Models of Infectious Disease - Bachelor Thesis

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  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Universit degli Studi di TrentoFacolt di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

    Modelli Matematici di Infezione Virale

    28 Marzo 2007

    Laureando: Mattia ManicaRelatore: prof. Mimmo Iannelli

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    1 Introduzione

    2 Il modelloConcetti PreliminariAnalisi del Modello

    3 La Risposta ImmunitariaIntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    4 Ritardo TemporaleIntroduzionePunti Critici e Analisi Stabilit

    5 Conclusioni

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    1 Introduzione

    2 Il modelloConcetti PreliminariAnalisi del Modello

    3 La Risposta ImmunitariaIntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    4 Ritardo TemporaleIntroduzionePunti Critici e Analisi Stabilit

    5 Conclusioni

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    I modelli matematiciNuovo impulso alla ricerca;Semplificazione del problema reale, ne presenta lecaratteristiche fondamentali ed essenzialiIntroduzione calcolo differenziale e calcolatori;Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici,fisici, . . . );

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    I modelli matematiciNuovo impulso alla ricerca;Semplificazione del problema reale, ne presenta lecaratteristiche fondamentali ed essenzialiIntroduzione calcolo differenziale e calcolatori;Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici,fisici, . . . );

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    I modelli matematiciNuovo impulso alla ricerca;Semplificazione del problema reale, ne presenta lecaratteristiche fondamentali ed essenzialiIntroduzione calcolo differenziale e calcolatori;Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici,fisici, . . . );

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    I modelli matematiciNuovo impulso alla ricerca;Semplificazione del problema reale, ne presenta lecaratteristiche fondamentali ed essenzialiIntroduzione calcolo differenziale e calcolatori;Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici,fisici, . . . );

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    ObiettiviStudiare Infezione Virale in unaPopolazione di CelluleSuscettibili.Studiare Effetto RispostaImmunitaria.Studiare possibili diversemodellizzazioni della RispostaImmunitaria.

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    ObiettiviStudiare Infezione Virale in unaPopolazione di CelluleSuscettibili.Studiare Effetto RispostaImmunitaria.Studiare possibili diversemodellizzazioni della RispostaImmunitaria.

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    ObiettiviStudiare Infezione Virale in unaPopolazione di CelluleSuscettibili.Studiare Effetto RispostaImmunitaria.Studiare possibili diversemodellizzazioni della RispostaImmunitaria.

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    1 Introduzione

    2 Il modelloConcetti PreliminariAnalisi del Modello

    3 La Risposta ImmunitariaIntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    4 Ritardo TemporaleIntroduzionePunti Critici e Analisi Stabilit

    5 Conclusioni

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    x(t) numero cellule suscettibili, y(t) numero cellule infette, (t)numero particelle virali libere

    IL MODELLO x (t) = dx(t) x(t)(t)y (t) = x(t)(t) ay(t) (t) = ky(t) u(t)

    tasso di riproduzione cellulared tasso di mortalit cellule non infette tasso di contagioa tasso di mortalit cellule infette

    Modelli Matematici di Infezione Virale

  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Particelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette

    (t) =kuy(t) =

    ku

    x (t) = dx(t) x(t)(t)y (t) = x(t)(t) ay(t) (t) = ky(t) u(t)

    Modelli Matematici di Infezione Virale

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Particelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette

    (t) =kuy(t) =

    ku

    x (t) = dx(t) x(t)(t)y (t) = x(t)(t) ay(t) (t) = ky(t) u(t)

    Modelli Matematici di Infezione Virale

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Particelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette

    (t) =kuy(t) =

    ku

    x (t) = dx(t) x(t)(t)y (t) = x(t)(t) ay(t) (t) = ky(t) u(t)

    Modelli Matematici di Infezione Virale

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Particelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette

    (t) =kuy(t) =

    ku

    {x (t) = dx(t) x(t)y(t)y (t) = x(t)y(t) ay(t)

    Modelli Matematici di Infezione Virale

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Numero Riproduttivo di Base

    R0 :=

    ad

    Tasso Riproduzione Sucettibili Tasso Contagioa Tasso Mortalit Infetted Tasso Mortalit Suscettibili

    Intuitivamente il numero riproduttivo di base indica quanti nuoviinfetti verranno generati da un infetto.

    Modelli Matematici di Infezione Virale

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Numero Riproduttivo di Base

    R0 :=

    ad

    Tasso Riproduzione Sucettibili Tasso Contagioa Tasso Mortalit Infetted Tasso Mortalit Suscettibili

    Intuitivamente il numero riproduttivo di base indica quanti nuoviinfetti verranno generati da un infetto.

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Analisi del modello:{

    x (t) = dx(t) x(t)y(t)y (t) = x(t)y(t) ay(t)

    Individuazione dei punti critici:

    E0 :=(

    d,0)

    E1 :=(a, da

    a

    )per R0 > 1

    Chiamo E0 lequilibrio libero da infezione, ed E1 lequilibrioendemico.Analisi Stabilit dei Punti Critici:Studio del segno della parte reale degli autovalori dellamatrice Jacobiana.

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Condizioni per la StabilitNel nostro modello la Matrice Jacobiana

    Jac[(x , y)] =( (d + y) x

    y x a)

    Gli autovalori della matrice Jacobiana si ottengono attraversola seguente equazione.

