Metodo de Resolucion de Ecuaciones Lineales de Gauss-Jordan

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  • nnddiiccee

    Introduccin ............................................................................................ pg. 3

    Mtodo de Eliminacin de Gauss-Jordan Descripcin .......................... pg. 4

    Mtodos numricos para la solucin de Sistemas de

    Ecuaciones Lineales ................................................................................. pg. 4

    Teorema Fundamental de Equivalencia................................................... pg. 5

    Algoritmo de eliminacin gaussiana ........................................................ pg. 5

    Algoritmo de Gauss-Jordan ..................................................................... pg. 6

    Algoritmo de Gauss-Seidel ...................................................................... pg. 7

    La tortuosa Historia del Mtodo de Eliminacin de Gauss

    para resolver Sistemas Lineales ............................................................... pg. 9

    (Biografas)

    Carl Friedrich Gauss ................................................................................. pg. 12

    Wilhelm Jordan ....................................................................................... pg. 15

    Aplicacin Prctica .................................................................................. pg. 17

    Conclusiones ........................................................................................... pg. 21

    Bibliografa .............................................................................................. pg. 22

  • Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales Mtodo Gauss Jordan Pgina 2

    IInnttrroodduucccciinn

    En muchas ramas de la ciencia aplicada, como por ejemplo en

    fsica, qumica, medicina, muchas veces se plantean sistemas

    lineales de ecuaciones como problemtica de clculos. En

    algunos casos esto surge de la necesidad de plantear un modelo

    continuo para poder realizar los clculos.

    Como es un planteamiento de un modelo continuo, cuantos

    ms datos se tomen mejor es la aproximacin del resultado. Es

    por este motivo que se genera la necesidad de estudiar mtodos

    que resuelvan estos sistemas de una manera sencilla y rpida,

    como objetivo primario.

    Existen numerosas formas de resolver los sistemas lineales de

    ecuaciones. Muchas de ellas son variaciones de otras por lo que

    su entendimiento no resulta tan difcil. Explicamos a

    continuacin el mtodo de Gauss-Jordan como uno de los tantos

    mtodos utilizados en este tipo de problemas, exponemos su

    descripcin y as tambin como una pequea biografa de sus

    autores inmediatos y originales.

  • Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales Mtodo Gauss Jordan Pgina 3

    MMttooddoo ddee EElliimmiinnaacciinn ddee GGaauussss--JJoorrddaann DDeessccrriippcciinn En matemticas, la eliminacin Gaussiana, eliminacin de Gauss o eliminacin de Gauss-

    Jordan, llamadas as debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del lgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el mtodo de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reduccin del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuacin tiene una incgnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada".

    El mtodo fue presentado por el matemtico Carl Friedrich Gauss, pero se conoca

    anteriormente en un importante libro matemtico chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve captulos del arte matemtico.

    Una variante interesante de la eliminacin de Gauss es la que llamamos eliminacin de

    Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) as para cuando estos finalicen ya se obtendr la matriz en forma escalonada reducida. Por consiguiente, no es necesario emplear la sustitucin hacia atrs para obtener la solucin.

    MMttooddooss nnuummrriiccooss ppaarraa llaa ssoolluucciinn ddee SSiisstteemmaass ddee EEccuuaacciioonneess LLiinneeaalleess Los mtodos numricos para la solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales se dividen

    en dos categoras generales:

    Mtodos exactos Mtodos aproximados

    Se usan comnmente dos mtodos; la eliminacin gaussiana y el mtodo de Gauss-

    Jordan. Se recomienda utilizar la estrategia de pivoteo en cualquier implementacin que se haga de estos mtodos sobre una computadora. Con la ayuda de esta estrategia, los errores de redondeo disminuyen y se evitan los problemas como divisin entre cero. Aunque en todos los dems sentidos son iguales, la eliminacin gausiana es preferible a Gauss-Jordan, ya que la primera es un 50% ms rpida. Sin embargo, el mtodo de Gauss-Jordan sigue siendo til ya que se puede modificar un poco de manera que se pueda obtener la matriz inversa como beneficio adicional en los clculos.

  • Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales Mtodo Gauss Jordan Pgina 4

    Aunque los mtodos de eliminacin tienen una gran utilidad, el uso de toda la matriz de coeficientes puede ser un factor muy importante cuando se trata de sistemas muy grandes y dispersos.

    El mtodo de Gauss-Seidel es diferente a los mtodos exactos, en cuanto que ste,

    emplea un esquema iterativo en la obtencin progresiva de aproximaciones ms cercanas a la solucin. Por lo tanto, el efecto de redondeo es un punto discutible dentro del mtodo, ya que las iteraciones se pueden prolongar tanto como sea posible para obtener la precisin deseada.

    La desventaja del mtodo de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solucin

    exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. nicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. Adems, de que muchos sistemas algebraicos lineales originados de problemas fsicos muestran dominancia diagonal, el mtodo de Gauss-Seidel tiene gran utilidad en la solucin de problemas de ingeniera.

    TTeeoorreemmaa FFuunnddaammeennttaall ddee EEqquuiivvaalleenncciiaa:: Puede aceptarse que las siguientes 3 operaciones sobre una matriz ampliada producen

    otras correspondientes a un sistema equivalente: 1. Intercambiar dos renglones. (Ya que corresponde a reordenar las ecuaciones del

    sistema). 2. Multiplicar todos los elementos de un rengln por una misma constante. 3. Sumar a los elementos de un rengln los correspondientes elementos de otro

    multiplicados por una constante. AAllggoorriittmmoo ddee eelliimmiinnaacciinn ggaauussssiiaannaa::

    1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercmbielo por un rengln que

    no tenga cero. 3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando mltiplos adecuados a

    los renglones debajo de l.

  • Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales Mtodo Gauss Jordan Pgina 5

    4. Cubra el rengln y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. Al termino del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz deber tener forma de escaln.

    5. Comenzando con el ltimo rengln no cero avance hacia arriba para que en cada rengln tenga un 1 delantero y arriba de l queden slo ceros. Para ello deber sumar mltiplos adecuados del rengln a los renglones correspondientes.

    Es importante observar que en el mtodo de eliminacin Gaussiana:

    Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente escalonan la matriz; el paso 5 aplicado repetidamente reduce la matriz.

    En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio. En el paso 3, los elementos que se hacen cero son slo los inferiores al pivote

    AAllggoorriittmmoo ddee GGaauussss--JJoorrddaann::

    Este mtodo tambin utiliza el teorema fundamental de equivalencia para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El mtodo consiste en convertir el sistema expresado como matriz ampliada y trabajar para transformarlo en un la matriz identidad quedando en el vector de trminos independientes el resultado del sistema. El procedimiento es similar al proceso de la eliminacin gaussiana con la diferencia que no solo elimina los trminos debajo de la diagonal principal sino tambin los que estn sobre de ella.

    Es importante mencionar que este mtodo es muy adecuado para obtener la matriz inversa de una matriz.

    1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercmbielo por un rengln que

    no tenga cero. Multiplicando apropiadamente el rengln, hgalo 1. Este primer 1 ser llamado 1 pivote.

    3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando mltiplos adecuados a los renglones debajo de rengln pivote en la matriz completa.

    4. Cubra la columna y el rengln de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.

  • Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales Mtodo Gauss Jordan Pgina 6

    Es importante observar que en el mtodo de Gauss-Jordan:

    En la idea general, la matriz se va escalonando y reduciendo a la vez. En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio. En el paso 3, los elementos que se hacen cero no solo son los inferiores al pivote

    (Eliminacin Gaussiana) sino tambin los superiores.

    AAllggoorriittmmoo ddee GGaauussss--SSeeiiddeell::

    Es un mtodo iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El mtodo se llama as en honor a los matemticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar a otro mtodo, Jacobi.

    Aunque este mtodo puede