eks. for de3 kretjer herunder, hvor kun den frste er i ligevgt:

    3.2.3 Elasticitet

    Det bringer os s videre til anden del af sprgsmlet, nemlig elasticitet.Hvor stive legemer gr visse beregninger og udledninger nemmere, s er

    det en idealiseret model der ikke reelt holder i virkeligheden. I virkelighedenkan legemer deformeres i mindre eller hjere grad, alt afhngig af materiale.

    Der er grundlggende 3 mder hvorp vi kan f deformation:

    Tensile stress: Hvor legemet bliver strakt eller sammenpresset vha. krafterder udves p dets ender.

    Bulk stress: Hvor legemet bliver presset fra alle sider, som legemer i envske.

    Shear stress: Hvor legemet bliver revet fra hinanden vha. modsatrettedekrafter der udves p hver side af legemet (f.eks. en saks igennem etbnd)

    For hver af disse mder har vi to koncepter:

    32

  • Stress: Beskriver styrken af den kraft der skaber deformationen, p enkraft pr. enhedsareals basis

    Strain: Beskriver den resulterende deformation.

    Nr stress og strain er sm nok, s vil vi ofte se at de to er direkteproportionale, hvor deres proportionalitetskonstant s kaldes for en elastiskmodulus.

    Dette generelle mnster kan formuleres sledes:

    StressStrain = Elastisitetsmodulus

    Ovenstende mnster er det vi kalder Hookes lov, som dog ikke er en lov,da det kun glder i et begrnset antal tilflde, som jeg vil komme ind pom lidt.

    Vi har oftests set Hookes lov som formuleringen til brug ved strkningog sammentrkning af fjedre, alts:

    F = kx

    Men den glder ogs for andre ting end fjedre, omend den p ingen mdeglder generelt.

    Tensile stressLad os starte med at kigge p tensile stress.

    Tensile Stress, eller trkspnding, er hvor et legeme trkkes eller pressesi dets ender, som vist for objektet herunder:

    33

  • Vi har alts en trkningskraft F der trkker objektet med ligelig magni-tude i modstridende retninger, hvorved der sker en deformation i form af loveni den eksisterende lngde l0. Vi siger at objektet er i spnding.

    Tensile stress defineres s, som denne kraft F over tvrsnitsarealet afobjektet, alts:

    Tensile stress = FA

    Enheden af Tensile stress er s Pascal (Pa), hvilket er lig med 1N/m2.

    Objektet ovenfor fr sledes en ny lngde l = l0+l, hvor at strkningenhar fundet sted i hele objektet og ikke blot i enderne. Vi siger derfor nu atobjektet har oplevet et strain, som er:

    Tensile strain = l l0l0

    = ll0

    Da Tensile strain er forholdet mellem to lngder er det en enhedsls vrdi.

    Eksperimenter har vist, at for tilstrkkeligt sm vrdier for tenstilestress, s er stress og strain proportionale. Elasticitetsmodulusen ved Tensilestress kalder vi Youngs modulus og den defineres som:

    Y = Tensile StressTensile Strain

    = F/Al/l0

    = FA

    l0l

    Enhenden af Youngs Modulus er s Pascal (Pa) og jo strre vrdi forYoungs Modulus jo svrere er det at strkke et givent materiale da derskal en stor stress til for at plgge et bestemt strain.

    Hvis objektet ikke bliver trukket, men i stedet presset, s vr opmrk-som p alt det ovenstende stadig glder, omend l nu gr den anden vejselvflgelig. Dette koncept ses herunder:

    34

  • Bulk StressHvis vi s kigger p Bulk stress nu, s er den anderledes i det, at alt pressetkommer ligeligt fra alle sider, hvilket resulterer i objektet bliver presset tilen mindre volumen.

    Man kalder sledes ofte ogs bulk stress for volume stress, og bulkstrain for volumen strain.

    Hvis et givent objekt er nedsunket i en vske, s udver vsken en kraftdirekte vinkelret p objektet fra alle sider. Kraften F pr. areal som vskenudver p objektet kaldes for trykket p i en vske:

    p = FA

    For en given vske forges trykket i vsken pr. dybde, sledes der er forskelp trykket nr objektet lige akkurat er nedsunket i vsken og ved 200 metersdybde.

    Dette tryk resulterer s i en volumen deformering, hvor volume stresser forskellen i tryk p og volume strain er den forholdsmssige ndring ivolumen V for objektet, i forhold til den oprindelige volumen V0, alts:

    Volumen strain = VV0

    Ligesom med Tensile strain, s er Volumen strain et enhedslst tal.

    Nr Hookes Lov glder, s er elasticitetsmodulusen her s Bulk modulus,

    35

  • eller Volumen modulus:

    B = Volume StressVolume Strain= pV/V0

    Vi skriver minus foran udtrykket da V altid er negativ og p altid erpositiv.

    Konceptet kan ses herunder:

    Det reciproke af bulk modulusen kaldes Kompressabilitet og betegnes k:

    k = 1B

    = V/V0p

    = 1V0

    Vp

    Kompressabilitet er alts det fraktionelle fald i volumen pr. enheds stigningaf tryk. Enheden for Kompressabilitet er Pa1.

    For at et materiale glder der s, at jo mindre bulk modulus og jo hjerekompressabilitet, jo nemmere er det at sammenpresse et materiale til mindrevolumen..

    36

  • Shear stressSidst men ikke mindst har vi shear stress, hvor et objekt deformeres vha.to modsatrettede tangentielle krafter, som trkker objektet i to forskelligeretninger.

    Et eksempel er en saks der klipper et bnd over. En illustration af kon-ceptet kan ses herunder:

    Vi har alts at shear stress er defineret sledes:

    Shear stress =FA

    Alts som det tryk der plgges tangentielt i begge retninger ud fra objektetmed tvrsnitsareal A. Enheden for Shear stress er kraft pr. enhedsareal.

    Shear strain er sledes forholdet mellem forskydningen x skabt af shearstress og den transverse dimension h, alts:

    Shear strain = xh

    Igen er strain her et enhedslst tal. Hvis Hookes lov glder har vi s denskaldte shear modulus, som s er:

    S = Shear StressShear Strain

    =F/A

    x/h

    =FA

    h

    x

    Shear modulus vrdier er typisk 13 til12 strrelse af Youngs modulus, og

    det br nvnes, at Shear stress, shear strain og shear modulus kun givermening for faste stoffer.

    37

  • 3.2.4 Begrnsninger ved Hookes lov

    Sidst men ikke mindst, lad os kigge p nogle begrnsninger ved Hookes Lov.Hookes Lov, omend nyttig, glder kun for et begrnset omrde. Der er

    selvflgelig den simple overvejelse, at Hookes lov ikke kan glde generelt,da vi derved ikke ville kunne knkke ting eller rive ting i stykker. S der erhelt sikkert et break point af en art, men vi kan faktisk vre mere prcisend det.

    Vi kan undersge Hookes Lovs gyldighed, ved at plotte Stress i forholdtil Strain, for et givent materiale under spnding. Det er hvad der er gjortherunder:

    Som vi kan se glder Hookes Lov kun op til det vi kalder Proportiona-litetsgrnsen (Proportional limit), hvorefter Stress og Strain ikke lngereer proportionelle. Vi snakker alts under 1% deformering hvor Hookes Lovglder, derefter glder den ikke.

    Fra det punkt af fejler Hookes Lov, og efter den Elastiske grnse, somogs vises p grafen, s vil en given deformering af materialet vre perma-nent og eventuelt fjernelse af spndingen til det punkt vil ikke lede strainned til 0% igen. Man har alts plagt materialet s meget stress, at det isidste ende er blevet permanent deformeret. Denne adfrd kaldes for Pla-stikadfrd og resulterer i et nyt Permanent st, i.e. et nyt startpunkt forStrain hvis materialet bliver udsat for spnding pny.

    Alt yderligere spnding efter den elastiske grnse vil resultere det mankalder Plastisk deformering og ved et vis punkt vil selve materialet begyndeat falde fra hinanden til trods for stress holdes konstant, eller sgar falder.Det er det vi ser til sidst p grafen.

    Desuden kan ogs ses at der defineres et Fracture point, Breakingpoint eller hvad man nu vil kalde det. Det er det tidspunkt til hvilket ma-terialet vil decideret knkke. Alt afhngig af hvor tt dette punkt er p den

    38

  • Elastiske grnse kalder vi materialet for Duktilt eller Skrbeligt. Materialeti grafen ovenfor er f.eks. Duktilt, hvorimod noget som strenge p en guitarer Skrbelige.

    Sidst men ikke mindst kan ses Stress vs. Strain plottet nedenfor forvulkaniseret gummi:

    Plottet viser at hvor gummiet tager en given mngde stress for at n tilet bestemt strain, s skal den bruge mindre for at komme tilbage. Der skalalts mere kraft til for at deformere materialet end der skal til for at detkommer tilbage til dets initielle tilstand.

    Sdanne materialer er yderst nyttige i shock absorberende enheder. Kon-ceptet hvorved ovenstende virker hedder Elastisks Hysterese.

    39

  • 4 Gravitation og planetbevgelse

    4.1 Disposition

    1. Newtons Gravitationslov

    2. Vgt og vgtlshed Tilsyneladende vgtlshed (kredslb)

    3. Gravitationel potentiel energi Escape speed

    4. Sorte huller Schwartzchild radius

    5. Satelitbaner Udledning af hastighed, periode og mekanisk energi

    6. Keplers love 1. lov: Ellipsebaner (kort) 2. lov: Sekterhastighed 3. lov: Omlbstid (kort) Bevgelse om flles massemidtpunkt

    4.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    4.2.1 Newtons Gravitationslov

    Dette emner handler om gravitation og planetbevgelse, s lad os startemed at kigge p den grundlggende lov inden for dette felt, nemlig NewtonsGravitationslov.

    Newton siger, at enhver partikel i universet tiltrkker enhver anden par-tikel i universet med en kraft der er direkte proportionel til produktet afmasserne af disse partikler og invers proportionelt til kvadratet af distancenimellem dem - eller som formel:

    Fg =Gm1m2r2

    Hvor Fg er magnituden af gravitationskraften p begge partikler m1 og m2,og G er gravitationskonstanten, som udelukkende afhnger af det enheds-system vi bruger (SI eller CGS f.eks).

    Konceptet illustreres herunder:

    40

  • Det betyder sledes, at vi til enhver tid pvirkes af gravitationskraften fraalle partikler i universet, men fordi ting som kmpemssige stjerner ers langt vk, s er deres pvirkning af os negligjerbar. I stedet er blotpvirkningen af jorden dominerende for objekter p jorden og solen, voresstjerne, er dominerende for jorden selv.

    Newtons Gravitationslov betyder ogs, at jorden til enhver tid lfter sigop imod os hvis vi falder imod den. Men fordi dens masse er s meget strreend vores, s er dens acceleration s meget mindre, hvorved denne effektikke er visuelt pviselig.

    Vi omtalte ovenfor gravitationsloven som vrende gldende for 2 par-tikler, men den glder i lige s hj grad for 2 sfriske symmetriske massedi-stributioner, da resultatet her er det samme som havde deres masser vretsamlet i deres massemidtpunkter. Dette glder dog kun hvis det ene af de toobjekter vi mler for er uden for den andens sfre, da vi ellers har effekterfra masser p begge sider (i.e. beregningen glder ikke hvis en partikel erhalvvejs inde mod jordens centrum, da der her ogs er masse p vej ud modoverfladen).

    S hvis vi modellerer jorden som et sfrisk symmetrisk legeme med mas-se mE , s kan vi udregne den kraft den udver p en partikel eller et andetsfrisk symmetrisk legeme med masse m og distance r imellem deres mas-semidtpunkter, som:

    Fg =GmEm

    r2

    Alt dette kan bevises, omend jeg ikke har tnkt mig at forsge det.Beviset str i bogen. Konceptet illusteres dog herunder:

    41

  • At dette resultat er nyttigt kan nemt ses ved at observere, at alle strrehimelske objekter er sfriske. Det bliver de nemlig hen af vejen af sig selvhvis massen er stor nok, da alle partikler forsger at tiltrkke hinanden ogminimere distancerne imellem sig, hvorved legemer naturligt vil forsge atforme sig til en sfre.

    Dette fnomen er mindre til stede i sm himelske objeter som kometerog sm mner, da masserne her er for sm.

    4.2.2 Vgt og vgtlshed

    Det bringer os s videre til konceptet af vgt. Hvor man p jorden, i normaletilflde, ville betegne vgten som den gravitationelle kraft der plgges etobjekt grundet dens masse og tyngdeaccelerationen (i.e. ~w = m~g), s er enmere korrekt betegnelse:

    Vgten af et legeme er den totale gravitationelle kraftudfrt p legemet af alle andre legemer i universet

    Grunden til vores simple betegnelse virker er, at vi nr jordens overflade kanignorere effekten fra andre legemer i universet, da de bidrager i negligjerbargrad sammenlignet med jorden.

    Ligeledes ville vi kunne ignorere effekten fra jorden, hvis vi havde stetp mnen f.eks.

    Hvis vi igen modellerer jorden som et sfrisk symmetrisk legeme, medradius RE og masse mE , s kan vi udregne vgten w for et mindre legeme

    42

  • med massen m ved jordens overflade (i.e. RE fra centrum af jorden), som:

    w = Fg =GmEm

    R2E

    Her kan vi se at det er samme grundlggende formel som den vi bennvtefrst, hvorved vi kan trkkem vk og se at tyngdeaccelerationen ved jordensoverflade m vre:

    g = GmER2E

    Vi kan sledes ogs tage formlen for vgt ovenfor og erstat RE med r,sledes vi kan udregne hvad vgten af et givent legeme er i en afstand r fracentrum af jorden:

    w = Fg =GmEm

    r2

    Vgten af et legeme falder alts omvendt proportionalt med kvadratet afdets afstand til jordens centrum.

    VgtlshedDet er dog ikke af denne grund, at astronauter i kredslb om jorden virkervgtlse. Man kunne tro det ud fra ovenstende, men for reelt have havevgt 0 skulle en astronaut vre uendeligt langt fra enhver anden masse,sledes dennes samlede eksterne gravitationelle krafter var 0.

    I stedet skyldes den tilsyneladende vgtlshed hos astronauter i kredslb,at de i virkeligheden er i gang med frit fald omkring jorden. Den tilsynela-dende vgt af en person i kredslb om jorden er

    ~w = ~w0 m ~arad= m~g0 m ~arad

    Hvor w0 er vgten havde personen stet stille p jordens overflade og ~arader den centripetale acceleration, der peger ind mod centrum af den jvnecirkulre bevgelse (i.e. jorden).

    Vi ved s her, at hvis personen er i kredslb om jorden, s er ~arad ligmed tyngdeaccelerationen ~g0, i.e.:

    ~g0 = ~aradog den tilsyneladende vgt er derved

    ~w = m~g0 m ~arad= ~0

    Derved er en person i kredslb om jorden tilsyneladende vgtls. Dette gl-der uanset formen af kredslb omkring jorden og glder uanset om personener i kredslb alene eller inde i et rumfartj.

    43

  • 4.2.3 Gravitationel Potentiel Energi

    Det bringer os s videre til et koncept vi skal bruge, nemlig den gravitatio-nelle potentielle energi.

    Vi har det simple udtryk for potentiel energy, nemlig U = mgy. Mendette udtryk antager vi har en fastbestemt retning og magnitude af dengravitationelle kraft, hvilket vi ved vi ikke har grundet Newtons gravita-tionslov:

    Fg =GmEm

    r2

    Hvor tyngdekraften afhnger af afstanden til jordens centrum r.

    Vi skal derfor have et nyt udtryk for gravitationel potentiel energi, somvi fr ved at antage vi har et legeme med masse m udenfor jordens sfreog s udregner det arbejde Wgrav der udves af den gravitationelle kraftnr legemet bevger sig direkte vk fra eller hen mod jordens centrum frar = r1 til r = r2. Det arbejde er givet ved:

    Wgrav = r2r1

    Frdr

    Hvor Fr er det radiale komponent af gravitationskraften ~F , alts kompo-nenten med retning direkte ud fra centrum af jorden. Da ~F peger indadmod jordens centrum, s er Fr altid negativ. Det er alts blot den negativekvivalent af Fg, i.e.:

    Fr = GmEm

    r2

    S hvis vi nu tager dette udtryk og indstter for Fr i formlen for Wgrav, sfr vi:

    Wgrav = r2r1

    Frdr

    = GmEm r2r1

    dr

    r2

    = GmEmr2

    GmEmr1

    Dette kan vi s bruge til at udtrykke den tilsvarende gravitationelle poten-tielle energi U , da Wgrav = U1 U2. Hvis vi kigger p udtrykket ovenfor,kan vi s se, at den gravitationelle potentielle energi m vre:

    U = GmEmr

    Vi kan sledes se, at bevger et legeme sig vk fra jorden vil r forges,

    44

  • den gravitationelle kraft udver negativt arbejde og U forges. Nr legemetbevger sig mod jorden vil r formindskes, den gravitationelle kraft ud-ver positivt arbejde og U formindskes. Dette illustreres ogs ud fra grafenherunder:

    Vi kan nu bruge generelle energirelationer sammen med dette, til atudlede forskellige ting vi har behov for, som f.eks. escape speed for jorden.

    Escape speedEscape speed, eller undvigelseshastigheden, som det hedder p dansk, erden minimum hastighed der skal til for at et legeme kan flygte fra en planetfuldstndig.

    Vha. formlen for gravitationel potentiel energi og formlen for energibe-varelse, kan vi finde et udtryk for undvigelseshastigheden for jorden somflger.

    Vi starter med energibevarelsen hvor punkt 1 er det sted hvor legemetsendes afsted fra (f.eks. en kanon) med en given hastighed v1. Ved dettepunkt er distancen til jordens centrum r1 = RE og massen af legemet er m.Punkt 2 er s et sted uendeligt langt fra jorden med r2 = og v2 = 0. Vihar alts:

    K1 + U1 = K2 + U2

    Hvor K1 er den normale formel for kinetisk energi, U1 er den gravitationellepotentielle energi og bde K2 og U2 er 0, da vi ikke nsker der skal vremere kinetisk energi tilbage ved r2 = og fordi U2 hertil er defineret til at

    45

  • vre 0. Ergo fr vi:

    12mv

    21 +

    (GmEm

    RE

    )= 0

    v1 =

    2GmERE

    Hvilket er jordens undvigelseshastighed. Erstattes mE og RE med kvi-valente vrdier for andre planeter, s kan det ogs bruges til at udregneundvigelseshastigheden for disse.

    4.2.4 Sorte huller

    Det bringer os s videre til sorte huller. Sorte huller er interessante himmel-ske legemer i det at de er s massive p s lille et omrde, at deres graviationgr intet kan undslippe dem - ikke engang lys.

    Dette opstr nr undvigelseshastigheden for det pgldende legeme ers hj, at det overstiger lysets hastighed. Ud fra formlen for undvigelsesha-stighed kan vi se, at undvigelse kun afhnger af massen og af radius af etgivet legeme, og alts ikke af det materiale der forsger at slippe vk fralegemet.

    Schwarzchilds radiusHar vi sledes et sfrisk legeme med masse M , s kan vi udregne til hvilkenradius legemet skal vre mindre end for at blive et sort hul. Denne radiuskaldes for Schwarzchilds radius (RS) og kan udledes vha. Einsteins generellerelativitetsteori. Den kan ogs findes, lidt ved en tilfldighed, ved at stte vi formlen for undvigelseshastighed til lysets hastighed c og lse for radiusenR, sledes man fr:

    c =

    2GMRS

    RS =2GMc2

    S hvis et givent sfrisk, ikke-roterende, legeme med masseM har en radiusmindre end RS , s kan intet - selv ikke engang lys, undvige fra legemet.

    Desuden vil alt inden for en radius af RS fra centrum af det sorte hulblive trukket mod det sorte hul i sdan en grad at det ikke kan undvige.Kanten hvortil RS gr kaldes for Event Horizon af det sorte hul.

    46

  • Da lys ikke kan slippe ud fra sorte huller, s kan man ikke observere demdirekte. I stedet observerer man hvorledes deres gravitationskraft pvirkerandre legemer i nrheden af dem o.lign. Eksempelvis mener man der eksi-sterer et enormt sort hul i centrum af mlkevejen. Noget man har observeretved at se hvorledes en del andre objekter roterer omkring dette tilsynela-dende usynlige objekt.

    4.2.5 Satelitbaner

    Vi har allerede talt om hvorledes satellitter holder dem selv i kredslb oghvorfor det ikke er gte vgtlshed, men jeg har til gengld intet sagt omhvilken hastighed et kredslb har, hvad perioden for et kredslb er e..er hvadden totale mekaniske energi er for et kredslb.

    Vi har et satelitkredslb om jorden herunder:

    Som vi kan se er accelerationen vinkelret i forhold til hastighedsvektoren,hvorved hastigheden er konstant i en jvn cirkelbevgelse (OBS: Dette ek-sempel er for cirkulre kredslb, omend principperne ogs glder for ikke-cirkulre kredslb).

    Satelittens acceleration har magnituden arad = v2

    r og er altid rettet indadmod cirklens centrum. Den resulterende gravitationskraft p en satelit medmasse m er:

    Fg =GmEm

    r2

    Og har samme retning som accelerationen.

    47

  • Tager vi nu og benytter Newtons anden lov (i.e. ~F = m~a) s har vi:

    GmEm

    r2= mv

    2

    r

    Hvorefter vi isolerer for v:

    v =

    GmEr

    Som er hastigheden for en satelit i en given afstand r fra jordens centrum.

    Dette udtryk bringer os s direkte videre til udtrykket for perioden af ensatelits kredslb. Hvis vi opskriver hastigheden v som distancen 2r vandreti en revolution, divederet med perioden T , s kan vi bruge det til at udregneT :

    v = 2rT

    T = 2rv

    = 2r

    r

    GmE

    = 2r3/2

    GmE

    Alts kan vi se at strre kredslb resulterer i langsommere hastigheder andlngere perioder - hvilket er hvad vi intuitivt forventede.

    Sidst men ikke mindst kan vi udregne den komplette mekanisk energiE = K + U for et cirkulrt kredslb direkte:

    E = K + U

    = 12mv2 +

    (GmEm

    r

    )= 12

    (GmEr

    ) GmEm

    r

    = GmEm2rDen mekaniske energi i et cirkulrt kredslb er alts negativ og lig medhalvdelen af den potentielle energi.

    4.2.6 Keplers love

    Sidst men ikke mindst skal vi kigge kort p Keplers 3 love.

    48

  • Flles for dem alle er, at Kepler selv fandt frem til dem emperisk ogat de s senere er blevet bevist af Newton til at vre udledninger fra hansgenerelle 3 love og gravitationsloven. At forsge bevis af noget som helst afdette har jeg dog ikke tnkt mig. I stedet nvnes blot de 3 love herunder:

    1. lov: EllipsebanerKeplers frste lov siger, at alle planeter bevger sig i elliptiske kredslb,med solen som et fokus af ellipsen. Konceptet illustreres herunder:

    En cirkel er s et special-case af en ellipse. Vi har alts her en planet Pder er i kredslb omkring solen S, hvor S s blot er et andet fokuspunkthvor der ikke er noget. Halvstoraksen a er halvdelen af bredden i kredslbetog ea er distancen mellem hvert fokuspunkt og centrum af ellipsen. e erher eccentriciteten for kredslbet, hvor e = 0 betyder en cirkulr bevgelseog hvor de fleste planeter i virkeligheden har tt p cirkulre bevgelser(f.eks. e = 0.007 for Venus). Det punkt hvor P er tttest p solen kalder viPerihelion og det sted hvor den er lngst fra kalder vi for Aphelion.

    Der glder nu, at for hvert punkt p ellipsen vil summen af distancerneS til P og S til P vre den samme.

