Modelos Neoclasico de Ramsey

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    03-Apr-2018

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<ul><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 1/12</p><p>Tema 3. Crecimiento Neoclsico.El Modelo de Ramsey</p><p>En el modelo Neoclsico de crecimiento y el modelo AK hemos supuesto que las</p><p>familias ahorran una proporcin constante de la renta, sin cuestionarnos la</p><p>racionalidad de su comportamiento. En este captulo estudiaremos como las familias</p><p>toman sus decisiones de consumo y ahorro. Otro supuesto del modelo neoclsico que</p><p>pareca poco realista, es que en el modelo neoclsico las familias eran a la vez</p><p>consumidoras y productoras, como si se tratase de Robinson Crusoe.</p><p>En la vida real, las empresas y los consumidores son instituciones separadas que</p><p>interactan en un lugar llamado mercado. Las familias distribuyen su renta entre</p><p>consumo y ahorro. Las empresas contratan trabajo a cambio de un salario y venden el</p><p>producto a cambio de un precio. Empresas y familias se encuentran en el mercado y</p><p>los precios del trabajo y el capital son tales que los tres mercados se vaca. (Modelo</p><p>de equilibrio general de Ramsey (1928)).</p><p>En este captulo vamos a analizar las decisiones que toman los agentes</p><p>econmicos, consumidores y empresas. Por un lado, analizaremos como las familias</p><p>toman sus decisiones de consumo y ahorro. Paralelamente analizaremos lasdecisiones de inversin y contratacin de mano de obra que hacen las empresas.</p><p>El objetivo es estudiar cual es el resultado que obtiene una economa en la que</p><p>dejamos que sean los consumidores los que toman sus decisiones de consumo y las</p><p>empresas sus decisiones de inversin. En el contexto de esta economa estaremos</p><p>preocupados por analizar cuales son los determinantes del crecimiento econmico.</p><p>3. Modelo de mercado</p><p>En este modelo analizamos las decisiones de consumo de las familias y las</p><p>decisiones de las empresas.</p><p>3.1 Las familias neoclsicas</p><p>Supuestos sobre el comportamiento de las familias:</p><p>(1) Suponemos que los agentes de la economa deciden cunto consumir y cunto</p><p>ahorrar en cada perodo de tal forma que maximicen la utilidad descontada</p><p>futura. La utilidad descontada futura viene dada por la expresin (1):</p><p> =</p><p>1</p><p>1)exp()0(</p><p>1</p><p>0</p><p>ttc</p><p>Ltu</p><p>La funcin de utilidad viene dada por la siguiente funcin:</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 2/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>=</p><p>1</p><p>1)(</p><p>1tccu</p><p>donde: es una constante que representa la tasa de descuento, tc es el</p><p>consumo per cpita en el instante t, tL es el tamao de la poblacin y es</p><p>una constante que representa el deseo de los consumidores de alisar o</p><p>suavizar su consumo en el tiempo.</p><p>(2) Segundo, el horizonte temporal relevante para el problema de optimizacin</p><p>que hemos diseado es infinito. Se est suponiendo que a la hora de tomar sus</p><p>decisiones de consumo y ahorro los agentes tienen en cuenta la utilidad que</p><p>esperan tener en el futuro. El hecho de que el horizonte sea infinito esequivalente a suponer que las familias se preocupan por las generaciones</p><p>futuras.