Metody numeryczne - if.pw.edu.pl agatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej…

  • Published on
    28-Feb-2019

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

<p>Dr Piotr Fronczak</p> <p>Metody numeryczne</p> <p>Wykad nr 9</p> <p>Rwnania rniczkowe zwyczajne - problemy brzegowe (BVP)</p> <p>Dotychczas omawialimy problemy pocztkowe rwania rniczkowe,</p> <p>w ktrych dane byy wartoci zmiennych zalenych (lub ich pochodne)</p> <p>dla pewnej szczeglnej wartoci zmiennej niezalenej.</p> <p>Teraz naszym zadaniem bdzie wyznaczenie spord funkcji speniajcych </p> <p>dane rwnanie rniczkowe zwyczajne, zdefiniowanych w rozwaanym obszarze,</p> <p>tych, ktre speniaj dodatkowe warunki na brzegu tego obszaru. Warunki takie </p> <p>nazywane s warunkami brzegowymi i s naoone na wartoci funkcji i jej </p> <p>pochodnych w wicej ni jednym punkcie tego obszaru. </p> <p>BVP s zwykle szczeglnym przypadkiem rwna rniczkowych czstkowych,</p> <p>ktrych rozwizaniem s funkcje czasu i pooenia, np. pole elektryczne, </p> <p>rozkad temperatury, prdko przepywu itp.</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>x</p> <p>y</p> <p>t</p> <p>y</p> <p>=</p> <p>rwnanie dyfuzji</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>x</p> <p>y</p> <p>t</p> <p>y</p> <p>=</p> <p>rwnanie falowe</p> <p>Jeli y = y(x) (nie zaley od czasu stany ustalone, rwnowagi), to otrzymujemy</p> <p>ogln posta BVP (drugiego rzdu):</p> <p>),(2</p> <p>2</p> <p>dx</p> <p>dyyf</p> <p>dx</p> <p>yd=Dane jest rwnanie</p> <p>w dziedzinie bxa </p> <p>oraz okrelone s w pewien sposb warunki brzegowe.</p> <p>Typowe formy warunkw brzegowych</p> <p>Warunki brzegowe Dirichleta</p> <p>Dwie wartoci y(x) s dane jedna dla x = a, druga dla x = b.</p> <p>y(a) = Ya oraz y(b) = Yb</p> <p>Warunki brzegowe Neumanna</p> <p>Dwie wartoci dy/dx s dane jedna dla x = a, druga dla x = b.</p> <p>a</p> <p>ax</p> <p>Ddx</p> <p>dy=</p> <p>=</p> <p>b</p> <p>bx</p> <p>Ddx</p> <p>dy=</p> <p>=</p> <p>oraz</p> <p>Mieszane warunki brzegowe Robina</p> <p>a</p> <p>ax</p> <p>Caycdx</p> <p>dyc =+</p> <p>=</p> <p>)(21 bbx</p> <p>Cbycdx</p> <p>dyc =+</p> <p>=</p> <p>)(43oraz</p> <p>4321 ,,, cccc - stae</p> <p>Metoda strzaw</p> <p>bxaxFyxkdx</p> <p>yd=+ );()(</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>Rozpatrzmy oglne rwnanie</p> <p>W celu jego zdyskretyzowania przyjmijmy</p> <p>Nabh /)( =</p> <p>gdzie N jest liczb punktw, na ktre dzielimy przedzia [a,b].</p> <p>Dyskretyzujc drug pochodn</p> <p>)(2 2</p> <p>2</p> <p>11'' hOh</p> <p>yyyy iiii +</p> <p>+= +</p> <p>iiiiii Fyk</p> <p>h</p> <p>yyy=+</p> <p>+ +2</p> <p>11 2</p> <p>otrzymujemy rwnanie</p> <p>iiiiii Fyk</p> <p>h</p> <p>yyy=+</p> <p>+ +2</p> <p>11 2</p> <p>Chcemy scakowa to rwnanie od x0 = a do xN = b, wic przedstawmy je w postaci</p> <p>iiiiii Fhykhyyy22</p> <p>11 2 ++= +</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>11</p> <p>2</p> <p>102 2 Fhykhyyy ++=Czyli dla i = 1</p> <p>Mamy dane y0 = y(a) = 0, ale y1 jest nieznane.