    Newton har senere bevist at de eneste mulige lukkede kredslb er ellipserog cirkler, hvorved Kepler havde ret.

    2. lov: Sektorhastighed

    Keplers 2. lov siger, at linjen fra solen til en given planet spnder ligeligareal i ligelig tid.

    49

  • Hvad det betyder er, at arealet en planet spnder med solen for 2 in-stanser af planetens position over en given tid, er den samme for den sammetidsforskel et andet sted i kredslbet. Konceptet vises herunder:

    Dette kan ogs mere prcist formuleres som at der i det lille tidsinterval dt,i en linje fra solen S til planeten P drejes en vinkel d. Omrdet der spndesaf dette har lngden r, lngden p kredslbsstykket rd og derved arealetdA = 12r

    2d. Dette ses nedenfor:

    Denne udspnding af areal pr. tid kaldes for sektorhastigheden og skrivessom:

    dA

    dt= 12r

    2d

    dt

    Keplers 2. lov siger sledes at sektorhastigheden er den samme for alle punk-ter af kredslbet. Dette sker ved at r er lille nr planeten er tt p solen,hvorimens ddt og vice-versa nr planeten er langt fra solen.

    Det kan ogs vises at konklusionen om at sektorhastigheden er konstantbetyder at impulsmomentet i forhold til solen er konstant, omend jeg ikkevil vise dette.

    3. lov: OmlbstidKeplers 3., og sidste, lov siger at perioden af planeterne er proportional tillngden af den halvestorakse for dets kredslb i 3/2.

    Eller skrevet mere matematisk:

    T = 2a3/2

    GmS

    50

  • Dette er blot en mere generel udgave af den vi allerede har vist for cirkulrekredslb og s med ndringen af mE til mS da det her er solen vi er ikredslb omkring og ikke jorden.

    Bevgelse om flles massemidtpunktSom en sidste bemrkning skal siges, at vi igennem alt dette har antagetat solen (o.lign. stjerner) er faste legemer der forbliver p samme positionkonstant.

    Det kan naturligvis ikke vre tilfldet, da en planet udver en gravita-tionel kraft p solen med samme styrke men modsat retning, hvorved solentrkkes mod planeten. S i virkeligheden har vi, at planeterne og solen ro-terer om et flles central massemidtpunkt, der ligger tt ved solen.

    Konceptet illustreres herunder:

    Grunden til vi kan ignorere denne effekt er, at solens masse er ca. 750 gangestrre end den totale masse af alle planeter i hele solsystemet. Derved vilsolen ikke variere kraftigt fra dette massemidtpunkt.

    Viden om denne rotation omkring et massemidtpunkt er dog blevet brugtaf astronomer til at detektere planeter omkring stjerner, simpelthen vedat detektere denne slingring (wobbling) af stjernen, s hvor den for voresberegningsmssige interesser er ligegyldig, s hjlper den til at detekterenye planeter o.lign. objekter omkring stjerner.

    51

  • 5 Periodisk bevgelse

    5.1 Disposition

    OBS: Her kunne ogs siges noget om tvungne oscilleringer og resonans, meni s fald holder jeg det til hvad jeg kan fra hukommelsen.

    1. Periodiske bevgelser Genoprettende krafter Amplitude, Periode, Frekvens og Vinkelfrekvens

    2. Simpel harmonisk bevgelse Definition x(t) diff ligning (+hastighed/acceleration) Periode og frekvens

    3. Energien i harmonisk bevgelse

    4. Penduler Det simple pendul Det fysiske pendul

    5. Dmpede svingninger Over-, under- og kritisk dmpning Energien

    6. Definition af dmpning (diff. lign)

    5.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    5.2.1 Periodiske bevgelser

    Dette emne omhandler konceptet af periodiske bevgelser. En periodiskbevgelse opstr nr vi har en forskydning fra ligevgtstilstanden og engenoprettende kraft der forsger at bringe systemet tilbage til ligevgt.

    Et typisk eksempel er en fjeder der trkkes ud fra dens ligevgtstilstandog s gives slip fra. Her vil vi se at en genoprettende kraft vil forsge at trk-ke fjederen tilbage mod ligevgt. Nr den nr til denne ligevgtstilstand vilder ikke vre nogen krafter der udves p den i den retning, men fordiden allerede er i bevgelse vil den overskyde ligevgtstilstanden og g modvenstre indtil accelerationen i den anden retning har snket dens hastighed

    52

  • tilstrkkeligt til den ndrer retning. Denne oscilering frem og tilbage sker iteorien for evigt, hvis det ikke var pga. friktion.

    Konceptet illustreres herunder:

    Amplitude, Periode, Frekvens og VinkelfrekvensVi har en rkke betegnelser/koncepter i periodiske bevgelser.

    Amplitude: Amplituden af en bevgelse, skrevet A, er den maksimale for-skydning bevgelsen kan lave i en given retning. Det er altid en positivvrdi og en komplet cyklus defineres som vandringen fra A, igennemO (ligevgt), til A, tilbage igennem O og tilbage til A. En vandringfra A til A kaldes en halvcyklus.

    Periode: Perioden T er tiden for en cyklus. Den er altid positiv.

    53

  • Frekvens: Frekvensen f er antallet af cykluser pr. sekund. Enheden forfrekvens er Hz.

    Vinkelfrekvens: Vinkelfrekvensen = 2f og har enheden rad/s.

    Vinkelfrekvensen br ikke misforsts for at vre vinkelhastigheden ,omend den i visse tilflde fungerer sdan.

    Vi kan desuden se forholdet mellem T og f er reciprokt:

    f = 1T

    T = 1f

    Samt at definitionen for vinkelfrekvens kan skrives som:

    = 2f

    = 2T

    5.2.2 Simpel harmonisk bevgelse

    Det bringer os s videre til konceptet af en simpel harmonisk bevgelse.En simpel harmonisk bevgelse er en hvor den genoprettende kraft er

    direkte proportional til forskydningen fra ligevgt. Et eksempel p dette eren ideal fjeder ved Hookes lov:

    Fx = kx

    Hvor x er forskydningen og k er en kraftkonstant med enheden N/m.

    Harmonisk bevgelser er vigtige, ikke fordi konstruktionen er bredt gl-dende i virkeligheden, men fordi mange typer bevgelser kan antages atvre simple harmoniske bevgelser, hvorved det giver en god approksima-tion, sfremt amplituden er lille nok.

    I tilfldet med Hookes lov m amplituden f.eks. ikke vre s stor, atHookes lov ikke lngere er i effekt, hvilket den kun er i et ret begrnset feltaf det mulige stress du kan plgge en fjeder.

    Bruges Newtons 2. lov p Hookes lov fr vi nu:

    F = ma = md2x

    dt2= kx

    Hvor vi kan dividere medm p begge sider og f et udtryk for accelerationen:

    ax =d2x

    dt2= k

    mx

    Vi har alts en differentialligning vi kan lse for at finde en funktion forx afhngig af tiden x(t).

    54

  • x(t) diff ligningFor at finde en funktion for x(t) skal vi finde et x for hvilket den andenafledte heraf er kmx. Da vi ved x skal oscilere i cykluser fra A til A ogtilbage igen, s kan vi regne ud vi skal bruge en eller anden oscillerendefunktion, som en sinusfunktion eller cosinusfunktion.

    Vi skal desuden bruge at:

    =

    k

    m

    2 = km

    Den rigtige lsning til differentialligningen er som flger, hvilket vi kanverificere:

    x = A cos(t+ )

    Hvor A er amplituden, er vinkelfrekvensen, t er tiden og er faseforsky-delsen (i.e. vandret forskydelse).

    Propper vi den ind i vores differentialligning ovenfor kan vi verificerehvorvidt det er en korrekt lsning. S vi opskriver lige de to differentialer iforhold til t herunder:

    x = dxdt

    = A sin(t+ )

    x = d2x

    dt2= 2A cos(t+ )

    Hvor vi desuden har vx = x og ax = x, forhbentligt. Indstter vi udtryk-ket i differentialligningen, og bruger formlerne for ovenfor, s fr vi

    d2x

    dt2= k

    mx

    2A cos(t+ ) = kmx

    kmA cos(t+ ) = k

    mx

    Og da x = A cos(t+ ) er de to udtryk lig med hinanden, hvorved vi harverificeret at det er en korrekt lsning.

    Et plot for x(t) ses herunder:

    55

  • Periode og frekvensSom tidligere nvnt er perioden T og frekvensen f reciproke af hinanden,alts at:

    f = 1T

    T = 1f

    Men nr vi ved frekvensen er antal cykluser pr. sekund, s kan vi ogs skriveden om til flgende for en simpel harmonisk bevgelse:

    f = 2 =1

    2

    k

    m

    Hvilket leder til flgende udtryk for perioden T i en simpel harmonisk be-vgelse:

    T = 1f

    = 2

    = 2m

    k

    Alts kan vi se, at jo strre masse m, jo lavere acceleration og derved jolngere tid til at gennemfre en komplet cyklus. Desuden kan vi se en stive-re fjeder (i.e. en med hjere k) udver mere pres ved en given forskydning xhvorved accelerationen mod ligevgt bliver strre, hastigheden bliver strreog perioden T bliver mindre.

    En anden vigtig observation er ogs, at ingen af ovenstende udtryk in-deholder amplituden A, men kun masse m og kraftkonstanten k. I simpelharmonisk bevgelse er perioden og frekvensen nemlig uafhngig af ampli-tuden A, da strre A betyder forskydningen er strre, hvilket betyder denrestorerende kraft er kraftigere, hvorved den gennemsnitlige hastighed overhele cyklusen forges.

    NTS: Angular SHMNote-to-self: Der findes en rotationel kvivalent af Hookes lov for en spiral-fjerder brugt i ure o.lign. Beskrivelse og lsning for denne er 100% det sammesom for normal simpel harmonisk bevgelse, blot med omregningen fra li-near mekanik til rotationel mekanik, i.e. Fx = kx bliver z = og i

    56

  • stedet for amplituden A., sledes forskydningen skrives som:

    = cos(t+ )

    Der bliver sikkert ikke spurgt til det, men just in case.

    5.2.3 Energien i harmonisk bevgelse

    Da de eneste krafter der udves horisontalt i ovenstende harmonisk be-vgelse er fjederkraften og da de vertikale krafter udver intet arbejde pfjederen (i.e. de udligner hinanden), s er den totale mekaniske energi afsystemet bevaret.

    Vi kan alts sige at vi har energibevarelse i systemet, hvorved E = K+Uer konstant (OBS: U er den elastiske potentielle energi fra sektion 7.2):

    E = 12mv2x +

    12kx

    2 = constant

    Vi kan sledes se at E ved x = A (i.e. top amplituden) er 100% potentiel, ogved x = 0 er 100% kinetisk, men siden vi har energibevarelse, s er energienved x = A den samme som ovenstende, sledes vi kan skrive:

    E = 12mv2x +

    12kx

    2 = 12kA2 = constant

    Vi kan verificere gyldigheden af dette statement ved at indstte vrdi-erne for vx og x ovenfor, bruge 2 = km og huske p at sin

    2()+cos2() = 1,sledes:

    E = 12mv2x +

    12kx

    2

    = 12m [A sin(t+ )]2 + 12k [A cos(t+ )]

    2

    = 12kA2 sin2(t+ ) + 12kA

    2 cos2(t+ )

    = 12kA2

    Nedenfor er et plot af energien i forhold til forskydning x. Som vi kan seer E = K + U konstant:

    57

  • 5.2.4 Penduler

    Der findes andre ting end lige netop fjedre der er approksimationsmssigtharmoniske bevgelser. To eksempler p dette er det simple pendul og detfysiske pendul.

    Det simple pendulDet matematiske pendul er en idealiseret model hvor vi har et objekt hn-gende fra en massels, ustrkkelig streng. Objektet har massem og bevgersig i en cirkulr bane med L som lngden af strengen og bevger sig envinkel hvilket resulterer i en buelngde p x = L.

    Konceptet illustreres herunder:

    58

  • Den restorerende kraft er i dette tilflde s det tangentielle komponenttil den resulterende kraft:

    F = mg sin

    Men som vi kan se er den alts ikke proportionel til forskydningen x = L,s hvorfor er dette alligevel et eksempel p harmonisk bevgelse? Fordi og sin() for sm vinkler er meget tt p hinanden. Tager vi f.eks. = 0.1rad (ca. 6), s er sin() = 0.0998, alts kun 0.2% anderledes.

    S med den approksimation kan man i stedet skrive den restorerendekraft op som:

    F = mg

    = mg xL

    = mgLx

    Hvor den i den sidste variant ovenfor ligner Hookes lov mistnkeligt meget,blot hvor k = mgL . Fra det kan vi udregne vinkelfrekvensen, frekvensen ogperioden til at vre:

    =

    k

    m=

    mg/L

    m=g

    L

    f = 2 =1

    2

    g

    L

    T = 2

    = 1f

    = 2L

    g

    Her kan man lgge mrke til, at massen m ikke indgr i nogen af oven-stende formler. Det skyldes at den restorerende kraft er proportional til mhvorved Newtons 2. lov kommer til at have m p begge sider, hvorved deudligner hinanden. Det er samme begrundelse der ligger bag hvorfor tingmed forskellige masser falder med samme hastighed i et vacuum.

    Endnu engang vr dog opmrksom p, at ovenstende kun glder forsm vinkler, som illustreret herunder:

    59

  • Det fysiske pendulDet fysiske pendul er ethvert reelt pendul med en krop af en bestemt str-relse, modsat det idealiserede simple pendul hvor vi antager al massen ersamlet et sted.

    Jeg vil ikke g i detaljer om hvordan det fysiske pendul virker, men prin-cippet her er dog det samme. Det fysiske pendul er approksimerbart simpeltharmonisk sfremt vi arbejder med sm vinkler.

    (Note-to-self: Det er basalt set bare som det simple pendul, men medden rotationelle terminologi i stedet - i.e. z i stedet for Fx, I i stedet for mo.lign.)

    En illustration af det fysiske pendul er herunder:

    5.2.5 Dmpede svingninger

    Som en af de sidste ting vil jeg lige snakke om dmpede svingninger. Alleoscilleringssystemer vi har talt om ovenfor er idealiseret i den forstand, atde blankt ignorere ting som friktion o.lign. I virkeligheden vil der altid v-re en dmpning af en svingning, hvor man vil se et fald i amplituden over tid.

    Udover vores normale Fx = kx s fr vi alts ogs en yderligere dmp-ningningskraft fra friktion Fx = bvx, hvor b er styrken af dmpningskraf-ten (minustegnet er der fordi dmpningen altid skal vre i negativ retningaf hastigheden). Skriver vi dette op som den resulterende kraft og bruger

    60

  • Newtons 2. lov, s fr vi: Fx = kx bvx

    kx bvx = max

    kx bdxdt

    = md2x

    dt2

    Vi har alts nu en differentialligning hvortil vi skal bruge et udtryk for x forat f en ny x(t). Denne lsning x er:

    x = Ae(b/2m)t cos(t+ )

    Og vinkelfrekvensen er:

    =

    k

    m b

    2

    4m2

    Som vi kan se afviger x(t) ovenfor i forhold til hvordan den er udendmpning. Amplituden A ganges med en faldende eksponentiel faktor ba-seret p tid, b og m, sledes jo strre vrdier for b, jo strre dmpning.

    Over-, under- og kritisk dmpning

    Desuden kan vi se at vil blive 0 for b = 2km:

    k

    m b

    2

    4m2

    k

    m (2km)2

    4m2

    k

    m km

    = 0

    Nr = 0 kalder vi det for kritisk dmpning, fordi systemet ikkelngere vil oscillere og nu bare falder tilbage til ligevgt med det samme.

    Til sammenligning har vi andre tilstande som f.eks. overdmpning,hvor b > 2

    km hvorved oscilleringen gr tilbage til ligevgt langsommere

    end ved kritiske dmpning (den vil sidde og vibrere omkring ligevgten).Vi har, sidst men ikke mindst, underdmpning som er den normalesituation hvor amplituden bliver mindre for hver cyklus.

    Forskellige niveauer af dmpning er plottet i flgende graf af x over t:

    61

  • EnergienModsat for det idealistiske tilflde, s er den mekaniske energi dog ikke be-varet nr vi indkorporerer dmpning. Tager vi udtrykket for total mekaniskenergi igen, s har vi:

    E = 12mv2x +

    12kx

    2

    For at finde denne energis ndring over tid differentierer vi i forhold til t:

    dE

    dt= mvx

    dvxdt

    + kxdxdt

    Det frste differentiale her er s ax og det nste er vx, hvorved vi fr:

    dE

    dt= mvxax + kxvx

    = vx(max + kx)

    Fra de frste formler med dmpning havde vi at:

    max = kx bvx

    max + kx = bvx

    Hvilket vi kan indstte, sledes vi fr:

    dE

    dt= vx(bvx) = bv2x

    Derved kan vi alts se, at den samlede mekaniske energi falder i forhold tildmpningsfaktoren b.

    62

  • 6 Fluid mekanik

    6.1 Disposition

    OBS: Han sprger sikkert om Reynolds tal og Poiseuilles lov, der-for har jeg kort skrevet om dem til sidst

    1. Densitet og Tryk Definitioner (tryk og densitet)

    2. Dybde og Pascals love

    3. Opdrift Overfladespnding

    4. Flow Ideal vske Flow lines, Flow tubes Steady flow, Streamline, Laminar flow og Turbulent flow

    5. Turbulens og viskositet

    6. Kontinuitetslignignen Bevis den.

    7. Bernoullis ligning Bevis den.

    6.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    6.2.1 Densitet og Tryk

    I dette emne skal vi kigge p fluid mekanik, eller vskemekanik, startendemed 2 grundlggende definitioner, nemlig densitet og tryk.

    DensitetDensiteten af et homogent materiale er defineret som massen m pr. enhedsvolumen V , eller:

    = mV

    Det er dog ikke alle materialer der er homogene (f.eks. jorden.. eller os),s der vil vi typisk udregne en gennemsnitlig densitet i stedet.

    Enheden for densitet er kg/m3.

    63

  • TrykNr en vske er i stilstand udver den en kraft vinkelret p enhver overfladei kontakt med den, som f.eks. et legeme nedsunket i vsken.

    Hvis vi definerer et lille styk af en flade i vsken med areal dA, s siger viat en vinkelret normalkraft dF udver ligelig kraft p begge sider af denneflade, som vist herunder:

    Vi definerer sledes tryk som normalkraften pr. enhed areal, eller:

    p = dFdA

    Hvis trykket er det samme p alle punkter af en flade i vsken (i.e. fladenikke er s stor af den vandrer igennem store dybder), s er trykket p dennesamlede flade:

    p = FA

    SI-enheden er tryk er Pascal (Pa), som er N/m2.

    Man har desuden defineret enheden atmosfrisk tryk (pa), som er tryk-ket ved havets overflade og svarer til 1atm = 1.013105Pa eller ca. 1.013 bar.

    Nr der plgges et tryk i en vske vil vi opleve legemers volumeni den vske bliver mindre. Dette skyldes bulk stress eller volumen stress,skaber en deformering. Dette bliver et problem hvis man ikke er skabt tilat fungere i vksen, f.eks. hvis et menneske opholder sig i 500 meters dybde.

    Det lgger faktisk op til et interessant eksperiment, som de kre Myth-busters lavede for lidt tid siden. De tog en gammeldags dykkerdragt (sdanen med rr op til overfladen for at f luft) og s lavede de en fake-personud af grisekd og puttede ham i denne dragt. De nedsank herefter denne

    64

  • til ca. 90 meters dybde, alt imens de srgede for at udligne trykket udefravha. tryk indefra. Nr denne dragt s var nede i ca. 90 meters dybde, scuttede de luften derned til, sledes trykket indefra forsvandt og i lbet afrelativt f sekunder, s havde trykket fra vandet omkring dragten presserhele denne mand op i hjelmen med blod og indvolde udover det hele. Heledenne person blev alts knust helt op i hjelmen og hjelmen flkkede tilmed.

    S hvis der er en ting jeg har lrt af det afsnit, s var det: Ik lav grinmed vsketryk! Det kan drbe grusomt og voldsomt.

    6.2.2 Dybde og Pascals lov

    Det bringer os videre til tryks dybdeafhngighed og Pascals lov. Hvis vikunne antage vgten af en vske var negligjerbar, s ville trykket vre detsamme overalt i vsken. Det kan vi bare umiddelbart ikke, da der er storforskel p trykket ved vandoverfladen og 5 km hjde, og der er stor forskelp vandoverfladen og 500 meters dybde i vand.

    Tryk afhngig af dybde

    S vi skal udlede en sammenhng mellem trykket i en vske i stilstandog den lodrette elevation y vi har i vsken, dette kaldes ogs for Pascalsfrste lov. Vi starter med at overveje et tyndt element af vske (nrmestsom en kasse) nede i en samlet strre vske. Dette tynde element, eller ski-ve, har tykkelse dy, bunden og toppen af elementet har begge arealet A ogelementets bund og top er henholdsvis i elevation y og y + dy i forhold tilbunden af vsken.

    Volumen af vskeelementet er derved dV = Ady, massen er dm = dV =Ady og vgten er dw = dmg = gAdy. Sidst men ikke mindst er trykketunder elementet p hvorved den samlede kraft p bunden er pA og trykketovenp elementet er p+dp, hvorved den samlede nedadgende kraft er (p+dp)A.

    Et samlede overblik over situationen og et frit-legeme diagram er herun-der:

    65

  • Vi ved vkseelementet er i ligevgt da vsken ellers ikke ville vre istilstand, s der skal glde at summen af krafter i y-aksen skal vre 0, alts ~Fy = ~0, hvorved vi kan opskrive situationen sledes:

    pA (p+ dp)A pgAdy = 0

    pA (p+ dp)A pgAdyA

    = 0A

    p (p+ dp) pgdy = 0

    dp pgdy = 0

    pgdy = dp

    dp

    dy= pg

    Alts kan vi se, at forges y s falder p, hvilket er forventeligt da vi satte y =0 til at vre bunden af vsken. S hvis p1 og p2 er trykket ved henholdsviselevation y1 og y2, samt g og holdes konstant, s har vi:

    p2 p1 = g(y2 y1)

    Ofte vil vi dog hellere ttte elevation i forhold til dybden af en position ivksen fremfor afstanden til bunden, s vi kan skrive denne formel om.

    Hvis vi tager punkt 1 til at vre et arbitrrt niveau i en vske og laderp vre trykket til det sted, s tager vi punkt 2 til at vre overfladen afvsken hvor trykket er p0. Dybden af punkt 1 under vskens overflade er

    66

  • s h = y2 y1 og formlen bliver s:

    p0 p = g(y2 y1) = gh

    p = p0 + gh

    S trykket i en vske afhnger alts kun af dybden, densiteten, tyngdeacce-lerationen og trykket ved overfladen af vsken. Formen af beholderen medvsken er derved ligegyldig.

    En illustration af ovenstende omskrivning af formlen er her:

    Pascals lovFormlen ovenfor med trykket afhngig af dybden siger s ogs, at vi kanforge trykket i en vske ved at forge overfaldetrykket. Dette kan vi na-turligvis ikke gre ved verdenshavene f.eks. men for en vske i et stempelf.eks. kan man.

    Denne overvejelser er grundlaget bag en anden af Pascals love, som siger:

    Tryk tilfrt til en indelukket vske/gas forbedeles ufor-mindsket til enhver del af vsken/gassen og vggene afden omkringliggende beholder

    Tager vi eksemplet med en hydralisk lift, s har vi en sdan opstilling ne-denfor:

    67

  • Vi har alts en lille kraft plagt den lille overflade, som s skaber et trykder bliver fordelt i hele vsken, hvorved den resulterer i en strre kraft pden strre overflade, eller skrevet op som en formel:

    p = F1A1

    = F2A2

    Hvorved kraften F2 bliver:

    F2 =A2A1F1

    Alts har hydralikliften fungeret som en kraft multiplikationsenhed, der harganten en faktor svarende p forskellen mellem arealer p kraften.