</p><p>(3) Suponemos que la poblacin crece a una tasa constante n-.</p><p>)exp(0 ntLLL</p><p>Ln</p><p>t==</p><p>Normalizamos 10 =L y tenemos: )exp(ntLt = . En este caso, L </p><p>es igual a )exp(ntn y nL</p><p>L=</p><p>.</p><p>(4)La tasa de descuento representa el hecho de que losindividuos, aunque son altruistas respecto a susdescendientes prefieren el consumo propio mas que el de sushijos.El tipo de descuento representa el egoismo paterno dentro</p><p>del altruismo intergeneracional. En otras palabras, losconsumidores a la hora de tomar sus decisiones de consumo yahorro, tienen en cuenta la utilidad o satisfaccin que van aobtener hoy con sus decisiones, pero tambin tienen en cuentala satisfaccin que las decisiones tomadas hoy les har tener enel futuro. Ahora bien, los consumidores no valoran igual la</p><p>satisfaccin hoy que la que vayan a tener dentro de 3 perodos.Para el consumidor la misma satisfaccin hoy no representa</p><p>lo mismo que esa misma satisfaccin dentro de t aos.La forma de considerar que los individuos valoran ms el</p><p>presente que el futuro es las utilidades futuras multiplicadas porun factor de descuento.</p><p>)()( 11 ++ == tttt cucucc</p><p>Valor de la utilidad de consumir tc en t: )( tcu</p><p>Valor asignado hoy a consumir 1+tc en t+1: )exp()( 1 +tcu</p><p>2</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 3/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>Si 0= , el valor de la utilidad hoy es igual al valor de lautilidad maana. El consumidor misma forma la utilidad hoyque la de maana. Contra mayor sea el factor de descuento,ms valoramos el presente respecto al futuro.</p><p>(5)Se supone que la funcin de utilidad )( tcu es una funcincncava. Que la funcin de utilidad sea cncava refleja eldeseo de la gente de tener trayectorias de consumo mas omenos lisas o suaves en el tiempo. Que la funcin de utilidadsea lisa, significa que los consumidores prefieren consumir unpoco cada da que consumir un poco mucho y otro nada. La</p><p>relacin entre concavidad de la funcin de utilidad y el deseode alisar el consumo (es decir querer consumir ms o menoslo mismo cada da) se puede ver en el siguiente grfico.</p><p>Que la funcin de utilidad sea cncava quiere decir que:</p><p>)2</p><p>)(()()( 212</p><p>ccucucu t</p><p>+</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 4/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>21 cccT +=La utilidad derivada de consumir Tc , es mayor cuando el consumototal se ha repartido que cuando no se reparte.</p><p>Se la siguiente funcin de utilidad:</p><p>=</p><p>1</p><p>1)(</p><p>1tccu</p><p>En esta funcin, es una constante que representa el grado deconcavidad de la funcin de utilidad. Contra mayor sea , mayorser la concavidad de la funcin de utilidad , mayor sern los</p><p>deseos de los agentes de suavizar el consumo en el tiempo.Si 0= , no querran suavizar su consumo en el tiempo y en estecaso:</p><p>)2</p><p>)((2})()({ 212</p><p>ccucucu</p><p>t</p><p>+=+</p><p>Una vez descritas las preferencias de los consumidores,pasamos a hablar de la restriccin presupuestaria.