    2 TrJac[(x , y)] + det Jac[(x , y)] = 0

    la stabilit sar data dalle seguenti condizioni sul segno delDeterminante e della Traccia della matrice Jacobiana,

    TrJac[(x , y)] < 0 e det Jac[(x , y)] > 0

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Condizione di Stabilit

    TrJac[(x , y)] < 0 e det Jac[(x , y)] > 0

    soddisfatte per E0 solo se R0 < 1

    Stessi ParametriBiologiciDiverse CondizioniIniziali R0 > 1

    Diversi ParametriBiologiciStesse CondizioniIniziali

    Modelli Matematici di Infezione Virale

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    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Condizione di Stabilit

    TrJac[(x , y)] < 0 e det Jac[(x , y)] > 0

    soddisfatte per E0 solo se R0 < 1

    Stessi ParametriBiologiciDiverse CondizioniIniziali

    R0 > 1

    Diversi ParametriBiologiciStesse CondizioniIniziali

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Condizione di Stabilit

    TrJac[(x , y)] < 0 e det Jac[(x , y)] > 0

    soddisfatte per E0 solo se R0 < 1

    Stessi ParametriBiologiciDiverse CondizioniIniziali R0 > 1

    Diversi ParametriBiologiciStesse CondizioniIniziali

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    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Condizione di Stabilit

    TrJac[(x , y)] < 0 e det Jac[(x , y)] > 0

    soddisfatte per E0 solo se R0 < 1

    Stessi ParametriBiologiciDiverse CondizioniIniziali R0 > 1

    Diversi ParametriBiologiciStesse CondizioniIniziali

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Similmente si dimostra con semplici calcoli la stabilit di

    E1 :=(a, da

    a

    )quando R0 > 1

    Stessi Parametri BiologiciDiverse Condizioni Iniziali

    Diversi Parametri BiologiciStesse Condizioni Iniziali

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Similmente si dimostra con semplici calcoli la stabilit di

    E1 :=(a, da

    a

    )quando R0 > 1

    Stessi Parametri BiologiciDiverse Condizioni Iniziali

    Diversi Parametri BiologiciStesse Condizioni Iniziali

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Similmente si dimostra con semplici calcoli la stabilit di

    E1 :=(a, da

    a

    )quando R0 > 1

    Stessi Parametri BiologiciDiverse Condizioni Iniziali

    Diversi Parametri BiologiciStesse Condizioni Iniziali

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Criterio di Bendixon-Dulac

    Sia dato il sistema{

    Y 1 = F1(Y1,Y2)Y 2 = F2(Y1,Y2)

    Se esiste una funzione D(x , y) tale per cui risulta

    div(DF1,DF2) 0

    con luguaglianza non ovunque non esistono orbiteperiodiche.

    Nel nostro caso questa funzione D(x , y) =1xy

    .

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    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Criterio di Bendixon-Dulac

    Sia dato il sistema{

    Y 1 = F1(Y1,Y2)Y 2 = F2(Y1,Y2)

    Se esiste una funzione D(x , y) tale per cui risulta

    div(DF1,DF2) 0

    con luguaglianza non ovunque non esistono orbiteperiodiche.

    Nel nostro caso questa funzione D(x , y) =1xy

    .

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    Concetti PreliminariAnalisi del Modello

    Criterio di Bendixon-Dulac

    Sia dato il sistema{

    Y 1 = F1(Y1,Y2)Y 2 = F2(Y1,Y2)

    Se esiste una funzione D(x , y) tale per cui risulta

    div(DF1,DF2) 0

    con luguaglianza non ovunque non esistono orbiteperiodiche.

    Nel nostro caso questa funzione D(x , y) =1xy

    .

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  • IntroduzioneIl modello

    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    1 Introduzione

    2 Il modelloConcetti PreliminariAnalisi del Modello

    3 La Risposta ImmunitariaIntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    4 Ritardo TemporaleIntroduzionePunti Critici e Analisi Stabilit

    5 Conclusioni

    Modelli Matematici di Infezione Virale

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    La Risposta ImmunitariaCondizione grazie alla quale lorganismo in grado dicombattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . );LImmunit Cellulare;

    Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus;LImmunit Umorale

    Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanzeestranee.

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    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    La Risposta ImmunitariaCondizione grazie alla quale lorganismo in grado dicombattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . );LImmunit Cellulare;

    Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus;LImmunit Umorale

    Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanzeestranee.

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    Conclusioni

    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    La Risposta ImmunitariaCondizione grazie alla quale lorganismo in grado dicombattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . );LImmunit Cellulare;

    Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus;LImmunit Umorale

    Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanzeestranee.

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    Conclusioni

    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    La Risposta ImmunitariaCondizione grazie alla quale lorganismo in grado dicombattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . );LImmunit Cellulare;

    Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus;LImmunit Umorale

    Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanzeestranee.

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    Conclusioni

    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    La Risposta ImmunitariaCondizione grazie alla quale lorganismo in grado dicombattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . );LImmunit Cellulare;

    Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus;LImmunit Umorale

    Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanzeestranee.

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    Conclusioni

    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    La Risposta ImmunitariaCondizione grazie alla quale lorganismo in grado dicombattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . );LImmunit Cellulare;

    Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus;LImmunit Umorale

    Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanzeestranee.

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    x(t) cellule suscettibili, y(t) cellule infette, z(t) rispostaimmunitaria.

    Modello con Risposta Immunitariax (t) = dx(t) x(t)y(t)

    qz(t) + 1

    y (t) =x(t)y(tqz(t) + 1

    ay(t) py(t)z(t)z (t) = cy(t) bz(t)

    Modelli Matematici di Infezione Virale

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    La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

    Conclusioni

    IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

    Ponendo...