    6.2.3 Opdrift

    Vi iler videre og tager fat p Opdrift. Opdrift er et koncept coined af Ar-chimedes. Iflge Archimedes er opdrift:

    Nr et legeme er komplet eller delvist nedsunket i envske vil vsken udve en opadgende kraft p legemetsvarende til vgten af den vske legemet har forskudt.

    Vi kan nemt argumentere for dette er korrekt. Lad os forestille os etarbitrrt stykke vske i stilstand nede i den samlede vske. Vskestykkehar masse m og derved vgt w = mg. Den komplette vske er i stilstand,derved m summen af alle y-komponenter af kraft vre 0.

    S for at balancere vgten ud m der vre en opadgende kraft ~B (forbouyancy), med samme magnitude som ~w.

    68

  • Erstattes hele dette vskeelement med et tilsvarende fast element i denforstand at vgten er den samme og formen er den samme, s vil alle kraf-terne ogs vre de samme, hvorved der stadig vil vre en opdriftskraft ogdet faste element vil vre i ligevgt.

    Hvis elementet derimod vejede mere end den vske den forskd, s villeden ikke vre i ligevgt, men i stedet synke nedad, da vgten af den derforvil vre strre end opdriftskraften, som har magnitude af vgten af vandetder forskydes, ikke af elementet det forskydes af.

    Konceptet ses herunder:

    Generelt kan man sige, at alting med densitet lavere end vsken brhave opdrift (i.e flyde) og alt med strre densitet end vsken br synke.

    OverfladespndingRelateret hertil er konceptet af en overfladespnding. Overfladespnding ernoget vi ser nr insekter tilsyneladende lander p vand, eller ved det at vikan lade en papirclip flyde p vand, til trods for dens densitet er sdan atden ikke burde kunne flyde.

    Overfladespnding eksisterer fordi vskemolekylerne tiltrkkes af hin-anden og hvor et vskemolekyle nede i vsken tiltrkkes ligeligt i alle ret-ninger, og derved er i ligevgt, s er det ikke tilfldet for en molekyle vedoverfladen. Ved overfladen bliver molekylet tiltrukket af volumen af vske oghar derfor tendens til at strkke sit overfladeareal ud, hvorved der kommerspnding p hele overfladen. Konceptet illustreres herunder:

    69

  • 6.2.4 Flow

    Det bringer os s videre til konceptet af flow i en vske eller en gas.Flow af vsker og gasser er generelt ekstremt kompliceret, men vi kan

    bruge nogle idealiserede modeller for at forsge at analysere p flows. Entypisk idealisering er at fokusere p ideal vske, som er vsker der erukompresselige sledes densiteten af dem ikke kan ndre sig og hvor deydermere har ingen intern friktion (i form af viskositet).

    Det er selvflgelig en idealisering og den holder ikke reelt i virkeligheden,omend det er en tt p korrekt approksimation for vsker og den kan bru-ges for visse situationer med gasser (OBS: hvis forskellene i tryk i forskelligedele af kassen ikke er for store). Antagelsen om ingen intern friktion kangenerelt ikke tages i praksis men virker for nu. Friktion skyldes viskositet,som er en form af shear stress nr to lag af vske glider henover hinandeni f.eks. et rr e.lign.

    Et flow deles s yderligere op i nogle logiske dele:

    Flow line: En flow line er den vej en individual partikel bevger sig i flowet.

    Flow tubes: Flow lines der passerer gennem et givent imaginert omrde ivsken former en flow tube. Dette koncept illustreres herunder

    70

  • Derudover er der desuden en rkke koncepter for et flow:

    Ideal vske: Et ideal vske var som sagt en ukompresselig vske hvordensitet er konstant og der er ingen intern friktion (viskositet)

    Steady flow: Et steady flow er et hvor de overordnede flow mnstre ikkendrer sig over tid. Det vil sige partiklerne i et flow overordnet setflger de samme flow lines og et map af vskehastigheder til forskelligepositioner vil forblive konstante.I et steady flow kan enkelte flow lines i en flow tube heller ikke brydeud af flow tubens imaginre vgge.

    Sreamline: Et streamline er en kurve hvor hvilket dens tangent til enhvertid peger i retning af det overordnede flows hastighdsvektor. Hvis flowmnstre ndrer sig over tid vil flow lines og streamlines ikke passesammen, hvorved vi ikke kan have et steady flow (da de her altid eridentiske).

    Laminar flow: Et laminart flow er et hvor tilstdende lag af vske glidernemt forbi hinanden og flowet er et steady flow.

    Turbulent flow: Som kontrast hertil er et turbulent flow et hvor der ikkeer noget fastsat flow mnster og mnsteret konstant ndrer sig.

    6.2.5 Turbulens og viskositet

    Hvor der er situationer hvor viskositet og turbulens kan ignoreres, s er detlangt fra alle tilflde. S inden vi gr videre br vi lige hurtigt notere disseto koncepter og hvordan de fungerer.

    ViskositetViskositeten af en vske er dens interne friktion, hvor en del af vsken kanmodarbejde den anden dels bevgelse. Det er grunden til det er hrdt at roi en kano f.eks., men det er p samme tid ogs grunden til du overhovedetkan. Ligesom nr du ruller noget ned af en skrnt, s skal der vre friktionfor at det roterer, ligeledes skal der vre viskositet i en vske for at den grmodstand nr du prver p at manipulere den.

    71

  • Viskositeten bliver ofte ogs omtalt som hvor tyktflydende en vske er,s f.eks. vand er mindre tyktflydende en honning og honning er mindre tykt-flydende end lava.

    Viskositeten giver os nogle interessante effekter nr en vske stor visko-sitet presses igennem et rr. Her vil vi nemlig opleve at vsken har tendenstil at stte sig fast p overfladen af rret, sledes vi vil se at der er forskelp hastigheden af de enkelte dele af flowet i rret. Konceptet er illusteretherunder:

    Den maksimale hastighed af vsken er derved i centrum af rret, hvorimodhastigheden ude ved kanterne er 0 fordi vsken klber til overfladen.

    Man kan se det som at vsken er bygget op af en rkke flow tubes derhver isr udver friktion p hinanden, sledes man i mange tilflde skalplgge ekstra tryk p en beholder med en tyktflydende vske og tyngde-kraften ikke er nok. Nr man gr det med f.eks. en ketchup flaske, s brugerman Pascals lov da man netop plgger et pres, som resulterer i et forhjettryk ved en anden overflade.

    I min gennemgang af Bernoullis ligning om lidt ignorerer vi dog disseeffekter, men det er vigtigt at pointere resultaterne fra Bernoullis ligningikke glder hvis viskositet skal tages med i betragtning.

    TurbulensTurbulens i et flow er noget der sker hvis hastigheden af flowet nr overen given kritisk vrdi, sledes flowet ikke lngere er laminart. Nr et flowbliver turbulent kommer det til at bevge sig hjst irregulert og vil ndremnster ofte. Hvorvidt en vske (eller gas) har tendens til at blive turbulentkommer an p dens viskositet. Jo hjere viskositet, jo mindre tendens til atblive turbulent.

    Men antaget viskositeten ikke er mikroskopisk, s er den primre kildetil turbulent flow hvis flowet nr over en given kritisk hastighed. Et flow kan

    72

  • sagtens vre laminart ved lave hastigheder, og s blive turbulent ved hjere.Det ser vi f.eks. herunder for rg der kommer op fra nogle insense lys, hvorflowet starter med at vre laminart, men s skifter og bliver turbulent nren given hastighed er net.

    6.2.6 Kontinuitetslignignen

    Med det p plads kan vi tage fat i kontinuitetsligningen.Kontinuitetsligningen bygger p, at massen af en vske ikke ndrer sig

    nr den er i et flow.

    Illustrationen ovenfor er den grafiske illustration der skal bruges til udled-ninging.

    Vi ser p en del af et flow tube mellem to stationre tvrsnit med arealerA1 og A2. Flow hastighederne ved disse sektioner er henholdsvis v1 og v2.Inten flow linje bryder udenfor vggen af flow tuben og ingen bryder ind,da flow hastighedsvektoren er tangent til vggen.

    73

  • I lbet af et lille tidsinterval dt bevger vsken ved A1 sig distancenv1dt, s en cylinder af vske med hjde v1dt og volument dV1 = A1v1dtflyder ind i tuben igennem A1.

    I lbet af dette tidsinterval vil en cylinder af volumen dV2 = A2v2dt haveflydt ud af tuben igennem A2.

    Hvis vi s antager vi har en idealvske, s har vi samme densitet overdet hele. Massen af vske dm1 der flyder ind i rret ved A1 i tiden dt er sdm1 = A1v1dt. Ligeledes er massen af vske dm2 der flyder ud af rret vedA2 i samme tidspunkt dm2 = A2v2dt.

    For et steady flow ved vi, at den totale masse ie tuben er konstant,sledes dm1 = dm2. Opskriver vi dette fr vi:

    dm1 = dm2A1v1dt = A2v2dt

    Eller:

    A1v1dt = A2v2dt

    Fordi er konstant. Av ovenfor kaldes s for Volume flow rate, alts hvormeget volumen pr. tid tvrsnittet af tuben tager ind., i.e.:

    Av = dVdt

    Mass flow rate er s hvor meget masse pr. tid tvrsnittet af tuben tager ind,i.e. og fs ved bare at gange p igen:

    Mass flow rate = dVdt

    = Av

    Kontinuitetsligningen fortller os alts, at volume flow rate og mass flowrate har samme vrdi hele vejen langs en given tube. Og hvis tvrsnitsare-alet af tuben formindkes, s vil hastigheden forges for at sikre volume flowrate og mass flow rate stadig er den samme.

    74

  • 6.2.7 Bernoullis ligning

    Det bringer os videre til den sidste ligning jeg vil kigge p, nemlig Bernoullisligning, som bygger videre p Kontinuitetsligningen.

    Iflge kontinuitetsligningen kan hastigheden variere i et flow. Trykketkan dog ogs variere, alt afhngig af om hjden af flowet ndrer sig ogtrykket afhnger ligeledes ogs af hastigheden af flowet. Bernoullis ligningbeskriver denne sammenhng mellem tryk, flow hastighed og hjde for flowsder er idealvsker, i.e. fast densitet og ingen viskositet.

    Vi starter lige med at skrive Bernoullis ligning op, s kan vi udlede denbagefter. Bernoullis ligning siger:

    p1 + gy1 +12v

    21 = p2 + gy2 +

    12v

    22

    For at udlede Bernoullis ligning skal vi bruge work-energy teoremetdW = dK + dU . Vi har s flgende situation:

    S vi har vske der til en eller anden initiel tid ligger imellem de 2 tvrsnita og c. Hastighederne ved disse steder er henholdsvis v1 og v2.

    I det korte tidsinterval dt bevger vsken der initielt er ved a sig fra atil b (en distance p ds1 = v1dt) og vsken der initielt er ved c bevger sigfra c til d (en distance p ds2 = v2dt). Grundet Kontinuitetsligningen vedvi, at Volume flow rate er den samme for tvrsnittene A1 og A2, hvorved

    75

  • volumen der passerer tvrsnittene er dV = A1ds1 = A2ds2.

    Nu kan vi s udregne arbejdet der udves p vskeelementet i lbet af ti-den dt. Vi har antaget der ingen viskositet er, s de eneste ikke-gravitationellekrafter i spil er trykket fra vsken omkring vskeelementet. Trykket ved de2 ender A1 og A2 er henholdsvis p1 og p2, sledes trykket p ved a p tvr-snittet er pA1 og det modsatrettede tryk ved d p tvrsnittet er pA2 (OBS:det modarbejder bevgelsen af vsken). Det resulterende arbejde er derved:

    dW = p1A1ds1 p2A2ds2= (p1 p2)dV

    Fordi dV var dV = A1ds1 = A2ds2, hvorved de to gr ud med hinanden.

    Arbejdet dW er grundet andre krafter end tyngdekraften, s den er ligmed en ndring i total mekanisk energi for vskeelementet. Den mekaniskeenergi for vskesektionen b til c ndrer sig ikke, s lad os kigge p a til bog c til d.

    I begyndelsen af dt vil vsken imellem a og b have volumen A1ds1, masseA1ds1 og kinetisk energi 12A1ds1v

    21

    I slutningen af dt vil vsken imellem c og d have den kinetiske ener-gi 12A2ds2v

    22. Den resulterende kinetiske energi dE i tidsintervallet dt er

    derved:

    dK = 12A2ds2v22

    12A1ds1v

    21

    = 12dV v22

    12dV v

    21

    = 12dV (v22 v21)

    Og s mht. til den potentielle energi, der har vi ved begyndelsen af dt atden potentielle energi for massen mellem a og b er dmgy1 = dV gy1 og vedslutningen af dt at massen mellem c og d har den potentielle energi dmgy2 =dV gy2. Den resulterende ndring i potentiel energi dU i tidsintervallet dter derved:

    dU = dV gy2 dV gy1= dV g(y2 y1)

    76

  • Kombineres alle disse udtryk i work-energy teoremet fs:

    dW = dK + dU

    (p1 p2)dV =12dV (v

    22 v21) + dV g(y2 y1)

    ..Divider dV ud

    p1 p2 =12(v

    22 v21) + g(y2 y1)

    Hvor vi s kan rykke alle elementer med index 1 til venstre og alle elementermed index 2 til hjre, og s fr vi Bernoullis ligning:

    p1 + gy1 +12v

    21 = p2 + gy2 +

    12v

    22

    6.2.8 Reynolds tal & Poiseuilles lov

    Vi kopierer bare direkte fra noterne, af hensyn til tid:

    Love om vsker

    I Young & Freedman kapitel 14 udledtes frst Pascals lov, der relaterertrykket i forskellige hjder i en fluid med konstant massetthed :

    p2 p1 = g(y2 y1)

    Denne lov glder dog kun for en stationr vske, og for at beskrive en v-ske, der bevger sig, m vi ty til Bernoullis ligning. Denne relaterer trykket,hjden og vskens hastighed for to punkter p en flow tube

    p1 + gy1 +12v

    21 = p2 + gy2 +

    12v

    22

    og reducerer til Pascals lov, hvis vsken str stille. Bernoullis ligning erudledt under den antagelse, at den mekaniske energi er bevaret, og er sle-des ikke gyldig, hvis der er friktion i vsken eller mellem vsken og densomgivelser.

    I det udleverede uddrag fra lrebogen Mekanik, betragtes laminar strm-ning i et rr med radius R, lngde L og trykkene p1 og p2 i hver ende. Herudledes, at hastighedsprofilen har den funktionelle form

    v(r) = 14

    (p1 p2L

    )(R2 r2)

    77

  • hvor er viskositeten af vsken. Ved at integrere v(r) op over hele tvr-snittet af rret kan man sledes finde den samlede volumenstrm

    Q = R4

    8

    (p1 p2L

    )kendt som Poiseuilles lov.

    Reynolds talFlgende er taget direkte fra Wikipedia pga. tidsmangel:

    Reynolds tal, ogs kaldet Reynolds konstant, er en vigtig dimensionslsenhed indenfor strmningsmekanikken. Tallet bruges til at forudsige om enstrmning bliver laminar eller turbulent. For cirkulre rr glder det, at enstrmning bliver laminar, hvis Reynolds tal er under 580, og turbulent, nrReynolds tal er over 750. Reynolds tal beregnes for cirkulre rr som:

    Re = vmRh

    hvor vm er middelhastigheden af flowet, Rh er den hydrauliske radius (hy-draulisk diameter divideret med 2) og er vskens viskositet.

    Reynolds tal er opkaldt efter Osborne Reynolds, som fremsatte begrebeti 1883.

    78

  • 7 Temperatur, termisk udvidelse, varme og fase-overgange

    7.1 Disposition

    1. Temperatur Temperatur, Termisk Ligevgt, Insulatorer & Ledere Termodynamikkens 0. lov

    2. Termisk udvidelse Liner udvidelse Volumen udvidelse Visning af sammenhng mellem og Termisk stress

    3. Varme Varme vs. Temperatur Specifikke varmekapacitet Konduktion, konvektion og varmestrling

    4. Faseovergang Definition Smelte og fordampningsvarme Sublimering, Overophedning- og overnedkling

    7.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    7.2.1 Temperatur

    Emnet her handler om en hel del ting, nemlig temperatur, termisk udvidelse,varme og faseovergange. Vi starter med at kigge p nogle grundlggendeprincipper

    Temperatur, Termisk Ligevgt, Insulatorer & Ledere En tempe-ratur er noget vi mler ud fra en given variabel der ndrer sig grundet var-mepvirkning. Det kan f.eks. vre volumen af vske der udvider sig grundetvarmepvirkning, eller et tryk der forges mm. Alle disse giver os mulighedfor at mle et kvantitativt tal, som tallet for temperaturen.

    79

  • Dette gr vi s vha. et skaldt termometer, som vi f.eks. kunne finde pat nedsnke i en kop varm kaffe. Nr vi s gr det vil kaffen og termomete-ret udveksle varmeenergi indtil de nr samme temperatur og derved er i detman kalder Termisk ligevgt. Alts taber kaffen egentlig lidt varme nrtemperaturen mles. Det skal siges, at det egentlig ikke er kaffens tempera-tur man mler, men derimod termometerets. Vi srger blot for termometeretopnr termisk ligevgt, hvorefter vi ser hvad termometerets temperatur er.

    Havde der vret en skaldt insulator imellem termometeret og kaffen,s havde de udvekslet varmeenergi langsommere, hvorved kaffen ville kunnehave holdt p varmen lngere tid (omend den ville have tabt varmeenergitil alle andre omrder i nrheden, men det ser vi bort fra lige nu).

    En ideal insulator er s en insulator hvor der tillades ingen varmeenergiudveksling, hvorved systemet aldrig kan komme til termisk ligevgt. Sdanen insulator er dog bare en idealisering, da ingen sdan insulator eksisterer.

    Termodynamikkens 0. lovEn vigtig grundlggende stning fra thermodynamikken bygger p det hermed insulatorer og idealle insulatorer. Stningen lyder som flger:

    Hvis C initielt er i termisk ligevgt med bde A ogB, s er A og B i termisk ligevgt med hinanden

    Alts en form for termodynamisk transitivitet (i.e. A er i termisk ligevgtmed C, som er i termisk ligevgt med B, ergo A er i termisk ligevgt medC).

    Mden man viser dette p er ved at observere tre systemet A, B og C derinitiel ikke var i termisk ligevgt, og s placere dem i en ideelt insulerendebox med en ideel insulator mellem A og B og termiske ledere (i.e. en dertillader termisk udveksling igennem sig) imellem C og begge af de andresystemer.

    Dette illustreres herunder:

    80

  • Herefter venter man til C er i termisk ligevgt med A og B, og sprgsmleter nu om A og B er i termisk ligevgt ogs.

    Det kan man s tjekke ved ar rykke konstruktionen rundt s C adskillesfra A og B med en ideel insulator og A og B sttes sammen med en leder,som herunder:

    Og hvis Termodynamikkens 0. lov s glder, s skulle der helst ikke skenoget.. hvilket der heller ikke gr, iflge de eksperimenter som bogen refe-rerede i hvert fald (OBS: Dog ikke lige helt sikker p hvordan de har testetdet eftersom ideel insulatorer ikke eksisterer.. men det er sikkert bare insu-latorer der i praksis er ideele de har brugt, da de frst udveksler varme efterekstremt lang tid).

    Her kan det ogs nvnes at C i den frste opstilling kommer til at havesamme temperatur som A og B, s havde det vret et termometer kunneman have mlt A og Bs temperatur sdan, simpelthen ved at vente til derkom termisk ligevgt. Havde C kun vret i kontakt med en af A eller Bhavde resultatet igen vret det samme, da ligevgt frst ville opns nr dehavde samme temperatur. Ergo har vi ogs kriteriet for termisk ligevgt:

    To systemer er i termisk ligevgt hvis og kun hvis dehar samme temperatur

    7.2.2 Termisk udvidelse

    Det bringer os s videre til konceptet af termisk udvidelse.De fleste materialer udvider sig nr de udsttes for temperaturstigning.

    Hvordan de udvider sig kommer dog helt an p materialet. Der er grund-lggende to typer termisk udvidelse, nemlig liner udvidelse og volumenudvidelse:

    Liner udvidelseLiner termisk udvidelse er hvor alle linere dimensioner af et objekt udvi-der sig som resultat af temperaturndringen.

    81

  • Lad os forestille os vi har en stav af et givent materiale, hvor denne stavhar lngden L0 ved en eller anden initiel temperatur T0 (f.eks. stuetempera-tur). Nr temperaturen s ndrer sig med T , s ndrer lngden sig medT .

    Eksperimentielle resultater har vist at hvis bare T ikke er strre endca. 100K, s er L direkte proportionel til T og til startlngden L0.

    Den linere termiske udvidelse er s:

    L = L0T

    Hvor er koefficienten for liner expansion og afhnger af materialet (i.e.jo mindre den er, jo mindre termisk udvidelse). Enhenden for er K1.

    Liner expansion sker i alle linere dimensioner (med f undtagelser i vir-keligheden), s eksempelvis huller i materialer udvider sig ogs udad somillustreret herunder:

    Expansionen kan ogs forklares p molekylebasis hvis vi ser krafterne mel-lem atomer som vrende fjedre.

    Vi ved atomer har krafter der tiltrkker dem til hinanden, men kommerto atomer s tt p hinanden at deres elektronbaner overlapper vil krafterneimellem dem vre frastdende. Der er sledes en ligevgtsafstand herindeimellem hvor to atomer kan danne et molekyle, og hvis disse atomer afvigerblot lidt fra denne ligevgtstilstand vil de oscillere.

    Hvert atom vibrerer alts omkring denne ligevgtstilstand. Nr tempe-raturen s stiger, s vil energien og amplituden af denne vibration forges.

    82

  • Krafterne imellem atomerne (som vi her kigger p som strenge) er ikkesymmetriske, i den forstand at de er nemmere at strkke end at sammen-presse. S af den grund vil vi se at amplituden af vibrationen forges og dengennemsnitlige distance mellem atomer forges - resultatet heraf er termiskudvidelse langs alle linere dimensioner.

    Konceptet illustreres herunder:

    Volumen udvidelseDet bringer os s videre til den anden type af termisk udvidelse, nemligvolumen udvidelse. Bde faste stoffer og vsker laver en volumen udvidelsenr de udsttes for temperaturndringer.

    Ligesom med liner udvidelse glder der, at hvis T ikke er for stor (ca.op til 100 K), s er forgelsen i volumen V approksimerbart proportionalmed bde temperaturndringen T og den initielle volumen V0:

    V = V0T

    Konstanten kaldes s for koefficienten for volumen udvidelse og variererafhngig af materiale. Enheden er K1.

    For vsker vil de desuden typisk vre vsentligt strre, sledes vskergenerelt udvider volumen mere ved temperaturndring end faste stoffer gr.

    Ligesom med for liner udvidelse, s varierer ogs afhngig af starttemperaturen og glder kun for relativt lave hastigheder.

    Visning af sammenhng mellem og Der er en generel sammenhng mellem koefficienten for volumen udvidelseog koefficienten for liner udvidelse, nr vi taler om faste stoffer. For atfinde frem til denne sammenhng antager vi en terning af materiale medlngde L, sledes volumen V = L3. Ved den initielle temperatur har vi sstartvrdierne V0 og L0.

    83

  • Nr temperaturen bliver hvet med dT vil sidelngderne forges meddL og volumen forges med en mngde dV givet ved:

    dV = dVdL

    dL = 3L2dL

    Nu erstatter vi L og V med deres initielle vrdier L0 og V0. Desuden brugervi formlen for liner udvidelse. Vi har sledes at dL er:

    dL = L0dT

    Siden V0 = L30, betyder det at dV ogs kan udtrykkes som:

    dV = 3L20L0dT = 3V0dT

    Dette er konsistent med den infinitesimale version af formlen for volumenudvidelse dV = V0dT , hvis og kun hvis:

    = 3

    Termisk stressTermisk udvidelse er dog ikke uden sine konsekvenser.