</p> <p>Znajomo y1 jest rwnoznaczna ze znajomoci y dla x = 0:</p> <p>h</p> <p>yyy iii</p> <p> +1'</p> <p>001 yhyy +</p> <p>Rozwamy rwnanie struny zaczepionej na obu kocach.</p> <p>Jedyn si dziaajc na element struny jest sia </p> <p>napre T. Jej warto w kierunku pionowym</p> <p>( ))sin()sin()sin()sin( 1 iiTTTF =+= +</p> <p>Zakadajc, e kty s mae</p> <p>x</p> <p>yytg iiii</p> <p>= +++</p> <p>111 )()sin( </p> <p>oraz, e przypieszenie elementu struny jest proporcjonalne do wychylenia</p> <p>ya2=</p> <p>dostajemy</p> <p>+= +</p> <p>x</p> <p>yyyTyxma iii 11</p> <p>2 2)( </p> <p>0)(</p> <p>2 22</p> <p>11 =+</p> <p>+ + yx</p> <p>yyyT iii </p> <p>Dla 0x 0'' 2 =+ yTy </p> <p>0'' =+ yy T</p> <p>2 = 2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>x</p> <p>y</p> <p>t</p> <p>y</p> <p>=</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>dt</p> <p>yda =</p> <p>Zakadajc</p> <p>e</p> <p>otrzymalibymy</p> <p>0)(,0)0(0'' ===+ Lyyyy </p> <p>Gdy &gt; 0, to istnieje rozwizanie postaci</p> <p>)sin()cos( xBxAy +=</p> <p>Uwzgldniajc warunki brzegowe otrzymujemy nieskoczenie wiele rozwiza</p> <p>...,3,2,1,sin)( =</p> <p>= n</p> <p>L</p> <p>xnxyn</p> <p>Gdy = 0BAxy +=</p> <p>Uwzgldniajc warunki brzegowe otrzymujemy rozwizanie trywialne y = 0.</p> <p>z wartociami wasnymi...,3,2,1,</p> <p>2</p> <p>22</p> <p>== nL</p> <p>nn</p> <p>Poniewa problem fizyczny nie ma ujemnych wartoci wasnych,</p> <p>nie musimy analizowa przypadku &lt; 0.</p> <p>Zatem mamy rozwizanie</p> <p>...,3,2,1,sin)( =</p> <p>= n</p> <p>L</p> <p>xnxyn</p> <p>rwnania</p> <p>0)(,0)0(0''2</p> <p>22</p> <p>===+ LyyyL</p> <p>ny</p> <p>Wybierzmy n = 4 i L = 1.</p> <p>( ) 0)1(,0)0(,4sin)( === yyxxy </p> <p>( )xxy 4cos4)(' =Pochodna wynosi</p> <p>=0</p> <p>=0</p> <p>)162(4 222 hhy =</p> <p>iiiiii Fhykhyyy22</p> <p>11 2 ++= +</p> <p>Oraz dalsze kroki zgodnie ze wzorem ze slajdu nr 6</p> <p>)4cos(4 001 xhyy +=</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>11</p> <p>2</p> <p>102 2 Fhykhyyy ++=</p> <p>A kolejne kroki rozwizania</p> <p>x yteor ynum</p> <p>0 0.0000 0.0000</p> <p>0.1 0.9511 1.2566</p> <p>0.2 0.5878 0.5289</p> <p>0.3 -0.5878 -1.0341</p> <p>0.4 -0.9511 -0.9641</p> <p>0.5 0.0000 0.6283</p> <p>0.6 0.9511 1.2285</p> <p>0.7 0.5878 -0.1113</p> <p>0.8 -0.5878 -1.2753</p> <p>0.9 -0.9511 -0.4255</p> <p>1 0.0000 1.0963</p> <p>Podzielmy obszar rozwiza [0,1] na 10 rwnych czci (h = 0.1)</p> <p>x yteor ynum</p> <p>0 0.0000 0.0000</p> <p>0.05 0.5878 0.6283</p> <p>0.1 0.9511 1.0086</p> <p>0.15 0.9511 0.9907</p> <p>0.2 0.5878 0.5817</p> <p>0.25 0.0000 -0.0570</p> <p>0.3 -0.5878 -0.6731</p> <p>0.35 -0.9511 -1.0235</p> <p>0.4 -0.9511 -0.9699</p> <p>0.45 -0.5878 -0.5333</p> <p>0.5 0.0000 0.1138</p> <p>0.55 0.5878 0.7160</p> <p>0.6 0.9511 1.0355</p> <p>0.65 0.9511 0.9462</p> <p>0.7 0.5878 0.4834</p> <p>0.75 0.0000 -0.1703</p> <p>0.8 -0.5878 -0.7567</p> <p>0.85 -0.9511 -1.0444</p> <p>0.9 -0.9511 -0.9198</p> <p>0.95 -0.5878 -0.4321</p> <p>1 0.0000 0.2262</p> <p>-1.5000</p> <p>-1.0000</p> <p>-0.5000</p> <p>0.0000</p> <p>0.5000</p> <p>1.0000</p> <p>1.5000</p> <p>0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2</p> <p>yteor</p> <p>ynum</p> <p>-1.5000</p> <p>-1.0000</p> <p>-0.5000</p> <p>0.0000</p> <p>0.5000</p> <p>1.0000</p> <p>1.5000</p> <p>0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2</p> <p>yteor</p> <p>ynum</p> <p>Podzielmy obszar rozwiza [0,1] na 20 rwnych czci (h = 0.05)</p> <p>Zwykle nie znamy wartoci i wektorw wasnych ukadu. Trzeba je zgadn.</p> <p>Przeksztamy oglny problem brzegowy drugiego rzdu</p> <p>badx</p> <p>dyYbyYaybxayxf</p> <p>dx</p> <p>yd=== )(,)(),,(</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>zdla</p> <p>w ukad dwch rwna pierwszego rzdu:</p> <p>aYaywdx</p> <p>dy== )( pocz. war. z</p> <p>),,( wyxfdx</p> <p>dw= BEZ WARUNKU POCZTKOWEGO</p> <p>Musimy znale warunek pocztkowy</p> <p>===axdx</p> <p>dyaw )(</p> <p>Innymi sowy musimy znale nachylenie OKkrzywej y w punkcie a.</p> <p>Ya</p> <p>Yb</p> <p>x=a x=b2 &lt; OK &lt; 1</p> <p>0)(,0)0(016'' 2 ===+ Lyyyy </p> <p>Wrmy do naszego przykadu (dla n=4, L=1)</p> <p>Przepiszmy to rwnanie w postaci ukadu dwch rwna pierwszego rzdu:</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>)0(16</p> <p>0)0(</p> <p>2wyw'</p> <p>ywy'</p> <p> - parametr ukadu.</p> <p>Musimy znale miejsce zerowe funkcji bdu</p> <p>0)1()1()( == yyE</p> <p>Zwykle powyszy ukad rwna bdziemy rozwizywa jedn z metod podanychna poprzednim wykadzie (np. Rungego-Kutty), ale na razie, korzystajc z metod analitycznych, zauwamy e </p> <p>Problem pocztkowy!</p> <p>4</p> <p>)4sin()(</p> <p>xCxy =</p> <p>A zatem nie znajdziemy staej C z warunku </p> <p>y(1) = 0.</p> <p>0.2 0.4 0.6 0.8 1.0</p> <p>-1.0</p> <p>-0.5</p> <p>0.5</p> <p>1.0</p> <p>Wybierzmy zatem na potrzeby dydaktyki inny warunek brzegowy:</p> <p>587.0)7.0( =yMetoda bisekcji.</p> <p>100</p> <p>100</p> <p>1</p> <p>0</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>-100 -50 50 100</p> <p>-6</p> <p>-4</p> <p>-2</p> <p>2</p> <p>4</p> <p>0)(2</p> <p>110 =+= r</p> <p>rrEE = 00 0)()(</p> <p>-10.5 -10.0 -9.5 -9.0</p> <p>-0.06</p> <p>-0.04</p> <p>-0.02</p> <p>0.02</p> <p>0.04</p> <p>2.10=r</p> <p>Sprawdmy:</p> <p>17.10)7.04cos(4)'7.04sin( == </p> <p>Metoda siecznych.