Modelos Neoclasico de Ramsey

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    Tema 3. Crecimiento Neoclsico.El Modelo de Ramsey

    En el modelo Neoclsico de crecimiento y el modelo AK hemos supuesto que las

    familias ahorran una proporcin constante de la renta, sin cuestionarnos la

    racionalidad de su comportamiento. En este captulo estudiaremos como las familias

    toman sus decisiones de consumo y ahorro. Otro supuesto del modelo neoclsico que

    pareca poco realista, es que en el modelo neoclsico las familias eran a la vez

    consumidoras y productoras, como si se tratase de Robinson Crusoe.

    En la vida real, las empresas y los consumidores son instituciones separadas que

    interactan en un lugar llamado mercado. Las familias distribuyen su renta entre

    consumo y ahorro. Las empresas contratan trabajo a cambio de un salario y venden el

    producto a cambio de un precio. Empresas y familias se encuentran en el mercado y

    los precios del trabajo y el capital son tales que los tres mercados se vaca. (Modelo

    de equilibrio general de Ramsey (1928)).

    En este captulo vamos a analizar las decisiones que toman los agentes

    econmicos, consumidores y empresas. Por un lado, analizaremos como las familias

    toman sus decisiones de consumo y ahorro. Paralelamente analizaremos lasdecisiones de inversin y contratacin de mano de obra que hacen las empresas.

    El objetivo es estudiar cual es el resultado que obtiene una economa en la que

    dejamos que sean los consumidores los que toman sus decisiones de consumo y las

    empresas sus decisiones de inversin. En el contexto de esta economa estaremos

    preocupados por analizar cuales son los determinantes del crecimiento econmico.

    3. Modelo de mercado

    En este modelo analizamos las decisiones de consumo de las familias y las

    decisiones de las empresas.

    3.1 Las familias neoclsicas

    Supuestos sobre el comportamiento de las familias:

    (1) Suponemos que los agentes de la economa deciden cunto consumir y cunto

    ahorrar en cada perodo de tal forma que maximicen la utilidad descontada

    futura. La utilidad descontada futura viene dada por la expresin (1):

    =

    1

    1)exp()0(

    1

    0

    ttc

    Ltu

    La funcin de utilidad viene dada por la siguiente funcin:

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    =

    1

    1)(

    1tccu

    donde: es una constante que representa la tasa de descuento, tc es el

    consumo per cpita en el instante t, tL es el tamao de la poblacin y es

    una constante que representa el deseo de los consumidores de alisar o

    suavizar su consumo en el tiempo.

    (2) Segundo, el horizonte temporal relevante para el problema de optimizacin

    que hemos diseado es infinito. Se est suponiendo que a la hora de tomar sus

    decisiones de consumo y ahorro los agentes tienen en cuenta la utilidad que

    esperan tener en el futuro. El hecho de que el horizonte sea infinito esequivalente a suponer que las familias se preocupan por las generaciones

    futuras.

    (3) Suponemos que la poblacin crece a una tasa constante n-.

    )exp(0 ntLLL

    Ln

    t==

    Normalizamos 10 =L y tenemos: )exp(ntLt = . En este caso, L

    es igual a )exp(ntn y nL

    L=

    .

    (4)La tasa de descuento representa el hecho de que losindividuos, aunque son altruistas respecto a susdescendientes prefieren el consumo propio mas que el de sushijos.El tipo de descuento representa el egoismo paterno dentro

    del altruismo intergeneracional. En otras palabras, losconsumidores a la hora de tomar sus decisiones de consumo yahorro, tienen en cuenta la utilidad o satisfaccin que van aobtener hoy con sus decisiones, pero tambin tienen en cuentala satisfaccin que las decisiones tomadas hoy les har tener enel futuro. Ahora bien, los consumidores no valoran igual la

    satisfaccin hoy que la que vayan a tener dentro de 3 perodos.Para el consumidor la misma satisfaccin hoy no representa

    lo mismo que esa misma satisfaccin dentro de t aos.La forma de considerar que los individuos valoran ms el

    presente que el futuro es las utilidades futuras multiplicadas porun factor de descuento.

    )()( 11 ++ == tttt cucucc

    Valor de la utilidad de consumir tc en t: )( tcu

    Valor asignado hoy a consumir 1+tc en t+1: )exp()( 1 +tcu

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    Si 0= , el valor de la utilidad hoy es igual al valor de lautilidad maana. El consumidor misma forma la utilidad hoyque la de maana. Contra mayor sea el factor de descuento,ms valoramos el presente respecto al futuro.