</p><p>Las familias poseen activos, tB . Dichos activos pueden ser</p><p>positivos (las familias prestan a las empresas o otras familias) onegativos, en cuyo caso son las familias las que estn pidiendoprestado. Estos activos generan un tipo de inters tr . El producto</p><p>ttrB es parte de los ingresos familiares, es lo que llamamos rentasdel capital. Adems, las familias son propietarias del trabajo quealquilan a un precio tw . La renta total de una familia es la suma de los</p><p>ingresos del trabajo e ingresos del capital: 1+ tt rBwL . Con la renta de quedisponen los consumidores pueden ahorrar o consumir, de talforma que:</p><p>1+=+ tttt rBwLCS</p><p>Los activos de las familias en t+1, que denotamos por 1+tB sern igual a la</p><p>suma de los activos que tenan en t, que denotamos por tB , ms el</p><p>ahorro realizado en t, que denotamos por tS</p><p>ttt SBB +=+1La diferencia de activos de un perodo a otro, por ejemplo de ta t+1, (denotamos</p><p>dicha diferencia por B , vendr dada por el ahorro en el perodo t:</p><p>tSB =</p><p>4</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 5/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>eliminando el subndice temporal, podemos escribir la restriccin presupuestaria delas familias como sigue:</p><p>CrBwLB +=</p><p>Dado que en la funcin de utilidad el consumo est expresado entrminos per cpita, expresamos la restriccin presupuestaria delas familias en trminos per cpita:</p><p>crbwL</p><p>B</p><p>L</p><p>C</p><p>L</p><p>Br</p><p>L</p><p>wL</p><p>L</p><p>B+=+=</p><p>(1)</p><p>definimosL</p><p>Bb = como activos per cpita, y lo derivamos respecto</p><p>al tiempo:( )</p><p>bnL</p><p>B</p><p>LL</p><p>LBLBb =</p><p>=</p><p> (2)</p><p>donde n es la tasa de crecimiento de la poblacin. Sustituimos (2)en (1) y despejamos b :</p><p>bnbL</p><p>B+= </p><p>bncrbwb +=</p><p>)( nrbcwb += : restriccin presupuestaria expresada entrminos per cpita.</p><p>As, el problema neoclsico de crecimiento puede expresarse de lasiguiente forma:</p><p>)(:.</p><p>1</p><p>1)(1</p><p>0)(</p><p>nrbcwbas</p><p>dtc</p><p>eMaxtn</p><p>+=</p><p>El problema planteado tiene solucin si y solo si:</p><p>=</p><p>t</p><p>c</p><p>eitetn</p><p>01</p><p>1)(</p><p>lim</p><p>1)(</p><p>Si esta condicin se cumple, entonces el problema anterior tiene unmximo. Si no se cumple, no podramos solucionar el problemaanterior ya que la funcin a maximizar crecera de forma infinita.</p><p>En la ecuacin (1), el trmino</p><p>1</p><p>1)( 1ces constante ya que a largo</p><p>plazo el consumo ser constante, por lo tanto para que se cumplala condicin (1) debe cumplirse que: n&gt; , es decir, la tasa de</p><p>5</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 6/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de lapoblacin.</p><p>PROBLEMA DEL CONSUMIDOR:</p><p>n</p><p>b</p><p>nrbcwbas</p><p>dtceMax tn</p><p>&gt;&gt;</p><p>+= </p><p>0)0(</p><p>)(:.</p><p>11)( 1</p><p>0)(</p><p>Obtenemos la solucin del problema utilizando el mtodo delhamiltoniano:</p><p>Pasos a seguir:</p><p>1) Construimos el hamiltoniano.</p><p>))((1</p><p>1)(1</p><p>0)(</p><p>nrbcwvdtc</p><p>eHtn ++</p><p>=</p><p>v: multiplicador dinmico de Lagrange. Se interpreta como elvalor que el consumidor da a una unidad adicional de activosfinancieros.</p><p>2) derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de control,</p><p>que en este problema es el consumo:</p><p>vce</p><p>c</p><p>H tn=</p><p>=</p><p>1</p><p>)1(0</p><p>)((3)</p><p> = cev tn)(</p><p>3) derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de estado,que en este problema es b. Posteriormente igualamos laderivada del hamiltoniano respecto a la variable de estado yla igualamos a la derivada de v multiplicada por (-1).