</p> <p>11</p> <p>1 0</p> <p>+</p> <p>=</p> <p>ii</p> <p>i</p> <p>ii</p> <p>ii EEE</p> <p>i</p> <p>ii</p> <p>iiii E</p> <p>EE </p> <p>=</p> <p>+</p> <p>1</p> <p>11</p> <p>)( </p> <p>E=0</p> <p>E</p> <p>Ei-1</p> <p>Ei</p> <p>i-1 i</p> <p>369.6100</p> <p>194.5100 11</p> <p>==</p> <p>== </p> <p>ii</p> <p>ii</p> <p>E</p> <p>E</p> <p>16.10)369.6(369.6194.5</p> <p>)100100(1001 =</p> <p>+</p> <p>=+i</p> <p>17.10)7.04cos(4)'7.04sin( == Przypomnienie:</p> <p>Wniosek: szybka zbieno ju po pierwszej iteracji.</p> <p>Metoda rnic skoczonych</p> <p>W metodzie tej, pochodne w rwnaniu rniczkowym zastpujemy rnicami</p> <p>skoczonymi.</p> <p>Dziedzin rozwiza [a,b] dzielimy na N przedziaw o dugoci h = (b-a) / N.</p> <p>Mamy N+1 punktw. Dla kadego z nich zapisujemy rwnanie rnicowe czyli</p> <p>rwnanie algebraiczne.</p> <p>Mamy zatem ukad rwna algebraicznych, ktry rozwizujemy jedn z metod</p> <p>omwionych na wykadzie nr 3.</p> <p>x =a1 xi xi+1xi-1 x =bN+1</p> <p>h</p> <p>x</p> <p>y</p> <p>Przykad:</p> <p>0)1(,0)0(,12</p> <p>2</p> <p>=== yydx</p> <p>yd</p> <p>Drug pochodn mona przybliy za pomoc trjpunktowych rnic centralnych</p> <p>(zwykle, cho niekoniecznie). Mamy zatem</p> <p>Rozwizanie analityczne:22</p> <p>)(2</p> <p>xxxy =</p> <p>By otrzyma rozwizanie numeryczne najpierw dyskretyzujemy rwnanie dla punktw</p> <p>[x0, x1, , xN], gdzie x0 = 0, xN = 1, xi = ih. </p> <p>Wybierzmy h = 0.2 (N = 5).</p> <p>4,3,2,1,12</p> <p>2</p> <p>11 ==+ + i</p> <p>h</p> <p>yyy iii dla</p> <p>Zwrmy uwag, e s to rwnania tylko dla punktw wewntrznych.</p> <p>Ukad nasz ma 4 niewiadome i 4 rwnania:</p> <p>. h y y- y </p> <p>, h y y- y </p> <p>, h y y-y </p> <p>, h y y -y</p> <p>2543</p> <p>2432</p> <p>2321</p> <p>2210</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>=+</p> <p>=+</p> <p>=+</p> <p>=+</p> <p>Macierz powysza jest przykadem macierzy trjdiagonalnej. </p> <p>Cho powyszy ukad mona rozwiza jedn z metod omwionych na </p> <p>wykadzie 3 (np. metod Gaussa), to szczeglna posta tej macierzy pozwala </p> <p>zredukowa liczb oblicze z n3 do n.</p> <p>=</p> <p>5</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>0</p> <p>2</p> <p>4</p> <p>3</p> <p>2</p> <p>1</p> <p>21</p> <p>121</p> <p>121</p> <p>12</p> <p>yh</p> <p>h</p> <p>h</p> <p>yh</p> <p>y</p> <p>y</p> <p>y</p> <p>y</p> <p>=</p> <p>04.0</p> <p>04.0</p> <p>04.0</p> <p>04.0</p> <p>.y y </p> <p>, yy y </p> <p>, y yy</p> <p>, yy</p> <p>1004</p> <p>43</p> <p>1004</p> <p>432</p> <p>1004</p> <p>321</p> <p>1004</p> <p>21</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>=</p> <p>=+</p> <p>=+</p> <p>=+</p> <p>. y y </p> <p>, yy y </p> <p>, y y</p> <p>, yy</p> <p>1004</p> <p>43</p> <p>1004</p> <p>432</p> <p>1006</p> <p>3223</p> <p>1002</p> <p>221</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>=</p> <p>=+</p> <p>=+</p> <p>=</p> <p>. y y </p> <p>, yy </p> <p>, y y</p> <p>, yy</p> <p>1004</p> <p>43</p> <p>1008</p> <p>4334</p> <p>1004</p> <p>332</p> <p>2</p> <p>1002</p> <p>221</p> <p>1</p> <p>2 =</p> <p>=+</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>. y </p> <p>, yy </p> <p>, yy</p> <p>, yy</p> <p>101</p> <p>445</p> <p>1006</p> <p>443</p> <p>3</p> <p>1004</p> <p>332</p> <p>2</p> <p>1002</p> <p>221</p> <p>1</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>.)