    Hvis vi holder et givent materiale fast i en position s det ikke kanudvide- eller sammentrkke sig, og det s herefter udsttes for en tempe-raturndring, s fr vi skaldt termisk stress.

    Dette er yderst problematisk i sdanne ting som brokonstruktion, da vip den ene side gerne vil holde beton og metal fast, men p den anden sideheller ikke vil risikere materialet tager skade eller decideret gr i stykkerpga. termisk stress.

    For at udregne den termiske stress p et materiale vi holder fast, sudregner vi mngden med hvilkent materialet ville udvide sig (hvis detkunne) og finder herefter stress niveauet der skal til for at fre det tilbagetil dets oprindelige dimensioner.

    Lad os forestille os vi har en stang med lngde L0 og tvrsnitareal A.Denne holdes nu til en konstant lngde, alt imens temperaturen snkes (i.e.T < 0), hvilket resulterer i tensile stress (i.e. fordi den prver p at trkkesig sammen men ikke kan).

    Den forholdsmssige ndringen i lngden hvis staven havde vret fritil at sammentrkke sig er:(L

    L0

    )termisk

    = T

    Bde L og T er her negativ. Spndingen (Tension) m alts forgesmed en mngde F s det lige akkurat er nok til at generere en tilsvarende

    84

  • men omvendt forholdsmssig ndring i lngden. Denne forholdsmssigendring i lngden kan udregnes fra Youngs Modulus:

    Y = F/AL/L0

    (LL0

    )spnding

    = FAY

    Da det vi gerne vil opn er, at den totale forholdsmssige ndring i lngdener 0, s kan vi stte op at summen af disse ndringer skal vre 0:(L

    L0

    )termisk

    +(LL0

    )spnding

    = T FAY

    = 0

    Herefter isolerer vi tensile stress i denne og fr:

    T FAY

    = 0

    FA

    = Y T

    Hvilket er den termiske stress.

    S hvis T er negativ, s er F og F/A positive, sledes en trkkraft(tensile force) er ndvendig for at vedligeholde dens lngde. Hvis T deri-mod er positiv, s er F og F/A negative, hvorved den ndvendige kraft erkompressende.

    Hvis der er forskelle i temperaturen i et legeme, s kan det yderligereforvrre termisk stress. Det ses ofte til daglig hvis man smider en isterningi et glas vand eller hvis man hlder kogende vand ned i en glasskl. Hervil man ofte se, at glasklen knkker fordi de kolde og varme omrder afglasset skaber s meget termisk stress imellem sig at glasset flkker.

    7.2.3 Varme

    Det bringer os s videre til konceptet af varme.Hvis vi nedsnker noget koldt i noget varmt, f.eks. en ske i en kop te, s

    vil der pbegynde en udveksling af varmeenergi indtil disse to genstande eri termisk ligevgt (i.e. det varme te har fet lidt lavere temperatur og skeenhar samme temperatur som teen).

    Denne udveksling af energi kaldes for varmestrm eller varmeoverfrsel.

    Det er vigtigt at pointere forskellen p varme og temperatur her. Tem-peratur er en kvantitativ mling af niveauet af hotness eller coldness.

    85

  • Det afhnger alts af tilstanden af det man forsger at mle det p. I mod-stning hertil er varme noget der udveksles. Systemer kan udveksle varmei form af varmeoverfrsel af energi, men et system har ikke en varme i denforstand. Man kan tilfje varme til et system ved at tilfje energi i en elleranden forstand, hvorved temperaturen vil stige. Men varme er alts en slagsenergi der udveksles og ikke en iboende egenskab af legemer.

    Specifikke varmekapacitet

    Lad os g videre og kigge p hvordan vi s mler denne varme. Vi brugersymbolet Q som mngden af varme.

    Vi har s, at mngden af varme Q der skal til for at hve temperaturenaf en massem af et givent materiale fra T1 til T2, er approksimerbart propor-tional til temperaturndringen T = T2 T1. Det er desuden proportionaltil massen af materialet.

    Dette betyder alts at hvis du ville varme vand til te, s vil du skulletilfre dobbelt s meget varme hvis du tager 2 kopper, som hvis du tager enfor samme temperaturinterval.

    Alt afhngig af materiale tager det ogs mere eller mindre energi athve temperaturen. For vand tager det 4190J at hve temperaturen 1 K,men kun 910J at hve temperaturen af aluminium med 1 K.

    Stter vi alt dette sammen fr vi forholdet:

    Q = mcT

    hvor c er en vrdi vi kalder den Specifikke varmekapacitet, og som variererfra materiale til materiale. Man siger c er den varmemngde i J der skal tilfor at forge temperaturen af et stof med 1 K.

    Specifik varmekapacitet varierer ogs afhngig af temperatur, men i re-lativt lille grad, sledes vi oftests ignorer denne variation. Nedenfor er plottetdenne variation for vand:

    86

  • Konduktion, Konvektion og Varmestrling

    Nu vi s har kigget p hvordan en given ndvendig varmeenergi Q udreg-nes, s kan vi lige hurtigt kigge p hvordan man s ville overfre varmeenergimellem systemer.

    Overordnet er der 3 muligheder: Konduktion, Konvektion og Varmestr-ling.

    KonduktionVarmeoverfrsel grundet konduktion opstr nr en del af et legeme bliveropvarmet (f.eks. af en flamme eller lignende) og den varme s vandrerigennem materialet.

    Det er f.eks. konduktion der finder sted nr en ske nedsnkes i varm teog skeen bliver varm.

    P det atomare niveau fungerer konduktion ved at atomer i de varmereregioner har mere kinetisk energi i gennemsnit, hvorved de vibrerer og maserderes kligere naboer, hvilket overfrer noget af deres energi. Disse bliver sogs varmere og maser deres naboer, hvorved denne proces bliver ved indtilsystemerne er i termisk ligevgt.

    Metaler har s den yderligere fordel, at de kan bruge deres skaldtefrie elektroner til at lette konduktionen af varme. Dette har s ogs denbivirkning at en metalstang ved 293 K vil fles koldere end en trpind ved293 K. Dette skyldes ikke at metallet er koldere, men nrmere fordi varmenfra dine hnder nemmere kan fres ind i metallet, hvorved du vil fle enkling i hnden imens du forsger at komme i termisk ligevgt med metallet.

    Ved konduktion definerer vi desuden vrdien Varmeledningsevne k somer materialets evne til at lede varme ved konduktion. En god leder harsledes hj vrdi for k, hvor en god insulator har lav vrdi for k. (Og enideal insulator har k = 0)

    KonvektionEn anden mde at overfre varmeenergi p er igennem konvektion. Konvek-tion er varmeoverfrsel vha. bevgelser af vsker fra en region af et legemetil et andet. Der findes mange eksempler p konvektionssystemer som kle-systemet i biler eller dit eget blod.

    I tilflde af konvektionen ikke sker naturligt med ved en pumpe, s kal-des det en ptvunget konvektion. Det er f.eks. tilfldet for vores blodomlb,der krver hjertet til at fre blodet rundt og derved fre temperaturstignin-ger rundt i kroppen.

    87

  • Det er ogs konvektion der er i spil nr jeg forsger at varme vandet imit badekar op igen, efter at have siddet der i flere timer. Det nye varmevand vil s sprede sig blandt det kligere, indtil vandet samlet er net til enny termisk ligevgt med mig.

    VarmestrlingEn sidste mulighed er varmeoverfrsel ved varmestrling. Varmestrling erden varmeoverfrsel der kommer fra elektromagnetiske blger, lys osv.

    Det er alts den varmeoverfrsel der er tilstede hvis de to involveredelegemer ikke er i en vske sammen og ikke fysisk rr ved hinanden (lufter et drlig medie til konduktion, s den varmeoverfrsel virker kun hvislegemerne er fysisk forbundet).

    Eksempler p varmestrling er lys fra solen (og stjerner generelt), engrill, en pre, mit 42 fjernsyn, radiatorer og meget meget mere.

    Alt afhngig af temperatur bruges forskellige typer strling:

    ca. 295 K: Alle varmekilder (inkl. levende ting) udsender energi i form afinfrard strling, nr vi er omkring en stuetemperatur. (hvis de ikkegjorde ville vi ikke kunne bruge heat-vision f.eks.). Intet af dette lyser synligt dog.

    ca. 1073 K: Ved denne temperatur er det stadig primrt infrard strling,men temperaturen er dog p en sdan mde, at en vis mngde afstrlingen bliver synlig strling, sledes legemet der afgir det kommertil at forekomme rdgldende.

    ca. 3273 K: Ved denne temperatur er legemet s opvarmet, at det vil fo-rekomme hvidgldende og den primre strling vil komme fra visueltlys. Denne temperatur er der hvor gldetrden i en gldelampe er.

    7.2.4 Faseovergange

    Det bringer os s til det sidste jeg vil snakke om, nemlig faseovergange.

    DefinitionEn faseovergang er nr et materiale gr fra en materialefase til en anden,f.eks. fra vske til gas eller fra fast stof til vkse.

    Hvis vi har noget is ved 273.15 K (0 grader Celcius - frysepunktet forvand) og normal atmosfrisk tryk, s hvis vi tilfjer varmeenergi hertil, svil temperaturen ikke stige over 273.15 K. I stedet vil dele af isen blive tilvand og resten af isen vil forblive is.

    Tog vi nu og tilfrte varme til isen stille og roligt, sledes termisk lige-vgt bibeholdes nogenlunde, s ville alt isen smelte inden temperaturen steg

    88

  • fra 273.15 K. Alts krver det ekstra varmeenergi at lave en faseovergang.

    Smelte- og fordampningsvarme Varmen pr. enhed masse der skal tilfor at skifte fase til/fra fast og flydende kaldes for Smeltevarmen (Heat offusion) og skrives som Lf .

    For at smelte en masse m af materiale med smeltevarme Lf krves ders Q varmeenergi givet ved:

    Q = mLf

    Plus/Minus delen skyldes at processen er reversibel. Hvis vi vil fryse enmasse m af materiale skal vi fjerne varmeenergi fra systemet.

    Udover dette har hvert materiale et smeltepunkt, som er det samme ni-veau som dets frysepunkt. Har et materiale denne temperatur kan man seden situation at vske og fast stof eksisterer p samme tid i samme legeme- dette kalder vi for faseligevgt.

    Denne prcis samme konstruktion glder for faseskift mellem vske oggas, hvor vi i stedet definerer et fordampningsvarme Lv (i.e. v for vapor),hvorved vi skal bruge varmeenergi Q for at lave en masse m af materiale omfra vske til gas hvis fordampningsvarmen er Lv:

    Q = mLv

    Plus/Minus delen skyldes igen at processen er reversibel og igen har allematerialer ogs et kogepunkt, hvor et legeme med denne temperatur igenoplever faseligevgt.

    Faseligevgten ved faseskift fra vske til gas er dog typisk noget ln-gerevarende, da det krver relativt lidt energi at bringe en vske til denskogepunkt, men meget energi at f dannet hele vsken om til gas.

    Et plot af temperatur T over tid for vand vises herunder, hvor varmee-nergi er blevet tilfjet med jvn hastighed:

    89

  • Som vi kan se er temperaturen ved faseovergange konstant (antaget trykketer det).

    Sublimering, Overophedning- og overnedkling

    Sidst men ikke mindst har vi koncepterne af sublimering, verophedningog overnedkling.

    Sublimering er nr et materiale gr direkte fra fast form til gas. Til dettehar vi en vrdi Sublimeringsvarmen Ls, som er den varme pr. enheds masseder skal til for at lave materialet om fra fast form til gas.

    Eksempler p materialer der er sublime er tris, der tydeligt gr direktefra fast stof til gas, selv ved stuetemperatur og normalt atmosfrisk tryk.

    Overophedning er nr en vske bliver opvarmet til over ens normalekogepunkt, sledes at den mindste forstyrrelse af vsken resulterer i lokalkogning med bobler til flge. Grunden til vsken kan n til dette forhjedekogepunkt uden at se ud til at koge er, at overfladespndingen forhindrerden normale dannelse af bobler og udgydelse af damp.

    Resultat er, at hvis du bryder denne overfladespnding imens vsken eroverophedet, s kan du risikere en pludselig eksplosion af damp og vandgrundet den lokale kogning.

    Det er et koncept der ofte tales om i forhold til opvarmning af vand imikroblgeovne, da det her kan forekomme at vsken kommer over koge-punktet uden det er tydeligt ved at kigge p den.

    Overnedkling er s nr noget som meget rent vand kles ned til adskil-lige grader under frysepunktet uden at fryse (noget som normal vand ikke

    90

  • kan). Den resulterende tilstand kaldes for en overnedklet tilstand. Hvisvandet herefter irriteres eller sm stvpartikler e.lign. falder ned i det, s vildet jeblikkeligt krystalisere i lbet af et sekund eller mindre.

    91

  • 8 Kinetisk gasteori og tilstandsligninger

    8.1 Disposition

    OBS: Han viste til sprgetime tiltrknings-/frastrdnings kraften mellemto atomer, s det kan tnkes han sprger om det. Derfor er grafen herforplaceret sidst i sprgsmlet.

    Det samme er grafen for et pT diagram for faseovergange.

    1. Tilstandsligninger Tilstandsvariable

    2. Idealgasligningen Empirisk udledelse Antagelser (hj T , lavt p) Udledning af densitet Idealgasligningen for konstant masse

    3. Van der Waals gasligning

    4. pV-diagrammer Tjek om en gas flger idealgasligningen Kritisk temperatur (Tc)

    5. Kinetisk gasteori Forml (hvorfor bruge den) Antagelser

    6. Udledelse af trykformel Hastigheder Antallet af kollisioner Impulsndring Korrektion for hastighedsantagelse

    7. Energi i kinetisk gasteori Kinetisk energi af n mol af en ideal gas Kinetisk energi af en molekyle

    8. Anvendelse: Varmekapacitet Find dK og dQ og st lig med hinanden, isoler CV . Frihedsgrader (monoatomer 3/2R, diatomer 5/2R, polyatomer

    7/2R)

    92

  • 8.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    8.2.1 Tilstandsligninger

    Det her emne omhandler de termiske effekter p et system, baseret ud fraen rkke modeller for virkeligheden, kaldet tilstandsligninger.

    TilstandsvariabelEn tilstandsvariabel er en given variabel der beskriver tilstanden af et sy-stem, det kan vre tryk p, densitet , temperatur T eller noget helt flere.

    Samler man sdanne tilstandsvariabler i en ligning der beskriver sam-menhngen mellem dem, s har man lavet en tilstandsligning. Tilstandslig-ninger kan bruges som approksimationer p virkeligheden for at forudsigenogle ting omkring stoffer og eventuelt aktivt skabe et stof med bestemteegenskaber man nsker.

    8.2.2 Idealgasligningen

    En af de mest simple tilstandsligninger er den for en idealgas.Vi kan nemt udlede gasligningen emperisk fra de resultater bogen taler

    om er fundet gennem eksperimenter.

    Empirisk udledelseHvis vi starter med massen af en gas, s fremfor at regne i masse direkte,s vil vi hellere regne ud fra antallet af mol n, hvor sammenhngen mol nog den totale masse mtot er:

    mtot = nM

    hvor M er molarmassen (i.e. massen pr mol for et stof).

    Eksperimenter p gasser har ledt til en rkke konklusioner:

    Volumen V er proportional til antallet af mol n. (I.e. hvis vi fordob-ler antallet af mol og holder tryk og temperatur konstant, s vil Vfordobles)

    Volumen V er omvendt proportional til det absolutte tryk p. (I.e hvistrykket fordobles imens n og T holdes fast, s vil gassen blive sam-menpresset til halvdelen af volumen) - alts er pV konstant nr n ogT er det.

    Trykket p er proportional til den absolutte temperatur T . (I.e. hvis vifordobler den absolutte temperatur T , imens vi holder V og n konstant,

    93

  • s vil trykket fordobles) - alts er p lig med T gange en konstant nrn og V er konstant.

    Hvis vi samler det her i et udtryk fr vi idealgasligningen:

    pV = nRT

    hvor R er en proportionalitetskonstant kaldet gaskonstanten, som har sam-me vrdi for alle gasser antaget hje nok temperaturer. Den bedst kendtevrdi for R er R = 8.314J/mol K

    AntagelserIdealgasligningen er en approksimation p virkligheden, alts en idealiseretmodel. Derved glder den kun under visse antagelser. Disse antagelser er:

    Hjt T og lavt p: Idealgasligningen er bedst approksimerende hvis tem-peraturen af gassen er meget hj og gassen p samme tid har lavt tryk,sledes gas molekyler er langt fra hinanden og bevger sig hurtigt.

    Ingen volumen: Idealgasligningen antager desuden at alle molekyler i engas kan opfattes som punkter, alts sledes de ikke har nogen volumen.

    Kun kinetisk energi: Idealgasligningen antager derudover ogs, at mole-kyler kun har energi i form af deres kinetiske energi.

    Ingen vekselvirkning: Idealgasligningen tanger at molekyler ikke intera-gerer med hinanden, sledes kollisoner af molekyler er ligegyldige.

    Hvis en gas ikke opfrer sig som en idealgas s kan dette ses ved at plotteet pV-diagram, som jeg vil kigge p hurtigt om lidt.

    Udledning af densitetHvis vi hellere vil udtrykke idealgasligningen i form af den totale masse, skan vi indstte n = mtotM p ns plads:

    pV = mtotM

    RT

    Hvis vi nu observerer at densitet udregnes som = mtot/V , s kan vi om-skrive ovenstende ved at f = mtot/V til at st alene sledes:

    = mtot/V =pM

    RT

    Som s er udtrykket for densiteten af en idealgas.

    94

  • Idealgasligningen for konstant masseObserverer vi yderligere, at for et konstant antal mol n, s er nR konstant.Men det betyder ogs at pV/T er konstant, da de afhnger indbyrdes afhinanden. Derved kan man for samme gas i to forskellige tilstande medkonstant masse (i.e. konstant n) opskrive flgende sammenhng:

    p1V1T1

    = p2V2T2

    = konstant

    P den mde gr R f.eks. ud.

    8.2.3 Van der Waals gasligning

    Idealgasligningen er dog p ingen mde perfekt og der er flere andre gas-ligninger man kunne bruge. En af disse er Van der Waals gasligning derforsger at kompensere for fejlkilder i den skaldte kinetiske gasteori, somjeg kommer ind p om lidt.

    Specifikt er problemet at den kinetisk gasteori ignorerer masserne afmolekylerne i sig selv, samt de tiltrkningskrafter der er imellem dem. Detbetyder at under visse omstndigheder, s vil trykket vurderes hjere i gas-sen end det reelt er grundet tiltrkningskrafter molekylerne imellem dertrkker dem sammen.

    Van der Waals gasligning ser sledes ud:(p+ an

    2

    V 2

    )(V nb) = nRT

    S forskellen mellem Van der Waals gasligning og idealgasligningen er dekorrektioner der laves p p og V .

    a og b ovenfor er emperiske konstanter, afhngig af gassen, hvor b ervolumen af en mol af molekyler for gassen og a er en konstant der afhngeraf tiltrkningskraften mellem atomer i et mol af molekyler af gassen.

    Den totale volumen af molekylerne er derved nb, s fratrukket den sam-lede volumen giver det V nb volumen at bevge sig p.

    Faldet i tryk grundet tiltrkningskraften molekyler imellem er proportio-nal til n2/V 2, hvorved approksimationsevnen af Van der Waals gasligningenafhnger af denne sammenhng.

    Er nV tilstrkkelig lille (i.e. gassen er fortyndet) s er den gennemsnitligedistance mellem molekyler s stor, at korrektionen opnet af Van der Waalsgasligningen er ligegyldig.

    Som eksempel kan tages CO2 hvor idealgasligningen siger et mol af enidealgas ved 273.15 K, med tryk p = 1atm fylder V = 0.0224m3, s vil

    95

  • Van der Waals gasligning kun vurderer 532 Pa lavere end idealgasligningenhvorved volumen vil vre 0.5% strre.

    8.2.4 pV-diagrammer

    Som jeg talte om tidligre s kan man benytte pV-diagrammer (tryk overvolumen) til at vurdere hvorvidt en gas er en idealgas eller el. Man kan i dethele taget bruge pV-diagrammer til at visualisere et systems afhngighed aftryk, volumen og temperatur for forudvalgte temperaturkonstante kurver.

    Hver kurve i et sdan pV-diagram kaldes s en isoterm, hvor man typiskrkkeflgen af isotermer ud fra lavest til hjest temperatur.

    Et eksempel p et pV-diagram for en idealgas ses herunder:

    Her kan man tydeligt se at p, T og V er indbyrdes afhngig p en ren ogpn mde, hvor man direkte kan aflse volumen ud fra vrdier p og T .

    Som kontrast hertil kan man lave et pV-diagram for en gas der ikkeopfylder idealgasligningen, hvorved den vil se mere ud som flger:

    Hvor Tc er den skaldte kritiske temperatur, hvilket er temperaturen hvorfaseovergange ikke lngere finder sted uanset ndring af tryk eller volumen.

    96

  • Under denne temperatur kan vi se, at der er omrder hvor vi kan forgevolumen af gassen uden at overge trykket. Det er de skaldte faselige-vgtstilstande hvor der sker faseovergang mellem gas og vske.

    Ligeledes kan vi se at nr en gas er blevet lavet om til en vske grundetlav volumen og temperatur, s skal der pludselig ekstremt meget tryk tilfor at kompresse volumen ned yderligere, da det er vsentligt svrere atkompresse en vske end en gas.

    Sidst men ikke mindst kan vi se, at isotermen for temperaturen T4 op-frer sig nrmest ligesom en idealgas isoterm, hvilket er i overensstemmelsemed vores antagelser om modellen, netop af idealgasligningen er en fin ap-proksimation antaget hje temperaturer.

    8.2.5 Kinetisk gasteori

    Det bringer os s videre til et af hovedemner i dette sprgsml, nemligkinetisk gasteori.

    Hvor en tilstandsligning beskriver sammenhngen mellem forskellige til-standsvariabler, s beskriver en gasteori en molekylr model - alts en modelfor hvordan molekyler fungerer i en gas, hvorfra man s kan udlede tilstands-ligninger til en sdan gasteori.

    En gasteori har ogs stor nytte i forhold til at kunne designe stoffermed forskellige nskede egenskaber, eller forudsige forskellige egenskaber pbaggrund af teoretisk viden om molekylerne.

    Vi skal kigge p den nogenlunde simple kinetiske gasteori, som er enmolekylrmodel for en idealgas.

    AntagelserDen kinetiske gasteori reprsenterer en gas som bestende af et stort antalpartikler der flyver rundt i en lukket beholder. Vi reprsenterer alts mole-kyler som punkter, som jeg ogs tidligere har nvnt.

    Vi har en rkke antagelser i modellen:

    1. En beholder med volumen V indholder et stort antal N af identiskemolekyler, hver med masse m.

    2. Molekylerne opfrer sig som punkt partikler, hvorved deres strrelseer lille sammenlignet med den gennemsnitlige afstand imellem dem ogsammenlignet med dimensionerne af beholderen.

    3. Molekylerne er i konstant bevgelse og overholder Newtons bevgel-seslove.

    4. Hver molekyle kolliderer til tider med beholderens vgge, hvor dissekollisioner er perfekt elastiske (i.e. ingen kinetisk energi gr tabt)

    97

  • 5. Beholderens vgge er perfekt stive, uendeligt massive og bevger sigikke.

    Med disse antagelser p plads kan vi g videre med selve modellen.