</p><p>6</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 7/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>vnrvvbH == )( (4)</p><p>Derivamos (3) respecto a t:</p><p>tntn ec</p><p>cccenv )()( )((</p><p>=</p><p> (5)</p><p>Dividimos (5) por (3):</p><p>c</p><p>cn</p><p>v</p><p>v = )( (6)</p><p>Igualamos la expresin (6) a la expresin (4):</p><p>)(</p><p>)( nr</p><p>c</p><p>cn =</p><p> (7)</p><p>despejamos de (7) la tasa de crecimiento del consumo privado:</p><p>[ ]</p><p> = rc1</p><p>: evolucin del consumo per cpita.</p><p>3.1 Decisiones de la empresa</p><p>Definimos los beneficios de la empresa en trminos per cpita:</p><p>L</p><p>Krwkf</p><p>L)()( +=</p><p>=</p><p>Decisin de inversin de la empresa:</p><p>)8()(0:..</p><p>)()(:</p><p>' </p><p>+==</p><p>+=</p><p>rkfk</p><p>opc</p><p>krwkfMax</p><p>Decisin de contratacin de la empresa:</p><p>0)(0:..</p><p>)()(</p><p>=</p><p>+=</p><p>+=</p><p>wL</p><p>k</p><p>k</p><p>fLkf</p><p>Lopc</p><p>KrwLkLfMax </p><p>[ ] )9()()(1)()( '' wkkfkfwL</p><p>kkLfkf ==+</p><p>7</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 8/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>Al igual que vimos en el modelo de Solow-Swan, en unaeconoma cerrada la inversin es igual al ahorro, por eso en estaeconoma se tiene que cumplir que la cantidad de capital quecompran las empresas que denotamos por k es igual al ahorro delas familias que es igual a b . As, teniendo en cuenta que ahorro esigual a inversin la ecuacin que describe el comportamiento delcapital per cpita es la siguiente:</p><p>)( nrkcwk += (10)</p><p>que se obtiene de reemplazar b por k en la restriccin</p><p>presupuestaria de las familias. Sustituyendo la ecuacin (9)en la (10) nos queda lo siguiente:</p><p>)()()(' nrkckkfkfk +=</p><p>Sustituyendo la ecuacin (8) en la ecuacin (11):</p><p>)())()(( nrkckrkfk ++= </p><p>(12) )()( nkckfk += : ley de evolucin del capital per cpita</p><p>[ ]))((1 ' = kfc</p><p>(13) [ ])()((1 ' </p><p> += kfc : evolucin del consumo por unidad</p><p>de trabajo efectivo</p><p>Las ecuaciones (12) y (13) recogen respectivamente laevolucin del capital per cpita y del consumo per cpita.</p><p>ESTADO ESTACIONARIO:</p><p>El estado estacionario es una situacin en que las variables per cpita crecen a</p><p>una tasa constante. Si nos fijamos en la ecuacin (13), que describe el</p><p>comportamiento del consumo, para que el consumo crezca una tasa constante el</p><p>capital tiene que ser siempre el mismo:</p><p>ctec = si y solo si, 1+= tt kk , lo que implica que 0=k</p><p>8</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 9/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>Mirando la ecuacin (12), para que el stock de capital no cambie se tiene quecumplir que el consumo per cpita no vare.</p><p>ctek = si y solo si, 1+= tt cc , lo que implica que 0=c</p><p>En estado estacionario: 0=k y 0=c</p><p>Si 0=c )()1( +=Ak</p><p>+=</p><p>1</p><p>1</p><p>* Ak Stock de capital de estado estacionario</p><p>El PIB per cpita de estado estacionario, se obtiene sustituyendo el capital de</p><p>estado estacionario en la funcin de producicn:</p><p>+</p><p>=1* A</p><p>Ay</p><p>Sabiendo que el consumo per cpita es la renta menos el ahorro, lo calculamos como:</p><p>+= 1* )1(</p><p>AAsc Consumo per cpita de estado estacionario</p><p>3.2Modelo