(</p> <p>)(</p> <p>)(</p> <p>1008</p> <p>10012</p> <p>21</p> <p>1002</p> <p>1</p> <p>10012</p> <p>10012</p> <p>32</p> <p>1004</p> <p>2</p> <p>10012</p> <p>1008</p> <p>43</p> <p>1006</p> <p>3</p> <p>1008</p> <p>4</p> <p>=+=</p> <p>=+=</p> <p>=+=</p> <p>=</p> <p> y</p> <p>, y</p> <p>, y</p> <p>,y</p> <p>0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.14</p> <p>-0.12</p> <p>-0.10</p> <p>-0.08</p> <p>-0.06</p> <p>-0.04</p> <p>-0.02</p> <p>0.00</p> <p>y</p> <p>x</p> <p>Algorytm Thomasa dla ukadw z macierz trjdiagonaln</p> <p>Dany jest ukad rwna:</p> <p>niYycbya iiiiii ...,,2,111 ==++ + dla </p> <p>=</p> <p>nnnn</p> <p>n</p> <p>Y</p> <p>Y</p> <p>Y</p> <p>y</p> <p>y</p> <p>y</p> <p>ba</p> <p>c</p> <p>cba</p> <p>cba</p> <p>cb</p> <p>.</p> <p>.</p> <p>.</p> <p>.</p> <p>0......0</p> <p>...............</p> <p>0...0</p> <p>0...0</p> <p>0......0</p> <p>2</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>1</p> <p>1</p> <p>333</p> <p>222</p> <p>11</p> <p>lub w postaci macierzowej 0,01 == nca</p> <p>Algorytm skada si z dwch faz:</p> <p>Faza eliminacji wprzd wykonujc dla rwna od i = 1 do n eliminacj</p> <p>niewiadomych uzyskujemy ostatnie rwnanie (i = n) z jedn tylko niewiadom,</p> <p>ktr moemy wyznaczy.</p> <p>Faza eliminacji wstecz korzystajc z wyznaczonej w rwnaniu i+1 niewiadomej yi+1wyznaczamy z rwnania i niewiadom yi, a do otrzymania wartoci y1.</p> <p>()()()()</p> <p>A zatem szukamy schematu postaci:</p> <p>iiii yy +=1</p> <p>Podstawiajc ten schemat do rwnania () otrzymujemy:</p> <p>( ) iiiiiiiii Yycybya =+++ +1</p> <p>Wyznaczajc yi</p> <p>iii</p> <p>iiii</p> <p>iii</p> <p>ii</p> <p>ba</p> <p>aYy</p> <p>ba</p> <p>cy</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>= + </p> <p> 1</p> <p>Porwnujc z otrzymujemy</p> <p>iii</p> <p>iiii</p> <p>iii</p> <p>ii</p> <p>ba</p> <p>aY</p> <p>ba</p> <p>c</p> <p>+</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>= ++ </p> <p> 11 ,</p> <p>Otrzymalimy rwnanie rekurencyjne na poszukiwane wspczynniki i . </p> <p>Wspczynniki pocztkowe 1 i 1 nie maj znaczenia, bo mnoone s przez a1=0. </p> <p>Musimy jeszcze zna yn, by mc rozpocz iteracyjne obliczanie niewiadomych.</p> <p>Podstawiajc pierwsze rwnanie schematu</p> <p>do rwnania () otrzymujemy:</p> <p>nnnn yy +=1</p> <p>( ) nnnnnnn Yybya =++ </p> <p>Czyli</p> <p>nnn</p> <p>nnnn</p> <p>ba</p> <p>aYy</p> <p>+</p> <p>=</p> <p>iii</p> <p>iiii</p> <p>ba</p> <p>aY</p> <p>+</p> <p>=+ </p> <p> 1Warto zauway, e skoro to wystarczy przyj</p> <p>()</p> <p>01 =+ny</p> <p>()</p> <p>, by mc bezporednio skorzysta ze wzoru ().