    8.2.6 Udledelse af trykformel

    Vi starter med at udlede en formel for trykket. For god ordens skyld skrivervi lige formlen op frst:

    p = FA

    = Nmv2x

    V

    For at udlede denne formel skal vi kigge p hvordan tryk opstr i kassen.Tryk opstr i en gas nr molekylerne kolliderer med omkringliggende lege-mer, i dette tilflde en lukket beholder. Der er alts en direkte sammenhngmellem antallet af kollisioner og trykket det giver.

    Nr en molekyle i kinetisk gasteori kolliderer med vggen vil det vin-kelrette hastighedsvektor-komponent blive flipped, sledes det fr modsatretning men samme magnitude (i.e. kollision med de lodrette vgge giverflipning af x-komponent vx). Dette vises herunder:

    Mlet er nu at finde antallet af kollisioner pr. enheds tid for et giventareal A af vggen. Herefter kan vi finde den totale impulsndring associeretmed de her kollisioner og fra det udregne den kraft der skal til for at skabedenne impulsndring. Herfra kan vi s udlede en formel for trykket.

    Til at starte med antager vi alle molekyler i gassen har samme magnitu-de af deres x-komponent af hastighed |vx|. Det er som sdan ikke en korrekt

    98

  • antagelse, men fint nok for vores udledning her. Vi kan korrigere resultatetbagefter.

    Som sagt har vi, at for hver kollision med vggen vil det vinkelrettehastighedsvektor-komponent blive flipped, hvorved kollisioner med en verti-kal vg flipper hastighedsvektoren fra |vx| til +|vx|.

    Derved har vi en ndring i impuls fra m|vx| til +m|vx| og den samledendring i impuls er derved

    m|vx| (m|vx|) = 2m|vx|

    Hvis en molekyle vil kollidere med et givent vgareal A i lbet af detkorte tidsinterval dt, s m afstanden fra molekylen til vggen, i starten afdt, ikke vre mere end |vx|dt og molekylen skal vre p vej mod vggen.

    S antallet af molekyler der kolliderer med et givent vgareal A i tidendt, svarer til mngden af molekyler i en cylender med baseareal A og lngde|vx|dt, hvor molekylernes hastighedsvektors x-kompoent peger mod vggen.

    Volumen af denne cylinder er s A|vx|dt og antaget antallet af molekylerpr. volumen er uniform, s betyder det antallet af molekyler i cylineren er:(

    N

    V

    )(A|vx|dt)

    I gennemsnit vil halvdelen af disse til enhver tid have retning mod vggen,s antallet af kollisioner med A i tidsrummet dt er:

    12

    (N

    V

    )(A|vx|dt)

    Vi viste fr, at en kollision betyder 2m|vx| impulsndring, s den samledeimpulsndring for kollisionerne i cylinderen er:

    dPx =12

    (N

    V

    )(A|vx|dt)(2m|vx|)

    = NAmv2xdt

    V

    Tager vi herefter ndringen af impuls over tid, s fr vi:

    dPxdt

    = NAmv2x

    V

    Iflge Newtons 2. lov svarer ndringen i impuls til kraften der udves afvgarealet A p molekylerne. Ved Newtons 3. lov har vi s, at der m vreen modsatrettede og lige stor kraft den anden vej, hvilket er den kraft mo-lekylerne udver p vgarealet A.

    99

  • Da tryk er er magnituden af den kraft der udves p vggen pr. enhedsareal, s fr vi at trykket er:

    p = FA

    = Nmv2x

    V

    Trykket p afhnger alts af antallet af molekyler pr. volumen (N/V ), mas-sen af molekylet og hastigheden af molekylerne.

    Korrektion for hastighedsantagelseSom nvnt fr, s var det en ukorrekt antagelse at sige hastigheden af allemolekyler i x-komponentet var |vx|. Vi kunne dog have rettet det ved atsamle alle molekyler med samme x-komponent magnitude |vx| i grupper ogs udregnet de enkelte deles bidrag til trykket.

    Resultatet af dette er dog bare at erstatte |vx|2 med |vx|2av i formlen fortrykket.

    Grundet vores model, s kan vi dog antage de enkelte komponenter afhastighedsvektoren er det samme. Hvis vi vil udregne hastigheden af enmolekyle, s udregner vi blot:

    v2 = v2x + v2y + v2z

    hvor vi kan tage gennemsnittet heraf over alle molekyler:

    (v2)av = (v2x)av + (v2y)av + (v2z)av

    Og da de er de samme betyder det, at:

    (v2x)av =13(v

    2)av

    Med den ndring bliver trykformlen ovenfor til:

    p =13Nm(v

    2)avV

    8.2.7 Energi i kinetisk gasteori

    Vi kigger nu p energien i den kinetiske gasteori.

    100

  • Kinetisk energi af n mol af en ideal gas

    Fra udtrykket for tryk kan vi s finde et udtryk for den gennemsnitligetranslatoriske kinetiske energi af n mol af ideal gas.

    Vi starter med:

    p =13Nm(v

    2)avV

    som er trykformlen med hastighedskorrektionen.Denne kan vi s skrive om til:

    pV = 13Nm(v2)av =

    23N

    [m(v2)av

    ]Det sidste led i klammerne ligner nu mistnkeligt meget den translatoriskekinetiske energi af et enkelt molekyle og N er antallet af molekyler. Dervedfr vi at ovenstende bliver

    pV = 23Ktr

    Hvis vi nu sammenligner dette med idealgasligningen, s havde vi derpV = nRT . For at de to formler er i overensstemmelse m den gennemsnit-lige translatoriske kinetiske energi af n mol af ideal gas sledes vre:

    Ktr =32nRT

    Vi kan alts se her, at den kinetiske energi er direkte proportional til tem-peraturen T

    Kinetisk energi af en molekyleFra ovenstende kan man ogs finde den kinetiske energi af et molekyle, hvorjeg dog ikke har tnkt mig at gre dette. I stedet skrives blot resultatet:

    KtrN

    = 12m(v2)av =

    32kT

    hvor k er Boltzmanns konstant, som er konstant for alle stoffer.

    Alts kan vi se den gennemsnitlige translatoriske kinetiske energi af etmolekyle kun afhnger af temperaturen og ikke at hverken volumen, masse,typen af molekyle e.lign.

    101

  • 8.2.8 Anvendelse: Varmekapacitet

    Nu vi har kigget p gasteorier, s kan vi se hvad sdan en reelt kan brugestil.

    Vha. en gasteori kan vi forsge at forudsige forskellige egenskaber ved etgivent stof. I dette tilflde molar varmekapaciteten, med konstant volumen,af et materiale CV .

    Vi starter med at kigge p udtrykket for en translatoriske kinetiske energiovenfor, nemlig:

    Ktr =32nRT

    Ved en lille hvelse af temperaturen dT her, vil vi alts se en lille hvelseaf den kinetiske energi dKtr, sledes:

    dKtr =32nRdT

    Fra definitionen af molar varmekapacitet har vi desuden et udtryk for dQmed temperaturndring dT :

    dQ = nCV dT

    hvor dQ er den varmeenergi der skal til for at ndre temperaturen dT . Shvis Ktr reprsenterer den samlede molekylre energi (som den simple ki-netisk gasteori antager), s skal dQ og dKtr vre lig med hinanden, hvorvedvi kan skrive dem op og isolere CV :

    nCV dT =32nRdT

    CV =32R

    Alts skulle den molare varmekapacitet ved konstant volumen, iflge denkinetiske gasteori, vre lig med 32R for alle gasser der kan reprsenteressom punkter.

    Frihedsgrader

    Resultatet ovenfor er forbavsende spot on nr det kommer til monoa-tomare gasser, alts gasser hvor atomer ikke er bundet til hinanden. Menved diatomare gasser (i.e. 2 atomer er bundet til hinanden) og polyatomaregasser (i.e. adskillige atomer er bundet til hinanden), er det langt fra.

    Dette skyldes at diatomer og polyatomer har flere frihedsgrader, sledesde har flere komponenter der spiller ind i deres kinetiske energi. Det vre sig

    102

  • f.eks. kinetiske energi ved rotation (i.e. fordi atomer kan rotere om hinandeni et molekyle) og vibration imellem dem.

    Mngden af frihedsgrader svarer til antallet af de komponenter der skaltil at for at forklare en molekyles bevgelse fuldstndig.

    Konceptet der er i spil her hedder Equipartition of Energy (obs: hvisder findes en oversttelse kunne jeg ikke finde den). Konceptet siger, at forhver komponent af bevgelse, er der en associeret kinetisk energi af 12kT ,hvor k er Boltzmanns konstant.

    For et monoatomer molekyle er det derved 3 frihedsgrader (de 3 x,yog z komponenter af hastighedsvektoren), for diatomare molekyler kommeryderligere to med for rotation og for polyatomare molekyler kommer deryderligere 2 igen for polyatomere pga. vibrationen. Derved fr vi flgendemolare varmekapaciteter jvf. Equipartition of Energy:

    CV =32R (monoatomar)

    CV =52R (diatomar)

    CV =72R (polyatomar)

    Den molare varmekapacitet er dog varmeafhngig, sledes der for visse mo-lekyler vil opst flere frihedsgrader som temperaturen stiger. Dette koncepter illustreret ved grafen herunder der plotter CV overfor T for hydrogen gasH2. Vibration kan sledes ogs bidrage til energien for diatomare gasser,sfremt temperaturen bare er hj nok.

    103

  • OBS: For god ordens skyld kan nvnes at CV for faste stoffer gr modCV = 3R for tilstrkkeligt store temperaturer. Dette kaldes for Dulong ogPetits regel.

    8.2.9 Krafterne mellem to molekyler

    To molekyler kan ses som vrende to objekter der p den ene side tiltrkkerhinanden men p den anden side frastder hinanden hvis de kommer for ttp. Vi kan plotte denne tiltrknings-/frastdningskraft som vist herunder.Denne graf er udelukkende med fordi jeg ved forelseren kunne finde p atsprge om det.

    Relateret hertil er Van der Waals interaktionen, som glder for diatomaremolekyler, som vi har fet en formel der kan approksimere. Denne formelser sledes ud:

    U = U0

    [(R0r

    )12 2

    (R0r

    )6]Hvor U0 er en positiv konstant i enhed J . R0 er ligevgtsafstanden mellemto atomer og r er den nuvrende afstand. Hvis to atomer er meget langt frahinanden, s er U = 0 og hvis de er i ligevgtsafstanden s er U = U0.

    104

  • Kraften fra det frste atom p det sidste er s den negativt afledede afden potentielle energi ovenfor:

    Fr = dU

    dr= 12U0

    R0

    [(R0r

    )13

    (R0r

    )7]Potentiel energi og kraft er plottet for Van der Waals interaktionen og voresapproksimationen herunder:

    8.2.10 Faseovergange

    Dette ekstra afsnit er udelukkende med for hurtigt at kunne skimme fase-overgangenes afhngighed af tryk og temperatur, i form af et pT diagram,som det herunder:

    Som vi kan se er den kritiske temperatur Tc med p grafen, som er det punkthvor faseovergange ikke lngere finder sted ved forgelsen af trykket. Tc forvand er f.eks. 647.4 K.

    Ligeledes er der det skaldte Triple point, som er et srligt sted hvorstoffets fast, flydende og gasform kan eksistere p samme tid.

    Resten af grafen skulle gerne vre rimelig selvforklarende.

    105

  • 9 Varmekapacitet for gasser og faste stoffer, CPog CV

    9.1 Disposition

    1. Varmekapacitet Def. Varme Varmemngde og specifik varmekapacitet Molr varmekapacitet CV og CP

    2. Estimering af molr varmekapacitet vha. kinetisk gasteori Kort om kinetisk gasteori (Forml, Antagelser, Kort om udled-

    ning af tryk) Kinetisk energi af n mol af en ideal gas Kinetisk energi af en molekyle Find dK og dQ og st lig med hinanden, isoler CV . Frihedsgrader Dulonge og Petits regel

    3. Varmekapacitet af en idealgas Termodynamikkens 1. hovedstning (kort) Idealgas: Indre energi afhnger kun af T Forskellen mellem CV og CP . Udledning af sammenhngen mellem CV og CP Forholdet mellem CV og CP ()

    9.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    9.2.1 Varmekapacitet

    I dette sprgsml skal vi kigge p konceptet af varmekapacitet.S lad os starte med at kigge p konceptet af varme:

    106

  • Def. Varmemngde

    Hvis vi nedsnker noget koldt i noget varmt, f.eks. en ske i en kop te, svil der pbegynde en udveksling af varmeenergi indtil disse to genstande eri termisk ligevgt (i.e. det varme te har fet lidt lavere temperatur og skeenhar samme temperatur som teen).

    Denne udveksling af energi kaldes for varmestrm eller varmeoverfrsel.

    Det er vigtigt at pointere forskellen p varme og temperatur her. Tem-peratur er en kvantitativ mling af niveauet af hotness eller coldness.Det afhnger alts af tilstanden af det man forsger at mle det p. I mod-stning hertil er varme noget der udveksles. Systemer kan udveksle varmei form af varmeoverfrsel af energi, men et system har ikke en varme i denforstand. Man kan tilfje varme til et system ved at tilfje energi i en elleranden forstand, hvorved temperaturen vil stige. Men varme er alts en slagsenergi der udveksles og ikke en iboende egenskab af legemer.

    Varmemngde og specifik varmekapacitet

    Lad os g videre og kigge p hvordan vi s mler denne varme. Vi brugersymbolet Q som mngden af varme.

    Vi har s, at mngden af varme Q der skal til for at hve temperaturenaf en massem af et givent materiale fra T1 til T2, er approksimerbart propor-tional til temperaturndringen T = T2 T1. Det er desuden proportionaltil massen af materialet.

    Dette betyder alts at hvis du ville varme vand til te, s vil du skulletilfre dobbelt s meget varme hvis du tager 2 kopper, som hvis du tager enfor samme temperaturinterval.

    Alt afhngig af materiale tager det ogs mere eller mindre energi athve temperaturen. For vand tager det 4190J at hve temperaturen 1 K,men kun 910J at hve temperaturen af aluminium med 1 K.

    Stter vi alt dette sammen fr vi forholdet:

    Q = mcT

    hvor c er en vrdi vi kalder den Specifikke varmekapacitet, og som variererfra materiale til materiale og har enheden J/kg K (i.e. varme pr. masse pr.temperaturndring). Man siger c er den varmemngde i J der skal til forat forge temperaturen af et stof med 1 K.

    Specifik varmekapacitet varierer ogs afhngig af temperatur, men i re-lativt lille grad, sledes vi oftests ignorer denne variation. Nedenfor er plottetdenne variation for vand:

    107

  • Molr varmekapacitetRelateret hertil er konceptet af molr varmekapacitet.

    Det kan til tider vre mere praktisk at notere masse som en mngde afmol n fremfor en masse mtot af materiale, hvor molarmassenM s er massenpr. mol for et givent materiale, sledes masse kan opskrive som:

    m = nM

    Tager vi samme formel som til specifik varmekapacitet og indstter voresnye m, s fr vi:

    Q = nMcT

    HvorMc s oftests skrives som C som vi kalder den molre varmekapacitet.Alts bliver formlen:

    Q = nCT

    Q er s her den varmetilfrsel der skal til for at ndre temperaturen af nmol med T Kelvin.

    Den molre varmekapacitet C har s enheden J/molK (i.e. varme pr.mol pr. temperaturndring).

    Reel mling af den molre varmekapacitet (og den specifikke for densags skyld) kan vre enormt svrt at gre eksperimentielt. Vi vil kun kiggep det teoretisk her. Har man frst den ene varmekapacitet, s flger denanden selvflgelig naturligt, da C = Mc, men har man ikke det m manbruge andre metoder.

    Hvis man forsger at mle varmekapaciteten for et fast materiale, s vilman ofte gre det for konstant tryk, sledes det man egentlig mler er denmolre varmekapacitet under konstant tryk CP (og den tilsvarende cp forspecifik varmekapacitet). Dette er ofte nemmest at gre, da man bare kanantage materialet er ved atmosfrisk tryk, hvilket i mange tilflde vil vre

    108

  • sandt for de fleste materialer.

    En gas derimod er svr at holde ved konstant tryk, s derfor holderman i stedet den ved konstant volumen, ved f.eks. at holde gassen i enlukket beholer. Derved mler man i virkeligheden den molre varmekapa-citet ved konstant volumen, CV (ellre cV for den specifikke varmekapacitet).

    For faste stoffer er forskellen mellem CV og CP tilstede men ikke mar-kant, men for gasser er den betydningsfuld. Forskellen mellem disse to kom-mer jeg ind p lidt senere.

    9.2.2 Estimering af molr varmekapacitet vha. kinetisk gasteori

    Det bringer os s videre til en metode hvormed vi kan estimere den molrevarmekapacitet af et molekyle teoretisk - vi kan benytte en gasteori.

    Jeg vil ikke bruge alt for lang tid p at forklare den kinetiske gasteori idette emne, men vil dog sige hovedtrkkene i hvordan man udleder formlenfor tryk og s mere eller mindre bare skrive translatorisk kinetisk energi afn mol af en idealgas og translatorisk kinetisk energi af et gasmolekyle op.

    Det er denne sidste stning for translatorisk kinetisk energi for et gas-molekyle vi skal bruge.

    Hvor en tilstandsligning beskriver sammenhngen mellem forskellige til-standsvariabler, s beskriver en gasteori en molekylr model - alts en modelfor hvordan molekyler fungerer i en gas, hvorfra man s kan udlede tilstands-ligninger til en sdan gasteori.

    En gasteori har ogs stor nytte i forhold til at kunne designe stoffermed forskellige nskede egenskaber, eller forudsige forskellige egenskaber pbaggrund af teoretisk viden om molekylerne.

    Vi skal kigge p den nogenlunde simple kinetiske gasteori, som er enmolekylrmodel for en idealgas.

    AntagelserDen kinetiske gasteori reprsenterer en gas som bestende af et stort antalpartikler der flyver rundt i en lukket beholder. Vi reprsenterer alts mole-kyler som punkter, som jeg ogs tidligere har nvnt.

    Vi har en rkke antagelser i modellen:

    1. En beholder med volumen V indholder et stort antal N af identiskemolekyler, hver med masse m.

    2. Molekylerne opfrer sig som punkt partikler, hvorved deres strrelseer lille sammenlignet med den gennemsnitlige afstand imellem dem og

    109

  • sammenlignet med dimensionerne af beholderen.

    3. Molekylerne er i konstant bevgelse og overholder Newtons bevgel-seslove.

    4. Hver molekyle kolliderer til tider med beholderens vgge, hvor dissekollisioner er perfekt elastiske (i.e. ingen kinetisk energi gr tabt)

    5. Beholderens vgge er perfekt stive, uendeligt massive og bevger sigikke.

    Med disse antagelser p plads kan vi g videre med selve modellen.

    Udledelse af trykformelVi starter med at udlede en formel for trykket. For god ordens skyld skrivervi lige formlen op frst:

    p = FA

    = Nmv2x

    V

    For at udlede denne formel skal vi kigge p hvordan tryk opstr i kassen.Tryk opstr i en gas nr molekylerne kolliderer med omkringliggende lege-mer, i dette tilflde en lukket beholder. Der er alts en direkte sammenhngmellem antallet af kollisioner og trykket det giver.

    Nr en molekyle i kinetisk gasteori kolliderer med vggen vil det vin-kelrette hastighedsvektor-komponent blive flipped, sledes det fr modsatretning men samme magnitude (i.e. kollision med de lodrette vgge giverflipning af x-komponent vx). Dette vises herunder:

    110

  • Mlet er nu at finde antallet af kollisioner pr. enheds tid for et giventareal A af vggen. Herefter kan vi finde den totale impulsndring associeretmed de her kollisioner og fra det udregne den kraft der skal til for at skabedenne impulsndring. Herfra kan vi s udlede en formel for trykket.

    Til at starte med antager vi alle molekyler i gassen har samme magnitu-de af deres x-komponent af hastighed |vx|. Det er som sdan ikke en korrektantagelse, men fint nok for vores udledning her. Vi kan korrigere resultatetbagefter.

    Som sagt har vi, at for hver kollision med vggen vil det vinkelrettehastighedsvektor-komponent blive flipped, hvorved kollisioner med en verti-kal vg flipper hastighedsvektoren fra |vx| til +|vx|.

    Derved har vi en ndring i impuls fra m|vx| til +m|vx| og den samledendring i impuls er derved

    m|vx| (m|vx|) = 2m|vx|

    Hvis en molekyle vil kollidere med et givent vgareal A i lbet af detkorte tidsinterval dt, s m afstanden fra molekylen til vggen, i starten afdt, ikke vre mere end |vx|dt og molekylen skal vre p vej mod vggen.

    S antallet af molekyler der kolliderer med et givent vgareal A i tidendt, svarer til mngden af molekyler i en cylender med baseareal A og lngde|vx|dt, hvor molekylernes hastighedsvektors x-kompoent peger mod vggen.

    Volumen af denne cylinder er s A|vx|dt og antaget antallet af molekylerpr. volumen er uniform, s betyder det antallet af molekyler i cylineren er:(

    N

    V

    )(A|vx|dt)

    I gennemsnit vil halvdelen af disse til enhver tid have retning mod vggen,s antallet af kollisioner med A i tidsrummet dt er:

    12

    (N

    V

    )(A|vx|dt)

    Vi viste fr, at en kollision betyder 2m|vx| impulsndring, s den samledeimpulsndring for kollisionerne i cylinderen er:

    dPx =12

    (N

    V

    )(A|vx|dt)(2m|vx|)

    = NAmv2xdt

    V

    Tager vi herefter ndringen af impuls over tid, s fr vi:

    dPxdt

    = NAmv2x

    V

    111

  • Iflge Newtons 2. lov svarer ndringen i impuls til kraften der udves afvgarealet A p molekylerne. Ved Newtons 3. lov har vi s, at der m vreen modsatrettede og lige stor kraft den anden vej, hvilket er den kraft mo-lekylerne udver p vgarealet A.

    Da tryk er er magnituden af den kraft der udves p vggen pr. enhedsareal, s fr vi at trykket er:

    p = FA

    = Nmv2x

    V

    Trykket p afhnger alts af antallet af molekyler pr. volumen (N/V ), mas-sen af molekylet og hastigheden af molekylerne.

    Korrektion for hastighedsantagelseSom nvnt fr, s var det en ukorrekt antagelse at sige hastigheden af allemolekyler i x-komponentet var |vx|. Vi kunne dog have rettet det ved atsamle alle molekyler med samme x-komponent magnitude |vx| i grupper ogs udregnet de enkelte deles bidrag til trykket.

    Resultatet af dette er dog bare at erstatte |vx|2 med |vx|2av i formlen fortrykket.

    Grundet vores model, s kan vi dog antage de enkelte komponenter afhastighedsvektoren er det samme. Hvis vi vil udregne hastigheden af enmolekyle, s udregner vi blot:

    v2 = v2x + v2y + v2z

    hvor vi kan tage gennemsnittet heraf over alle molekyler:

    (v2)av = (v2x)av + (v2y)av + (v2z)av

    Og da de er de samme betyder det, at:

    (v2x)av =13(v

    2)av

    Med den ndring bliver trykformlen ovenfor til:

    p =13Nm(v

    2)avV

    Energi i kinetisk gasteori Vi kigger nu p energien i den kinetiske ga-steori.

    112

  • Kinetisk energi af n mol af en ideal gas

    Fra udtrykket for tryk kan vi s finde et udtryk for den gennemsnitligetranslatoriske kinetiske energi af n mol af ideal gas.