    (5)Se supone que la funcin de utilidad )( tcu es una funcincncava. Que la funcin de utilidad sea cncava refleja eldeseo de la gente de tener trayectorias de consumo mas omenos lisas o suaves en el tiempo. Que la funcin de utilidadsea lisa, significa que los consumidores prefieren consumir unpoco cada da que consumir un poco mucho y otro nada. La

    relacin entre concavidad de la funcin de utilidad y el deseode alisar el consumo (es decir querer consumir ms o menoslo mismo cada da) se puede ver en el siguiente grfico.

    Que la funcin de utilidad sea cncava quiere decir que:

    )2

    )(()()( 212

    ccucucu t

    +

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    21 cccT +=La utilidad derivada de consumir Tc , es mayor cuando el consumototal se ha repartido que cuando no se reparte.

    Se la siguiente funcin de utilidad:

    =

    1

    1)(

    1tccu

    En esta funcin, es una constante que representa el grado deconcavidad de la funcin de utilidad. Contra mayor sea , mayorser la concavidad de la funcin de utilidad , mayor sern los

    deseos de los agentes de suavizar el consumo en el tiempo.Si 0= , no querran suavizar su consumo en el tiempo y en estecaso:

    )2

    )((2})()({ 212

    ccucucu

    t

    +=+

    Una vez descritas las preferencias de los consumidores,pasamos a hablar de la restriccin presupuestaria.

    Las familias poseen activos, tB . Dichos activos pueden ser

    positivos (las familias prestan a las empresas o otras familias) onegativos, en cuyo caso son las familias las que estn pidiendoprestado. Estos activos generan un tipo de inters tr . El producto

    ttrB es parte de los ingresos familiares, es lo que llamamos rentasdel capital. Adems, las familias son propietarias del trabajo quealquilan a un precio tw . La renta total de una familia es la suma de los

    ingresos del trabajo e ingresos del capital: 1+ tt rBwL . Con la renta de quedisponen los consumidores pueden ahorrar o consumir, de talforma que:

    1+=+ tttt rBwLCS

    Los activos de las familias en t+1, que denotamos por 1+tB sern igual a la

    suma de los activos que tenan en t, que denotamos por tB , ms el

    ahorro realizado en t, que denotamos por tS

    ttt SBB +=+1La diferencia de activos de un perodo a otro, por ejemplo de ta t+1, (denotamos

    dicha diferencia por B , vendr dada por el ahorro en el perodo t:

    tSB =

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    eliminando el subndice temporal, podemos escribir la restriccin presupuestaria delas familias como sigue:

    CrBwLB +=

    Dado que en la funcin de utilidad el consumo est expresado entrminos per cpita, expresamos la restriccin presupuestaria delas familias en trminos per cpita:

    crbwL

    B

    L

    C

    L

    Br

    L

    wL

    L

    B+=+=

    (1)

    definimosL

    Bb = como activos per cpita, y lo derivamos respecto

    al tiempo:( )

    bnL

    B

    LL

    LBLBb =

    =

    (2)

    donde n es la tasa de crecimiento de la poblacin. Sustituimos (2)en (1) y despejamos b :

    bnbL

    B+=

    bncrbwb +=

    )( nrbcwb += : restriccin presupuestaria expresada entrminos per cpita.

    As, el problema neoclsico de crecimiento puede expresarse de lasiguiente forma:

    )(:.

    1

    1)(1

    0)(

    nrbcwbas

    dtc

    eMaxtn

    +=

    El problema planteado tiene solucin si y solo si:

    =

    t

    c

    eitetn

    01

    1)(

    lim

    1)(

    Si esta condicin se cumple, entonces el problema anterior tiene unmximo. Si no se cumple, no podramos solucionar el problemaanterior ya que la funcin a maximizar crecera de forma infinita.

    En la ecuacin (1), el trmino

    1

    1)( 1ces constante ya que a largo

    plazo el consumo ser constante, por lo tanto para que se cumplala condicin (1) debe cumplirse que: n> , es decir, la tasa de

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    descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de lapoblacin.

    PROBLEMA DEL CONSUMIDOR:

    n

    b

    nrbcwbas

    dtceMax tn

    >>

    +=

    0)0(

    )(:.

    11)( 1

    0)(

    Obtenemos la solucin del problema utilizando el mtodo delhamiltoniano:

    Pasos a seguir:

    1) Construimos el hamiltoniano.

    ))((1

    1)(1

    0)(

    nrbcwvdtc

    eHtn ++

    =

    v: multiplicador dinmico de Lagrange. Se interpreta como elvalor que el consumidor da a una unidad adicional de activosfinancieros.

    2) derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de control,

    que en este problema es el consumo:

    vce

    c

    H tn=

    =

    1

    )1(0

    )((3)

    = cev tn)(

    3) derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de estado,que en este problema es b. Posteriormente igualamos laderivada de