</p> <p>Podsumowujc:</p> <p>iii1-i</p> <p>1n</p> <p>iii</p> <p>iii1i</p> <p>iii</p> <p>i1i</p> <p>11</p> <p>xy</p> <p>1..2ni for</p> <p>0;y</p> <p>ba</p> <p>aY,</p> <p>ba</p> <p>c</p> <p>1..ni for</p> <p>przykad //na0;</p> <p>+=</p> <p>+=</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>==</p> <p>+</p> <p>++</p> <p>Algorytm Thomasa jest niezawodny, gdy macierz jest diagonalnie dominujca</p> <p>nicab iii ...,,1=+</p> <p>Przykad: radiator prtowy</p> <p>Rwnanie opisujce rozkad temperatury wzdu dugoci prta:</p> <p>TA</p> <p>TBTS</p> <p>L</p> <p>x</p> <p>LxTTkA</p> <p>Ph</p> <p>dx</p> <p>TdS</p> <p>C</p> <p>C = 0,0)(2</p> <p>2</p> <p>hc wspczynnik wnikania ciepa</p> <p>P obwd prta</p> <p>k wspczynnik przewodzenia ciepa</p> <p>Ac pole poprzecznego przekroju prta K293T</p> <p>K293T(L)</p> <p>K473T(0)</p> <p>m0.1L</p> <p>m101.6A</p> <p>W/m/K 240k</p> <p>m 0.016 P</p> <p>/KW/m40h</p> <p>S</p> <p>25</p> <p>c</p> <p>2</p> <p>c</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>0)(2</p> <p>2</p> <p>= STTdx</p> <p>Td 0)(</p> <p>22</p> <p>11 =+ +</p> <p>Siiii TT</p> <p>h</p> <p>TTT</p> <p>Siii ThTThT 2</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>1 )2( =++ +</p> <p>Podzielmy domen rozwiza na 5 czci (h = L / 5 = 2 cm)</p> <p>SThTThTi 2</p> <p>32</p> <p>2</p> <p>1 )2(2 =++=</p> <p>)()2( 12</p> <p>32</p> <p>2TThTTh S +=++ czyli</p> <p>SThTThTi 2</p> <p>43</p> <p>2</p> <p>2 )2(3 =++=</p> <p>SThTThTi 2</p> <p>54</p> <p>2</p> <p>3 )2(4 =++=</p> <p>SThTThTi 2</p> <p>65</p> <p>2</p> <p>4 )2(5 =++=</p> <p>)()2( 62</p> <p>45</p> <p>2TThTTh S +=++ </p> <p>czyli</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>)(</p> <p>)(</p> <p>)2(100</p> <p>1)2(10</p> <p>01)2(1</p> <p>001)2(</p> <p>6</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>5</p> <p>4</p> <p>3</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>TTh</p> <p>Th</p> <p>Th</p> <p>TTh</p> <p>T</p> <p>T</p> <p>T</p> <p>T</p> <p>h</p> <p>h</p> <p>h</p> <p>h</p> <p>S</p> <p>S</p> <p>S</p> <p>S</p> <p>Mamy zatem ukad 4 rwna z czterema niewiadomymi.</p> <p>0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10</p> <p>300</p> <p>350</p> <p>400</p> <p>450</p> <p>500</p> <p>Rozwizujc ten ukad</p> <p>za pomoc algorytmu Thomasa</p> <p>otrzymujemy:</p> <p>Metoda rnic skoczonych dla nieliniowych rwna rniczkowych</p> <p>Najciekawsze problemy wspczesnej fizyki s nieliniowe.</p> <p>Nieliniowe problemy brzegowe dyskretyzujemy w podobny sposb.</p> <p>Wynikiem jest jednak ukad nieliniowych rwna algebraicznych.</p> <p>Metody rozwizywania takich rwna nieliniowych omwilimy na wykadzie nr 2.</p> <p>Najbardziej wydajne obliczeniowo s w tym przypadku metody iteracyjne.</p> <p>Istnieje jednak potencjalny problem zwizany ze zbienoci schematu iteracyjnego.