    Vi starter med:

    p =13Nm(v

    2)avV

    som er trykformlen med hastighedskorrektionen.Denne kan vi s skrive om til:

    pV = 13Nm(v2)av =

    23N

    [m(v2)av

    ]Det sidste led i klammerne ligner nu mistnkeligt meget den translatoriskekinetiske energi af et enkelt molekyle og N er antallet af molekyler. Dervedfr vi at ovenstende bliver

    pV = 23Ktr

    Hvis vi nu sammenligner dette med idealgasligningen, s havde vi derpV = nRT . For at de to formler er i overensstemmelse m den gennemsnit-lige translatoriske kinetiske energi af n mol af ideal gas sledes vre:

    Ktr =32nRT

    Vi kan alts se her, at den kinetiske energi er direkte proportional til tem-peraturen T

    Kinetisk energi af en molekyleFra ovenstende kan man ogs finde den kinetiske energi af et molekyle, hvorjeg dog ikke har tnkt mig at gre dette. I stedet skrives blot resultatet:

    KtrN

    = 12m(v2)av =

    32kT

    hvor k er Boltzmanns konstant, som er konstant for alle stoffer.

    Alts kan vi se den gennemsnitlige translatoriske kinetiske energi af etmolekyle kun afhnger af temperaturen og ikke at hverken volumen, masse,typen af molekyle e.lign.

    113

  • Estimering af molr varmekapacitetNu vi har kigget p den kinetiske gasteori, s kan vi se hvad sdan den reeltkan bruges til.

    Vha. den kinetiske gasteori kan vi forsge at forudsige molar varmeka-paciteten, med konstant volumen, af et materiale CV .

    Vi starter med at kigge p udtrykket for en translatoriske kinetiske energiovenfor, nemlig:

    Ktr =32nRT

    Ved en lille hvelse af temperaturen dT her, vil vi alts se en lille hvelseaf den kinetiske energi dKtr, sledes:

    dKtr =32nRdT

    Fra definitionen af molar varmekapacitet har vi desuden et udtryk for dQmed temperaturndring dT :

    dQ = nCV dT

    hvor dQ er den varmeenergi der skal til for at ndre temperaturen dT . Shvis Ktr reprsenterer den samlede molekylre energi (som den simple ki-netisk gasteori antager), s skal dQ og dKtr vre lig med hinanden, hvorvedvi kan skrive dem op og isolere CV :

    nCV dT =32nRdT

    CV =32R

    Alts skulle den molare varmekapacitet ved konstant volumen, iflge denkinetiske gasteori, vre lig med 32R for alle gasser der kan reprsenteressom punkter.

    Frihedsgrader

    Resultatet ovenfor er forbavsende spot on nr det kommer til monoa-tomare gasser, alts gasser hvor atomer ikke er bundet til hinanden. Menved diatomare gasser (i.e. 2 atomer er bundet til hinanden) og polyatomaregasser (i.e. adskillige atomer er bundet til hinanden), er det langt fra.

    Dette skyldes at diatomer og polyatomer har flere frihedsgrader, sledesde har flere komponenter der spiller ind i deres kinetiske energi. Det vre sigf.eks. kinetiske energi ved rotation (i.e. fordi atomer kan rotere om hinanden

    114

  • i et molekyle) og vibration imellem dem.

    Mngden af frihedsgrader svarer til antallet af de komponenter der skaltil at for at forklare en molekyles bevgelse fuldstndig.

    Konceptet der er i spil her hedder Equipartition of Energy (obs: hvisder findes en oversttelse kunne jeg ikke finde den). Konceptet siger, at forhver komponent af bevgelse, er der en associeret kinetisk energi af 12kT ,hvor k er Boltzmanns konstant.

    For et monoatomer molekyle er det derved 3 frihedsgrader (de 3 x,yog z komponenter af hastighedsvektoren), for diatomare molekyler kommeryderligere to med for rotation og for polyatomare molekyler kommer deryderligere 2 igen for polyatomere pga. vibrationen. Derved fr vi flgendemolare varmekapaciteter jvf. Equipartition of Energy:

    CV =32R (monoatomar)

    CV =52R (diatomar)

    CV =72R (polyatomar)

    Den molare varmekapacitet er dog varmeafhngig, sledes der for visse mo-lekyler vil opst flere frihedsgrader som temperaturen stiger. Dette koncepter illustreret ved grafen herunder der plotter CV overfor T for hydrogen gasH2. Vibration kan sledes ogs bidrage til energien for diatomare gasser,sfremt temperaturen bare er hj nok.

    115

  • Dulong og Petits regel

    Hvis vi nu ikke har at gre med en gas, men derimod et fast stof, s ved vihvert atom er bundet til hinanden i og omkring deres ligevgtsposition. Mankan se det som at der er fjedre imellem hvert atom i et molekyle og atomernes kan vibrere omkring dette ligevgtspunkt. Dette illustreres nedenfor:

    Hvert atom har s 3 frihedsgrader (grundet de 3 komponenter af deres ha-stighedsvektorer). Iflge Equipartition of Energy reglen, s betyder det dehver isr har kinetisk energi 13kT hvor k er Boltzmanns konstant.

    Udover dette har de dog ogs potentiel energi fra deres elastiske deforma-tion, som er lig med deres kinetiske energi, da vibrationrene tilnrmelsesviser en harmonisk bevgelse (i.e. den gennemsnitlige kinetiske energi i et atomer lig med den gennemsnitlige potentielle energi).

    Derved kan vi forvente at hvert atom har gennemsnitlig 32kT kinetiskenergi og gennemsnitlig 32kT potentiel energi, hvorved den samlede energier 3kT pr atom.

    Det leder derved til en molr varmekapacitet p:

    CV = 3R

    Hvilket numerisk er:

    CV = 3(8.314J/mol K) = 24.9J/mol K

    Hvilket glder for et ideelt monoatomart fast stof (f.eks. Aluminium, Blyosv... men ikke f.eks. Stl), antaget temperaturen er hj nok.

    Dette kaldes ogs for Dulong og Petits regel. Ved lave temperaturer vilEquipartition of Energy ikke glde, hvorved den molre varmekapacitet ervsentligt lavere. For alle monoatomere stoffer glder Dulong og Petits regeldog hvis temperaturen blot er hj nok, som denne graf herunder illusterer:

    116

  • 9.2.3 Varmekapacitet af en idealgas

    Det bringer os s videre til den sidste del her, hvor jeg vil tale om varmeka-pacitet af en idealgas.

    Termodynamikkens 1. hovedstning (kort)For at kunne tale om varmekapaciteten i en idealgas, samt forholdet mellemCV og CP , s skal vi frst lige kigge p nogle principper i Termodynamikkens1. hovedstning.

    Et termodynamisk systemEt termodynamisk system er enhver samling af objekter der er relevante atopfatte som vrende et system og som har potentiale til at udveksle energimed sine omgivelser.

    Et system i denne forstand skal alts kunne omtales som en enhed, s-ledes den kan have en tilstand eller state. Derved kan vi beskrive systemetvha. tilstandsvariabler og sammenhngen mellem disse vha. en tilstandslig-ning.

    En proces der ndrer denne tilstand kalder vi s for en termodynamiskproces.

    Arbejde og VarmestrmEnergirelationerne i enhver termodynamisk proces omtaler vi s som en var-memngde Q som tilfres til eller fjernes fra et system og en arbejdsmngdeW som laves af eller p systemet.

    Hvis varmemngden Q er positiv er det varme ind i systemet og hvisden er negativ er det ud af systemet (0 betyder selvflgelig ligevgt). Hvis

    117

  • arbejdsmngden W er positiv betyder det arbejde udfrt af systemet pomgivelserne og hvis den er negativ betyder det arbejde udfrt p systemet(f.eks. hvis en gas bliver kompresset af dens omgivelser).

    Konceptet vises herunder:

    Fortegnet for W er i dette tilflde anderledes end for mekanik, hvorW var mngden af arbejde udfrt p legemet fra andre krafter, hvormedpositiv W var det vi ser som negativ W her. Det er dog konventionen fortermodynamik, s det er den vi flger.

    Indre energi og Termodynamikkens 1. hovedstning

    Siden alle materialer bester af atomer og molekyler, og hver af dissehar en kinetisk energi og en potentiel energi defineret for dem, s kan videfinere den indre energi af et termodynamisk system som vrende summenaf den kinetiske energi for alle partikler heri, samt summen for den potentielleenergi af alle partikler heri.

    Dette glder dog kun potentielle energier der rent faktisk opstr somflger af interaktion mellem systemet og dets omgivelser, og ikke f.eks. gravi-tationel potentiel energi.

    Vi bruger symbolet U for indre energi og en ndring af tilstanden foret system kan s ske at ndre den indre energi fra en startvrdi U1 til enslutvrdi U2 hvorved ndringen i indre energi er: U = U2 U1

    118

  • Selvom at summere over kinetisk og potentiel energi er den rigtige, ellermest virklighedsnre, mde at tlle indre energi op p, s er de dog ikkeen srlig operationel mde. Af den grund definerer man i stedet den indreenergi som forskellen mellem varmemnden Q og arbejdet W , sledes vi frsammenhngen vi kalder termodynamikkens 1. hovedstning:

    U = QW

    Som vi s til tider hellere vil arbejde med som:

    Q = U +W

    Vi fr alts en konstruktion hvor det at tilfje varmeenergiQ til et systemforger dets indre energi med U og det at udfre arbejde W formindskerden indre energi med U .

    Eksempler p dette vises for 3 systemer herunder:

    Sprgsmlet er s nu, om vi vha. indre energi har lst problemet medflere stier til samme tilstande. Det kan vi ikke umiddelbart svare p teoretisk,men eksperimentielt nvner bogen at alle resultater p dette har vret klareog utvetydige:

    Indre energi U = Q W er sti-uafhngig. ndrin-gen i indre energi af et system i lbet af en termody-namisk proces afhnger udelukkende af den initielle ogden endelige tilstand, ikke af stien imellem dem.

    Idealgas: Indre energi afhnger kun af T

    Da vi kigger p idealgasser her, s skal vi ogs bruge en observation ang.indre energi i idealgasser.

    For idealgasser glder der nemlig den sammenhng, at den interne ener-gi U kun afhnger af temperaturen og ikke af hverken volumen eller tryk.

    119

  • Vi kan argumentere for dette faktum vha. et eksempel. Kigger vi p etfri ekspansion eksperiment, s har vi en termisk isoleret beholder med stivevgge og hvor beholderen er delt op i to dele vha. en partition.

    Et af disse kamre har s en idealgas og den anden er lavet om til etvacuum.

    Nr denne partition brydes vil gassen udvide sig for at fylde begge kamre.Denne udvidelse udfrer intet arbejde da udvidelsen ikke flytter p vggeneog der sker ingen varmefring igennem isoleringen.

    S bde Q ogW er 0 og den indre energi U er derved konstant. Konceptetvises herunder:

    Indtil videre er ovenstende gldende for alle materialer, ikke blot gasser.Ser vi p temperaturndringen, s kan vi overveje hvorvidt en fri-ekspansionsom ovenstende resulterer i en temperaturndring? Vi kan sledes opskrivekonsekvenserne herunder:

    Ja: Hvis en fri-ekspansion resulterer i en temperaturndring, alt imens denindre energi forbliver den samme, s m det betyde den interne energiafhnger af bde temperatur og tryk, eller temperatur og volumen,men helt sikkert ikke temperatur alene.

    Nej: Hvis en fri-ekspansion derimod ikke resulterer i en temperaturndring,s ved vi den indre energi U kun afhnger af temperaturen T , da Uholdes konstant til trods for p og V alt imens ndrer sig.

    Eksperimenter har undersgt det her for lav-densitets gasser og derestemperatur ndrede sig ikke! Sdan en gas er grundlggende en idealgas,hvorved vi kan konstatere generelt for idealgasser:

    Den indre energi U af en idealgas afhnger udeluk-kende af dens temperatur T og ikke dens tryk p ellervolumen V

    OBS: For ikke-idealgasser vil en fri-ekspansion ofte resulterer i et faldi temperatur til trods for konstant indre energi U . Det skyldes at U ikkeblot afhnger af temperatur her. Det er tydeligt hvis du ser p atomer i

    120

  • en gas, da deres interne energi er summen af potentiel energi og kinetiskenergi. Nr gassen udvider sig forges afstanden mellem atomer, hvorvedden potentielle energi forges. Men fordi den indre energi ikke m ndresig, s m den kinetiske energi falde, og den kinetiske energi har direktesammenhng til temperaturen af en gas.

    Forskellen mellem CV og CPSom jeg sagde under gennemgangen af molr varmekapacitet, s har vi 2eksperimentielle mder at mle varmekapacitet p. Vi kan mle varmekapa-citeten ved konstant volumen, sledes vi finder den molre varmekapacitetved konstant volumen CV , eller vi kan mle varmekapaciteten ved konstanttryk, sledes vi finder den molre varmekapacitet ved konstant tryk CP .

    At forsge at finde CV giver mest mening for gasser (i.e. det er nemt atplacere gassen i en beholder og p den mde begrnse volumen), hvor atfinde CP giver mest mening for faste stoffer (i.e. det er nemt at styre trykketved faste stoffer).

    Vi forestiller os nu CV og CP for en idealgas.For at mle CV ville vi hve temperaturen af en ideal gas imens den

    var i en stiv container med konstant volumen (note: vi ignorerer alts ter-misk expansion af containeren). For at mle CP derimod ville vi lade engassen udvide sig lige akkurat nok for at holde trykket konstant med tem-peraturstigningen.

    Disse to CV og CP er nu forskellige grundet Termodynamikkens 1. hoved-stning. I en konstant-volumen temperaturstigning udfrer systemet intetarbejde W og ndringen i indre energi er derved U = Q.

    I en konstant-tryk temperaturstigning derimod udfrer systemet et ar-bejde nr volumen bliver forget, ellers kunne trykket ikke forblive konstant,grundet idealgaslignigen p = nRT/V . Iflge Termodynamikkens 1. hoved-stning betyder det, at varmemngden Q bliver:

    Q = U +W

    Da indre energi i en idealgas udelukkende afhnger af temperaturen T , svil en given stigning i temperatur resulterer i den samme stigning i indreenergi U uanset proces.

    Derved kan vi se, at CP varmekapaciteten m vre strre end CV var-mekapaciteten, da der skal bruges ekstra energi for at lave arbejdet W derskal bruges til udvidelsen.

    Vi har alts at CP > CV .

    121

  • Dette koncept vises ogs herunder som et pV-diagram, hvor vi tydeligtkan se begge nr til samme sluttemperatur T2 og slut indre energi U2, menCP processen skal bruge mere varmeenergi for at n dertil pga. arbejdet W :

    OBS: En undtagelse hertil er hvis W er negativt (f.eks. ved vand mellem0 og 4 grader Celcius, hvor volumen formindskes ved opvarmning). I dettilflde er CP < CV . Men generelt forges volumen ved opvarmning, hvorvedCP > CV glder for det meste.

    Udledning af sammenhngen mellem CV og CPS vi ved nu at CP > CV , men kan vi se noget mere prcist om hvor megetstrre. Det viser sig, at det kan vi sagtens.

    Vi starter med at kigge p konstant volumen tilfldet CV .Vi placerer n mol af en idealgas ved temperatur T i en konstant-volumen

    container.Vi stter den herefter i termisk kontakt med et varmere legeme.En infinitesimal mngde varme dQ vil herefter flyde ind i gassen og dens

    temperatur stiger med en infinitesimal mngde dT .Vi har desuden definitionen p molr varmekapacitet ved konstant vo-

    lumen, som siger:

    dQ = nCV dT

    Vi ved s processen her hver trykket af gassen, men gassen udfrerintet arbejde (dW = 0) fordi volumen er konstant.

    Termodynamikkens 1. hovedstning i differentialform er s:

    dQ = dU + dW

    Siden vi ved dW = 0, s bliver dQ = dU og vi kan nu omskrive formlen formolr varmekapacitet til:

    dU = nCV dT

    122

  • Hvis vi s nu kigger p konstant tryk situationen med CP og med sammetemperaturndring dT , s placerer vi den samme gas i en cylinder medet stempel sledes vi kan regulerer den lbende akkurat nok til at holdekonstant tryk nr gassen udvider sig.

    Endnu engang stter vi denne i kontakt med et varmere legeme og nrvarme strmmer ind i gassen vil gassen udvide sig ved konstant tryk oggassen udfrer et arbejde.

    Ved definitionen af CP har vi at molr varmekapacitet for konstant tryker:

    dQ = nCPdT

    Arbejdet der udfres for at udvide gassen er s dW = pdV .Dette arbejde kan vi ogs udtrykke i form af idealgasligningen pV =

    nRT , men fordi p er konstant s er ndringen i V proportional til ndringeni T , s vi kan skrive:

    dW = pdV = nRdT

    Vi har nu vrdier for dW , dU og dQ, s vi indstter dem i Termodyna-mikkens 1. hovedstning:

    dQ = dU + dWnCPdT = nCV dT + nRdT

    Her er det vigtigt at pointere, at vi kun kan indstte dU = nCV dT fordiden indre energi af en idealgas kun afhnger af temperaturen uanset proces.Normalvis ville vi ikke kunne da CV er molr varmekapaciteten for konstantvolumen, og volumen er ikke konstant her.

    Tager vi nu det sidste udtryk her og dividerer hvert led med ndT , s frvi:

    CP = CV +R

    Alts er CP strre end CV med prcis konstanten R, sfremt vi taler omidealgasser.

    Det skal siges denne sammenhng ikke glder generelt, da ikke alt kanbetegnes som en idealgas, men selv ved mange normale gasser er det en finapproksimation, der kun giver nogle f procents afvigelse fra realiteten.

    123

  • Forholdet mellem CV og CP ()

    Sidst men ikke mindst kan man definere forholdet mellem CV og CP somforholdet mellem varmekapaciteter, som vi skriver som gamma ():

    = CPCV

    Ligesom man kan forudsige vrdier for CV og CP , s kan man ogsforudsige vrdier for , som f.eks. for en ideal monoatomar gas med CV =32R:

    CP = CV +R =32R+R =

    52R

    Hvorved bliver:

    = CPCV

    =52R32R

    = 53 = 1.67

    Hvilket passer med tabelvrdier for . Noget estimeringen for en diatomarversion ogs gr ( = 1.40)

    124

  • 10 Termodynamikkens frste hovedstning, ter-modynamiske processer

    10.1 Disposition

    1. Et termodynamisk system

    2. Arbejde og Varmestrm Udledning af arbejde i volumenndring Visualisering af arbejde i pV-diagrammer Veje mellem termodynamiske tilstande

    3. Indre energi & Termodynamikkens 1. hovedstning Indre energi og 1. hovedstning Cykliske processer og isolerede systemer

    4. Termodynamiske processer Den adiabatiske proces Den isochore proces Den isotermiske proces Den isobare proces

    5. Termodynamik og idealgasser Idealgas: Indre energi afhnger kun af T Forskellen mellem CV og CP . Sammenhngen mellem CV og CP (resultat) Forholdet mellem CV og CP () Den adiatiske proces for en idealgas Udledning af sammenhng mellem V og T

    10.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    10.2.1 Termodynamikkens 1. hovedstning

    Dette emner handler om en af de fundamentale stninger i termodynamik-ken, nemlig Termodynamikkens 1. hovedstning. Der er ogs en Termody-namikkens 0. hovedstning, men det vil vi ikke gennemg noget om her -det kan der findes noget om tidligere i dispositionerne.

    125

  • Et termodynamisk systemEt termodynamisk system er enhver samling af objekter der er relevante atopfatte som vrende et system og som har potentiale til at udveksle energimed sine omgivelser.

    Et system i denne forstand skal alts kunne omtales som en enhed, s-ledes den kan have en tilstand eller state. Derved kan vi beskrive systemetvha. tilstandsvariabler og sammenhngen mellem disse vha. en tilstandslig-ning.

    En proces der ndrer denne tilstand kalder vi s for en termodynamiskproces.

    Arbejde og VarmestrmEnergirelationerne i enhver termodynamisk proces omtaler vi s som en var-memngde Q som tilfres til eller fjernes fra et system og en arbejdsmngdeW som laves af eller p systemet.

    Hvis varmemngden Q er positiv er det varme ind i systemet og hvisden er negativ er det ud af systemet (0 betyder selvflgelig ligevgt). Hvisarbejdsmngden W er positiv betyder det arbejde udfrt af systemet pomgivelserne og hvis den er negativ betyder det arbejde udfrt p systemet(f.eks. hvis en gas bliver kompresset af dens omgivelser).

    Konceptet vises herunder:

    Fortegnet for W er i dette tilflde anderledes end for mekanik, hvorW var mngden af arbejde udfrt p legemet fra andre krafter, hvormed

    126

  • positiv W var det vi ser som negativ W her. Det er dog konventionen fortermodynamik, s det er den vi flger.

    Udledning af arbejde i volumenndring Vi kan s nu udlede et ud-tryk for mngden af arbejde der skal til for at udfre en ndring af volumeni en cylinder med et stempel, som vist herunder:

    Som vi kan se har cylinderen et tvrsnitsareal p A hvorved kraften derudves p dette areal er F = pA. Nr stemplet s rykkes en infinitesimaldistance dx, s udfres flgende infinitesimale mngde arbejde:

    dW = Fdx = pAdx

    Men da Adx er volumen af denne forgelse, s kan vi ogs skrive dette omtil:

    dW = pdV

    I en ndring af volumen fra V1 til V2 giver det s flgende udtryk for arbejdetW :

    W = V2V1

    pdV

    Hvorved vi skal have et udtryk for trykket p, da trykket typisk kan variere.

    Hvis trykket holdes konstant bliver udtrykket for W i stedet til:

    W = p(V2 V2)

    Visualisering af arbejde i pV-diagrammer

    Arbejdet W kan ogs visualiseres i et pV-diagram ved at notere start ogslut tryk p en isoterm, samt start og slut volumen. Herefter vil arbejdet Wvre arealet under kurven.

    Tre eksempler vises herunder:

    127

  • Alt afhngig om det er en volumen udvidelse eller kompression, s vilarealet enten vre henholdsvis positivt eller negativt.

    Veje mellem termodynamiske tilstandeNr et termodynamisk system skifter tilstand, s gr den det ligesom vis ved pV-diagrammerne for arbejde, simpelthen ved at skifte til en andenposition p den isoterm (eller p en anden isoterm).

    Men man kunne s sprge sig selv, har den vej man tager igennem til-standende betydning for mngden af arbejdeW og varmemngden Q? Hvisman kigger p nedenstende eksempel, s har vi en situation hvor vi nskerat g fra tilstand 1 til tilstand 2

    Der er s 3 mder vi kan gre det p her, startende fra tilstande 1 med trykp1 og volumen V1 og gende mod tilstand 2 med tryk p2 og volumen V2:

    1. Vi kunne holde trykket p1 konstant imens vi udvider systemets vo-lumen til V2 sledes vi ville vre ved tilstand 3, hvorefter vi holdervolumen V2 konstant imens vi snker trykket (sandsynligvis ved atsnke temperaturen) indtil vi nr til tilstand 2.At gre det p den mde ville give arealet under kurven i arbejde W :

    128

  • 2. Vi kunne ogs gre det ved at snke trykket fra p1 til p2 (igen sand-synligvis ved at snke temperaturen) og s lade systemet udvide sinvolumen indtil vi nr tilstand 2 med volumen V2. S ville arbejde Wvre volumen under den mindre vandrette kurve.

    3. En sidste mulighed var at snke tryk og volumen simultant, for dervedat tage den kurvede rute. Det ville s give arbejde W svarende tilarealet under den kurve.

    Vi kan alts se mngden af arbejde W afhnger meget af hvilken rutevi tager, hvorved vi m konkludere, at det ikke giver mening at tale omarbejde W som en tilstandsvariabel, ligesom det ikke giver mening at taleom varmemngde Q p den mde.

    129

  • I stedet definerer vi noget kaldet den indre energi af et termodynamisksystem.

    Indre energi og 1. hovedstning

    Siden alle materialer bester af atomer og molekyler, og hver af dissehar en kinetisk energi og en potentiel energi defineret for dem, s kan videfinere den indre energi af et termodynamisk system som vrende summenaf den kinetiske energi for alle partikler heri, samt summen for den potentielleenergi af alle partikler heri.

