Microeconomia - Problem set 1 - soluzione ?· Microeconomia - Problem set 1 - soluzione (Prof. Paolo…

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    19-Sep-2018

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<ul><li><p>Microeconomia - Problem set 1 -soluzione</p><p>(Prof. Paolo Giordani - TA: Pierluigi Murro)</p><p>26 Marzo 2015</p><p>Esercizio 1.</p><p>Si consideri la seguente funzione di utilit Cobb-Douglas (nota: i pesi nonsommano ad 1)</p><p>u (x1, x2) = x1x2</p><p>Il reddito a disposizione del consumatore m = 200; i prezzi dei due beni sonorispettivamente p1 = 10 e p2 = 50.Si determini il piano di consumo ottimo.</p><p>Risposta:</p><p>La scelta ottima del consumatore pu essere calcolata in due modi.</p><p>1. Il primo consiste nel risolvere il seguente sistema di equazioni (le pref-erenze Cobb-Douglas sono infatti preferenze regolari, ovvero monotonee convesse){SMS = p1/p2</p><p>p1x1 + p2x2 = m</p><p>Nel nostro caso, data la funzione di utilit specificata, il SMS pari ax2/x1, e dunque il sistema diventa{x2/x1 = 10/50</p><p>10x1 + 50x2 = 200</p><p>Il sistema pu essere risolto per sostituzione: prima di tutto troviamox1 nella prima equazione ottenendo x1 = 5x2; ora sostituiamo questaespressione nella seconda equazione, ottenendo 10 5x2 + 50x2 = 200.Risolvendo lequazione nellincognita x2 si ottiene x2 = 2, e quindi x</p><p>1 =</p><p>5x2 = 10.</p><p>2. Il secondo metodo si applica soltanto alle preferenze Cobb-Douglas. Ingenerale, quando i pesi della funzione di utlit c,d non sommano ad unola soluzione pu essere calcolata applicando la seguente formula:</p><p>1</p></li><li><p>{x1 =</p><p>cc+d</p><p>mp1</p><p>x2 =dc+d</p><p>mp2</p><p>In questo caso c,d=1, per cui la soluzione sar data da:{x1 =</p><p>1220010</p><p>x2 =1220050</p><p>x1 = 10 e x2 = 2</p><p>Calcolare come cambia la scelta del consumatore nei seguenti casi:</p><p>1. p1 = 10 , p2 = 0, m = 0</p><p>2. p1 = 0 , p2 = 30, m = 0</p><p>3. p1 = 0 , p2 = 0, m = 100</p><p>Risposta: I tre casi possono essere risolti in maniera analoga.</p><p>4. x1 = 5 e x2 = 2</p><p>5. x1 = 10 e x2 = 5</p><p>6. x1 = 15 e x2 = 3</p><p>Esercizio 2</p><p>Rispondere vero o falso.</p><p>1. Se il consumatore ha preferenze concave, il punto di consumo ottimo rappresentatao dalla tangenza tra la curva di indifferenza ed il vincolo dibilancio.Risposta: Falso. La scelta del consumatore rappresenta da un ottimo difrontiera; lindividuo preferisce consumare un paniere estremo anzich unpaniere medio.</p><p>2. Si considerino due beni. Sia x1 un bene normale, mentre x2 consideratoun male . Il piano di consumo ottimo dato da una grande quantitdel bene 1 ed una piccola quantit del bene 2.Risposta: Falso. Dal momento che il bene 2 arreca disutilit, il consuma-tore non lo compra affatto. La scelta ottima rappresentata infatti da unpunto di frontiera.</p><p>3. Si considerino due beni. Sia x1 un bene normale, mentre x2 consideratoun bene neutrale. Il piano di consumo ottimo un punto di frontiera.Risposta: Vero. Dal momento che il bene 2 non d alcuna utlit, il con-sumatore spender tutto il suo reddito disponibile per lacquisto del benex1.</p><p>2</p></li><li><p>Esercizio 3.</p><p>Si consideri la seguente funzione di utilit per beni perfetti sostituti 1 ad 2 (nota:a = 2)</p><p>u (x1, x2) = 2x1 + x2</p><p>La funzione di utilit pu essere scritta anche come u(x1, x2) = x1 + x2/2. Siail reddito pari a m = 36. Si determinino le quantit ottime nei seguenti casi.</p><p>1. p1 = 2, p2 = 1</p><p>2. p1 = 1, p2 = 1</p><p>3. p1 = 3, p2 = 1</p><p>Risposta</p><p>Prima di tutto necessario calcolare il SMS. In questo caso uguale ad 2. La</p><p>scelta ottima del bene x1 :</p><p>x1 =</p><p>m/p1 if p1/p2 &lt; 2</p><p>[0,m/p1] if p1/p2 = 2</p><p>0 if p1/p2 &gt; 2</p><p>La soluzione ottima per il bene x2 pu essere calcolata in maniera analoga.</p><p>Consideriamo i singoli casi:</p><p>1. p1 = 2, p2 = 1 = p1/p2 = 2La scelta ottima del bene x1 sar quindi compresa tra [0,18]. Analoga-</p><p>mente, la scelta ottima del bene x2 sar compresa tra [0,36].</p><p>2. p1 = 1, p2 = 1 = p1/p2 &lt; 2Il consumatore consuma soltanto il bene x1; la scelta ottima sar quindi</p><p>x1 = 36 e x2 = 0.</p><p>3. p1 = 3, p2 = 1 = p1/p2 &gt; 2Il consumatore consuma soltanto il bene x2; la scelta ottima sar quindi</p><p>x1 = 0 e x2 = 36.</p><p>3</p></li><li><p>Esercizio 4.</p><p>Si consideri la seguente funzione di utilit con beni perfetti complementi 1 ad 2(nota: a = 2)</p><p>u (x1, x2) = min{x1,</p><p>x22</p><p>}La funzione di utilit pu essere scritta anche come u(x1, x2) = min {2x1, x2}.Il reddito m = 50 e i prezzi dei due beni sono rispettivamente p1 = 2, p2 = 4.Determinare le quantit ottime dei due beni.</p><p>4</p></li><li><p>Risposta</p><p>Per calcolare la scelta ottima del consumatore necessario risolvere il seguentesistema di equazioni:</p><p>{x1 = x2/2</p><p>p1x1 + p2x2 = m</p><p>Risolvere il sistema con il metodo di sostituzione:{x1 = x2/2</p><p>2 (x2/2) + 4x2 = 50</p><p>La soluzione ottima quindi x1 = 5 e x2 = 10.</p><p>Esercizio 5.</p><p>Si consideri la seguente funzione di utilit (preferenze quasi-lineari)</p><p>u (x1, x2) =x1 + x2</p><p>Il reddito m &gt; 0 e i prezzi dei due beni sono rispettivamente p1 = 1, p2 = 4.</p><p>Determinare le quantit ottime dei due beni (nota: la quantit ottima del bene</p><p>2 in funzione di m).</p><p>Risposta</p><p>La scelta del consumatore identificata dalle due condizioni:SMS = p1/p2p1x1 + p2x2 = mNel nostro caso il sistema diventa:1/(2</p><p>x1) = 1/4</p><p>x1 + 4x2 = m</p><p>5</p></li><li><p>Risolvere il sistema con il metodo di sostituzione:x1 = 44 + 4x2 = mLa soluzione ottima quindi x1 = 4, x</p><p>2 = (m 4)/4.</p><p>6</p></li></ul>