de Ramsey con Progreso tecnolgico</p><p>dtec</p><p>eMaxxt</p><p>tn</p><p> 1</p><p>1)(1</p><p>0)(</p><p>La renta de los consumidores es la suma de los ingresos del trabajo e ingresosdel capital: 1+ tt rBwL . Con la renta de que disponen los consumidorespueden ahorrar o consumir, de tal forma que:</p><p>1+=+ tttt rBwLCS</p><p>El ahorro de las familias es igual a:</p><p>ttt SBB +=+1</p><p>t</p><p>SB =</p><p>9</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 10/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>Podemos escribir la restriccin presupuestaria de las familias:</p><p>CrBwLB +=</p><p>Expresamos la restriccin presupuestaria de las familias enunidades de trabajo efectivo:</p><p>cbrA</p><p>w</p><p>AL</p><p>B</p><p>AL</p><p>C</p><p>AL</p><p>Br</p><p>A</p><p>w</p><p>AL</p><p>B +=+=</p><p>(1)</p><p>definimosAL</p><p>Bb = como activos por unidad de trabajo</p><p>efectivo, y lo derivamos respecto al tiempo:</p><p>( ))( nxb</p><p>AL</p><p>B</p><p>ALAL</p><p>LALABALBb +=</p><p>+=</p><p> (2)</p><p>Sustituimos (2) en (1) y despejamos b :</p><p>)( nxbbAL</p><p>B++= </p><p>)( nxbcbrA</p><p>wb ++=</p><p>)( nxrbcA</p><p>wb += : restriccin presupuestaria expresada en</p><p>unidades de trabajo efectivo:</p><p>3.3. 1 Problema del consumidor</p><p>)(:.</p><p>1</p><p>1)(1</p><p>0)(</p><p>nxrbcA</p><p>wbas</p><p>dtec</p><p>eMaxxt</p><p>tn</p><p>+=</p><p>Definimos el hamiltoniano:</p><p>10</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 11/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>))((1</p><p>1)( 10</p><p>)( nxrbcA</p><p>wvdt</p><p>eceH</p><p>xttn ++</p><p>= </p><p>c.p.o.</p><p>[ ]</p><p>vce</p><p>c</p><p>H txn=</p><p>=</p><p>+</p><p>1</p><p>)1(0</p><p>)1()(</p><p>(3)</p><p>vxnrvvb</p><p>H ==</p><p>)(</p><p>(4)</p><p>derivamos (3) respecto a t:</p><p>vec</p><p>cccexn txntxn </p><p>=+ ++ ))1()(())1()((</p><p>))1()((</p><p> (5)</p><p>Dividimos (5) por (3):</p><p>c</p><p>cxn</p><p>v</p><p>v</p><p>))1()((</p><p> += (6)</p><p>Igualamos la expresin (6) a la expresin (4):</p><p>)(</p><p>))1()(( xnr</p><p>c</p><p>cxn =+ (7)</p><p>despejamos de (7) la tasa de crecimiento del consumo privado:</p><p>[ ])())1()((1</p><p> xnrxnc ++= </p><p> : evolucin del consumo</p><p>por unidad de trabajo efectivo.</p><p>3.3.2 Problema de la Empresa</p><p>Definimos los beneficios de la empresa en trminos deunidades de trabajo efectivo:</p><p>AL</p><p>Krwkf</p><p>AL)()( +=</p><p>Decisin de inversin de la empresa:</p><p>)8()(0</p><p>:..</p><p>)()(:</p><p>' </p><p>+==</p><p>+=</p><p>rkf</p><p>k</p><p>opc</p><p>krwkfMax</p><p>11</p></li><li><p>7/28/2019 Modelos Neoclasico de Ramsey</p><p> 12/12</p><p>Macroeconoma IV. Teora del Crecimiento Econmico.</p><p>Decisin de contratacin de la empresa:</p><p>0</p><p>)(0:..</p><p>)()(</p><p>=</p><p>+=</p><p>+=</p><p>wL</p><p>k</p><p>k</p><p>fALkAf</p><p>Lopc</p><p>KrwLkALfMax </p><p>[ ] )9()()(1)()( '' wkkfkfAwL</p><p>kkALfkAf ==+</p><p>Imponemos las condiciones de vaciado de mercado: kb = . Larestriccin presupuestaria del consumidor queda como:</p><p>)( nxrkcA</p><p>wk +=</p><p>)())()(('</p><p>nxrkckkfkfk +=</p><p>)())()(( nxrkckrkfk ++= </p><p>)()( nxkckfk ++= : ley de evolucin del capital por unidad detrabajo efectivo.</p><p>[ ]))</p><p>((</p><p>1 ' xnkfxxnc</p><p>+++=</p><p>[ ])()((1 ' xkfc += : evolucin del consumo por unidad detrabajo efectivo</p><p>12</p></li></ul>