</p> <p>Metoda punktu staego</p> <p>Ukad rwna nieliniowych mona zapisa w postaci</p> <p>][][]][[ bya =+</p> <p>[a] macierz wspczynnikw</p> <p>[] wektor nieliniowych wyrazw bdcych funkcj niewiadomych yi</p> <p>[b] - wektor znanych wielkoci staych</p> <p>Spord wielu sposobw konstruowania procedury iteracyjnej wybierzmy najprostszy</p> <p>][][]][[ bya =+</p> <p>kkbya ][][]][[ 1 =+</p> <p>obliczone na podstawie</p> <p>wczeniejszego kroku k</p> <p>Jeli liczba punktw jest maa moemy macierz [a] odwrci. Jeli nie, moemy</p> <p>skorzysta z metody eliminacji Gaussa albo Thomasa (dla macierzy trjdiagonalnej)</p> <p>( )kk bay ][][][][ 11 = +</p> <p>Przykad: radiator prtowy</p> <p>Gdy uwzgldnimy wyraz odpowiedzialny na wypromieniowywanie ciepa,</p> <p>rwnanie opisujce rozkad temperatury wzdu dugoci prta uzyska posta:</p> <p>LxTTkA</p> <p>PTT</p> <p>kA</p> <p>Ph</p> <p>dx</p> <p>TdS</p> <p>C</p> <p>S</p> <p>C</p> <p>C = 0,0)()( 442</p> <p>2 </p> <p> - wzgldna zdolno emisyjna</p> <p> - staa Stefana-Boltzmanna</p> <p>0)()(2 44</p> <p>2</p> <p>11 =+ +</p> <p>SiBSiAiii TTTT</p> <p>h</p> <p>TTT</p> <p>Rwnanie zdyskretyzowane:</p> <p>)()2( 421422</p> <p>1 SBSAiiBiAi TThTThThT +=++ +</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>)(</p> <p>)(</p> <p>)(</p> <p>)(</p> <p>)2(100</p> <p>1)2(10</p> <p>01)2(1</p> <p>001)2(</p> <p>4</p> <p>5</p> <p>2</p> <p>4</p> <p>4</p> <p>2</p> <p>4</p> <p>3</p> <p>2</p> <p>4</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>5</p> <p>4</p> <p>3</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>Th</p> <p>Th</p> <p>Th</p> <p>Th</p> <p>T</p> <p>T</p> <p>T</p> <p>T</p> <p>h</p> <p>h</p> <p>h</p> <p>h</p> <p>B</p> <p>B</p> <p>B</p> <p>B</p> <p>A</p> <p>A</p> <p>A</p> <p>A</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>=</p> <p>6</p> <p>42</p> <p>42</p> <p>42</p> <p>1</p> <p>42</p> <p>)(</p> <p>)(</p> <p>)(</p> <p>)(</p> <p>TTTh</p> <p>TTh</p> <p>TTh</p> <p>TTTh</p> <p>SBSA</p> <p>SBSA</p> <p>SBSA</p> <p>SBSA</p> <p>( )kk baT ][][][][ 11 = +Teraz stosujemy procedur iteracyjn:</p> <p>0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10</p> <p>280</p> <p>320</p> <p>360</p> <p>400</p> <p>440</p> <p>480</p> <p>T [K</p> <p>]</p> <p>x [m]</p> <p> krok 0</p> <p> krok 1</p> <p> krok 2</p> <p> krok 3</p> <p>0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1</p> <p>krok 0 473 400 400 400 400 293</p> <p>krok 1 473 423.2293 382.8297 349.1078 319.8155 293</p> <p>krok 2 473 423.3492 383.3225 349.8507 320.4519 293</p> <p>krok 3 473 423.344 383.3132 349.8409 320.4456 293</p> <p> Zakadamy hx = hy = h [siatka kwadratowa]</p> <p> u(xi,yj) = ui,j</p> <p> u(xi+h, yj+h) = ui+1,j+1, </p> <p>xi xi+1xi-1</p> <p>yjyj-1</p> <p>yj+1</p> <p>( ) [ ]jijijixji uuuhyxu ,1,,12 21</p> <p>,'' + +</p> <p>02</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>y</p> <p>u</p> <p>x</p> <p>uui,j</p> <p>hx</p> <p>hy</p> <p>Dwuwymiarowe zagadnienie brzeg