    Dette glder dog kun potentielle energier der rent faktisk opstr somflger af interaktion mellem systemet og dets omgivelser, og ikke f.eks. gravi-tationel potentiel energi.

    Vi bruger symbolet U for indre energi og en ndring af tilstanden foret system kan s ske at ndre den indre energi fra en startvrdi U1 til enslutvrdi U2 hvorved ndringen i indre energi er: U = U2 U1

    Selvom at summere over kinetisk og potentiel energi er den rigtige, ellermest virklighedsnre, mde at tlle indre energi op p, s er de dog ikkeen srlig operationel mde. Af den grund definerer man i stedet den indreenergi som forskellen mellem varmemnden Q og arbejdet W , sledes vi frsammenhngen vi kalder termodynamikkens 1. hovedstning:

    U = QW

    Som vi s til tider hellere vil arbejde med som:

    Q = U +W

    Vi fr alts en konstruktion hvor det at tilfje varmeenergiQ til et systemforger dets indre energi med U og det at udfre arbejde W formindskerden indre energi med U .

    Eksempler p dette vises for 3 systemer herunder:

    130

  • Sprgsmlet er s nu, om vi vha. indre energi har lst problemet medflere stier til samme tilstande. Det kan vi ikke umiddelbart svare p teoretisk,men eksperimentielt nvner bogen at alle resultater p dette har vret klareog utvetydige:

    Indre energi U = Q W er sti-uafhngig. ndrin-gen i indre energi af et system i lbet af en termody-namisk proces afhnger udelukkende af den initielle ogden endelige tilstand, ikke af stien imellem dem.

    Cykliske processer og isolerede systemerTo special cases for Termodynamikkens 1. hovedstning er lige vrd atnvne.

    Cykliske processer: En proces er cyklisk hvis den fr eller siden ledertilbage til dens initielle tilstand, hvorved den har skabt en loop.Da sluttilstanden er den samme som den initielle tilstand, s m densamlede ndring i indre energi vre nul, i.e. U = 0. Ergo glder der,at U1 = U2 og at Q = W - alts skal alt arbejde udfrt kompenseresfor vha. varmeenergi ind i systemet.

    Isolerede systemer: Et isoleret system er et der udver intet arbejde pdets omgivelser og som har ingen varmestrm til eller fra sine omgivel-ser. For enhver proces i et isoleret system glder der s, atW = Q = 0og derved at U2 = U1 = U = 0 - alts kan man sige at den indreenergi i et isoleret system er konstant.

    10.2.2 Termodynamiske processer

    Der er overordnet 4 forskellige typer processer i termodynamikken: Adiabati-ske processer, isochore processer, isotermiske processer og isobare processer.

    Et hurtigt overblik over de forskellige processer og hvordan de skifterfase er herunder i form af et pV-diagram for en konstant mngde ideal gas:

    131

  • Stien hver proces flger hedder henholdsvis en adiabat, en isochor, en isobarog en isoterm.

    Adiabatisk processerEn adiabatisk proces kan blive opsummeret hurtigt som en ingen varmeproces, da processen ikke kan tilfre eller fjerne varmeenergi fra et system.Alts er Q = 0.

    Man kan opn dette i praksis ved enten at isolere systemet s processerp det sker tilnrmelsesvist adiabatisk eller ved at udfre processen over skort tid at hvad varmeoverfrsel der mtte vre er negligjerbar.

    For alle adiabatiske processer glder der alts (grundet termodynamik-kens 1. hovedstning):

    U = W

    Nr et system udvider sig adiabatisk er W positiv hvorved den indre energiformindskes, hvor det modsatte sker hvis W er negativ ved kompression.

    Man kan vise at en adiabatisk proces i en idealgas altid vil hve tempe-raturen hvis den kompresser systemet og altid vil snke temperaturen hvisden udvider systemet. Det bevis vil jeg kigge p senere.

    Man kan se en adiabatisk proces p et pV-diagram som den der altidvandrer fra isoterm til isoterm, sledes dens kurve altid er stejlere end iso-termerne den krydser med.

    Isochore processer

    En isochorisk proces kan hurtigt opsummeres som konstant volumenprocessen. Som navnet antyder s er det en proces hvor volumen holdes

    132

  • konstant, hvorved der ikke kan udfres noget arbejde - i.e. W = 0. Dervedfr vi for Termodynamikkens 1. hovedstning:

    U = Q

    Ved en isochorisk proces gemmes alt tilfrt varmeenergi alts som indreenergi.

    Et eksempel p en isochorisk proces er det at varme en gas i en konstant-volumen beholder.

    Da en isochor proces har konstant volumen, s vandrer den kun vertikaltp et pV-diagram, som set ovenfor.

    Isotermiske processer

    En isotermisk proces kan hurtigt opsummeres som konstant tempera-tur processen.

    For at en proces skal vre isoterm skal varmeenergi ind og ud af sy-stemet vandre s langsomt, at termisk ligevgt bibeholdes. Generelt holdesingenting fast i en isotermisk proces og man kan identificere dem p pV-diagrammer som de hyperbler der er plottet for forskellige temperaturer. Enisotermisk proces vandrer alts blot ned af en af disse hyperbler.

    For visse systemer vil man se, at den indre energi afhnger udelukkendeaf temperaturen T og ikke af tryk eller volumen. Det er f.eks. tilfldet foren idealgas, som jeg vil snakke om om lidt.

    Isobare processer

    En isobarisk proces kan hurtigt opsummeres som konstant tryk pro-cessen. Som navnet antyder holdes trykket konstant. Det betyder ikke nogetfor om systmet kan udfre arbejde eller udveksle varmeenergi, men det be-tyder derimod at det bliver vsentligt nemmere at udregne arbejde W , datryk p derved er konstant. S arbejde W udregnes pludseligt som:

    W = p(V2 V1)

    Et eksempel p en isobar proces er det at koge vand ved konstant tryk.

    En isobar proces kan identificeres p et pV-diagram som den der vandrerhorisontalt (den kan ikke vandre vertikalt, da trykket er konstant).

    133

  • 10.2.3 Termodynamik og idealgasser

    Termodynamikkens 1. hovedstning har nogle interessante konsekvenser iforhold til idealgasser og pvirker bl.a. forholdet mellem de molre varme-kapaciteter CP (varmekapacitet ved konstant tryk) og CV (varmekapacitetved konstant volumen).

    Desuden har adiabatiske processer ved idealgaser det konkrete forhold,at en udvidelse af volumen altid resulterer i et temperaturfald og en kom-pression af volumen altid resulterer i en temperaturstigning.

    Vi starter dog med en vigtig detalje omkring den indre energi i en ide-algas.

    Idealgas: Indre energi afhnger kun af T

    Da vi kigger p idealgasser her, s skal vi ogs bruge en observation ang.indre energi i idealgasser.

    For idealgasser glder der nemlig den sammenhng, at den interne ener-gi U kun afhnger af temperaturen og ikke af hverken volumen eller tryk.

    Vi kan argumentere for dette faktum vha. et eksempel. Kigger vi p etfri ekspansion eksperiment, s har vi en termisk isoleret beholder med stivevgge og hvor beholderen er delt op i to dele vha. en partition.

    Et af disse kamre har s en idealgas og den anden er lavet om til etvacuum.

    Nr denne partition brydes vil gassen udvide sig for at fylde begge kamre.Denne udvidelse udfrer intet arbejde da udvidelsen ikke flytter p vggeneog der sker ingen varmefring igennem isoleringen.

    S bde Q ogW er 0 og den indre energi U er derved konstant. Konceptetvises herunder:

    Indtil videre er ovenstende gldende for alle materialer, ikke blot gasser.Ser vi p temperaturndringen, s kan vi overveje hvorvidt en fri-ekspansionsom ovenstende resulterer i en temperaturndring? Vi kan sledes opskrivekonsekvenserne herunder:

    134

  • Ja: Hvis en fri-ekspansion resulterer i en temperaturndring, alt imens denindre energi forbliver den samme, s m det betyde den interne energiafhnger af bde temperatur og tryk, eller temperatur og volumen,men helt sikkert ikke temperatur alene.

    Nej: Hvis en fri-ekspansion derimod ikke resulterer i en temperaturndring,s ved vi den indre energi U kun afhnger af temperaturen T , da Uholdes konstant til trods for p og V alt imens ndrer sig.

    Eksperimenter har undersgt det her for lav-densitets gasser og derestemperatur ndrede sig ikke! Sdan en gas er grundlggende en idealgas,hvorved vi kan konstatere generelt for idealgasser:

    Den indre energi U af en idealgas afhnger udeluk-kende af dens temperatur T og ikke dens tryk p ellervolumen V

    OBS: For ikke-idealgasser vil en fri-ekspansion ofte resulterer i et faldi temperatur til trods for konstant indre energi U . Det skyldes at U ikkeblot afhnger af temperatur her. Det er tydeligt hvis du ser p atomer ien gas, da deres interne energi er summen af potentiel energi og kinetiskenergi. Nr gassen udvider sig forges afstanden mellem atomer, hvorvedden potentielle energi forges. Men fordi den indre energi ikke m ndresig, s m den kinetiske energi falde, og den kinetiske energi har direktesammenhng til temperaturen af en gas.

    Forskellen mellem CV og CPSom jeg sagde under gennemgangen af molr varmekapacitet, s har vi 2eksperimentielle mder at mle varmekapacitet p. Vi kan mle varmekapa-citeten ved konstant volumen, sledes vi finder den molre varmekapacitetved konstant volumen CV , eller vi kan mle varmekapaciteten ved konstanttryk, sledes vi finder den molre varmekapacitet ved konstant tryk CP .

    At forsge at finde CV giver mest mening for gasser (i.e. det er nemt atplacere gassen i en beholder og p den mde begrnse volumen), hvor atfinde CP giver mest mening for faste stoffer (i.e. det er nemt at styre trykketved faste stoffer).

    Vi forestiller os nu CV og CP for en idealgas.For at mle CV ville vi hve temperaturen af en ideal gas imens den

    var i en stiv container med konstant volumen (note: vi ignorerer alts ter-misk expansion af containeren). For at mle CP derimod ville vi lade engassen udvide sig lige akkurat nok for at holde trykket konstant med tem-peraturstigningen.

    135

  • Disse to CV og CP er nu forskellige grundet Termodynamikkens 1. hoved-stning. I en konstant-volumen temperaturstigning udfrer systemet intetarbejde W og ndringen i indre energi er derved U = Q.

    I en konstant-tryk temperaturstigning derimod udfrer systemet et ar-bejde nr volumen bliver forget, ellers kunne trykket ikke forblive konstant,grundet idealgaslignigen p = nRT/V . Iflge Termodynamikkens 1. hoved-stning betyder det, at varmemngden Q bliver:

    Q = U +W

    Da indre energi i en idealgas udelukkende afhnger af temperaturen T , svil en given stigning i temperatur resulterer i den samme stigning i indreenergi U uanset proces.

    Derved kan vi se, at CP varmekapaciteten m vre strre end CV var-mekapaciteten, da der skal bruges ekstra energi for at lave arbejdet W derskal bruges til udvidelsen.

    Vi har alts at CP > CV .

    Dette koncept vises ogs herunder som et pV-diagram, hvor vi tydeligtkan se begge nr til samme sluttemperatur T2 og slut indre energi U2, menCP processen skal bruge mere varmeenergi for at n dertil pga. arbejdet W :

    OBS: En undtagelse hertil er hvis W er negativt (f.eks. ved vand mellem0 og 4 grader Celcius, hvor volumen formindskes ved opvarmning). I dettilflde er CP < CV . Men generelt forges volumen ved opvarmning, hvorvedCP > CV glder for det meste.

    136

  • Udledning af sammenhngen mellem CV og CPS vi ved nu at CP > CV , men kan vi se noget mere prcist om hvor megetstrre. Det viser sig, at det kan vi sagtens.

    Vi starter med at kigge p konstant volumen tilfldet CV .Vi placerer n mol af en idealgas ved temperatur T i en konstant-volumen

    container.Vi stter den herefter i termisk kontakt med et varmere legeme.En infinitesimal mngde varme dQ vil herefter flyde ind i gassen og dens

    temperatur stiger med en infinitesimal mngde dT .Vi har desuden definitionen p molr varmekapacitet ved konstant vo-

    lumen, som siger:

    dQ = nCV dT

    Vi ved s processen her hver trykket af gassen, men gassen udfrerintet arbejde (dW = 0) fordi volumen er konstant.

    Termodynamikkens 1. hovedstning i differentialform er s:

    dQ = dU + dW

    Siden vi ved dW = 0, s bliver dQ = dU og vi kan nu omskrive formlen formolr varmekapacitet til:

    dU = nCV dT

    Hvis vi s nu kigger p konstant tryk situationen med CP og med sammetemperaturndring dT , s placerer vi den samme gas i en cylinder medet stempel sledes vi kan regulerer den lbende akkurat nok til at holdekonstant tryk nr gassen udvider sig.

    Endnu engang stter vi denne i kontakt med et varmere legeme og nrvarme strmmer ind i gassen vil gassen udvide sig ved konstant tryk oggassen udfrer et arbejde.

    Ved definitionen af CP har vi at molr varmekapacitet for konstant tryker:

    dQ = nCPdT

    Arbejdet der udfres for at udvide gassen er s dW = pdV .Dette arbejde kan vi ogs udtrykke i form af idealgasligningen pV =

    nRT , men fordi p er konstant s er ndringen i V proportional til ndringeni T , s vi kan skrive:

    dW = pdV = nRdT

    137

  • Vi har nu vrdier for dW , dU og dQ, s vi indstter dem i Termodyna-mikkens 1. hovedstning:

    dQ = dU + dWnCPdT = nCV dT + nRdT

    Her er det vigtigt at pointere, at vi kun kan indstte dU = nCV dT fordiden indre energi af en idealgas kun afhnger af temperaturen uanset proces.Normalvis ville vi ikke kunne da CV er molr varmekapaciteten for konstantvolumen, og volumen er ikke konstant her.

    Tager vi nu det sidste udtryk her og dividerer hvert led med ndT , s frvi:

    CP = CV +R

    Alts er CP strre end CV med prcis konstanten R, sfremt vi taler omidealgasser.

    Det skal siges denne sammenhng ikke glder generelt, da ikke alt kanbetegnes som en idealgas, men selv ved mange normale gasser er det en finapproksimation, der kun giver nogle f procents afvigelse fra realiteten.

    Forholdet mellem CV og CP ()

    Sidst men ikke mindst kan man definere forholdet mellem CV og CP somforholdet mellem varmekapaciteter, som vi skriver som gamma ():

    = CPCV

    Ligesom man kan forudsige vrdier for CV og CP , s kan man ogsforudsige vrdier for , som f.eks. for en ideal monoatomar gas med CV =32R:

    CP = CV +R =32R+R =

    52R

    Hvorved bliver:

    = CPCV

    =52R32R

    = 53 = 1.67

    Hvilket passer med tabelvrdier for . Noget estimeringen for en diatomarversion ogs gr ( = 1.40)

    138

  • Den adiatiske proces for en idealgas

    Hvis vi nu kigger p hvordan en adiabatisk proces ville fungere i enidealgas, s kan vi observere en rkke ting.

    Frst og fremmest, siden det er en adiabatisk proces, s er varmeud-vekslingen med omgivelser Q = 0. Det er selvflgelig en idealisering, da detikke kan vre tilfldet, men processer kan vre tilnrmelsesvist adiabati-ske hvis et system er meget velisoleret eller hvis processen er s hurtig atvarmeudveksling ikke nr at forekomme i nogen betydelig grad.

    Siden Q = 0, s er ndringen af den indre energi U = W . Nr en gasudvider sig i denne proces, s vil det alts udfre positivt arbejde, som vilbetyde fald i indre energi og derved fald i temperatur. S hvis starttilstandena er p en isotherm i et pV-diagram, s vil sluttilstanden b vre p en lavereisotherm, som vist p nedenstende pV-diagram.

    Ud fra samme logik, vil en kompression af gassen resulterer i negativt ar-bejde W , hvorved ndringen af indre energi U er positiv og temperaturenstiger. I s fald vandrer vi fra en lavere isotherm til en hjere.

    Et eksempel p en adiabatisk proces er nr man bner en colaflaske, svil gassen lige ovenover vsken udvide sig s hurtigt at det er en tilnr-melsesvis adiabatisk proces, hvorved arbejdet W er positivt, ndringen iindre energi U er negativ og temperaturen falder s voldsomt at gassenkondenserer som en lille sky.

    Udledning af sammenhng mellem V og TVi kan udlede en sammenhng mellem volumen V og temperaturen T for en

    139

  • infinitesimal adiabatisk proces i en idealgas, for derved at undersge hvor-dan udvidelse og kompression pvirker temperaturen.

    Vi ved fra tidligere at en idealgas indre energi udelukkende afhnger aftemperaturen, sledes vi kan opskrive en infinitesimal ndring af den indreenergi, uafhngig af proces, som:

    dU = nCV dT

    Derudover har vi, at arbejdet der udfres under processen er dW = pdV ogden indre energi for en adiabatisk proces er dU = dW . Vi har derfor:

    nCV dT = pdV

    Hvis vi nu gerne vil fjerne tryk fra formlen (da vi leder efter sammenhngenmellem V og T ), s kan vi bruge idealgasligningen p = nRT/V og indstte:

    nCV dT = nRT

    VdV

    Rykker vi lidt rundt p det s fr vi:

    dT

    T+ RCV

    dV

    V= 0

    Delen med RCV ovenfor kan s udtrykkes p baggrund af forholdet mellemCV og CP kaldet :

    R

    CV= CP CV

    CV= CPCV 1 = 1

    Indstter vi det ovenfr fr vi s:dT

    T+ ( 1)dV

    V= 0

    Fordi > 1 for alle idealgasser, s betyder at dT og dV altid vil have mod-satte fortegn, hvilket betyder en stigning i temperatur altid vil betyde etfald i volumen, og en stigning i volumen altid vil betyde et fald i temperatur.

    S vi har alts, at dV > 0 (udvidelse) betyder fald i temperatur ogdV < 0 (kompression) betyder stigning i temperatur.

    Vi kan udlede et sammenhng her der er lidt nemmere at arbejde med,ved at integere ovenstende, s vi fr:

    lnT + ( 1) lnV = konstantlnT + lnV 1 = konstant

    ln(TV 1) = konstant

    140

  • Og s fordi logaritmen ikke ndrer p forholdet mellem dem, s fr vi:

    TV 1 = konstant

    For den initielle tilstand 1 og sluttilstand 2 kan vi s opskrive:

    T1V1

    1 = T2V1

    2

    Som glder for adiabatiske processer p en idealgas.

    Man kan ogs g videre og vise at ovenstende til sidst kan laves til enformel for arbejde i en adiabatisk proces med idealgasser. Men det har jegdog ikke tnkt mig. For god ordens skyld ser formlen dog sdan her ud:

    W = nCV (T1 T2)

    141

  • 11 Termodynamikkens anden hovedstning, Carnot-cyklen, entropi.

    11.1 Disposition

    1. Reversible og irreversible processer

    2. Varmemaskinen og dens effektivitet Generelt Effektiviteten

    3. Otto-cyklen Effektiviteten af Otto-cyklen

    4. Klemaskinen og dens effektivitet Generelt Effektiviteten af klemaskinen Eksempel: Kleskab

    5. Entropi Definition af entropi Makroskopisk vs. mikroskopisk syn

    6. Termodynamikkens 2. hovedstning Kelvin-Plancks definition Clausius definition Entropi definitionen

    7. Carnot-cyklen 2 isoterme og 2 adiabatiske Vis pV diagram Effektiviteten af Carnot-cyklen Carnots klemaskine Carnot i forhold til 2. hovedstning

    8. Entropi igen (unfinished) Entropi i en reversibel proces Entropi i en irreversibel proces Entropi i en cyklisk proces

    142

  • 11.2 Detaljer

    Her flger detaljerne for denne givne disposition.

    11.2.1 Reversible og irreversible processer

    Emnet her handler om termodynamikkens 2. hovedstning, som modsat denfrste ikke handler om givne egenskaber ved ting i termodynamikken, menderimod nrmere stter begrnsninger op for hvad der er muligt og hvadder ikke er muligt.

    I vores snak om termodynamikkens 2. hovedstning skal vi frst kiggep konceptet af reversible og irreversible processer.

    En irreversibel proces er alle virkelige processer vi ser i naturen. Strm-men af varme fra et varmt til et koldt omrde er en irreversible proces. Friekspansion af en gas er en irreversibel proces. Friktion fra bevgelser hvorden mekaniske energi omdannes til varme er irreversible.

    Et yderligere eksempel er er en isblok ved 273.16 K vi propper i envarm metalbox. Metalboxen og isen vil udveksle varme indtil de nr termiskligevgt hvorefter de vil stoppe. Denne proces kan ikke g den anden vej,ergo er den ikke reversible.

    Mere eller mindre alle virkelige processer man kan komme i tanke om erirreversible.

    Reversible processer er s lige netop det modsatte. Alts idealiseringervi ikke ser i naturen, men som vi kan skabe vha. ydre pvirkning. Et systemder gennemgr en reversible proces er altid tt p at vre i termodynamiskligevgt med sig selv og omgivelserne, hvor en ndring af tilstanden af etsdan system s kan modvirkes vha. en infinitesimal ndring i tilstanden afsystemet.

    En reversible proces er en idealisering der aldrig reelt kan opns i denvirkelige verden, da ndringer ikke kan ske p et system hvis det er i ter-modynamisk ligevgt. Men hvis vi holder temperatur og trykndringer me-get sm, s kan vi holde systemer tt p termodynamisk ligevgt, hvorvedvi kan lave processerne nsten helt reversible. Reversible processer kaldesogs til tider for ligevgtsprocesser.

    Lg dog mrke til, at store ndringer som fri ekspansion o.lign. ikkekan lses vha. en infinitesimal ndring af tilstanden af systemet, hvorvedsdan en handling altid vil vre irreversibel.

    Et eksempel p en reversible proces kunne igen vre en isblok i en me-talboks ved 273.16 K, hvor metalboksen denne gang har samme temperatur,sledes vi kan forhje eller formindske temperaturen af boksen med en in-

    143

  • finitesimal mngde dT , hvor vi s vil kunne smelte og genfryse vandet vedvarmeoverfrsel til og fra boksen.

    Boks-eksemplerne vises herunder:

    11.2.2 Varmemaskinen og dens effektivitet

    En af de primre ting vi nsker at opn i nutidens verden er skabelsen afmekanisk energi igennem anden energi. F.eks. skabelsen af mekanisk energiigennem en forbrndingsmotor s vi kan kre vores biler, eller skabelsen afenergi igennem atomkraft s vi kan f el.

    En typisk nutidig mde at skabe energi p er ved at forbrnde et ellerandet for derved at skabe mekanisk energi. En maskine der gr dette kaldesen varmemaskine.

    En varmemaskine er enhver maskine der transformerer varme delvist omtil arbejde eller mekanisk energi. Den simpleste form for maskine vi kan ana-lysere er en hvor materialet der arbejdes p gr igennem en cyklisk proces,sledes materialet slutter i samme tilstand som det startede. Et eksempel pdette er en dampturbine hvor vand bruges om og om igen. Et andet eksempeler en forbrndingsmotor, hvor brndstof godt nok ikke bruges igen, menhvor processen konstant bliver gentaget fra samme udgangspunkt, antagettilstrkkelig brndstof.

    Et skematisk energi-flow diagram kan forklare de grundlggende prin-cipper i en varmemaskine, som vist herunder:

    144

  • Vi har alts en proces hvor maskinen absorberer varme QH fra en kilde medrelativ hj temperatur TH , udfrer noget mekanisk arbejde W p det ogafviser en vis varmemngde |QC | til en kilde med lavere temperatur TC .Disse kilder kalder vi typisk for reservoirer. Vi antager disse reservoirers ertilstrkkeligt store til at de ikke ndrer temperatur selvom vi absorbererog giver varme fra/til dem.

    Da en cyklisk varmemaskinen starter og slutter i samme tilstand, s erden initielle og sluttende indre energi den samme. Iflge termodynamikkens1. hovedstning U = QW krves det at enhver cyklisk proces opfylder:

    U = 0 = QW

    Alts skal Q = W .

    Vi har desuden nogle konventioner i forhold varmemngdernes fortegn,hvor vi siger varme vk fra arbejdsomrdet ud i et reservoir er negativ ogvarme ind i arbejdsomrdet fra et reservoir er positiv. For en varmemaskinebetyder det QH er positiv og QC er negativ.

    Disse vrdier QH og QC er mngden af varme absorberet og afvist ilbet af en cyklus, s den resulterende varme pr. cyklus er:

    Q = QH +QC = |QH ] [QC ]

    Som vi omtalte ovenfor, s grundet termodynamikkens 1. hovedstning, ser Q = W for en cyklisk proces, hvorved arbejdet W bliver:

    W = Q = QH +QC = |QH | |QC |

    145

  • Effektiviteten af en varmemaskine

    Optimalt set ville vi selvflgelig gerne lave al varmen fra QH om til arbej-de W , men dette kan vi ikke grundet thermodynamikkens 2. hovedstning,som jeg kommer ind p om lidt.

    Et sdan system ville vre som det flgende, hvor vi bare ignorerer tabettil QC :

    Men vi kan dog forsge at gre maskinen s effektiv som mulig ved atforge de vi kalder den termiske effektivitet e af maskinen. Den termiske ef-fektivitet defineres som mngden af arbejdeW over mngden af absorberetvarme QH :

    e = WQH

    Alts beskriver den termiske effektivtet hvor stor en brkdel af energien errget til reelt arbejde. Denne vrdi er aldrig 1, da ingen maskine kan opn100% effektivtet.

    Indstter vi nu vores vrdier forW i termisk effektivtetsformlen, s kanvi opskrive den termiske effektivtet af en varmemaskine sledes:

    e = WQH

    = QQH

    = 1 + QCQH

    = 1QCQH

    11.2.3 Otto-cyklen

    Otto-cyklen er en idealiseret model der beskriver de termodynamiske pro-cesser i en forbrndingsmotor.

    En forbrndingsmotor fungerer ved at en blanding af luft og benzin-damp bliver frt ind i en cylinder igennem en ventil, imens et stempel inde

    146

  • i cylinderen trkkes nedad fra en startvolumen p V til en slutvolumen prV , hvor r kaldes for kompressionsforholdet, der typisk ligger mellem 8 og10 for moderne motorer.

    Herefter lukkes ventilen og stemplet fres op til volumen V igen, sledesder sker en adiabatisk kompression af gassen i cylinderen. Herefter antn-des gassen vha. et tndrr, hvilket resulterer i en tilnrmelsesvis adiabatiskudvidelse af gassen sledes stemplet ryger ned til rV igen og derved udfrerarbejde. Til sidst fres bnes en udstdningsventil og forbrndingsproduk-terne fres ud herigennem, hvorefter cyklussen starter forfra med nyt intake.

    Hele processen illustreres herunder:

    Otto cyklen er som sagt en idealiseret model p dette, hvor et pV-diagram for modellen vises herunder:

    147

  • Som vi kan se tages blandingen af benzindamp og vand ind ved punkt aog kompresses adiabatisk til punkt b, Varme QH tilfjes herefter til syste-met vha. afbrnding langs bc, hvilket resulterer i en pludselig adiabatiskudvidelse og slagtilflde p stemplet p cd. Gassen bliver herefter nedklettil omkring temperaturen udenfor imellem da, og restprodukterne udsendesherefter igennem udstdningsrret.

    Effektiviteten af Otto-cyklenVi kan udregne effektiviteten af Otto-cyklen ved at observere bc og da erkonstant volumen, sledes QH og QC kan udregnes ud fra Q = nCV T .Alts har vi:

    QH = nCV (Tc Tb)QC = nCV (Ta Td)

    Hvor QH > 0 og QC < 0.Indstter vi nu dem i udtrykket for effektivitet af en varmemaskine, s

    kan vi skrive som flger (vi eliminerer flles faktoren nCV ):

    e = QH +QCQH

    = (nCV (Tc Tb)) + (nCV (Ta Td))(nCV (Tc Tb))= Tc Tb + Ta Td

    Tc TbFor at simplificere det her udtryk yderligere, s kan vi benytte os af volumen-temperatur sammenhngen i en adiabatisk proces for en ideal-gas, som siger:

    T1V1

    1 = T2V1

    2

    Hvilket vi for dette tilflde kan skrive for de to adiabatiske processer ab ogcd sledes med konstant volumen rV i udvidet tilstand og V i sammenpressettilstand:

    Ta(rV )1 = Tb(V )1

    Td(rV )1 = Tc(V )1

    Tar

    1 = TbTdr

    1 = Tc

    De her udtryk for Tc og Tb kan vi s indstte i effektivitetsformlen sledesvi fr:

    e = Tc Tb + Ta TdTc Tb

    = Tdr1 Tar1 + Ta TdTdr1 Tar1

    = (Td Ta)(r1 1)

    (Td Ta)r1

    148

  • Dividerer vi s fllesfaktoren (Td Ta) ud, s fr vi effektiviteten:

    e = 1 1r1

    Som vi kan se er effektiviteten drligere end 1 (obviously), hvor hvisvi indsatte vrdier som r = 8 og = 1.4 (i.e forholdet mellem CV ogCP sledes = CPCV ), s ville vi f en effektivitet p e = 0.56 alts 56%effektivitet.

    Dette viser dog ikke effektiviteten af en forbrndingsmotor i virkelighe-den da Otto-cyklen blankt ignorerer friktion, antager blandingen af luft ogbenzindamp opfrer sig som en idealgas, ignorerer turbulens, tab af varmetil motorens dele og omgivelserne mm. I virkeligheden har de fleste benzin-motorer en effektivitet p ca. 35%. - Og derudover er der affaldsprodukter iform af CO (carbonoxid), som forurene igennem udstdningen.

    Man kunne vre fristet til at forge r for at f bedre effektivitet, meni praksis kan den typisk ikke hves over 10 da det resulterer i s megetsammenpresning af gassen at nr den antndes s eksploderer den fremfor atbrnde jvnt. Derved delgger man moteren nr vi taler en benzinmotor.

    11.2.4 Klemaskinen og dens effektivitet

    Nu vi har kigget p en varmemaskine, s kan vi ogs kigge p det modsattetilflde, nemlig hvor vi forsger at kle noget ned vha. en klemaskine.

    En klemaskine er blot en varmemaskine der arbejder modrettet. Dentager varme fra et koldt sted (typisk inde i et kleskab f.eks.) og giver dettil et varmere sted (typisk luften i rummet hvor klemaskinen str).

    Hvor en varmemaskinen genererer et resulterende output af W arbejde,s krver en klemaskine et input af |W | arbejde (typisk i form af strm fraen stikkontakt e.lign.). S vi har alts for en klemaskine at:

    |QH | = QH|W | = W

    I.e. arbejde og og energi til den varme kilde er negativ fordi det gr ud afsystemet fremfor ind.

    Ud fra termodynamikkens 1. hovedstning for en cyklisk proces kan vis skrive:

    QH +QC W = 0QH = QC W

    149

  • Hvor vi s kan omskrive det absolut til at vre:

    |QH | = QC + |W |

    Alts har vi generelt, at den varme der gives i varme til varmekilden altider strre end den varme vi tager fra QC . Af den grund kan man f.eks. hellerikke kle ens hus ved at holde et kleskab bent, da den ville varme rummetmere end den klte det.

    Et flow-diagram for en klemaskine er herunder:

    Effektiviteten af en klemaskine

    Modsat en varmemaskine s glder det ikke her om at maksimere ar-bejdet W p baggrund af QH . I stedet handler det her om at f s megetvarme fra QC man kan p W arbejde. Forholdet vi nsker at kigge p erderfor |QC |/|W | - jo strre det forhold er, jo mere effektiv en klemaskine.

    Vi kan alts opskrive effektiviteten for en klemaskine sledes:

    K = |QC ||W |

    = |QC ||QH | |QC |

    Et eksempel p en klemaskine er det velkendte kleskab, som der visesen schematic for herunder:

    150

  • Hvor en kompresser tager vsken der netop har opsamlet varme |QC | frakleskabet, stter hjt tryk p det s det bliver vsentligt varmere og be-vger sig langs kondensatoren indtil det nr til ekspansionsventilen hvordets volumen forges kraftigt, hvilket resulterer i en jeblikkelig nedklingsledes det kan g igennem fordamperen i kleskabet igen og tage varme framaterialerne derinde.

    11.2.5 Entropi

    Selvom bogen gr det lidt omvendt, s vil jeg lige hurtigt nvne hvad entropigr ud p konceptuelt, for ordentligt at kunne forklare termodynamikkens2. hovedstning.

    Definitionen p entropiVi kan se entropi som en kvantitativ mde at mle mngden af uorden ellerrandomness i et system p. Hvis man udfrer en given irreversible procesp et system, s vil man derved permanent forge mngden af randomnessi et system.

    Det vre sig f.eks. en fri ekspansion af en gas, hvor molekyler spredes udover et strre omrde, hvilket forger mngdne af uorden i deres positions-bestemmelse. Ligeledes forges entropi ved opvarmning, da et system havdeen sortering af varme og kolde omrder fr opvarmning og efter opvarmninger i termisk ligevgt, hvorved denne sortering forsvinder.

    Makroskopisk vs. mikroskopisk synMan kan se p mngden af entropi fra et makroskopisk og et mikroskopisksyn.

    151

  • For at snakke om det mikroskopisk skal man dog frst tale om makrosko-piske og mikroskopisk tilstande.

    Et eksempel som bogen laver p det er det at kaste N mnter, hvor halv-delen lander med krone og den anden halvdel med plat. Den makroskopisktilstand af system vil du netop beskrive p den mde, netop som N mnterhvor N/2 landede som plat (eller krone).

    Den mikroskopiske tilstand af systemet derimod, taler om tilstanden afenkelte komponenter. Alts at mnt 1 blev krone, mnt 2 blev plat osv.

    Der er altid mange mikroskopisk tilstande der svarer til den samme ma-kroskopiske tilstand. S som for N = 4 mnter, der er der 6 mder hvorpder kan vre et lige antal kroner og plat. Set fra det makroskopiske syns-punkt er det et og det samme, men set fra et mikroskopisk synspunkt forgesmngden af mulige tilstande med en 2N for hver hvelse af N .

    Vi siger sledes at den makroskopiske tilstand af et system er den, forhvilket der svarer til flest mikroskopiske tilstande. I.e. der er flere mikrosko-piske tilstande ved lige antal kroner og plat end ved kun krone (obs: derer kun 1 uanset hvad).

    Da entropi er en kvantitativ mde at mle uorden p, s kan vi sige atjo flere tilstande vi har, jo mere uorden. Derved bliver den makroskopisketilstand altid den for hvilket uorden, i.e. entropi, er strst. Eller sagt sombogen siger det:

    For ethvert system, s er den mest sandsynlige ma-kroskopiske tilstand den for hvilket der eksisterer detstrste antal tilsvarende mikroskopiske tilstande, hvil-ket ogs er den makroskopiske tilstand med den strsteuorden og den strste entropi

    Vi kan ogs opskrive det her matematisk ved at sige w er mngden afmulige mikroskopiske tilstande, hvorved entropien for en given makroskopisktilstand bliver:

    S = k ln(w)

    Hvor k er Boltzmanns konstant.

    Egentlig giver det ikke mening at tale om entropi som et absolut term,men derimod om forskellen mellem start og sluttilstanden mht. entropi. Der-for vil man typiske skrive ovenstende om til:

    S = S2 S1 = k ln(w1) k ln(w2) = k ln(w2w1

    )

    152

  • S forskellen i entropi mellem to systemer er nu forskellen i antal af mi-kroskopiske tilstande.

    Et eksempel p forgelsen af antal mikroskopiske tilstande ses herunderved fri ekspansion:

    11.2.6 Termodynamikkens 2. hovedstning

    Med de her to typer maskiner og grundlggende forstelse for entropi pplads, s bringer det os til selve humlen i det her sprgsml - nemlig Ter-modynamikkens 2. hovedstning. Termodynamikkens 2. hovedstning eregentlig flere stninger i en, da det samme kan siges p flere kvivalentemder.

    Tager vi dem en efter en, s har vi frst Kelvin-Planck definitionen:

    Kelvin-Planck definitionenKelvin-Planck definitionen p termodynamikkens 2. hovedstning siger:

    Det er umuligt for et system at gennemg en proceshvormed den absorberer varme fra et reservoir ved enbestemt temperatur og konverterer dette 100% til meka-nisk energi, hvor systemet slutter i den samme tilstandden startede i

    Alts siger Kevin-Planck definitionen at at alle maskiner har et tab tilomgivelserne og ingen har 100% effektivitet.

    Begrundelsen for hvorfor dette holder generelt er, at skabes energi igen-nem en eller anden proces, s skabes det vha. en organiseret makroskopiskbevgelse, men resultatet er en forgelse af tilfldig bevgelse af moleky-ler i legemet. Vi kan f noget af denne organisation tilbage vha. noget somen varmemaskine, men kun noget af det, da det at f det hele tilbage villebetyde vi kunne g fra en tilstand med mere entropi til en med mindre, i.e.

    153

  • vlge en makroskopisk tilstand der ikke har det strste antal mikroskopisketilstande. Det ved vi, ud fra ovenstende diskussion, at vi ikke kan.

    Clausius definitionEn alternativ definition p termodynamikkens 2. hovedstning fr vi fraClausis, der siger:

    Det er umuligt for en proces at have som dets ene-ste resultat, overfrslen af varme fra et koldere til etvarmere legem

    Clausius definition siger alts at en klemaskine altid vil skulle bruge ek-stern arbejde (strm) for at kunne fungere. Du kan ikke lave en der udenvidere frer varmenergi fra et koldt til et varmt legeme. En sdan idealistiskmaskine kaldes en arbejdsls klemaskine.

    Dette statement er kvivalent til Kelvin-Planck definitionen omend detmske ikke er s direkte tydeligt. Brundelsen ligger i, at vi kan tage denene definition og bruge den andens maskine til at skabe henholdsvis en100% effektiv maskine eller en arbejdsls klemaskine. Konceptet illustreresherunder:

    154

  • Entropy definitionen

    En sidste definition springer ud af konceptet af entropi.Entropi-defitionen siger:

    Nr alle systemer der tager del i en proces inklude-res, s vil entropien enten forblive konstant eller forges

    Eller omformuleret:

    Der findes ingen proces for hvilket den totale entropifalder, nr alle systemkomponenter i processen inklude-res

    Hvilket giver intuitivt mening ud fra vores diskussion om entropi ovenforsamt diskussionen af den frste formulering af termodynamikkens 2. hoved-stning.

    11.2.7 Carnot-cyklen

    Iflge termodynamikkens 2. hovedstning kan vi alts ikke lave en maskineder er 100% effektiv. Men hvor tt p kan man mon komme? Det er der enSadi Carnot der rent faktisk satte sig til at finde ud af for mange er sidenog resultatet var flgende:

    Carnot-cyklen, som den kaldes, bruger udelukkende reversible processer,da det at konvertere arbejde til varme er en irreversible proces og en var-memaskine forsger at konvertere noget af dette tilbage igen. Ved kun atbenytte reversible processer kan der s ideelt set opns strre effektivitet.

    155

  • Varmestrm ved et temperaturfald er en irreversible proces, hvorved var-meoverfrsel i Carnotcyklen kun m finde sted nr systemerne der vil over-fre varme har samme temperatur, i.e. nr Carnotcyklen absorberer varmefra TH reservoiret, s skal moteren allerede vre ved temperatur TH , ogligeledes nr det uderskydende afgives til TC , s skal moteren have tempe-ratur af TC . S alts enhver proces der involverer varmeoverfrsel skal vreisotermisk ved TH eller TC .

    Ligeledes s nr moteren ikke har temperatur TH eller TC s skal hv-ning eller snkning af denne temperatur foreg ved en adiabatisk proces,da den ikke m modtage varme fra noget reservoir.

    Vi har alts at alle processer i en Carnotcykel skal vre reversible ogderved skal alle tilstande ogs vre i termodynamisk og mekanisk ligevgt.

    Cyklens trinVi fokuserer her p en Carnot-cykel der bruger en idealgas i en cylinder medet stempel, omend resultaterne generaliserer udover idealgasser.

    Cyklens trin forklares herunder:

    1. Gassen udvides isotermisk ved temperatur TH ved at absorbere varmefra QH , hvorefter adgangen til TH lukkes.

    2. Gassen udvides yderligere adiabatisk indtil temperaturen TC opns imotoren.

    3. Gassen kompresses isotermisk ved temperatur TC og afgiver varme|QC | til det kolde reservoir, hvorefter adgang til TC lukkes igen.

    4. Gassen kompresses ydereliger adiabatisk tilbage til dens initielle til-stand med temperatur TH .

    Processen vises herunder, sammen med et pV-diagram:

    156

  • Effektiviteten af Carnot-cyklen

    Vi kan udregne effektiviteten af Carnot-cyklen i det specialtilflde atgassen indeni er en idealgas. Vi skal alts finde forholdet QC/QH , for atkunne udregne e. Vi behver alts kun se p de segmenter af processen derinteragerer med reservoirene, alts ab og cd.

    For en idealgas har vi, at den indre energi U udelukkende afhnger aftemperaturen T og ikke af hverken tryk p eller volumen V . Derved vedvi ogs, at U er konstant i enhver isotermisk proces, da temperaturen herholdes konstant. Ergo:

    Isotermiske processer:U = 0Q = W

    Desuden har vi fra en opgave i bogen, at arbejdet for en isotermisk expansionved temperatur TH er:

    W = nRTH ln(VbVa

    )

    Vi kan derved udregne arbejdet i del ab til at vre:

    QH = Wab = nRTH ln(VbVa

    )

    157

  • Og ligeledes for del cd:

    QC = Wcd = nRTC ln(VdVc

    )= nRTC ln

    (VcVd

    )Fordi Vd er mindre end Vc bliver QC negativ (i.e. QC = |QC |).

    Forholdet mellem QH og QC er s:

    QCQH

    = (TCTH

    ) ln(Vc/Vd)ln(Vb/Va)

    Her kan vi igen bruge sammenhngen mellem tempetur og volumen for enadiabatisk proces med en idealgas, alts: T1V 11 = T2V

    12 , hvilket her

    bliver:

    THV1b = TCV

    1c

    THV1a = TCV

    1d

    Dividerer vi den frste af disse med den anden fr vi:

    V 1bV 1a

    = V1c

    V 1d

    VbVa

    = VcVd

    Alts kan vi se at de to logaritmer i vores udtryk er lig med hinanden,hvorved de gr ud og vi fr:

    QCQH

    = TCTH

    Eller:

    |QC ||QH |

    = TCTH

    Vi kan herefter tage dette resultat og indstte i formlen for effektivitet,hvorefter vi fr effektiviteten af Carnots maskine til at vre:

    ecarnot = 1QCQH

    = 1 TCTH = TH TCTHAlts siger dette resultat, at effektiviteten af Carnots maskine afhnger

    af forskellen mellem TH og TC . Jo strre forskel, jo strre effektivitet. Hvordet kunne se ud til man kunne f en effektivitet p 100% ved at stteTC = 0, s kan det dog ikke lade sig gre.

    158

  • Carnots klemaskineFordi ethvert trin af Carnots varmemaskine er reversibel, s kan man blotvende processen om, hvorefter man har en klemaskine.

    Effektiviteten af denne klemaskine kan s findes ved frst at omskriveeffektiviteten K sledes:

    K = |QC ||QH | |QC |

    = |QC |/|QH1 |QC |/|QH |

    Nu kan vi s indstte vores resultat |QC |/|QH | = TC/TH heri og f:

    Kcarnot =TC

    TH TCHer glder det modsat varmemaskinen om at forskellen skal vre lille.

    Jo mindre forskel, jo mere effektiv klemaskine. At det er sdan kommernaturligt af, at man bruger energi p at pumpe vand tilbage igennem syste-met og udvide det s det gres koldt. Jo mindre temperaturforskel der skalbruges, jo mindre kompresser og ekspansionsventil.

    Carnot i forhold til 2. hovedstning

    Carnot-cyklen leder til en reformulering af 2. hovedstning som:

    Ingen maskine kan vre mere effektiv end en Carnotmaskine der arbejder mellem samme to temperaturer

    Denne stning er sand, da vi ellers ville kunne bruge en Carnot klema-skine sammen med en mere effektiv maskine, til at skabe en 100% effektivvarmemaskine.

    Konceptet i dette bevis er vist herunder:

    159

  • Alts tager Carnot klemaskinen negativt arbejde |W | og tager varme fraQC , sender |QH | til det varme reservoir, hvorefter den mere effektive maskinesender |QC | til det kolde reservoir. For at gre dette tager den dog en strremngde varme QH +, hvorved dens output erW +, hvilket i sidste enderesulterer i et overskud af varme der konverteres helt til arbejde.

    Dette bryder med Termodynamikkens 2. hovedstning, hvorved det ik-ke kan lade sig gre. Det omvendte bevis kunne ogs laves for en Carnotklemaskine.

    Carnot-maskinen stter alts en vre teoretiske grnse for effektivitetenaf en varme- og klemaskine.

    160

    Dynamik og energi for rotationel bevgelseDispositionDetaljerRotationel bevgelse - PerspektivKinetisk energi af et stift roterende legemeInertimomentetKraftmomentRotationel analog til Newtons 2. lovKombineret translatorisk og rotationel bevgelseArbejde og effekt

    Impulsmoment og gyroskopetDispositionDetaljerImpulsmomentSammenhng med kraftmomentSamlede strrelse af impulsmoment for et legemeImpulsmomentbevarelseGyroskopet

    Mekanisk ligevgt og elasticitetDispositionDetaljerLigevgtTyngdepunktElasticitetBegrnsninger ved Hookes lov

    Gravitation og planetbevgelseDispositionDetaljerNewtons GravitationslovVgt og vgtlshedGravitationel Potentiel EnergiSorte hullerSatelitbanerKeplers love

    Periodisk bevgelseDispositionDetaljerPeriodiske bevgelserSimpel harmonisk bevgelseEnergien i harmonisk bevgelsePendulerDmpede svingninger

    Fluid mekanikDispositionDetaljerDensitet og TrykDybde og Pascals lovOpdriftFlowTurbulens og viskositetKontinuitetslignignenBernoullis ligningReynolds tal & Poiseuilles lov

    Temperatur, termisk udvidelse, varme og faseovergangeDispositionDetaljerTemperaturTermisk udvidelseVarmeFaseovergange

    Kinetisk gasteori og tilstandsligningerDispositionDetaljerTilstandsligningerIdealgasligningenVan der Waals gasligningpV-diagrammerKinetisk gasteoriUdledelse af trykformelEnergi i kinetisk gasteoriAnvendelse: VarmekapacitetKrafterne mellem to molekylerFaseovergange

    Varmekapacitet for gasser og faste stoffer, CP og CVDispositionDetaljerVarmekapacitetEstimering af molr varmekapacitet vha. kinetisk gasteoriVarmekapacitet af en idealgas

    Termodynamikkens frste hovedstning, termodynamiske processerDispositionDetaljerTermodynamikkens 1. hovedstningTermodynamiske processerTermodynamik og idealgasser

    Termodynamikkens anden hovedstning, Carnot-cyklen, entropi.DispositionDetaljerReversible og irreversible processerVarmemaskinen og dens effektivitetOtto-cyklenKlemaskinen og dens effektivitetEntropiTermodynamikkens 2. hovedstningCarnot-cyklen

Recommended

View more >